Problemas selectos de Razonamiento Matemático PAMER ccesa007

1LIBRO UNI RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ORDEN DE INFORMACIÓN
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
I. ORDENAMIENTO LINEAL
a. Ordenamiento creciente o decreciente.
b. Ordenamiento lateral.
c. Ordenamiento por posición de datos.
• Problemas sobre carreras
• Problemas sobre edificios
A. Ordenamiento creciente o decreciente
Para estos problemas hay que tener en cuenta lo
siguiente:
A no es mayor que B < >
Equivale a decir que A es menor o igual que B.
A no es menor que B < >
Equivale a decir que A es mayor o igual a B .
B. Ordenamiento lateral
izquierda  derecha
oeste  este
occidente  oriente
Decir: "Javier está a la derecha de Luis" no implica
que necesariamente estarán juntos.
Decir: "César está entre Andrés y Pedro" no implica
que necesariamente estarán juntos (adyacentes).
C. Ordenamiento por posición de datos
Problemas sobre carreras
Decir:
"José llegó 2 puestos detrás de Edwin" implica que
por ejemplo:
Si Edwin llego en 1.er
lugar, José tuvo que haber
llegado en 3.er
lugar.
Problemas sobre edificios
Decir: "Vanessa vive más arriba que María" no implica
que necesariamente vivan en pisos adyacentes
(contiguos).
II. ORDENAMIENTO CIRCULAR O CE-
RRADO
En estos casos los elementos estarán ordenados de
manera que formen una figura cerrada. Debemos tener
en cuenta lo siguiente:
III. RELACIÓN DE DATOS
En problemas donde se tiene una diversidad de datos
y es complejo relacionarlos a simple vista se recomien-
da emplear las "Tablas de doble entrada" o los cuadros
de relación directa. A continuación una breve presen-
tación de los mismos.
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
A. Tablas de doble entrada
Carlos
Raúl
Diana
Ingeniero Médico Psicóloga Fútbol Basket Voley
Profesiones Deporte preferido
En esta tabla se muestra a 3 personas junto con
las profesiones que desempeñan y su deporte
preferido. El objetivo es ordenar la información
brindada, descartando todas a excepción de una
(la correcta) y dicha tabla debería terminar del
siguiente modo en la medida de lo posible:
Carlos
Raúl
Diana
Ingeniero Médico Psicóloga Fútbol Basket Voley
No
Si
No
Si
No
No
No
Si
No No
No
Si No
Si
No Si
No
No
B. Cuadro de relación directa
Carlos Raúl Diana
Preferido
Deporte
Preferido
El cuadro de relación directa es mucho más rápido
de trabajar debido a que su construcción es mucho
más simple y su llenado se realizo de una forma
más razonada y menos mecánica. Dicho cuadro de
terminar del siguiente modo:
Carlos Raúl Diana
Preferido
Deporte
Preferido
Médico
Fútbol
Psicólogo
Basket
Ingeniera
Voley
Nota:
No todas las tablas de doble entrada o los
cuadro de relación directa se llenan, todo
dependerá de la información brindada en el
problema.
IV. HORARIOS
Este tipo de problemas es muy similar a la "Relación de
Datos", con la diferencia que el grado de complejidad
es mucha mayor.
Ejemplo:
Arantxa está planificando su horario de estudio de lunes
a viernes. Los cursos que debe de incluir en su horario
son: Aritmética, Geometría, Lengua y Filosofía. Además,
debe practicar las siguientes deportes: tenis, natación
y voley. Cada día debe de estudiar un curso y practicar
un deporte, de acuerdo a las siguientes condiciones:
• El lunes y el jueves debe practicar tenis.
• El martes no practicará natación.
• El miércoles estudiará Aritmética.
• El día que estudia Lengua también practica voley.
• El día que estudia Filosofía también practica natación.
¿Qué curso estudiará el martes?
Solución:
De la información dada la vamos a ordenar en el
siguiente cuadro:
Cursos
Deporte
Lun Mar Mie Jue Vie
Tenis
Arit.
Tenis
Además en un mismo día debe de estudiar Filosofía y
practicar Natación y como el martes no practica Natación
entonces se tiene:
Cursos
Deporte
Lun Mar Mie Jue Vie
Tenis
Arit.
Tenis
Fil.
Nat.
y como Lengua y voley también deben de estar en un
mismo día entonces:
Cursos
Deporte
Lun Mar Mie Jue Vie
Tenis
Arit.
Tenis
Fil.
Nat.Voley
Leng.

Exigimos más!
Problema 1
En un edificio de cinco pisos viven las
amigas María, Lucía, Irma, Cathy y Lui-
sa. Cada una vive en un piso diferen-
te. Además se sabe que Cathy vive
más abajo que Lucía, pero más arriba
que Irma. María no vive debajo de Irma,
Lucía no vive arriba de Irma. ¿Quién
vive en el quinto piso?
A) María
B) Lucía
C) Irma
D) Cathy
E) Luisa
UNI 2009-I
Nivel fácil
Resolución:
La pregunta esta mal planteada porque
no puede ser que Lucía viva más arriba
que Irma, eso contradice el dato inicial.
Si se cambian los datos.
María no vive debajo de Irma por:
María vive debajo de Irma
y Lucía no vive arriba de Irma por:
Luisa no vive arriba de Irma
Respuesta: B) Lucía
Problema 2
Norma, Helen, Betty y Gaby están casa-
das con David, Bruno, Juan y Néstor, pero
no necesariamente en el orden men-
cionado. Los nombres de una de las
parejas empiezan con la misma letra.
Helen está casada con Juan.
La esposa de David no es Norma ni
Gaby. ¿Cuál de las siguientes es una
pareja de esposos?
UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) Betty – Bruno
B) Betty – Néstor
C) Norma – Bruno
D) Gaby – Bruno
E) Gaby – Néstor
Resolución:
• Helen está casada con Juan.
• La esposa de David no es Norma
ni Gaby.
• Los nombres de una de las parejas
empiezan con la misma letra.
Se utilizará el cuadro de Descarte:
David Bruno Juan Néstor
Norma
Hellen
Betty
Gaby
  
  
  
  




Nota: Como dicen que hay una
pareja de esposos cuyos nom-
bres empiezan con la misma le-
tra se deduce que Norma el
esposa de Néstor y se logra com-
pletar todo el cuadro.
 Relación correcta:
Gaby – Bruno
Respuesta: D) Gaby – Bruno
Problema 3
Cuatro amigos A, B, C y D se sentaron
a beber en una mesa circular. El que
se sentó a la izquierda de B bebió agua.
A estaba frente al que bebía vino.
Quien se sentaba a la derecha de D
bebía anís. El que bebe café y el que
bebe anís estaban frente a frente.
UNI 2008-II
Nivel difícil
Indique la proposición verdadera:
A) B bebía anís
B) B bebía agua
C) C bebía anís
D) A bebía café
E) D bebía agua
Resolución:
I. El que se sentó a la izquierda de B
bebió agua.
II. A estaba frente al que bebía vino.
III. Quien se sentaba a la derecha de
D bebía anís.
IV. El que bebe café y el que bebe
anís estaba frente a frente.
Se descarta por el dato (III)
 Proposición verdadera: bebía anís.
Respuesta: C) bebía anís
problemas resueltos

SUCESIONES
NOCIÓN DE SUCESIÓN
Se entiende por sucesión a un conjunto ordenado de
elementos de acuerdo a una ley de formación o también
una característica común.
Ejemplos:
Sucesión gráfica:
, , , , ....
• Sucesión literal: A, C, E, ....
• Sucesión numérica: 1, 5, 13, 29, ....
A. Sucesión Gráfica
Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un
"criterio de movimiento" de sus elementos. Se debe
percibir el desplazamiento o giro.
Ejemplo:
¿Qué figura continúa?
, , , ....
Resolución:
Se observa que cada figura es una vista del siguiente
sólido.
giro
Por lo tanto la siguiente vista será:
B. Sucesión literal
Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3
criterios generales.
1. Según el alfabeto:
A B C D E F
G H I J K L
M N Ñ O P Q
R S T U V W
X Y Z
Ejemplo:
¿Qué letra continúa? A, D, I, O, ....
Resolución:
De acuerdo al alfabeto a cada letra le corresponde
un número:
A, D, I, O, . . . .
1 4 9 16
12
22
32
42
 Son los cuadrados perfectos
Continúa 52
= 25 y en el alfabeto es la letra "X".
2. Son iniciales de nombres con un orden dado.
Ejemplos:
U, D, T, C, ...
d tu c
o rn u
eo s a
s t
r
o
L, M, M, J, ...
l m m j
u a i u
en r e
e t r v
cs e e
os s
l
e
s
DESARROLLO DEL TEMA

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SUCESIONES
5LIBRO UNI RAZONAMIENTO MATEMÁTICO5
3. Completan una palabra o frase.
Ejemplos:
O, N, M, U, L, . . .  la "A" completaría ALUMNO
en orden inverso.
C. Sucesión numérica
Es aquella que se caracteriza por tener como términos
a números distribuidos y ordenadas de acuerdo a una
determinada ley de formación.
Ejemplo:
1. ¿Qué número continua?
2, 4, 6, 8, 10, . . .
Resolución:
Se puede notar que cada número representa el
doble de su ordinal.
a ; a ; a ; a ; a ; a1 2 3 4 5 6
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; x
x = 6 × 2 = 12
2. Halle x: 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; x
Resolución:
Cada término es el cuadrado de su ordinal más uno.
2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; x
1 +1 ; 2 +1 ; 3 +1 ; 4 +1 ; 5 +1 ; 6 +12 2 2 2 2 2
3. ¿Qué número sigue?
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ...
Resolución:
Cada término es un número primo luego el siguiente
primo es 17.
D. Sucesiones notables
A continuación un cuadro que muestra las sucesiones más representativas.
E. Sucesión polinomial
Es aquella sucesión en donde "an" tiene forma de polinomio: P(n). El grado del polinomio determina el orden de la sucesión.
Ejemplos:
1.ºOrden: 5, 7, 9, 11, . . ., (2n + 3)
-2 -2 -2

SUCESIONES
Exigimos más!
2.ºOrden: 3, 3, 5, 9, . . ., (n - 3n + 5)
2
-0 -2 -4 . . . . .
+2 +2 . . . .
3.º Orden: 0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n - 1)
3
7 19 35
12 18
61
24
6 6
En general:
a , a , a , a , a , a , . . . , a1 2 3 4 5 6 n
+b1 +b2 +b3 +b4 +b5
+c1 +c2 +c3 +c4
+d1 +d2 +d3
+e1
•
•
•
+e2
Donde:
n 1 n 1 n 1
n 1 1 1 11 2 3
a a b c d ...c c c
  
       
n
k :C Número combinatorio.
n
k
n!
k!(n k)!C 

F. Sucesión lineal
Se le llama también sucesión de 1.er
orden o progresión
aritmética, se forma cuando a partir del primer término
siempre agregamos una misma cantidad llamada razón
aritmética.
Ejemplos:
5, 9, 13, 17, . . . , (4n+1)
+4 +4 +4 . . . .
6, 11, 16, 21, . . . , (5n+1)
+5 +5 +5 . . . .
100, 98, 96, 94, . . . , (-2n+102)
-2 -2 -2 . . . .
¿Como podríamos hallar tn?
t ; t ; t ; t ; ....... ; t1 2 3 4 n
+r +r +r .......
Por inducción:
t1 = t1
t2 = t1 + r
t3 = t1 + 2r
t4 = t1 + 3r

Entonces:
n 1t t (n 1)r  
También:
t ; t ; t ; t ; ....... ; t1 2 3 4 nt0
+r +r +r
n 0t r n t 
Ejemplo:
Calcula el vigésimo término de la sucesión.
2, 11, 20, 29, . . .
Solución:
2 ; 11 ; 20 ; 29 ; ....–7
+9 +9 +9
t = 9n – 7n
Nos piden: t20 = 9(20) – 7 = 173
Propiedades
Sea la progresión aritmética:
t1, t2, t3, t4, . . . , tn
1. Tomamos 3 términos consecutivos cualquiera y
se cumple:
1 3
2
2 4
3
t t
t
2
t t
t
2





2. Si "n" es impar: 1 n
central
t t
t
2


3. La suma de términos extremos siempre es la
misma.
t1 + tn = t2 + tn-1 = t3 + tn-2 = ...
G. Sucesión cuadrática
Es toda sucesión polinomial de 2° orden.
2
nt An Bn C  
Ejemplo:
• 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 23 ; 33 ; ...... (n – n + 3)2
+2 +4 +6 +8 +10
+2 +2 +2 +2
• 7 ; 15 ; 28 ; 46 ; 69 ; ......
+8 +13 +18 +23
+5 +5 +5
2
5n n
4
2 2
 
