Definición de conjunto. operaciones con conjunto. Números reales. Desigualdad Matemática.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE LARA
ANDRÉS ELOY BLANCO
Matemática
Estudiante:
Denys Vargas Tovar
C.I. 29.673.634
Trayecto inicial
Sección: AD0102
Barquisimeto, Marzo 2021

2. Conjunto
Es un grupo de elementos u objetos específicos en tal forma que se puede
afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para
denotar a los objetos, se usan mayúsculas.
Cuando un elemento X1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma
simbólica como: X1€A. En caso de que un elemento Y1 no pertenezca a este mismo
conjunto se utiliza la notación: Y1€A.
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1. Por extensión o enumeración: Los elementos son encerrados entre llaves y
separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus
elementos entre llaves.
2. Por compresión: Los elementos se determinan a través de una condición que se
establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo que significa “tal que”.
En forma simbólica es: A= {x/P(x)}= {x1, x2, x3, ⋅⋅⋅xn} que significa que el
conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x)
es verdadera, como x1, x2, x3…
3. Diagramas de ven: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido
de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
4. Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es
común para los elementos.
Ejemplos:
 Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo
por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.
Solución:
Por extensión. V=a, e, i, o, u}
Por comprensión: V= {x/x es una vocal}
Por diagrama de Venn:
 Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
Solución:
Por extensión. P={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno,, Urano,
Neptuno, Plutón}.
Por comprensión. P= {x/x es un planeta del sistema solar}
Por diagrama de Venn.
. a . i
. o
. e . u
. Urano
. Neptuno
. Marte
. Saturno
. Júpiter
. Plutón
. Mercurio
.Tierra
. Venus

3. Si cada elemento de un conjunto A es también un conjunto B, se dice que
A no es subconjunto de B. La notación A⊂B significa que A esta incluido en B y se
lee como: “A es un conjunto de B” o “A esta contenido en B”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B,
se dice que A no es subconjunto de B. En este caso la notación A⊄B significa que A
no es un subconjunto de B.
Gráficamente esto es:
A⊂B A⊄B A⊄B
B⊄A B⊄A B⊄A
En los ejemplos anteriores SI F= {a, e, o} es el conjunto de las vocales fuertes y S=
{Mercurio, Venus} es el conjunto de planetas que no posee satélites, entonces se
cumple que: F⊂V y que S⊂P. De la misma forma, nótese como: F⊄P, S ⊄V , F⊄S y
S⊄F.
Conjuntos con nombres específicos
Un conjunto vacío o nulo es aquel que posee
elementos. Se denota por φ o bien por { }. El conjunto
vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier
conjunto.
Ejemplos:
 Φ= {x/x son los dinosaurios que viven en la actualidad}
 { }= {x/x son los hombres mayores de 300 años}
 Φ= {x/x son números positivos menores que cero}
Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo
consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un
rectángulo.
Ejemplos:
 U= {x/x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo}.
 A= {x/ x son los días de la semana inglesa}= {lunes, martes, miércoles, jueves,
viernes}.
 B = {x/x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo}.
B B B
A
A
A

4.  C = {x/x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes,
jueves, sábado}.
Nótese como: A⊂U, B ⊂U, C⊂U.
Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplo: J= {x/x es el numero de un día del mes de junio}.
Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es
decir, su cardialidad no está definida.
Ejemplo: Q= {x/x es la cantidad de puntos en una línea}.
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos
elementos. Se denota por el símbolo =.
Ejemplos:
 R= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,}.
 S= {x/x es un digito}.
 R= S.
Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos,
es decir, si poseen la misma cadinalidad. Se denota por el símbolo ≈.
Ejemplos:
 W= {x/x son las estaciones del año}.
 Z= {x/x es un punto}.
 W ≈ Z.
Operaciones con conjunto
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A
con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪B. esto es:
A∪B= {x/ x∈A o x∈B}.
Gráficamente:
A ∪ B U
B
A

5. Ejemplos:
 A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}
 B= {durazno, melón, uva, naranja, sandia, plátano}
 A∪B= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía, durazno, melón,
plátano}
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A
que también pertenecen a B y se denota como A∩ B. Esto es A∩B= {xx∈A y x∈B}
Gráficamente:
Ejemplos:
 A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}
 B= {durazno, melón, uva, naranja, sandia, plátano}
 A ∩ B= {uva, naranja, sandía}
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es
decir, que no tienen nada en común.
Ejemplo:
 A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}
 E= {limón, fresa, pera, mandarina, cereza}
 A∩ E = φ
Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos
infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera
accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
A∩ B U
A B

6. Además de las características particulares de cada conjunto que
compone el súper conjunto de los números reales, se mencionan ciertas
características.
Todos los números reales tienen un orden y se
representan mediante la letra R↓ R
Dominio de números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números
reales son los números comprendidos entre los extremos
infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Dominio de los números
reales.
Números reales en la recta numérica
Recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los
números reales.
Línea real.
Esquema de números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números
reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.

