Tablas2

Manejo de tablas de integrales Versión 2.0
David Medina Hernández 2010
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ÍNDICE
Introducción 2
La tabla de integrales 4
Utilización inmediata de las fórmulas 12
Método de sustitución 16
Otras técnicas de integración 23
Aplicaciones 31
Anexo 1 41
Respuestas a los ejercicios 42
Bibliografía 46

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1. Introducción
El objetivo del presente trabajo es proporcionar al estudiante un repaso breve
acerca de los métodos de integración más usuales empleando una tabla de
integrales.
El concepto de integral es una de las herramientas matemáticas más utilizadas en
la ingeniería entre las que destacan obviamente el cálculo de áreas, volúmenes,
centros de gravedad, trabajo mecánico, presión hidrostática, entre otras. Así
mismo en las matemáticas mismas como lo son la probabilidad, el cálculo
multivariable, cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales, por lo que resulta
oportuno tener un manejo más o menos adecuado de las técnicas de integración
para cursos posteriores.
Por esta razón y atendiendo a la petición de la Academia de Ciencias Básicas en
2006 y 2007 se trabajó en un pequeño curso intersemestral del que salieron las
versiones 1 y 1.1 de este trabajo y es hasta este 2010 que se reescribe la versión
2.0 que mantiene el mismo espíritu de las versiones anteriores y de la cual se
harán breves modificaciones que más adelante se describen brevemente.
El contenido está diseñado según lo siguiente:
 En la primera sección se describe el uso de la tabla de integrales. En ella se
explica cómo se encuentran agrupadas las fórmulas, lo que permite su
rápida localización y posterior uso. Aunque existen muchas tablas de
integrales, la utilizada aquí es la proporcionada por la Dirección General de
Educación Superior Tecnológica (DGEST) para el Evento Nacional de
Ciencias Básicas (ENCB).
 En la segunda se utilizan las fórmulas de manera directa.
 La siguiente sección se repasa el método de sustitución, por lo que hay que
tener presente el proceso de derivación. En esta sección también se
reducen integrales que se pueden resolver por alguna de las fórmulas
empleando este método.
 La penúltima sección se refiere a otros artificios de integración, en la que se
mostrará la técnica de completar cuadrados, de realizar manipulaciones
algebraicas entre otras y que también son necesarias para enfrentarse con
un problema de esta índole.
 En la última sección se muestran las aplicaciones. En ella, se encuentran
aquellas clásicas como lo son el área, volumen de sólidos de revolución, se
introducen las integrales múltiples, las ecuaciones diferenciales de primer
orden, la transformada de Laplace y los coeficientes de Fourier.
Entre los cambios que se han realizado con respecto a las versiones anteriores
se encuentran las siguientes:

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 La primera de ellas es la explicación de cómo se encuentran agrupadas las
integrales en el formulario.
 Las ecuaciones en todos los ejemplos van numeradas para una fácil
referencia.
 Se integran comentarios adicionales acerca de la solución de cada uno de
los ejemplos.
 Respuestas a cada uno de los ejercicios planteados.
El desarrollo de este pequeño manual es de carácter práctico en un 95%, por lo
que en el presente sólo encontrarán ejemplos, los cuales están rotulados en azul.
Las fórmulas a utilizar también se resaltan y el término de la solución de un
ejemplo se termina con el símbolo .
Finalmente quiero expresar mi agradecimiento a todos aquellos que de una
manera directa o indirecta han inspirado, utilizado o criticado este material es sus
versiones anteriores, de manera particular y sin querer omitir a alguien, a la
Academia de Ciencias Básicas, ya que sin todos ustedes este pequeño esfuerzo
no hubiera sido posible.
Julio 2010

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2. La tabla de integrales
La tabla de integrales a utilizar es la siguiente:

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3. Utilización inmediata de las fórmulas
Ejemplo 1. Calcular   2
9 x
dx
.
Solución. Vamos a ocupar la fórmula
 