   
 
• 1 ; –2 ; –7 ; –14 ; ...... (2 – n )2
–3 –5 –7
–2 –2
6

Exigimos más!
SUCESIONES
¿Cómo podemos hallar tn?
t ; t ; t ; t ; t ; ....... ; t0 1 2 3 4 n
+d0 +d1 +d2 +d3
+r +r +r
Luego:
t1 = t0 + d0
t2 = t0 + d0 + d1
t3 = b0 + d0 + d1 + d2
t4 = b0 + d0 + d1 + d2 + d3
n 0 0 1 2 n 1t t d d d ... d      

Llamaremos:
S = d0 + d1 + d2 + .... + dn – 1
Entonces:
0 0
1 0
2 0
3 0
n 1 0
0
d d
d d 1r
d d 2r
d d 3r ( )
d d (n 1)r
(11 1)nr
S nd
2



 

  

  


  


 
Reemplazando en la expresión del término enésimo:
n 0 0
(n 1)
t t nd nr
2

  
2
n 0 0
(n n)
t t nd r
2

  
2
n 0 0
r r
t n d n t
2 2
         
   
Luego observamos que:
2 2
n 0 0
r r
t An Bn C n d n t
2 2
            
   
Entonces se concluye que:
0 0
0
rA
2
rB d A B d
2
C t

    

En resumen, sea la sucesión:
C = t ; t ; t ; t ; t ; ......0 1 2 3 4
A + B = +d +d +d +d0 1 2 3
2A = +r +r +r
Ejemplo:
Calcular el vigésimo término de la sucesión siguiente:
9; 13; 19; 27; 37; ...
Resolución:
Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos los
términos que estarían antes que los primeros.
C = 7 ; 9 ; 13 ; 19 ; 27 ; 37
A + B = +2 +4 +6 +8 +10
2A = +2 +2 +2 +2
Luego:
A = 1
B = 1
C = 7
Reemplazando en tn = An2
+ Bn + C
tn = n2
+ n 7
Nos piden: t20 = 202
+ 20 + 7 = 427
H. Sucesión geométrica
También se le llama progresión geométrica y es aque-
lla en donde a partir del primer término siempre se
multiplica por una misma cantidad llamada razón geo-
métrica.
Ejemplos:
• 7, 14, 28, 56, . . .
x2 x2 x2 . . .
• 9, 27, 81, 243, . . .
x3 x3 x3 . . .
• 120, 60, 30, 15, . . .
x 1
2
x 1
2
x 1
2
En general: t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; .... ; tn
Por inducción:
t1 = t1
t2 = t1 × q
t3 = t1 × q2
t4 = t1 × q3

Entonces: n 1
n 1t t q 
 
7

SUCESIONES
Exigimos más!
Ejemplo:
Calcule el vigésimo término de la P.G. siguiente:
5, 10, 20, 40, . . . .
Resolución:
5, 10, 20, 40, . . .
x2 x2 x2
Sabemos que: tn = t1 × qn–1
Entonces: t20 = 5 × 219
Propiedades
Sea la P.G.: t1, t2, t3, t4, t5, . .
1. Si tomamos 3 términos consecutivos cualquiera se
cumple:
2 1 3t t t 
3 2 4t t t 
4 3 5t t t 
2. Si "n" es impar: central 1 nt t t 
3. El producto de términos extremos es siempre el
mismo.
t1 × tn = t2 x tn-1 = t3 × tn-2 = ...
Problema 1
Considerando la sucesión:
–1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6
el siguiente término es:
UNI 2012-II
A) 8
B) 10
C) 11
D) 12
E) 14
Resolución:
Ubicación de incógnita
Indicar el término que continúa.
Análisis de los datos o gráficos
–1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6, x
Operación del problema
– Resolución del problema
Cada término es la suma de los tres
que le preceden, es decir:
• 0 = –1 + 0 + 1
• 1 = 0 + 1 + 0
• 2 = 1 + 0 + 1
• 3 = 0 + 1 + 2

Conclusiones y respuesta
Luego: x = 2 + 3 + 6
Respuesta: C) 11
Problema 2
Determine la letra que continúa en la
sucesión:
B, C, E, G, K, M, P, ....
Observación: no considere "LL".
UNI 2012-II
A) Q
B) R
C) S
D) V
E) W
Resolución:
Determinar la letra que continúa.
B, C, E, G, K, M, P
– Resolución del problema
Cada letra ocupa un lugar en el
alfabeto, es decir:
2 5 11 13 173 7
A,B,C ,D,E ,F,G ,H,I,J,K ,L,M,N,Ñ,O, P ,Q,R
     
Y las posiciones que ocupan son
números primos.
El siguiente número primo es 19.
Respuesta: C) R
Problema 3
Indique el número que continúa en la
siguiente sucesión:
75, 132, 363, 726, ...
UNI 2012-I
A) 1180
B) 1254
C) 1353
D) 1452
E) 1551
Resolución:
Indique el número que continúa.
75; 132; 363; 726; ...
A cada número se le suma el número
que resulta de invertir el orden de sus
cifras.
Respuesta: C) 1353
8
problemas resueltos

SERIES NOTABLES
I. SERIE NUMÉRICA
Una serie numérica es la adición indicada de los términos
de una sucesión numérica. Y a la suma de dichos
términos se le llama el valor de la serie. Es decir:
Si la sucesión es:
t1, t2, t3, t4, ..., tn
Entonces, la serie numérica respectiva es:
t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn
Ejemplo:
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25
Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Suma
(Valor de la serie)
A. Serie aritmética
La serie aritmética se origina a partir de la adición
de los términos de una progresión aritmética.
Ejemplo:
Dada la siguiente sucesión de 20 términos, deter-
mine la suma de todos sus términos:
7, 10, 13, 16, ... , 61, 64
Solución:
Nos piden:
Observación
Se observa que la suma de cada pareja de términos
que equidistan de los extremos nos da una suma
constante. Luego, como hay 20 sumandos, entonces
tendremos 10 parejas y cada una suma 71.
 S = (71)(10) = 710
En general en toda serie aritmética:
t +1 t + t + ... + t = (t + t ).2 3 n 1 n
+r +r
n
2
t1: primer término
tn: último término
n: número de términos
Ejemplo:
Hallar el valor de la siguiente serie de 25 términos:
19 + 23 + 27 + 31 + ...
Solución:
Tenemos t1 = 59; n = 25 y nos falta el último término, t25.
19 , 23 , 22 , 31 , ...
+4 +4 +4
tn = 4n + 15
 t25 = 4(25) + 15 = 115 n 0... t rn a 
Luego, reemplazamos:
(19 115).25
S 1675
2

  
Ejemplo:
Hallar la suma de una serie aritmética de 13 términos
donde su término central es 30.
Solución:
Como la serie tiene 13 términos (n es impar):
 S = tc . n
S = 30.13 = 390
B. Serie geométrica finita
La serie geométrica se origina a partir de la adición
de los términos de una progresión geométrica (P.G.)
y la suma se calcula así:
t +1 t + t + ... + t =2 3 n
xq xq
n
1
t .(q 1)
q 1
-
-
DESARROLLO DEL TEMA

SERIES
Exigimos más!
t1: primer término
q: razón
n: número de términos
donde: q 1; q 0 
Ejemplo:
Calcular la suma de los 12 primeros términos de la
siguiente serie: 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Solución:
S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...
x2 x2
t = 3
q = 2
n = 12
1
Reemplazamos:
12
3.(2 1)
S S=12285
2 1

  

C. Serie geométrica decreciente de infinitos
términos
El valor de esta serie, conocida como suma límite,
se calcula así:
t +1 t + t + ... =2 3
xq xq
1t
1 q-
suma límite
t1: primer término
q: razón
donde: 0 < q < 1
Ejemplo:
Hallar el valor de la siguiente serie infinita:
436 12 4 ...
3
   
Solución:
S = 36 + 12 + 4 + + ...
x
4
3
1
3
x
1
3
x
1
3
t = 36
q =
1
1
3
Reemplazamos
36
S 54
1
1
3
  

II. SERIES Y SUMAS NOTABLES
1)
n(n 1)
1 2 3 4 ... n
2

     
2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)
3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n2
4) 2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)
1 2 3 4 ... n
6
 
     
5)
2
3 3 3 3 3 n(n 1)
1 2 3 4 ... n
2
 
       
 
6)
n(n 1)(n 2)
1x2 2x3 3x4 4x5 ... n(n 1)
3
 
      
7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2)
=
n(n 1)(n 2)(n 3)
4
  
8)
1 1 1 1 n...
1x2 2x3 3x4 n(n 1) n 1
    
 
Observación:
En todos los casos n es el número de términos.
A. Suma de términos de una serie polinomial
Una serie se dice que es polinomial cuando su
término enésimo (tn) tiene la forma de un polinomio.
Si: tn = an + b ... (1.er
orden)
tn = an2
+ bn + c ... (2.o
orden)
tn = an3
+ bn2
+ cn + d ... (3.er
orden)
Ejemplo:
Calcular la suma de los 20 primeros términos de:
11 + 22 + 37 + 56 + ...
Solución:
Primero hallamos tn:
4, 11, 22, 37, 56, ...
7 11 15 19
4 4 4 (2° orden)
4
a 2
2
  ; b = 7 - 2 = 5; c = 4
 tn = 2n2
+ 5n + 4
Una vez que conocemos tn, la suma de los n primeros
términos (Sn), se calcula directamente, así:
n
n(n 1)(2n 1) n(n 1)
S 2. 5. 4(n)
6 2
+ + +
= + +
t = 2n + 5n + 4n
2
Para los 20 primeros (n = 20), la suma es:
20
20(21)(41) 20(21)
S 2. 5. 4(20)
6 2
   
     
   
S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870
III. SUMATORIAS
Sea la serie: S = t1 + t2 + t3 + ... + tn
Si queremos representar la serie numérica en forma
abreviada, usaremos el operador matemático sumatoria
(  ).

Exigimos más!
SERIES
Así:
S= t1 + t2 + t3 + ... + tn
n
k
k 1
S t

 
Se lee: "Sumatoria de los términos de la forma tk, desde
k = 1 hasta k = n".
Ejemplo:
Desarrollar las siguientes sumatorias:
a)
4
2
k 1
S (k 1)

 
S = (12
+ 1) + (22
+ 1) + (32
+ 1) + (42
+ 1)
b)
12
n 8
A (2n 5)

 
A=
n 8 n 9 n 10 n 11 n 12
(21) (23) (25) (27) (29)
    
   
A. Propiedades
1. Cantidad de términos
b
k a a 1 a 2 b
k a
(b - a + 1) términos
t t t t ... t 

     
2. Sumatoria de una constante
b
k a
c (n a 1).c

  
Donde: c es constante (no depende de k)
3.
b
k=a
(c.t ) = c.k
b
k=a
tk ; donde: c es constante.
4.
b
k=a
(t + P ) =k k
b
k=a
tk +
b
k=a
Pk
5.
b m b
k k k
k a k a k m 1
t t t
   
    ; donde: a < m < b
Problema 1
La suma de los 20 términos de una P.A.
creciente es 650. Si el producto de los
términos extremos es 244, hallar la razón.
UNI
Nivel fácil
A) 3 B) 5 C) 4
D) 6 E) 7
Resolución:
Dado: t1 + t2 + ... + t20 = 650
Es decir:
1 20
1 20
t t
20 650 t t 65
2
 
    
 
...(1)
además:
1 20
t x t 244 ...(2)
Resolviendo (1) y (2):
1
20
t 4
t 61
 

 
como t20 = t1 + 19r
 61 = 4 + 19r
 r = 3
Respuesta: A) 3
Problema 2
Calcular el valor de E en la siguiente
expresión:
"n" cifras
E 11 101 1001 10001 ... 1000...01      
UNI
Nivel intermedio
A)
n 1
10 9n 10
9

 
B)
n
10 9 10
9
 
C)
n
10 9n 10
9
 
D)
n
10 9n 10
9
 
E)
n 1
10 9n 10
9

 
Resolución:
Reescribiendo convenientemente ten-
dremos:
E=(10+1)+(100+1)+(1000+1)+...+
"n" cifras
(100...00 1)
Reagrupando y sumando las unidades
nos queda:
E=10 +
1
10 +10 +...+10 +n
2 3 n
Suma de todas
las unidades
Aplicando en la serie geométrica:
 n10
E 10 1 n
9
  
n
10 1
E 10 n
10 1
 
    
Respuesta: E)
n+110 + 9n - 10
9
Problema 3
Un obrero ha abonado este mes 178
soles y tiene con esto S/. 1410 en la
caja de ahorros, habiendo economizado
cada mes S/. 12 más que el mes anterior.
¿Cuánto ahorró el primer mes?
UNI
Nivel difícil
A) 13 B) 10 C) 14
D) 16 E) 17
Resolución:
er do er
er
178 (190 12n) .n
1410
2
    