7. Clasificación de números reales
Tal como hemos visto, los números reales pueden
clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
Los números naturales son el primer conjunto de
números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene
en cuenta el número cera (0) excepto que se especifique lo
contrario (cero neutro).
Expresión: Los números naturales se representan mediante N. Los primeros
elementos del conjunto son 1, 2, 3, 4…
Números enteros: Son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y
todos los números negativos.
Expresión: Los números enteros se representan con la letra Z.
Ejemplo de algunos elementos.
Los números enteros nos sirven para representar números positivos:
ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha; representar números negativos:
deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.
Números racionales: Los números racionales son las fracciones que pueden
formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como
cocientes de números enteros.
Expresión: La letra q representa el conjunto de números racionales Q.
Ejemplo de algunos elementos.
Números irracionales: Son números decimales que no
pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión: La letra q representa el conjunto de números
irracionales es I.
Ejemplo de algunos elementos.

8. Desigualdad matemática
Es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual
que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como
mayor o igual que ≥, resultando
ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una
expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos
matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática
es que, aquellas que emplean:
 Mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no
es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos
miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro
de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad.
Ejemplo: 3x+< 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad
de las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.

9.  Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad
se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo,
la desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación
son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no
tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una
inecuación.
Ejemplo: 3< 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.
Tipología de desigualdades: Existen dos tipos distintos de desigualdades
dependiendo de su nivel de aceptación. Ninguna de ellas incluye la desigualdad
general (≠).
Desigualdades estrictas: Son aquellas que no aceptan la igualdad entre
elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor
que” (>) o “menor que” (<).
Desigualdades amplias: Son aquellas en las que no se especifica si uno de los
elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de “menor o igual
que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).
Propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x-2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9.
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia
el signo de la desigualdad: 4x-2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3.
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor,
no cambia el signo de la desigualdad:
4x-2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x - 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
Propiedades en las que la desigualdad cambia de sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, si
cambia de sentido: 4x-2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, si cambia
de sentido: 4x-2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3.

10. Notación encadenada
Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas
expresiones de desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos. Sería este
caso si, por ejemplo, relacionamos a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es
menor que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad
la conocemos por el nombre de propiedad transitiva.
Diferencia entre desigualdad e inecuación: Es
importante conocer que existe un elemento matemático
diferente a la desigualdad matemática que es usualmente
confundido con ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su
resultado puede ser incongruente o, simplemente, denotar
que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto,
una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro
lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
Ejemplo: 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación
porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una
incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas
debes entender sus propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de sus
elementos.
Valor absoluto
El valor absoluto representa desde el origen o cero de una recta numérica
hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son
números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este
positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los
valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual
se lee como módulo de x).
El valor absoluto se representa como |A|, donde A es el número cuyo valor
absoluto tiene que ser determinado.
El valor absoluto se define como:
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
Definiciones equivalentes: si es un número real, su valor absoluto es un
número real no negativo definido de las dos siguientes maneras:
|x| = √(x2)

11. |x| es igual al máximo de {x, -x}
Propiedades fundamentales:
|x| > 0 No negatividad.
|x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva.
|x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa.
|x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular.
Otras propiedades:
|-x| = |x| Simetría.
|a - b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles.
|a - b| ≤ |a - c| + |c - b| Desigualdad triangular.
|a - b| ≥ |(|a| - |b|)| (equivalente a la propiedad adictiva).
|x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b≠0 Preservación de la división (equivalente a la propiedad
multiplicativa).
Valor absoluto de un número real: Para todos los números reales los
valores absolutos “x” satisfacen las siguientes condiciones:
 |x| = x; si x ≥ 0.
 |x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un
número real es la distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la
distancia de tres unidades al cero.
Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero. |3| = |-3| = 3. En
matemática, la medición de cualquier distancia siempre es un valor no negativo.
El valor absoluto de un número real x, es siempre positivo o cero, pero nunca
negativo.
Desigualdad de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdad de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.

12. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es X€ (-4,4).
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar:
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Ejemplo: Resuelva y grafique. |x - 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta.
x - 7 < 3 Y x - 7 > -3
-3 < x - 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La grafica quedaría así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

13. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b, entonces a
> b O a < - b.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b,
entonces a < b Y a > - b.
Ejemplo: resuelva y grafique. |x+2|>4.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La grafica se verá así: