Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ1
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Ο αριθµός των τρόπων να τοποθετήσουµε n διακεκριµένα αντικείµενα σε m διακεκριµένες υποδοχές, όταν
έχει σηµασία η σειρά των αντικειµένων στις υποδοχές, είναι ίσος µε:
1. mn
2. Τον αριθµό των διατάξεων n αντικειµένων από n + m – 1.
3. Τον αριθµό των συνδυασµών n αντικειµένων από n + m – 1.
4. Τον συντελεστή του xn
/ n! στην παράσταση (1 + x + x2
+ x3
+ …. ) m
.
(2) Ο αριθµός των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n που περιέχουν k άσσους είναι ίσος µε:
1. Τον αριθµών των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n που περιέχουν n-k άσσους
2. Τον αριθµό των υποσυνόλων µε k στοιχεία ενός συνόλου n στοιχείων.
3. Τον συντελεστή του xk
στην παράσταση (1 + x )n
.
4. Τον αριθµό των συνδυασµών k αντικειµέµων από n – k+1 .
(3) Τέσσερις αριθµοί από το 1 µέχρι το 20 κληρώνονται τυχαία (και ισοπίθανα) από τέσσερις διακεκριµένες
κληρωτίδες. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ο αριθµός των διαφορετικών αποτελεσµάτων της κλήρωσης είναι ίσος µε 420.
2. Υπάρχουν 204
– 194
διαφορετικά αποτελέσµατα όπου κληρώνεται τουλάχιστον ένα 10.
3. Υπάρχουν 204
διαφορετικά αποτελέσµατα όπου δεν κληρώνεται κανένα 10.
4. H πιθανότητα το άθροισµα των τεσσάρων αριθµών να είναι ίσο µε 79 είναι ίση µε 4 / 204
.

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 2
(4) Έστω φ, ψ προτασιακοί τύποι. Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν;
1. φ ∨ ψ |= φ → ψ
2. ¬ψ → ¬φ |= φ → ψ
3. ¬(φ → (ψ → φ)) |= ¬φ
4. φ → ¬φ |= ψ → ¬φ
(5) Στους παρακάτω τύπους τα p1,p2 είναι προτασιακές µεταβλητές και ο φ(x,y) τύπος στον οποίο
εµφανίζονται ελεύθερες οι µεταβλητές x,y
1. Ο τύπος ∨ → είναι ταυτολογία.
2. Ο τύπος ∧ → είναι ταυτολογία.
3. Ο τύπος ∧ → ∨ είναι ταυτολογία.
4. Ο τύπος ∀ ∀ , → ∃ ∃ , είναι ταυτολογία
(6) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη
γλώσσα αυτή σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε σύνολο κορυφών {v1,v2,v3} και σύνολο ακµών
{(v1,v1),(v1,v2),(v2,v2),(v3,v3)} ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές και το σύµβολο P µε τη
σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην
b. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν σε αυτήν την ερµηνεία;
1. ∃ ∃ ∃ ∧ ∧ ∧ , ∧ ,
2. ∃ ∃ ∃ , ∧ ,
3. ∃ ∀ ,
4. ∃ , ∧ ∀ , →