Resolviendo: n = 15
 El 1.er
mes ahorró:
190 – 12 (15) = 10
Respuesta: B) 10
problemas resueltos

PLANTEO DEECUACIONES
Plantear una o más ecuaciones consiste en traducir el enun-
ciado de un problema de un lenguaje verbal a un lenguaje
matemático. Para llevar a cabo dicha tarea es necesario lle-
gar a una compresión cabal del enunciado.
Esto es, distinguir la información que nos brinda el proble-
ma (datos), por un lado y por el otro que nos solicita que
calculemos (incógnitas).
Podemos resumir el planteo ecuaciones con el siguiente
esquema:
Veamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases
u oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguaje
simbólico.
Lo que aquí hemos mostrado son ejemplos de cómo se
puede representar simbólicamente en el lenguaje mate-
mático un fragmento de enunciado.
Una frase u oración puede ser representada simbólicamente
de una o varias maneras, el estudiante deberá actuar de
acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular.
Ya que para encontrar la respuesta a un problema debemos
resolver una o más ecuaciones, es necesario que el
estudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuaciones
en sus diferentes formas.
La suma de los cuadrados
de dos números
El cuadrado de la suma
de dos números
x2
+ y2
(x + y)2
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
PLANTEO DE ECUACIONES
Problema 1
Existen en oferta 2 modelos de auto-
móvil: El modelo A se vende a 50 000
soles, pero se sabe que el costo de
combustible y aceite en el primer año
es de 2 soles por km recorrido. El mo-
delo B se vende a 65 000 soles, pero
se sabe que el costo de combustible y
aceite en el primer año es de 1,75 so-
les por km recorrido. Indique el reco-
rrido en km para el cual se podría es-
coger cualquier vehículo.
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A) 25 000 B) 30 000
C) 50 000 D) 60 000
E) 65 000
Resolución:
Indique el recorrido en km para el cual
se podría escoger cualquier vehículo.
Número de km recorridos: "x"
Operando:
Para que se elija cualquiera de los vehí-
culos el costo debe ser el mismo:
50 000 + 2x = 65 000 + 1,75x
0,25x = 15 000
x = 60 000
Respuesta: D) 60 000
Problema 2
Un bus que cubre la ruta UNI-Callao
logró recaudar en uno de sus viajes 99
soles, habiendo cobrado 1,5 soles como
pasaje único. Durante el recorrido por
cada 12 pasajeros que subieron, baja-
ron 7 y llegó al paradero final con 38
pasajeros, ¿con cuántos pasajeros ini-
ció su recorrido?
UNI 2010 - I
Nivel intermedio
A) 15 B) 18 C) 27
D) 33 E) 36
Resolución:
Hallamos el total de pasajeros que fue-
ron transportados y analizamos la rela-
ción de personas que suben y bajan
del bus.
a) Aplicación de fórmula o teorema
Total recaudado
#pasajeros
Costo unitario del pasaje

99
66 personas
1,5
 
b) Solución del problema
Num. personas al inicio: x
Núm.personas suben : 12 k
(Por dato)
Núm.personas bajan : 7 k



Siempre se sumple que:
Inicio + suben = Bajan + final
Además todos los que pagan pasaje
son:
1,5(7x + 38) = 99
7x + 38 = 66
x = 4
El número de pasajeros que había al
inicio es 18.
Respuesta: B) 18
Problema 3
Un comerciante compró P pollitos a C
soles el ciento. Durante el periodo de
venta, se pierden Q pollitos y, además,
el comerciante regaló 5 pollitos por cada
ciento que vendió.
¿En cuánto vendió cada ciento si en
total ganó r% de su inversión?
Considere:
Q 1
P 8

UNI 2009 - II
Nivel difícil
A)
6 r
C 1
5 100
  
 
B) 6
C(1 r)
5

C) 4 C (1 r)
3

D) 3 r
C 1
2 100
  
 
E) 3 C (1 r)
2

Resolución:
Valor de venta de cada ciento de po-
llitos.
Analizando:
• Inversión: C
P
100

• Ganancia: r%
• Por cada 100 que vende regala 5.
• Pierde "Q" pollitos.
•
P 8k
Q 1k

Resolviendo:
8k C 7 k xr
1
100 100 105
   
 
 
Operando: r 6C
x 1
100 5
   
 
Respuesta: A) r 6C
1
100 5
  
 
problemas resueltos

LÓGICA:PROPOSICIONAL
I. DEFINICIONES
A. Proposiciones
Son expresiones del lenguaje que tienen la propie-
dad fundamental de ser verdaderas o falsas.
Ejemplos:
– Lima es la capital del Perú.
– x + 2 > 8, si x = 5
Las proposiciones se pueden clasificar en:
• Simples: Mario es un niño.
Mario es travieso.
• Compuestas: Mario es un niño y es travieso.
Ricardo es médico o ingeniero.
B. Variables proposicionales
Son los símbolos que representan a las proposiciones
simples: p, q, r, s, ......
C. Conectivos lógicos
Son los símbolos que se usan para relacionar pro-
posiciones, es decir forman proposiciones, es decir,
forman proposiciones compuestas a partir de las
proposiciones simples.
Símbolo Nombre Lenguaje común
 Negación No, no es cierto que, no es el caso que, etc.
 Conjunción Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc.
 Disyunción
inclusiva
“O”
 Disyunción
exclusiva
“O”, “O ... O ...”
 Condicional “Si ... entonces...”,
“... si ...”,
“... dado que ...”,
“... siempre que ...”,
“... porque ...”,
“... en vista que ...”, etc.
 Bicondicional “.......si y solo si .....”
II. TABLAS DE VALORES DE VERDAD
A. Conjunción ()
Une dos proposiciones mediante el término "y".
Ejemplo:
Luis es joven y honrado.
p: Luis es joven.
q: Luis es honrado.
Simbología: p q
La conjunción es verdadera únicamente cuando
ambas proposiciones componentes son verdaderas
y es falsa cuando al menos una de sus componentes
es falsa.
p q p  q
V V
V F
F V
F F
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
LÓGICA PROPOSICIONAL
B. Disyunción inclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el término "o".
Ejemplo:
El gerente habla inglés o francés.
p: El gerente habla inglés
q: El gerente habla francés.
Simbología: p q
La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuando
ambas proposiciones componentes son falsas y es
verdadera cuando al menos una de sus compo-
nentes es verdadera.
p q p  q
V V
V F
F V
F F
C. Disyunción exclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el término "o" pero
exclusivo.
Ejemplo:
Raimondi nació en Perú o en Italia.
p : Raimondi nació en Perú.
q : Raimondi nació en Italia.
Simbología: p q
La disyunción exclusiva es verdadera cuando sus
componentes tienen diferente valor de verdad y
es falsa cuando sus componentes tienen el mismo
valor de verdad.
p q p  q
V V
V F
F V
F F
D. Condicional ()
Es la combinación de dos proposiciones mediante:
"Si ........................ entonces ......................"
antecedente consecuente
Ejemplo:
Si estudias, entonces ingresarás:
p: Estudias
q: Ingresarás
Simbología: p q "Ingresarás, si estudias"
El condicional es falso únicamente cuando el ante-
cedente es verdadero y el consecuente es falso, y
es verdadero cuando al menos el antecedente es
falso o el consecuente es verdadero.
p q p  q
V V
V F
F V
F F
E. Bicondicional ()
Es la combinación de dos proposiciones con:
"....................... si y solo si ......................."
Ejemplo:
Serás un excelente ingeniero si y solo si te esfuerzas
en tus estudios.
p: Serás un excelente ingeniero.
q: Te esfuerzas en tus estudios.
Simbología: p q
El bicondicional es verdadero cuando ambos com-
ponentes tienen igual valor, de verdad y es falso
cuando sus componentes tienen valores de ver-
dad diferentes.
p q p  q
V V
V F
F V
F F
F. Negación (  )
Cambia el valor de verdad de la proposición.
Ejemplo:
p: Luis es honesto.
p: Luis no es honesto.
Por tanto la simbolización y la tabla de verdad de la
proposición negativa es:
p  p
V
F
La frase "no es el caso que" generalmente se emplea
para negar proposiciones compuestas.
Ejemplo:
No es cierto que Juan sea pintor y se levante tem-
prano.
p: Juan es pintor.
q: Juan se levanta temprano.
Simbología:  (p q)

Exigimos más!
Observaciones
1. La doble negación es lo mismo que una afirma-
ción: " ( p)" tiene la misma tabla de verdad
que "p".
2. " p q" y " (p q) " tienen la misma tabla de
verdad.
3. Cuando una proposición compuesta tiene más
de dos proposiciones, por tanto más de un conec-
tivo lógico, entonces es necesario usar los sig-
nos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.)
para distinguir el alcance de los operadores.
Ejemplo:
a)  (p q) r
b)   p [q (r s)]
4. Las proposiciones compuestas toman el nom-
bre de su operador principal:
• La fórmula del ejemplo a) representa una pro-
posición disyuntiva, pues es "" el operador
de mayor alcance.
• La fórmula del ejemplo b) representa una
proposición condicional, pues es "  " el ope-
rador de mayor jerarquía.
III. EVALUACIÓN DE FÓRMULAS POR LA
TABLA DE VALORES
• Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obte-
ner los valores del operador principal a partir de los
valores de verdad de cada una de las variables
proposicionales.
• El número de valores que se asigna a cada variable
es 2n
, donde "n" es el número de proposiciones
que hay en la fórmula.
Ejemplo:
Hallar la Tabla de Verdad de la siguiente proposición
compuesta:
  (p q) (p q)
• Número de proposiciones: 2 (p y q)
Luego: Número de valores para cada variable: 22
= 4
• Se procede a aplicar la Tabla de Valores de cada
uno de los conectivos empezando por el de menor
jerarquía hasta llegar al de mayor alcance.
1° Con la ayuda de la tabla de valores de la conjunción
y la disyunción completamos las columnas (1) y (2).
2° Con ayuda de la tabla de valores del condicional
completamos la columna (3).
• El resultado de la Tabla de Valores de la fórmula
pertenece al operador principal.
• Dependiendo del resultado de la fórmula por Tabla
de Valores, este puede ser:
A. Tautología
Cuando los valores de su operador prin-cipal son
todos verdaderos.
Por ejemplo:
B. Contradicción
Cuando los valores de su operador principal son
todos falsos.
Por ejemplo:
C. Contingencia
Cuando entre los valores de su operador principal
hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Por ejemplo:
IV. EQUIVALENCIAS LÓGICAS NOTABLES
Son leyes lógicas que permiten la transformación y sim-
plificación de un esquema molecular en otro más sim-
ple, cambiando una o más expresiones componentes
del esquema por sus equivalentes lógicos, sin alterar el
valor de verdad de la proposición la que corresponde
al esquema:

Exigimos más!
A. Leyde idempotencia
•  p p p
•  p p p
B. Ley conmutativa
•   p q q p
•   p q q p
•   p q q p
C. Leyasociativa
•     p (q r) (p q) r
•     p (q r) (p q) r
D. Ley distributiva
•      p (q r) (p q) (p r)
•      p (q r) (p q) (p r)
E. Leyesde Morgan
•   (p q) p q  
•   (p q) p q  
F. Leyde involución (doble negación)
( p) p 
G. Ley de Absorción
•   p (p q) p
•   p (p q) p
•    p ( p q) p q
•    p ( p q) p q
H. Leyes condicionales
  p q p q
I. Leyes bicondicionales
•     p q (p q) (q p)
•     p q (p q) ( p q) 
J. Leyesdel Complemento
V: una tautología F: una contradicción
•  p p V
•  p p F
• V F
• F V
K. Transposición
•   p q q p 
•   p q q p 
L. Existencia del elemento neutro
•    V p p V p
•    F p p F F
•    V p p V V
•    F p p F p
V: Tautología F: Contradicción
Ejemplo:
Aquí algunas de sus aplicaciones:
A. De Morgan
  
  
(p q) p q
(p q) p q
  
  
Ejemplo:
"No es el caso que estudies y trabajes".
p: Estudias.
q: Trabajas.
Simbología: (p q)
Su equivalente: p q 
Se lee: "No estudias o no trabajas"
B. Del condicional
  
 
(p q) p q
(p q)

 
Ejemplo:
"Si Luis es escritor, entonces es poeta".
p: Luis es escritor.
q: Luis es poeta.
Simbología: (p q)
Su equivalente: p q
Se lee: "Luis no es escritor o es poeta".
Segundo equivalente: (p q) 
Se lee: "No es cierto que Luis sea escritor y no sea
poeta".
C. Transposición
  p q q p 
Ejemplo:
"Si Pedro toca guitarra, entonces canta".
p: Pedro toca guitarra.
q: Pedro canta.
Simbología: p q
Su equivalente: p q 
Se lee: "Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra".
D. Transitividad
 

Si :p q y q r
Entonces : p r
Ejemplo:
• Si estudias, entonces ingresarás.
• Si ingresas, entonces serás profesional.