C
a
x
xa
dx 1
22
sin (0.1)
En este caso 3,92
 aa , por lo que según (0.1) se tiene que:
C
x
x
dx



 3
sin
9
1
2
. 
3 u
du
.
Solución. Se ocupa la fórmula
 




C
au
au
aua
du
ln
2
1
22
(0.2)
En este caso, 3,32
 aa , por lo que según (0.2) se tiene que:
  C
u
u
C
u
u
u
du







 3
3
ln
32
1
3
3
ln
32
1
3 2

Ejemplo 3. Determinar  
dt
t
t
52
.
Solución. Se emplea la fórmula
  Cbuaabua
b
du
bua
u

 ln
1
2
(0.3)
En este caso 2a  y 5b   , por lo que al ocupar (0.3)
 
    CttCttdt
t
t



 52ln252
25
1
52ln252
5
1
52 2


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Ejemplo 4. Hallar  
dx
x
x
34
.
  Cbuaabu
b
du
bua
u


 2
3
2
2
(0.4)
Aquí 4a  y 5b  , por lo que al sustituir en (0.4)
 
     CxxCxxdx
x
x


 3483
27
2
34423
33
2
34
2

Ejemplo 5. Evaluar  xdxx 2cos3sin .
Solución. Utilizaremos la fórmula
 
 
 
  





 C
ba
uba
ba
uba
buduau
2
cos
2
cos
cossin (0.5)
Puesto que ,2,3  ba por lo que al sustituir en (0.5)
 
 
 
 
CxxC
xx
xdxx 





 5cos
10
1
cos
2
1
232
23cos
232
23cos
2cos3sin 
Ejemplo 6. Encontrar  uduu sin3
.
Solución. Este ejemplo se refiere a las denominadas fórmulas de reducción, a
saber:
 

 uduunuuuduu nnn
coscossin 1
(0.6)
 

 uduunuuuduu nnn
sinsincos 1
(0.7)
  Cuuuuduu cossinsin (0.8)
En este caso 3n , por lo que aplicando (0.6) tenemos que
  uduuuuuduu cos3cossin 233
(0.9)

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Ahora bien, por (0.7),
  uduuuuuduu sin2sincos 22
(0.10)
pero por (0.8):
   uuuuuuuuuuuduu cos2sin2sincossin2sincos 222
,
y por lo tanto, sustituyendo (0.10) en (0.9):
 
Cuuu
uuuuCuuuuuuuuduu


sin6cos6
sin3coscos2sin2sin3cossin 23233

Ejemplo 7. Evaluar  dtte t5
.
  Ceau
a
duue auau
 1
1
2
(0.11)
En este caso, 5a , por lo que al usar (0.11)
    CetCetdtte ttt

55
2
5
15
25
1
15
5
1

Ejemplo 8. Determinar dxxe x
 5cos3
.
Solución. Se utiliza la fórmula
  

 Cbubbua
ba
e
budue
au
au
sincoscos 22
(0.12)
En este caso, 5,3  ba por lo que al ocupar (0.12)
    Cxx
e
Cxx
e
dxxe
xx
x


 5sin5cos3
34
5sin5cos3
53
5cos
3
52
3
3


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Ejemplo 9. Encontrar  tdtt ln3
.
Solución. Se aplica la fórmula
 
   



Cun
n
u
uduu
n
n
1ln1
1
ln 2
1
, con 3n ,
para obtener
 
     Ct
t
Ct
t
tdtt 



 1ln4
16
1ln13
13
ln
4
2
13
3

Ejercicios A
Encontrar las siguientes integrales.
1. 

du
u
uu
2
2
8
.
3.
  