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 3
(7) Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Μ ο πίνακας προσπτώσεως του γραφήµατος Pn. Ποιες από τις παρακάτω
προτάσεις αληθεύουν;
1. Το πλήθος των άσσων του Α ισούται µε 2(n-1)
2. Το πλήθος των µηδενικών του Α είναι n2
-n.
3. To πλήθος των άσσων του Μ ισούται µε n(n-1)
4. Το πλήθος των µηδενικών του Μ ισούται µε (n-1)(n-2)
(8) Εκτελούµε τον αλγόριθµο διάσχισης πρώτα κατά βάθος στο γράφηµα Kn,n
1. Το συνδετικό δένδρο που παράγεται έχει ύψος 2
2. Το συνδετικό δένδρο που παράγεται έχει ύψος 2n-1
3. Το συνδετικό δένδρο που παράγεται έχει βαθµό n.
4. Αν όλες οι ακµές έχουν βάρος 1, τότε το συνδετικό δένδρο που παράγµει η κατά πλάτος είναι και
ελάχιστο συνδετικό δένδρο του γραφήµατος.
(9) Τρέχουµε τον αλγόριθµο του Prim σε συνδεόµενο γράφηµα µε n κορυφών που όλες οι ακµές έχουν το ίδιο
βάρος k
1. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο που παράγει ο αλγόριθµος του Prim έχει βάρος n*k
2. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο που παράγει ο αλγόριθµος του Prim αποτελεί και δένδρο συντοµότερων
µονοπατιών από την κορυφή που ξεκινήσαµε την εκτέλεση του αλγορίθµου.
3. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο που παράγει ο αλγόριθµος του Prim αποτελεί και συνδετικό δένδρο του
γραφήµατος
4. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο που παράγει ο αλγόριθµος του Prim έχει ίσο βάρος µε το συνδετικό
δένδρο που παράγει ο αλγόριθµος κατά πλάτος ξεκινώντας από οποιαδήποτε κορυφή του γραφήµατος.
(10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Ένα δένδρο µε κορυφή βαθµού 4 έχει τουλάχιστον 4 φύλλα.
2. Για να προκύψει µη συνδεόµενο γράφηµα από το Kn, n≥5 πρέπει να αφαιρεθούν τουλάχιστον οι µισές
ακµές του.
3. Για να προκύψει µη συνδεόµενο γράφηµα από το Kn,n, n≥3 πρέπει να αφαιρεθούν τουλάχιστον n ακµές.
4. Υπάρχει άκυκλο γράφηµα µε 10 κορυφές και 12 ακµές.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 4
(x,y)
(0,0)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
Σε µια µοντέρνα πόλη όπου όλοι οι δρόµοι τέµνονται κάθετα µεταξύ τους ώστε να
σχηµατίζεται ένα πλέγµα, βρίσκεται ένας διαβάτης σε ένα σταυροδρόµι που αυθαίρετα
θεωρούµε αρχή των αξόνων και ονοµάζουµε θέση (0,0). Ο διαβάτης θέλει να πάει στη
θέση ( , )x y µε , 0x y > που βρίσκεται x τετράγωνα δεξιά και y τετράγωνα πάνω
κινούµενος µόνο προς τα δεξιά (∆) και προς τα πάνω (Π). Για παράδειγµα, στο σχήµα
έχουµε 4x = και 3y = και µια πιθανή διαδροµή είναι η ∆Π∆ΠΠ∆∆ µε µήκος 7
τετραγώνων.
(i) Πόσες διαφορετικές διαδροµές µπορεί να ακολουθήσει ο διαβάτης για να πάει στο ( , )x y ;
(ii) Έστω τώρα ότι ο διαβάτης µπορεί να κινηθεί και προς τις 4 κατευθύνσεις (Πάνω, Κάτω, ∆εξιά, Αριστερά) και
θέλει να κάνει έναν περίπατο στην πόλη µήκους m . Θεωρούµε ότι το πλέγµα των δρόµων επεκτείνεται
απεριόριστα και προς τις 4 κατευθύνσεις. ∆ώστε γεννήτρια συνάρτηση και επισηµάνετε τον όρο της, ο
συντελεστής του οποίου δίνει τον αριθµό των διαφορετικών περιπάτων αν στον περίπατο του ο διαβάτης
πρέπει να κινηθεί τουλάχιστον 2 τετράγωνα προς κάθε κατεύθυνση και το πολύ 10 προς τα πάνω.

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
1. ∆είξετε ότι → → , ⊢ →
2. ∆είξετε ότι → → , ⊢ →
∆εν επιτρέπεται η χρήση των θεωρηµάτων του προτασιακού λογισµού
(Ερώτηµα 2)
Να βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου: ∀ ∀ , → ,
(Ερώτηµα 3)
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγόρηµα P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές του γραφήµατος και το σύµβολο P
µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) που συνδέονται µε ακµή. Σε αυτήν την
γλώσσα να γράψετε µία πρόταση που να εκφραζει την ακόλουθη ιδιότητα:
«Το γράφηµα περιέχει τρεις το πολύ κορυφές τέτοιες ώστε κάθε ακµή να προσπίπτει
σε τουλάχιστον µία από αυτές»

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
1. Αποδείξτε ότι σε κάθε αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα G=(V,E) µε n=|V| και m=|E| ισχύει: m=n(n-1)/4
2. Πόσες κορυφές πρέπει να έχει ένα αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα ώστε να είναι δένδρο. Κατασκευάστε
όλα τα αυτοσυµπληρωµατικά δένδρα.
3. Αποδείξτε µε µαθηµατική επαγωγή, ότι κάθε ακµή ενός δένδρου µε τουλάχιστον 2 κορυφές είναι γέφυρα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 1 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
∆είξτε ότι ένα απλό, συνδεόµενο, επίπεδο γράφηµα µε 8 κορυφές και 13 ακµές δεν µπορεί να χρωµατιστεί µε 2
χρώµατα.