Exigimos más!
p: Estudias.
q: Ingresarás.
r: Serás profesional.
Simbología: 

p q
q r
Conclusión: p r
Se lee: "Si estudias, entonces serás profesional".
V. CIRCUITOS LÓGICOS
Un circuito lógico es la representación gráfica de una o
más proposiciones, utilizando esquemas denominados
circuitos eléctricos.
Las proposiciones simples serán representadas como
interruptores en el circuito, abriendo o cerrado el circuito.
p
Proposición Interruptor
equivale
Si el circuito está asociado a una lámpara:
• El circuito funciona si la proposición es verdadera,
el interruptor está cerrado y pasa corriente.
• El circuito no funciona si la proposición es falsa, el
interruptor está abierto y no pasa corriente.
P
Según la disposición de los interruptores en un circuito,
se tiene dos tipos de circuitos: serie y paralelo.
A. Circuito serie
Es aquel que está constituido por interruptores
dispuestos uno detrás de otro.
Para que el circuito funcione, todos los interruptores
deben de estar cerrados (proposiciones verdaderas).
El circuito serie presenta la conjunción de dos o
más proposiciones.
• p q se representa:
p q
•  p q r se representa:
p q r
B. Circuito paralelo
Es aquel que está constituido por interruptores
dispuestos uno al lado del otro.
Si un circuito paralelo no funciona, todos sus inte-
rruptores están abiertos (proposiciones falsas). El
circuito paralelo representa la disyunción débil de
dos o más proposiciones.
• p q •  p q r
Se representa: Se representa:
p
q
p
r
q
* El circuito que representa a la condicional: p q,
será:
p
q
dado que:   p q p q .
* El circuito que representa a la bicondicional:
p q, será:
p q
q p
dado que:     p q (p q) (q p)
Ejemplo:
Grafique el circuito equivalencia a:
  ((p q) s) t
Se toma el conectivo de menor jerarquía, en
este caso la condicional p q:
p
q
Se asocia con el conectivo siguiente, en este
caso la disyunción, en , en paralelo con s .
p
s
q
Finalmente todo el circuito mostrado, se asocia
por la conjunción , en serie con t, obtiéndose
la siguiente representación:
p
s
q t

Exigimos más!
Problema 1
Si:
Simplifique:
UNI 2011 - I
A) t B) r
C) t D) r s
E) r t
Resolución:
Indica el resultado de reducir la expresión.
Reducir:
Respuesta: C) t
Problema 2
Señale el circuito equivalente a la pro-
posición:
    [(p q) p] [ p ( p q)] 
UNI 2012 - I
A) p
B) q
C) p
D) q
E) p q
Resolución:
Halle el circuito equivalente.
    [(p q) p] [ p ( p q)] 
Aplicación de fórmula, teorema o
propiedad
• Ley del condicional:
  p q p q
• Leyes de absorción:
  
  
p (p q) p
p (p q) p
    
   
   
   
 
  
[(p q) p] [ p ( p q)]
( p q) p ( p) ( p q)
( p q) p p ( p q)
(p q) p p ( p) q
p (p q)
p (p q) p
  
   
  
   

De reducir la expresión usando las leyes
proposicionales queda "p".
Respuesta: A) p
Problema 3
Si la proposición:
  (p q) (r s) 
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s
(en ese orden) es:
UNI 2012 - I
A) FFVV
B) FVVF
C) VFVF
D) VVFF
E) FVFF
Resolución:
Halle el valor de verdad de p, q, r, s
(en ese orden).
   (p q) (r s) F 

   
   (p q) (r s ) F
V
V F
V F
 
 
Se deduce: 

r V
s V
entre p y q al menos 1 debe ser una
verdadera.
Rpta: p;q; r ; s
F F V V
Respuesta: A) FFVV
problemas resueltos

RAZONAMIENTO LÓGICO
I. CONDICIONAL
En esta parte vamos a explorar la utilización de las
proposiciones que tengan el condicional y el
bicondicional, recuerda que debemos de reconocer
cada caso, luego simbolizar correctamente para poder
usar algunas de sus equivalencias.
A. Expresiones Importantes
a. Condicional
Si A participa entonces B participa.
Simbología:
A B
A: Antecedentes
B: Consecuente
Es decir, cada vez que el evento A ocurra,
entonces necesariamente B ocurrirá y de forma
análoga; si B no ocurre entonces A no ocurrirá.
Nota:
Cabe resaltar que una mala simbología de la
proposición implicará una mala interpretación del
corrector y sus parte, como el antecedente y el
consecuente.
Casos Especiales
A continuación algunos casos a reconocer y a
simbolizar para una adecuada interpretación.
1. A participará Solo si B participa.
Simbología:
A B
Se debe de entender que cada vez que A
participa, solo la hará si B participa. es por ello
que esa es la simbología.
Ejemplo:
Carlos irá al cine solo si Ana va.
Simbología:
Eso implica que cada vez que Carlos va al cine
necesariamente va Ana.
2. A no participará a menos que B participe
Simbología
A B
A no participa y nunca lo hace a menos que B
participe, es por ello que si A, participa entonces
B participará.
Nota:
Ten presente que en ambos casos la primera
persona necesita a la segunda para realizar la
acción y no al revés (la segunda es totalmente
independiente).
B. Bicondicional.
A participa si y solo si B participa Simbología
A B
En esta proposición basta que cualquiera de las
dos participe para que el otro obligatoriamente
este presente, es decir, es una condición de
ida y vuelta; si uno está el otro también y si uno
no está el otro tampoco está.
Propiedades:
1. Si A entonces B
Simbología: A B
2. Si A, B
Simbología: A B
3. A si B
Simbología: B A
4. A si y solo si B
Simbología: A B
5. A solo si B
Simbología: A B
6. Solo si A, B
Simbología: B A
7. No A a menos que B
Simbología: A B
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
Al igual que en el caso anterior no
implica (q p) .
Luego no necesariamente se
cumple que:
"Si esta bien informado  Luis lee
Caretas.
III. "Si estudió  obtengo buena
nota". Tiene como equivalente a:
"Si no obtengo buena nota 
no estudio".
Además tenemos otra condicional
como dato:
"Si no estudio  me divierto".
Entonces "concectando" los
condicionales tenemos:
No obtengo No Me
buenanota estudio divierto
     
      
     
No obtengo Me
Finalmente
buena nota divierto
   
   
   
Que por equivalencia:
(p q p q)  
Se llego a
Obtengo Me
o
buena nota divierto
   
   
   
Respuesta: C) Solo III
Problema 2
La mamá interroga a sus cinco hijos:
"¿Quién rompió el espejo?! y ellos
respondieron:
Problema 1
I. Si ella compra un vestido,
entonces comprará zapatos. Ella
compra zapatos, por lo tanto ella
compra un vestido.
II. Si Luis lee Caretas está bien
informado, Luis está bien
informado, entonces Luis lee
Caretas.
III. Si estudio, obtengo buena nota.
Si no estudio, me divierto. Por lo
tanto, obtengo buena nota o me
divierto.
Son válidas:
UNI 2007 - II
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
Resolución:
I. Si ella compra un vestido
Comprará zapatos. (p q)
Ella no implica que (q q) , es
decir no necesariamente se cumple
que: "Si ella compra zapatos 
comprará un vestido".
II. Si Luis lee Caretas  esta bien
informado (p q) .
• Alberto: Lo hizo Eduardo.
• Eduardo: Carlos lo hizo.
• Carlos: Yo no fui
• David: Juan lo hizo.
• Juan: Lo hizo Alberto.
Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlos
y sólo uno dice la verdad, ¿quién lo
hizo?
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) Alberto B) Eduardo
C) Carlos D) David
E) Juan
Resolución:
Del enunciado tenemos que no fue
Carlos y solo uno dice la verdad,
entonces podemos concluir que lo que
dice. Carlos es verdad ya que dice que
él no lo hizo, esto implica que todos
los demás encunciados son falsos, si
analizamos lo que dijeron los demás y
teniendo en cuenta que mintieron;
Alberto dice que fue Eduardo, de lo
que dijeron David y Juan deducimos
que no fueron ni Juan, ni Alberto, por
consiguiente el único que queda como
culpable es David.
Respuesta: D) David
problemas resueltos
II. FALSA SUPOSICIÓN
Juego lógico en el que a partir de un suceso, ofrecen
versiones sobre lo ocurrido. Hay tres maneras de
abordar este tipo de juegos:
A. PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA
Consiste en buscar entre las proposiciones dadas,
dos que sean equivalentes, las que tendrán el
mismo valor de verdad.
Ejemplo:
Se tiene las siguientes declaraciones
Mario: "Raúl es mayor de edad".
Raúl: "Yo soy mayor de edad"
• Es evidente que las proposiciones hacen la
misma afirmación, por ende, ambas tendrían el
mismo valor de verdad.
B. Principio de Contradicción
Consiste en buscar entre las proposiciones dadas,
dos que sean contradictorias, las que tendrán
diferentes valores de verdad.
Ejemplo:
Se tiene las siguientes declaraciones:
Mario: "Llevo puesto un polo color rojo".
Raúl: "Mario lleva puesto un polo color azul".
• Es evidente que las proposiciones plantean ideas
distintas, por ende ambas no pueden ser
verdaderas o falsas a la vez.
C. Principio de suposición
Consiste en asumir un valor de verdad para alguna
de las proposiciones, que se tomará luego como
punto de partida para verificar una coherencia lógica
entre los demás enunciados. De llegar a una
contradicción (o alguna situación absurda), deberá
evaluarse otra proposición.

Exigimos más!
Problema 3
Andrés miente los días miércoles,
jueves y viernes, y dice la verdad el
resto de la semana. Pedro miento los
domingos, lunes y martes, y dice la
verdad los otros días de la semana. Si
ambos dicen: "Mañana es un día en el
cual yo miento", ¿cuál día de la semana
será mañana?
UNI 2007 - I
Nivel difícil
A) Lunes
B) Martes
C) Miércoles
D) Jueves
E) Viernes
Resolución:
Tenemos:
Andres:
V V M M M V V
L M M J V S D
Pedro:
M M V V V V M
L M M J V S D
Como ambos dicen "Mañana es un
día en el cual yo miento", el día en
que dijeron eso tendría que ser:
"martes" por lo cual el día de
mañana será "miercoles".
Respuesta: C) Miércoles

LÓGICA DE CLASES
I. LÓGICA DE CLASES
Es la parte de la lógica que se encarga del estudio de
las proposiciones categóricas.
A. Proposiciones categóricas
Es una enunciado o proposición que afirma o niega
que un conjunto o clase está incluído en otro, total
o parcialmente. Las proposiciones categóricas típicas
se caracterizan por tener en su estructura:
a) Cuantificador
b) Sujeto
c) Verbo copulativo
d) Predicado
Ejemplo:

(c)(a) (b) (d)
Todos los hombres son mortales.  
Cuantificador
Parte de la expresión que indica la cantidad lógica
en una proposición. Según esto un cuantificador
puede ser universal o particular (existencial). Según
su calidad una proposición categórica puede ser
afirmativa o negativa.
Ejemplos:
1. "Todos los perros son rabiosos"
____________________________________
2. "Ningún niño es responsable"
____________________________________
3. "Algunos estudiantes son mayores"
____________________________________
4. "Algunos pobres no son locos"
____________________________________
5. "Cada niño recibió un regalo"
____________________________________
6. "Más de uno se quedó sin escuchar la clase"
____________________________________
7. "Todas las gallinas tienen plumas"
____________________________________
8. "Los hombres son celosos"
____________________________________
9. "Por los menos un luchador es fuerte"
____________________________________
10."No hay peces voladores"
____________________________________
11."Dos gatos son chillones"
____________________________________
12."No existe mujer paciente"
____________________________________
DESARROLLO DEL TEMA