2/32
8 t
dt
.
5.  xdxx 2cos4cos .
7.  dtte t9
.
9. 

ydyy 1
sin .
11.   dyyy 22
9 .
13.  
du
u
u
52
2
.
15. ydyy 22
cossin .
2.   2
5 x
dx
.
4.  xdx3
sin
6.  udu3
tan .
8.  dx
xxln
1
.
10. 

zdz1
sin .
12.
   xx
dx
75
.
14.  uduu sin4
.

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4. El método de sustitución.
El método de sustitución es un método muy eficaz para reducir el problema de
calcular una integral a una que se encuentra en la tabla de integrales.
Consiste en cambiar el nombre a una expresión a través de una igualdad y hacer
que aparezca la diferencial de esta expresión. Este método es el inverso de la
regla de la cadena para derivación.
De manera general el esquema es el siguiente:
1. Llamar mediante una letra (frecuentemente se usa la letra u) una expresión
en lo que se va a integrar.
2. Obtener la diferencial de esta expresión (se escribe du y se iguala a la
derivada de la expresión elegida en 1 y se le agrega el símbolo dx
(dependiendo de la letra que se deriva).
3. Se despeja dx (o la letra que se deriva) de la diferencial obtenida en 2.
4. Se sustituye lo que se obtiene en 1 y en 3 en la integral a calcular y se tiene
entonces una que se calcula ocupando la tabla.
5. Se regresa a la variable anterior (la que se deriva) mediante 1.
Ejemplo 1. Evaluar   dxx 
5
12 .
Solución. Hacemos 12  xu , de donde ,
2
,2
du
dxdxdu  de donde
     duu
du
udxx 555
2
1
2
12 (2.1)
Para resolver la última integral en (2.1) aplicamos la fórmula
C
n
u
duu
n
n




 1
1
Con 5n para obtener
65
6
1
uduu  (2.2)
Al sustituir (2.2) en (2.1) se tiene finalmente que
    CxCuCudxx 






6665
12
12
1
12
1
6
1
2
1
12 

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dx
x
x
12
.
Solución. Hacemos ,12
 xu de donde
x
du
dxxdxdu
2
,2  y así:
 












 u
du
x
du
u
xdx
x
x
2
1
2
1
12
(2.3)
Puesto que
  u
u
du
ln (2.4)
Entonces al sustituir (2.4) en (2.3) se tiene que
  CxCudx
x
x

 1ln
2
1
ln
2
1
1
2
2

Ejemplo 3. Encontrar  dx
x
e x
.
Solución. Se hace xu  , por lo que dxxdu
x
dx
du 2,
2
 y así:
    duedux
x
e
dx
x
e u
ux
22 . (2.5)
Puesto que
Cedue uu
 (2.6)
Entonces por (2.6) en (2.5)
CeCeduedx
x
e xuu
x
  222 
Ejemplo 4. Determinar
 dt
t
t
 2
/1sin
.

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Solución. En este caso, ,/1 tu  entonces   dutdtdttdu 22
,/1  , por lo que
      C
t
CuCuududut
t
u
dt
t
t
 
1
coscoscossin
sin/1sin 2
22

Ejemplo 5. Evaluar   94 2
z
dz
.
Solución. Se escribe primero
 
 

 9294 22
z
dz
z
dz
,
De donde se hace zu 2 y
2
,2
du
dzdzdu  y 3a , por lo que
C
z
C
u
u
du
u
du
z
dz













 3
2
sin
2
1
3
sin
2
1
32
1
3
2/
94
11
22222

Ejemplo 6. Hallar   32w
w
e
dwe
.
Solución. Nuevamente se aplica la misma ley referente a los exponentes del
ejemplo anterior, para que se escriba
  

 33 22 w
w
w
w
e
dwe
e
dwe
,
por lo que se hace w
eu  , por lo que w
w
e
du
dwdwedu  , y 3a , para encontrar
que
C
e
e
C
u
u
u
du
e
du
u
e
e
dwe
w
w
w
w
w
w
