LÓGICA DE CLASES
Exigimos más!
Representación gráfica de los cuantificadores
1. Conjunto universal
2. Conjunto no vacío
3. Conjunto vacío
4. Conjunto indeterminado
Luego, grafiquemos a manera de ejemplo algunas
proposiciones categóricas:
1. Universal afirmativa
Todos los limeños son peruanos.
2. Universal negativa
Ningún judío es alemán.
3. Particular afirmativa
Algunos políticos son honestos.
4. Particular negativa
Algunos mamíferos no son carnívoros.
Negación de proposiciones categóricas
La negación de una proposición categórica consiste,
básicamente, en cambiar la cantidad y la calidad de
ésta.
 (Universal afirmativa) = __________________
 (Universal negativa) = ___________________
 (Particular afirmativa) = __________________
 (Particular negativa) = ___________________
Caso especial
En una proposición categórica con un cuantificador
universal, si la negación se encuentra afectando al
verbo copulativo, entonces la negación funciona
como si afectará a toda la proposición.
Nota:
En una proposición categórica existe una diferencia
cuando la negación está antes del verbo copulativo
y cuando está después del verbo.
Por ejemplo:
• Todos los debutantes son inexpertos

 Todos los debutantes son no expertos

Exigimos más!
LÓGICA DE CLASES
No es cierto que todos los poetas sean
sensibles.
No (todos los poetas son sensibles) 
algunos poetas no son sensibles.
Nota: recuerda que primero se gráfica
las proposiciones universales y luego las
particulares.
Graficando ambas premisas:
Nota: Recuerda que primero se grafica
particulares.
Conclusión:
 Algunos poetas no son artistas.
Problema 1
A partir de las siguientes premisas:
• Todos los artistas son sensibles.
• No es cierto que todos los poetas
sean sensibles.
UNI 2007 - I
Nivel intermedio
Se infiere validamente que:
A) Todos los poetas son artistas.
B) Ningún artista es poeta.
C) Algunos poetas no son artistas.
D) Todos los artistas son poetas.
E) Algunos sensibles no son poetas.
Resolución:
• Todos los artistas son sensibles.
• No es cierto que todos los poetas
sean sensibles.
Operación del problema:
Todos los artistas son sensibles.
Respuesta: C) Algunos poetas
no son artistas
Problema 2
La negación de: "todos los rectángulos
son paralelogramos"es:
UNI 2005 - I
Nivel fácil
A) Todos los rectángulos son no para-
lelogramos.
B) Todos los no rectángulos no son
paralelogramos.
C) Algunos rectángulos no son parale-
logramos.
D) Algunos rectángulos son paralelo-
gramos.
E) Todos los no rectángulos son para-
lelogramos.
Resolución:
Todos los rectángulos son paralelo-
gramos.
• Todos los rectángulos son para-
lelogramos.
problemas resueltos
Graficamente:
 Todos los debutantes son inexpertos  ningún
debutante es experto.
Halla la equivalencia de las siguientes proposiciones
1. Todos los S son no P:
____________________________________
2. Ningún S es no P:
____________________________________
3. Algunos S son no P:
____________________________________
4. Algunos S no son no P:
____________________________________
5. Todos los niños son irresponsables:
____________________________________
6. Ningún juez es descortés:
____________________________________
7. Algunos futbolistas son inescrupulosos:
____________________________________
8. Algunos peces no son atípicos:
____________________________________

LÓGICA DE CLASES
Exigimos más!
• Reconocemos que está propo-
sición es universal afirmativa y al
momento de negar debo cambiar
la cantidad y calidad de dicha pro-
posición.
 universal afirmativa  particular ne-
gativa.
Conclusión:
 (todos los rectángulos son para-
lelogramos)  Algunos rectángu-
los no son paralelogramos.
Respuesta: C) algunos rectángulos
no son paralelogramos
Problema 3
Dadas las siguientes premisas:
• Todos los que estudian arquitectura
saben dibujar.
• Algunos estudiantes de arquitectura
hacen deporte.
UNI 2008 - II
Nivel intermedio
Se deduce que:
A) Ninguno que estudie arquitectura
hace deporte.
B) Todos los que hacen deporte saben
dibujar.
C) Todos los que estudian arquitec-
tura no hacen deporte.
D) Algunos que hacen deporte saben
dibujar.
E) Ninguno que hace deporte estudia
arquitectura.
Resolución:
Todos los que estudian arquitectura
hacen deporte.
Algunos estudiantes de arquitectura
hacen deporte.
De la primera premisa:
De la segunda premisa:
Gráficando ambas premisas:
Nota: Recuerda que primero se gráfica
particulares.
Conclusiones
 Algunos que hacen deporte saben
dibujar.
Respuesta: D) Algunos que hacen
deporte saben dibujar

OPERADORES MATEMÁTICOS
Una operación matemática es una correspondencia o rela-
ción mediante la cual, dado uno o mas números se hace
corresponder otro llamado resultado, con sujeción a cier-
tas reglas o leyes perfectamente definidas. Las reglas pue-
den ser descritas mediante palabras, pero por razones de
simplificación se las representa mediante símbolos llama-
dos operadores matemáticos.
Las operaciones matemáticas antes mencionadas son co-
nocidas universalmente, es decir, que cualquier matemático
del mundo al observar la siguiente operación Log28, sabe
que el resultado es 3.
En la presente clase lo que haremos es definir operaciones
matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos
de forma arbitraria.
El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso
figuras geométricas).
, , #, , , , ...    
Las reglas de definición se basarán en las operaciones mate-
máticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos:
a b = 2a - a x b
2
Regla de
definiciónOperador
matemático
x = x - x + 2
2
Regla de
definiciónOperador
matemático
El objetivo de este capítulo es familiarizarnos en el uso y manejo de los operadores matemáticos, por lo tanto usaremos
símbolos arbitrarios para representar operaciones arbitrarias, las cuales definiremos en base a las operaciones conocidas.
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
OPERACIONES EN UNA TABLA DE DOBLE
ENTRADA
Indica los elementos que han sido operados y resultados de
dichas operaciones que son presentados en una tabla de
doble entrada.
Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define la ope-
ración (*) mediante la siguiente tabla:
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
*
Hallar: 4 * 3
Resolución:
Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada y al
elemento (3) en la fila de entrada, el resultado de la operación
la encontraremos en la intersección de la columna y la fila
del primero y el segundo elemento respectivamente.
Veamos:
Propiedades
Se define en el conjunto "A" mediante el operador (*) lo
siguiente:
1. Clausura
a b A a*b A    
En la tabla:
Si todos los elementos de la columna y fila de entrada
pertenecen al conjunto "A", así también como los
resultados al operar o cuerpo de la tabla. Entonces
diremos que la operación es clausura en "A".
2. Conmutativa
a, b A a*b=b*a  
En la tabla:
"Criterio de la diagonal"
Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonal que
pasa por el operador; luego se observa que los elementos
que se encuentran a ambos lados de la diagonal
mantengan una simetría (un lado es el reflejo del otro
lado). Entonces la operación es conmutativa, en caso
contrario no lo será.
Es decir:
a
b
c
*
3. Asociativa
a, b y c A a*(b*c)=(a*b)*c  
4. Elemento neutro
e A / a A a*e=e*a=a    
En la tabla:
• Se verifica que la operación sea conmutativa.
• En el cuerpo de la tabla se busca una columna igual
a la columna de entrada y una fila igual a la fila de
entrada. Donde se intersecten, será el elemento
neutro ("e").
Es decir:
El elemento neutro es "1".

Exigimos más!
Problema 1
Se define:
a
0; x a
x ; (x)
1;x a

    


y para n   ;
n
k
k 0
2

 
Halle, para x 4 , el valor de:
UNI 2009 - II
Nivel fácil
A) 4/3 B) 3
C) 4 D) 15
E) 20
Resolución:
a
0;x a
x ; (x) ;n
1;x a

    

 
=
n
k
k 0
2


Y además x 4
Si x 4
(4) (x) 1 
4M
3

= 20
+ 21
= 3
= 20
+ 21
+ 22
+ 23
= 15
4
M (15) 20
3
 
Respuesta: E) 20
Problema 2
Para la operación  definida en el con-
junto A = {1, 2, 3, 5} mediante la si-
guiente tabla:
Se afirma:
I. Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
III. Posee elemento neutro.
Son ciertas:
UNI 2010 - I
Nivel fácil
problemas resueltos
5. Elemento inverso (a- 1
)
-1 -1 -1
a A; e A/ a A a*a =a *a=e      
Donde:
e = elemento neutro
a-1
= elemento inverso de a
En la tabla:
- Se busca el elemento neutro y se considera todos
iguales a él.
- Se traza una ele volteada ( ), es decir:
a
a
-1
e
Ejemplo:
Calcular: 1–1
; 2–1
; 3–1
en:
1
2
3
Resolución:
1.° Calcularemos el elemento neutro "e".
1
2
3
e=1
Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo.
1
2
3
2.° Aplicamos el criterio de las eles volteadas ( ).
a
a
-1
e
Es decir:
1
2
3
Del gráfico tenemos que:
1–1
= 1 2–1
= 3 3–1
= 2

Exigimos más!
A) Solo I
B) I y II
C) II y III
D) I y III
E) I, II y III
Resolución
Analizando: A = {1; 2; 3; 5}
Ordenamos la tabla:
Se afirma:
I. Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
III. Posee elemento neutro.
I) No es cerrada puesto que aparece
el elemento {0} y no pertenece al
conjunto A.
II) Sí es conmutativa puesto que la
diagonal cumple la propiedad de
ser eje de simetría.
III) Sí posee elemento neutro (e).
e = 5
Respuesta: C) II y III
Problema 2
En el conjunto Q = {1, 3, 5, 7} se define
la operación "" según la siguiente tabla:
Luego, sea x–1
el inverso de x Q ,
según la operación , halle:
1 1
1 1
3 5
E
7 1
 
 



UNI 2010 - I
Nivel intermedio
A)
1
3
B)
3
5
C) 1 D)
5
3
E) 3
Resolución
Halle:
1 1
1 1
3 5
E
7 5
 
 



donde x–1
es el elemento inverso de x.
Analizando:
Ordenamos la tabla:
Elemento neutro (e) = 5
1–1
= 1 5–1
= 5
3–1
= 7 7–1
= 3
7 5 12E 3
3 1 4
  

Respuesta: E) 3

ANÁLISIS DE FIGURAS
Estas son las aptitudes que están presentes en los test y lo
que debes hacer para trabajarlas.
A. Aptitudes verbales
Se miden por medio de ejercicios de ortografía, sinóni-
mos, antónimos, analogías verbales, vocabulario.
B. Aptitudes numéricas
Se trata de operaciones elementales y problemas
sencillos de razonamiento numérico.
C. Aptitudes de razonamiento
Se trata de series de números, de letras, de figuras,
dominós, monedas, etc.
D. Capacidad administrativa
Archivos, ordenación alfabética, resistencia a la fatiga,
detección de errores.
E. Capacidad de retención
Memoria visual, memoria auditiva, memoria lectora.
F. Capacidad mecánica
Palancas, problemas mecánicos.
Hay diferentes tipos de test para evaluar psicotécnico algunos
son:
• Test de razonamiento e inteligencia lógica.
• Test de capacidad numérica y de cálculo.
• Test de cálculo aritmético.
• Test de factor verbal.
• Test razonamiento verbal.
• Test de suficiencia administrativa.
• Test de capacidad administrativa.
• Test de conocimiento verbal y agilidad mental.
• Test de dominó.
• Test de laberintos.
• Test de razonamiento abstracto.
• Test de resistencia a la fatiga y al aburrimiento.
• Test de retención de memoria.
Para lo que son exámenes de admisión principalmente tene-
mos que detenernos básicamente en tres tipos de test:
• El test de razonamiento y inteligencia lógica.
• El test de dominó.
• El test de razonamiento abstracto.
I. TEST DE RAZONAMIENTO Y DE INTE-
LIGENCIA LÓGICA
Los test que componen este tipo de ejercicios suelen ser
series de números y de letras.
Cada serie sigue una regla de composición lógica que
usted deberá descubrir para completar la misma.
Para su realización deberemos estar muy familiarizados
con el abecedario y con operaciones matemáticas simples.
Veamos seguidamente algunos ejemplos:
1, 2, 3, 4, 5, …….
A) 5 B) 7 C) 6
D) 4 E) 3
• En este ejemplo los números van correlativos 1, 2,
3, 4, 5, … y por lo tanto siguen un orden por lo
tanto la respuesta sería la C) 6.
Veamos ahora un ejemplo con una serie de letras:
a, a, b, c, c, c, d, e, e, e, e, f, …….
• En este ejemplo van dos, tres, cuatro letras repe-
tidas y en el centro una sola letra; por lo tanto la
respuesta correcta sería la g.
DESARROLLO DEL TEMA

Exigimos más!
II. TEST DE DOMINÓ
En esta prueba nos vamos a encontrar con una serie de fichas de Dominó que guardan una cierta relación entre sí.
La misión del opositor radicará en descubrir el sistema de ordenación de esta serie y poner los valores que corresponden
a la ficha en blanco.
Examine este grupo de fichas y piense cual iría a continuación: No es difícil llegar a la conclusión de que si las fichas A,
B, C, D, E, tienen el valor 6/2, la blanca F, poseerá el mismo valor.
III. TEST DE RAZONAMIENTO ABSTRACTO
En este tipo de test usted deberá averiguar que número corresponde a cada signo de los que aparecen a continuación
siguiendo la lógica de las series que aparecen en el ejercicio.
Recuerda
Responde primero a aquellas preguntas de las que estás seguro, si dudas ante una pregunta sáltatela y pasa a la
siguiente. No te agobies ni empieces con que no te da tiempo, lo importante es contestar el mayor número de
respuestas de forma correcta.
Problema 1
Indique la figura que corresponde al
casillero con signo de interrogación.
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
Analizando:
Observando la relación de los casilleros
horizontales.
problemas resueltos

Exigimos más!
La alternativa que completa la secuen-
cia es:
Respuesta: E)
Problema 2
Un cubo está formado por 27 cubos
pequeños, algunos de ellos contienen
una esfera en su interior.
La figura adjunta muestra la vista fron-
tal (F) del cubo y la vista del lado
derecho del cubo (D).
Determine la alternativa que corres-
ponde a la vista superior del cubo.
UNI 2010-I
Nivel intermedio
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
Analizando:
Resolviendo:
A)
B)
C)
D)
E)
(I) En algunos de los tres cubitos
sombreados debe aparecer una o
más esferas que debe(n) ser
vista(s) desde la parte superior.
 Se descarta las alternativas A y D
(II) En alguno de los tres cubitos
marcados con una aspa (x) debe
aparecer una o más esferas que
debe(n) ser vista(s) desde a parte
superior.
 Se descarta la alternativa B.
(III) Se descarta la alternativa C, pues-
to que como mínimo deben ha-
ber tres esferas en el cubo.
 Por descarte respuesta:
Respuesta:

Exigimos más!
Problema 3
Indique la alternativa que mejor com-
plete el cuadro.
UNI 2008 - II
Nivel difícil
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
• Ubicando la incógnita:
Grupo de figuras que siguen en los
recuadros.
• Analizando:
• Operando:
Las figuras que se encuentran en la
mitad inferior son el reflejo de las que
se encuentran en la mitad superior.
Respuesta: D)

cuadros y gráficos
estadísticos
I. TÉRMINOS UTILIZADOS EN LA ESTA-
DÍSTICA
A. Población
Se llama así al conjunto de objetos, mediciones o perso-
nas con características comunes observables, el cual es
analizado para mostrar una información determinada.
Ejemplo: farmacias de Lima Metropolitana.
B. Muestra
Es un subconjunto de la población que es tomado
aleatoriamente (al azar), para ser estudiada como parte
representativa de la población. Ejemplo: número de
vehículos que circulan por la Av. Javier Prado Este, cua-
dra N° 38 entre las 10 y 11 a. m. del día 20-08-2008.
C. Variable
Es el símbolo asociado a las características de los ele-
mentos que forman una población o muestra (unida-
des estadísticas) y que van a proporcionar los datos
requeridos para el estudio estadístico.
Ejemplo: Edad de los alumnos de Pamer UNI.
1. Variable cualitativa
Son aquellas que expresan una unidad o atributo,
sus datos se expresan mediante una palabra.
Ejemplo: Estado civil, lugar de nacimiento.
2. Variable cuantitativa
Son aquellas que están asociadas a una carac-
terística que puede ser medida, es decir, que
tienen valor cuantificable.
Ejemplo: Número de carpetas vendidas.
a. Discretos
Cuando sus valores correspondientes solo
pueden ser expresados por números enteros.
Ejemplo: Número de hijos de una familia, nú-
mero de accidentes por día en una autopista.
b. Continuos
Cuando sus valores pueden ser expresados
como número reales.
Ejemplo: La temperatura, la masa (volumen,
peso).
II. PRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS
ESTADÍSTICOS
Al proceso de ordenar y clasificar un conjunto de da-
tos para elaborar una tabla estadística, se le conoce
como tabulación de datos.
Con el siguiente ejemplo le mostrará las diferentes
etapas y conceptos que emplea la investigación esta-
dística.
 Ejemplo:
Un grupo de 30 personas se encuentran en el patio
de un colegio. A cada uno se le pregunta por su
edad, obteniendo las siguientes respuestas:
15; 17; 16; 17; 19; 18; 15; 17; 18; 20;
17; 16; 16; 15; 16; 17; 19; 17; 20; 18;
16; 19; 17; 16; 16; 15; 21; 20; 17; 18;
Se observa que estos valores corresponden a una ca-
racterística determinada (edad) de la población (30
personas), expresados en forma cuantitativa, se les
denomina datos estadísticos cuantitativos. En este
ejemplo los valores señalados son números enteros,
por lo tanto se trata de una variable cuantitativa dis-
creta al observar los datos anteriores se puede indicar:
• Hay muchas personas que tienen 17 años.
• Ninguna persona tiene menos de 15 años.
• Solo una persona tiene 21 años.
Sin embargo se pueden ordenar los datos para con-
seguir una mejor información, así se tendrá:
15; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16
17; 17; 17; 17; 17; 17; 17; 17; 18; 18; 18; 18
19; 19; 19; 20; 20; 20; 21;
DESARROLLO DEL TEMA

CUADROS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Exigimos más!
Ahora rápidamente se puede afirmar:
• La menor edad es de 15 años y la tienen 4 per-
sonas.
• Los que tienen 14 años son tantos como los
que tienen 20 años.
• Son 8 personas los que tienen 17 años.
Para que los datos sean de mayor utilidad, conviene
establecer en forma sencilla el número de veces
que aparece cada dato:
• 4 personas tienen 15 años (aparecen 4 veces)
• 1 persona tiene 21 años (aparece 1 vez)
Con los datos obtenidos y sus frecuencias respectivas
se puede formar una tabla tal como se presenta:
A esta presentación de los datos, su conteo y la fre-
cuencia que presentan se le llama tabla de frecuencias
o tabla estadística.
Donde:
F1: frecuencia del primer dato.
F2: frecuencia del segundo dato.
Fn: frecuencia del n-ésimo dato.
k
1 2 3 k i
i 1
f f f ... f f n
k número de datos
n tamaño de la población

     





En ocasiones resulta conveniente añadir a la tabla
de frecuencia una columna más qué será destinada
a las frecuencias acumuladas.
Para el ejemplo se tendrá:
Donde:
k 1 2 3 k 1 k k 1F f f f ... f f F       
 Frecuencia relativa (h)
Es el cociente que resulta de dividir la frecuencia
del dato entre el total de datos. También es llamado
frecuencia relativa simple.
Ejemplo:
Frecuencia relativa del dato:
frecuencia del dato 15 4
15
Total de datos 30
 
Asi, para cada uno de los datos, se obtendrá una
columna más en la tabla de frecuencias:
Donde: h1 + h2 + h3 + ... hk =
K
i 1
hi 1


 Frecuencia relativa acumulada (H)
Es la suma de las frecuencias relativas del dato y la
de todas las anteriores a dicho dato.

Exigimos más!
Nota:
En algunos casos, se expresa la frecuencia relativa
en forma porcentual, para ello, basta con multiplicar
a cada una de las frecuencias relativas por 100% y
el valor obtenido será la expresión busca repre-
sentará como hi%.
Por ejemplo:
 h1=0,13  forma porcentual:
h1% = 0,13 x (100%) = 13%
 h2=0,24  forma porcentual:
h2% = 0,13 x (100%) = 13%
Donde:
h1% + h2% + h3% + ... hk% =
K
i 1
hi% 100%


A. Elementos deuna tabla de distribuciónde fre-
cuencias
1. Alcance (A)
Intervalo cerrado en la cual se considera como
límites al menor y mayor de los datos.
Ejemplo:
2. Rango o recorrido (R)
Es la amplitud del alcance, se calcula como la dife-
rencia del mayor y menor de los datos.
Ejemplo:
R = 21 – 15 = 6
3. Intervalo de clase (Ii)
Es una clasificación de los datos en subgrupos.
Ejemplo:
Se podría tener un intervalo I2 = 10;20 aquí
están aquellas personas cuyas edades sean ma-
yores o iguales a 10 pero menores, que 20.
4. Número de clases (k)
Es el número de categorías o intervalos en el que
se va a dividir la información.
Regla de Sturges:
k 1 3,322 logn
n : número de datos
 
Ejemplo:
k = 1 + 3,322 log20 = 5,32
Si k = 5,32
Se recomendaría tomar 5 intervalos o un valor
cercano que podría ser.
5. Amplitud o ancho de clase (W)
Es la diferencia entre el límite superior e inferior
de cada intervalo.
Ejemplo:
En I2 = 10;20
W = 20 – 10 = 10
6. Marca de clase (Xi)
Es el punto medio de cada intervalo.
1
(Límite inferior) (Límite superior)
x
2


d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal
y la frecuencia de la clase anterior.
y la frecuencia de la clase siguiente.
III. PRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
ESTADÍSTICOS
Las tablas de frecuencias de los datos estadísticos
muestran una información ordenada del hecho que se
analiza y estudia. Además de esta forma de
presentación es útil y conocer la forma de presentarlos
gráficamente para obtener una apreciación global,
rápida y visual de la información señalada. Muchas de
estas presentaciones podrán ser familiares por haberlas
visto en periódicos o revistas.
A. Diagrama debarras separadas
La Organización Internacional del Trabajo (OIT) pre-
sentó el siguiente cuadro acerca de la evolución
de la competitividad laboral en el sector
manufacturero en el año 96, con tasas de
crecimiento anual.
País
Argentina
Productividad
8,2
Competividad
7,1
Brasil 7,5 4,5
Chile 3,2 –1,1
México 5,3 4,1
Perú 6,6 1,4
Vamos a representar la productividad de cada país
del modo siguiente:

Exigimos más!
Trazamos unos ejes coordenadas, dos rectas
perpendiculares entre sí, una vertical y otra
horizontal. En el eje vertical situamos los países,
por el lugar asignado a cada país, se trazan barras
paralelas al eje horizontal y de longitud proporcional
a la productividad respectiva, por ejemplo una
longitud de 1 cm por cada unidad de productividad.
Se tendría:
País
El gráfico señalado corresponde a un diagrama de
barras horizontales. También se pudo hacer un
diagrama de barras verticales si se hubiera situado
los países en el eje horizontal y la productividad en
el eje vertical. Este tipo de diagrama se utiliza para
representar variables cualitativas, siendo la longitud
de cada bara la frecuencia correspondiente a cada
característica.
Para el ejemplo, mencionado anteriormente se
tendría:
Característica Frecuencia (f)
Informativos
Películas
Documentales
Familiares
Novelas
Concursos
Otros
580
530
270
230
160
140
90
600
500
400
300
200
100
I P D F N C O
f
B. Gráfico de sectores circulares
A un seminario de liderazgo, asistieron 540
profesionales, de los cuales: 180 son ingenieros,
150 son médicos, 108 son abogados, 60 son
profesores y el resto son profesionales de otras
especialidades. Ordenando estos datos estadísticos
con sus respectivas frecuencias, se forma la
siguiente tabla:
Profesión
Ingenieros
Médicos
Abogados
Profesores
otros
Frecuecia
180
150
108
60
42
180/540 = 0,33
150/540 = 0,28
108/540 = 0,20
60/540 = 0,11
42/540 = 0,08
33%
28%
20%
11%
8%
hi%
Frec. relativa
(hi)
Total 540 Total 100%
Para formar el gráfico de sectores se considera el
total de datos de la población como el área del
círculo y a cada característica señalada le
corresponderá un sector circular, cuyo ángulo central
estará dado por:


frecuencia (f)
Ángulo(º) x 360º
Total de datos (n)
Pero:
relativa (h)
frecuencia (f) ffrecuencia(º ) h =
Total de datos (n) n
 
Reemplazando:
 Ángulo (º) h x 360º
La parte que representa a cada sector circular es
proporcional a la frecuencia del mismo. Con lo
anterior, se calcularía el ángulo de cada sector.
Profesión fi hi h %i Ángulo i
Ingenieros
Médicos
Abogados
Profesores
Otros
180
150
108
60
42
0,33
0,28
0,20
0,11
0,08
33%
28%
20%
11%
8%
0,33 360°=120°
0,28 360°=100°
0,20 360°=72°
0,11 360°=40°
0,08 360°=28°
Tendremos la representación siguiente:

Exigimos más!
Otro ejemplo es la siguiente gráfica de sectores
correspondiente a la distribución de los alumnos
de un colegio según los cursos que prefieren.
Si se desea conocer los ángulos.
Curso hi
% Ángulo
Historia 35% 35% (360°) =126°
Castellano 30% 30% (360°) =108°
Matemática 20% 20% (360°) =72°
Otros 15% 15% (360°) =54°
c. Histogramas
Se tiene la siguiente distribución de frecuencias,
formando con los resultados de los exámenes
tomados a 30 estudiantes en un curso de la
universidad.
Para graficar estos datos de modo que se visualice
los intervalos señalados, se emplean los Histogramas,
estos son diagramas que representan datos
cuantitativos continuos utilizando barras o
rectángulos contiguos, cuyas bases se sitúan en el
eje horizontal y están limitados por los valores
extremos de cada intervalo de clase y las alturas
son del histo-grama señalado, se puede apreciar:
D. Polígonosde frecuencias
Se obtiene a partir del histograma, uniendo con
seg-mentos los puntos medios de los lados
superiores de los rectángulos. Así para los ejemplos
mostrados:
El polígono de frecuencias se puede construir sin
necesidad de haber hecho antes el histograma.
Basta señalar en el eje horizontal las marcas de clase;
por cada punto señalado se traza un segmento
proporcional a la frecuencia de la clase respectiva.
Tanto con el histograma o el polígono de frecuencias
es posible obtener la tabla estadística a la que
pertenecen las datos señalados.

Exigimos más!
E. Diagrama escalonado
Son diagramas de barras o rectángulos, similares al
histograma, cuyas bases representan los intervalos
de clase y las alturas son proporcionales a las
frecuencias absolutas o relativas acumuladas.
IV ESTADÍGRAFOSDETENDENCIACENTRAL
Llamados generalmente promedios, son funciones que
se obtienen a partir de los datos cuantitativos de una
población o muestra, resumiendo la información
obtenida puntualmente, es decir en un solo valor.
Según el estadígrafo que se utilice, pueden esta
ubicados cerca a la parte central de los datos
estadísticos (por ello su nombre de tendencia central).
Entre ellos se tiene: la media aritmética, la mediana y
la moda. Otros estadígrafos que no son tendencia
central son la dispersión, la varianza, la desviación media,
etcétera. Los datos cuantitativos que se obtienen de
la población, pueden presentarse en tablas de
frecuencias (datos tabulados o clasificados) o sin que
sean ordenados en tablas (datos no tabulados o no
clasificados). En cada caso, hay que considerar la
característica de los datos para calcular el promedio
respectivo.
A. Media aritmética (x o Ma)
Esta dada por la suma de todos los datos de la
población dividida entre el número total de ellos.
Sean los datos d1 , d2 , d3 , ... dn
Se tendrá:
n
i
1 2 n i 1
d
d d ... d
x
n n
  
 

Por ejemplo:
Media aritmética de 5, 7, 11, 12, 14
a
5 7 11 12 14
x M (5,7,11,12,14)
5
   
 
Se obtiene: x 9,8
• Para datos clasificados
Cuando los datos se encuentran en una tabla
de frecuencias, se utilizará:
k
i i k
i 1
i i
i 1
f.x
x h.x
n


 


donde:
fi: frecuencia absoluta de la clase i
xi: marca de clase de la clase i
hi: frecuencia relativa de la clase i
k: número de clases
n: total de datos
B. Mediana (xm o Me)
La mediana de un conjunto de datos es aquel valor
que divide a dicho conjunto en dos partes que po-
seen la misma cantidad de datos.
Conocidos los datos:
d1 , d2 , d3 , ... dn
ordenados en forma creciente:
d1  d2  d3,...  dn
Siendo n el total de datos, se tendrá que si n es
impar se tomará como mediana el valor central; pero
si el número de datos fuese par, habrá entonces 2
términos centrales y la mediana será la semisuma
de dichos valores.
n 1
2
m
n n
( ) ( 1)
2 2
Término central d ,si es impar
x
d d
semisuma de , si es par
2
 
 
 










n
n

Exigimos más!
Por ejemplo:
Mediana de 5, 7, 7, 9, 10, 12, 15
n = 7 datos (impar)
xm= término central = 47 1
2
d d 
 
 

xm = 9
Otro ejemplo:
Mediana de 5, 6, 7, 8, 10, 10, 14, 15
n = 8 datos (par)
xm = semisuma de
términos centrales = 8 10
9
2


• Para datos clasificados
Cuando los datos aparecen en una tabla de fre-
cuencias, la mediana será el menor valor cuya
frecuencia absoluta acumulada iguala o excede
a la mitad del total de datos.
Ejemplo (1):
Conocida la distribución de frecuencia de las
longitudes de clavos, de un lote que ha sido
comprado.
La mediana debe estar ubicada en el valor que
corresponde a la mitad de los datos.
Según la tabla:
100 es el total de datos, la mediana debería
ocupar el lugar 50, en la columna de Fi se observa
que se acumulan 44 datos en la cuarta fila, se
toma el inmediato superior.
Me = 17
Los datos tabulados son discretos.
C. Moda (xo , Mo)
La moda de un conjunto de valores es el valor que
más se repite en dicho conjunto. Si ningún valor se
repite, se dirá que no existe moda y el conjunto de
datos será amodal.
Por ejemplo:
• 7, 13, 15, 15, 17, 21  moda Mo = 15
• 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9, 10, 10  moda Mo = 9
• 13, 19, 21, 37, 47  no hay moda
es amodal
Por datos clasificados:
Si los datos tabulados son discretos la moda será
aquella que posee mayor frecuencia.
Si los datos tabulados son contínuos, tomados con
intervalos de ancho de clase común, el intervalo que
contiene a la moda es aquella que tiene la mayor
frecuencia (se le llama clase modal). El valor de la
moda estará dado por:
1
o o
1 2
d
Mo L
d d
 
     
donde:
Lo : límite inferior de la clase modal.
o : ancho de la clase modal
y la frecuencia de la clase anterior.
y la frecuencia de la clase siguiente.
Problema 1
Respecto a la información brindada en
el diagrama de barras mostrado:
UNI
Nivel fácil
Es correcto afirmar:
A) El promedio de producción en los
últimos tres años, supera al
promedio del total de años.
B) El promedio de producción de los
cuatro primeros años, supera al
promedio total de años.
C) El promedio de producción del
segundo, tercer y cuarto año
supera al promedio de producción
de los últimos tres años.
D) El promedio de producción del se-
gundo y cuarto año es mayor al pro-
medio de producción de los pri-
meros cuatro años.
E) El promedio de producción del pri-
mer y tercer año es igual al pro-
medio de producción del segundo
y cuarto año.
problemas resueltos

Exigimos más!
Resolución:
De acuerdo con el gráfico:
Analizando las alternativas:
A) Dice el promedio de los 3 últimos
años (6) supera al promedio del
total de años (7,8) ........... Falso
B) Dice que el promedio de los 4 pri-
meros años (7,5) supera el pro-medio
del total de años (7,8) ........ Falso
C) Dice que el promedio del segundo,
tercer y cuarto año (6) supera al
promedio de los últimos 3 años (6)
..................................... Falso
D) Dice que el promedio de producción
del segundo y cuarto año (7,5) es
mayor al promedio de los primeros
4 años (7,5) ...... Falso
E) Dice que el promedio del primery tercer
año (7,5) es igual al promedio del
segundo y cuarto año ........ Verdadero
Respuesta: E
Problema 2
Se entrevistó a 400 personas respecto
al uso de la computadora personal (PC).
Los resultados se muestran en los gráficos.
Gráfico I
Frecuencia de uso de la PC
% de personas
30%
20%
10%
nunca1-2 3-4 5-6 todos
los días
Frecuencia de uso
(días/semana)
30% 30%
20%
15%
5%
Gráfico II
Uso mas frecuente de la PC
15%
5%
108°
Procesador
de texto
Hoja de cálculo
Software
especial
Otro curso
Acceso a internet
20% 108°
De la información brindada concluimos:
I. El 70% de los entrevistados usa la PC.
II. Del total de entrevistados el 21%
usa la PC para procesar textos
III. La frecuencia de uso promedio es
mayor de 4 días por la semana.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVF
Resolución:
Indique verdadero (V) o falso según
corresponda.
% de personas
30%
20%
10%
nunca1-2 3-4 5-6 todos
los días
Frecuencia de uso
(días/semana)
30% 30%
20%
15%
5%
Esta información en una tabla será:
0
[1–2]
[3 –4]
[5–6]
7
xi
0
1,5
3,5
5,5
7
fi
30%
5%
15%
20%
30%
I. Entrevistados usa la PC = 70 % (V)
II. Usa PC para procesar textos =



108
(30%) 9%
360
(F)
III. Frecuencia promedio =
      

(0 30) (1,5 15) (5,5 20) (7 30)
3,8
100
Respuesta: D
Problema 1
A continuación se muestra la gráfica
que indica los gastos incurridos para
remodelar la casa de la familia Pérez:
Cemento
Pintura
Madera
Mano de
obra
S/.1900
S/.1000
S/.2800
S/.1500
S/.5800
Eléctricas
Señale la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F):
I. El porcentaje del costo total, que
fue dirigido a cemento y madera,
es 36,15%.
II. El gasto en pintura representa el
19,24% del gasto en mano de
obra.
III. La diferencia angular  ( – ) es de
36°.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FVF
Resolución:
La casa de la familia Pérez
Cemento
Pintura
Madera
Mano de
obra
S/.1900
S/.1000
S/.2800
S/.1500
S/.5800
Eléctricas
I.
    
 
Cemento Madera
100%
Total
    
 
1900 2800 100% 36,15%
13000
II.
 
  
 
Pintura
100%
Manode obra
    
 
1000 100% 17,24%
5800
III.
2800 28
360 36
13000 13
      
1500 15360 36
13000 13
      
28 –15
– 36
13
      
 
– 36   
I. V
II. F
III. V
Respuesta: B) VFV

conteo
En este capítulo estudiaremos los diversos métodos de
conteo que nos permitirán determinar la máxima cantidad
de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en
una figura dada. Es importante que quede establecido la
diferencia entre figura simple y figura compuesta.
I. FIGURA SIMPLE
Es aquella que no contiene otra figura en el interior.
Ejemplo:
A B, , , etc.
II. FIGURA COMPUESTA
Es aquella que esta conformada por figuras simples.
Ejemplo:
A BM , , , etc.
III. MÉTODOS DE CONTEO
A. Conteo por simple inspección
Contamos las figuras que nos solicitan de manera
directa, utilizando únicamente nuestra capacidad
de observación. En este caso no se lleva ningún
registro de lo que se va contando, teniendo solo a
nuestra memoria como aliado.
B. Método combinatorio
Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las
figuras simples que componen la figura dada y lue-
go se procede contar de manera ordenada y cre-
ciente. Es decir, figuras con 1 dígito, figuras de 2
dígitos y así sucesivamente.
En este caso si se lleva un registro de lo que se va
contando.
C. Conteo por inducción
Se aplica cuando la figura dada presenta una forma
ordenada y repetitiva. Se empieza analizando casos
pequeños parecidos a la figura principal.
1. Para segmentos, triángulos y cuadrilateros
2 3 4 5 61
2. Para triángulos:
1 2 3 4 5 6
3. Para cuadriláteros:
6
5
4
3
2
1
En general para figuras "iguales" consecutivas
empleamos la siguiente fórmula:
 n n 1
N de figuras iguales
2

 
Donde "n" nos indica el número de figuras
consecutivas.
DESARROLLO DEL TEMA

CONTEO
Exigimos más!
D. Conteo decuadriláteros en un enrejado
a
a - 1
a - 2
3
2
1 bb - 1b - 22 3
 n n 1
N de total de cuadrilateros
2

 
E. Conteo de Cuadrados
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7
Número total de cuadrados
= 5.7 + 4.6 + 3.5 + 2.4 + 1.3
F. Trazado de figuras
El problema principal es determinar si ua figura se
puede dibujar sin levantar el lápiz del papel y sin
pasar dos veces por la misma línea.
La solución a este problema la dio Loenardo Euler en
1736, cuando presentó un tratado sobre figuras
topológicas, a la Academóa de San Petersburgo y que
de manera infalible nos permite dar respuesta inmediata
a estos problemas sin necesidad de dibujarlas.
Su teoría se basa en los siguientes conceptos:
Vértice .............................
.............................
.............................
Vértice
Vértice .............................
.............................Par
.............................
Vértice par
1
2
3
4
Vértice .............................
.............................Impar
.............................
Vértice
impar
1
2
3
Una figura se podrá construir mediante un trazo
continuo, sin repetir 2 ó más veces una misma línea,
cuando:
I. Si todos sus vértices son pares.
II. Si tiene sólo 2 vértices impares.
III. Si tiene más de 2 vértices impares, la figura no
se puede dibujar de un solo trazo.
IV. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE
CONTEO
Veamos el siguiente caso: Carolina desea viajar de Lima
a Tacna y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5
líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede
realizar el viaje?
Lima Tacna
Va por tierra
(5 lineas)
Va por aire
(2 lineas)
Carolina puede elegir viajar por aire o por tierra, pero
evidentemente no puede viajar por ambas vías al mismo
tiempo. Luego:
Actividad A
(viaja por Tierra)
5 maneras
Actividad B
(viaja por aire)
2 maneras
o
= 7 maneras
Carolina tiene 7 maneras diferentes de realizar su viaje.
Podemos ahora en base a este ejemplo enunciar el
principio de adición.
A. Principio de Adición
Si una actividad A ocurre n maneras diferentes y
otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces
A o B ocurren de m + n maneras diferentes.
Ejemplo:
Laura desea comprar un televisor a crédito ha
preguntado en 3 tiendas comerciales donde le
ofrecieron 3, 5 y 6 sistemas de crédito
respectivamente. ¿De cuántas maneras puede
Laura comprar el televisor?
Resolución:
El televisor lo podrá adquirir en:
1ra.
tienda
o 2da.
tienda
3ra.
tienda
Principio
aditivo
3 + 5 + 6 = 14
Sistemas
de
crédito
Sistemas
de
crédito
Maneras
o
Sistemas
de
crédito
Se compran de 14 maneras diferentes.

Exigimos más!
CONTEO
Ejemplo:
Karina tiene 3 faldas: roja, azul y verde; también
tiene 2 blusas: blanca y crema. ¿De ciántas formas
diferentes puede vestirse utilizando dichas prendas?
Las formas son:
R
C
V
B
A
Blusa blanca falda roja
Blusa blanca falda azul
Blusa blanca falda verde
6 formas.
Blusa crema falda roja
Blusa crema falda azul
Blusa crema falda verde
 

 
 

 


 
Se observa que tienen 2 formas a elegir una blusa
para cada una de éstas tiene 3 formas más de elegir
falda.
Actividad A
(elegir blusa)
Actividad B
(elegir falda)
2 formas x 3 formas = 6 formas
 karina tiene 6 formas diferentes de vestirse.
B. Principio de Multiplicación
Si una actividad A se puede realizar de m maneras
y para cada una de estas maneras otra atividad B
se puede realizar de m x n maneras. En el principio
de multiplicación las actividades se realizan una a
continuación de otra o simultáneamente.
Ejemplo
De un grupo de 10 estudiantes, 4 varones y 6
damas, se va aa legir una pareja mixta para participar
en un concurso de baile. ¿De cuántas formas
diferentes se puede hacer dicha elección?
Resolución:
Se va a escoger una pareja.
Número de
formas:
Varones y Damas
4 x 6 = 24 formas.
 Se puede elegir de 24 formas una pareja mixta.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A
hacia C?
A B C
Resolución:
De "A" hacia "C", tengo que ir:
A hacia B y B hacia C
5 x 3 =15minutos
 Existen 15 maneras.

Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un
poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De
cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel,
teniendo en cuenta que no debe retroceder?
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define factorial de un número n al producto de los
números enteros y consecutivos desde la unidad hasta
n inclusive. Se denota por: n!
Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"
+
n!=1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n–1) n
n Z 
Ejemplo:
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
20! = 1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20
3
!
2
 
 
 
no existe; (–5)! no existe
Ejemplos de factoriales:
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320
9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 36 2880
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 36 228 800
Nota:
Por convención 0! = 1
II. DESARROLLOPARCIALDEUNFACTORIAL
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
7!
6!
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1


8! = 8 x 7!
8! = 8 x 7 x 6!
n! n(n 1)!
n! n(n 1)(n 2)!
 
  
III. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE
UN NÚMERO
a) Si n es un número par positivo.
n!!=2 x 4 x 6 x 8 x ... x (n– 2)n
6!! = 2 x 4 x 6 = 48
8!! = 2 x 4 x 6 x 8 = 384
b) n es un número impar positivo.
n!!=1 x 3 x 5 x 7 x ... x (n– 2)n
5!! = 1 x 3 x 5 = 15
7!! = 1 x 3 x 5 x 7 = 105
II. PERMUTACIONES
A. Permutación lineal
nP n!
Ejmeplo:
1. En una carrera 5 atletas, ¿de cuántas maneras
diferentes pueden llegagar a la meta?
DESARROLLO DEL TEMA
ANÁLISIS COMBINATORIO

Exigimos más!
Resolución:
P = 5 4 3 2 1 = 5 ! = 1 2 05 × × × ×
Nota:
Si las personas y los lugares son diferentes se deberá
de hacer los ordenamientos empezando por el
menor.
Ejemplo:
2. ¿De cuántas maneras se sientan 3 personas en una
fila de 6 asientos?
Resolución:
Como hay más personas que asientos se empezará
por el menor, es decir, por las personas.
Sean las personas A,B, C entonces:
6 × 5 × 4 = 120 formas
diferentes de
sentarse
A , B , C
II. PERMUTACIONES
A. Permutación circular
Se da cuando los elementos son distintos y se arreglan
u ordenan alrededor de un objeto o forman una línea
cerrada.
Ejemplo:
Si permutamos linealmente 3 personas nos deben
resultar P(3) = 3! = 6 maneras {ABC, ACB, BAC,
BCA, CAB, CBA}.
Pero si analizamos estas 6 maneras en forma circular:
 Sólo son 2 formas.
Se observa que ordenando circularmente no
importa el lugar que ocupa cada persona sino su
posición relativa respecto a los demás.
Para encontrar las diferentes permutaciones circu-
lares debemos tomar un elemento de referencia y
permutar a los demás.
"Hemos permutado circularmente a 3 personas".
Pc(3) = 2 = 2! = (3 – 1)!  Pc(3) = (3 – 1)!
En general las permutaciones circulares de n ele-
mentos será:
(n)Pc (n 1)! 
Ejemplo
Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se
sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas ma-
neras diferentes pueden hacerlo si Jorge y su no-
via desean estar juntos?
Resolución:
Primero ordenamos por separado y luego todos juntos
en forma circular:
 Existen 12 maneras.
B. Permutaciones con elementos repetidos
Se da cuando los elementos a ordenar no son dis-
tintos, es decir, hay un elemento o más de uno que
se repite.
Ejemplo
¿Cuántos arreglos diferentes se pueden realizar con
todas las letras de la palabra MAMÁ?
Resolución:
MAMA MAAM MMAA
6 formas
AMAM AMMA AAMM



"Hemos permutado 4 elementos donde 2 se repiten
y otros 2 también se repiten (las letras M)".
4
2,2
24 4!
6
4 2!x2!P   
En general:
1 2 3
n
k ,k ,k ...
1 2 3
n!
k !xk !xk !x...P 

Exigimos más!
Ejemplo
Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1
cubo amarillo. ¿De cuántas maneras pueden colo-
carse en fila?
Resolución:
Como existen elementos que se repiten aplicamos:
6
3R,2B
6!
60
3!X2!P  
 Se colocan de 60 maneras diferentes.
En General:
1 2 3
n
k ,k ,k
1 2 3
n!
P
k ! K ! k ! ....

  
Ejemplo
Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1
cubo amarillo. ¿Dé cuántas maneras pueden
colocarse en fila?
Resolución:
Como existen elementos que se repiten aplicamos:
6
3R,2B
6! 60
3!X2!P  
 Se colocan de 60 maneras diferentes.
VIII. COMBINACIONES
Ejemplo:
Armando está parado frente al buffet el cual consta
de arroz con pollo, cebiche, papa a la huancaína y chan-
fainita. Armando es aficionado a los "combinados". ¿De
cuántas maneras diferentes se puede preparar un
"com-binado" de tres comidas?
Resolución:
Supongamos que para encontrar los "combinados" de-
bemos realizar permutaciones con las 4 comidas tomán-
dolas de 3 en 3.
Sólo estos 4 combinados son diferentes porque difieren
en al menos una comida.
Entonces los combinados (combinaciones) de 4 comidas
tomadas de 3 en 3 son sólo 4.
4
4 3
3
4!
4!(4 3)!
4
6 3! 3!(4 3)!
P
C

   

4
3
4!
3!(4 3)!C 

En general las combinaciones de n elementos tomados
de K en K.
n
k
n!
0 k n
k!(n k)!C   

Las combinaciones son las diferentes formas de agrupar
a los elementos de un conjunto, tomando una parte de
ellos o todos a la vez.
En una combinación el orden de los elementos no de-
termina una forma diferente. Una combinación se dife-
rencia de otra si posee al menos un elemento diferente.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de
fulbito, si se dispone de 8 jugadores?
Resolución:
Equipos 8
6Fulbito
8!
# C
6!2!
8 7 6! 8 7
28
6! 2! 2 1
 
  
  
 

Exigimos más!
Observación:
Para reducir el calculo hay una forma practica de calcular
las combinaciones de n en k.
Ejemplo:
6
2
8
3
6 5
* C 15
2 1
8 7 6
* C 56
3 2 1
  
 
  
 
Es decir el valor de k para el primer ejemplo es 2, es
decir, deberá de colocarse dos factores arriba y dos
factores abajo y empezando por 6 en el numerador
por 2 en el denominador y de igual forma se puede
notar el registro ejemplo.
A. Propiedades
1) n
0C 1
2) n
nC 1
3) n
1C n
4) n n
k n k
6 6
4 2
8 8
5 3
C C
* C C
* C C



5) n n n n n n
0 1 2 3 nC C C C ... C 2     
Problema 1
Un examen consta de 12 preguntas
de las cuales el estudiante dwebe con-
testar 10. Si de las 6 primeras pregun-
tas debe contestar por lo menos 5,
¿Cuántas posibilidades de elegir 10 pre-
guntas tiene el estudiante?
UNI 2008 - I
Nivel intermedio
A) 50 B) 60 C) 51
D) 62 E) 61
Resolución:
Hay en total 12 preguntas. Por condición
sólo hay que contestar 10. Como de las
6 primeras se debe contestar al menos5
entonces se puede responder 5 ó 6 de
estas preguntas y de las 6 últimas hay
que elegir 5 ó 4 preguntas,
respectivamente.
Luego los casos serían:
(5 preg. y 5 preg) ó (6 preg. y 4 preg.)
Número 6 6 6 6
5 5 6 4de Casos
Número
de Casos
C C C C
6 6 1 15 51
   
    
Respuesta: C) 51
Problema 2
A la etapa final de un concurso de
cantantes, llegaron 5 mujeres y 4
hombres. Las reglas del concurso
indican que se van a premiar 3 mujeres
y 2 hombres de acuerdo al orden que
ocupen (primero, segundo o tercero).
considerenado los 9 finalistas, calcule
la cantidad total del posibilidades que
pueden conformar las posiciones de los
5 ganadores (premiados).
UNI 2009 - II
Nivel Intercambio
A) 60 B) 120
C) 360 D) 720
E) 1200
Resolución:
Calcula la cantidad totoal de
posibilidades que pueden conformar las
posiciones de los 5 ganadores.
Analisis de los datos o gráficos
• Total hombres = 5
• Hombres premiados = 3
• Total de mujeres = 4
• Mujeres premiadas = 2
Se aplicará una permutación de "n"
elementos tomados de "k" en "k"
 
n
k
n!
P
N K !


Hombres: Mujeres :
5
3P  4
2P
5! 4!
60 12 720
2! 2!
   
Respuesta: D) 720
Problema 3
Determine el número de trayectorias que
permiten ir de A hacia B sólo conm
desplazamientodhacia arribaoa laderecha.
A
B
UNI 2008 - I
Nivel Intermiedio
A) 196 B) 204
C) 225 D) 252
E) 260
Resolución:
Observación:
Para ir de A a B hay tres formas:
1
2
A
1
3
1
B
problemas resueltos

Exigimos más!
En el problema:
A
B1
1
1
1
1
6
5
4
3
2
21
15
10
6
3
56
35
20
10
4
126
70
35
15
5
252
126
56
21
6
1 1 1 1 1
Por lo tanto, el número de trayectoria
de A hasta B es 252.
Método Práctico:
A
B
1 2
2
n
m .........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
 Número de Formas
de ir de A hacia B
m n !
m! n!



En el problema:
m = 5 y n = 5.
Número de trayectorias
 5 5 ! 10!
5! 5! 5! 5!
10 9 8 7 6 5!

 
 
    

5! 120
252


Respuesta: D) 252

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