  3
3
ln
32
1
3
3
ln
32
1
333 222

dx
x
xx
sin3
cossin2
.
Solución. Se pone xu sin , para determinar que xdxdu cos y así:

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du
u
u
x
du
u
xu
dx
x
xx
 








 3cos3
cos
sin3
cossin 222
.
Como
     Cbuaabuaabua
b
du
bua
u

 ln24
2
1 22
3
2
,
Entonces
 
       
     Cuuu
Cuuudu
u
u



3ln183123
2
1
3ln323343
12
1
3
2
22
3
2
Así
     Cxxxdx
x
xx

 sin3ln18sin312sin3
2
1
sin3
cossin 2
2

Ejemplo 8. Evaluar dxx 8tan3
.
Solución. En este caso, se hace dxduxu 8,8  , por lo que
duu
du
udxx  





 333
tan
8
1
8
tan8tan .
Puesto que
Cuuduu  coslntan
2
1
tan 23
,
Entonces
Cx
xCuuCuudxx








8cosln
8
1
8tan
16
1
cosln
8
1
tan
16
1
coslntan
2
1
8
1
8tan 2223

Ejemplo 9. Obtener  xdx3sec5
.
Solución. En este caso dxduxu 3,3  , de modo que
duu
du
uxdx  





 555
sec
3
1
3
sec3sec .
Ahora se utiliza la fórmula de reducción






 udu
n
n
uu
n
udu nnn 22
sec
1
2
sectan
1
1
sec (2.7)

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Se utiliza primero (2.7) con 5n para encontrar que
 




 
uduuuuduuuduu 3325255
sec
4
3
sectan
4
1
sec
15
25
sectan
15
1
sec (2.8)
Nuevamente se aplica (2.7) con 3n :
 




 
uduuuuduuuduu sec
2
1
sectan
2
1
sec
13
23
sectan
13
1
sec 23233
(2.9)
Puesto que   uuudu tanseclnsec , entonces (2.9) se transforma en
uuuuudu tansecln
2
1
sectan
2
1
sec3
 (2.10)
Al incluir (2.10) en (2.8)
Cuuuuuu
uuuuuuudu








tansecln
8
3
sectan
8
3
sectan
4
1
tansecln
2
1
sectan
2
1
4
3
sectan
4
1
sec
3
35
(2.11)
Como 3u x , (2.11) finalmente se transforma en
Cxx
xxxxCuuuuuu
Cuuuuuuuduxdx








 
3tan3secln
8
1
3sec3tan
8
1
3sec3tan
12
1
tansecln
8
1
sectan
8
1
sectan
12
1
tansecln
8
3
sectan
8
3
sectan
4
1
3
1
sec
3
1
3sec
33
355

Este último ejemplo, no sigue el esquema general presentado al principio de esta
sección. La diferencia estriba en que después de elegir la variable u hay que
despejar previamente para seguir con el procedimiento ya descrito.
Ejemplo 10. Encontrar  xdxx 5sin3
.
Solución. Se hace xu 5 , de donde
5
u
x  y
5
du
dx  , por lo que
 











 uduu
du
u
u
xdxx sin
625
1
5
sin
5
5sin 3
3
3
(2.12)

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Para determinar la última integral se utiliza
 

 uduunuuuduu nnn
coscossin 1
(2.13)
con 3n , de donde
  uduuuuuduu cos3cossin 233
(2.14)
Ahora se utiliza
 

 uduunuuuduu nnn
sinsincos 1
(2.15)
con 2n para obtener:
  uduuuuuduu sin2sincos 22
(2.16)
Para obtener la última integral en (2.16) se ocupa nuevamente (2.13) con 1n :
   uuuuduuuuduu sincoscoscossin ,
de modo que en (2.16):
   uuuuuuuuuuuduu sin2cos2sinsincos2sincos 222
,
y en (2.14):
 
u
uuuuuuuuuuuuuuduu
sin6
cos6sin3cossin2cos2sin3cossin 23233


y finalmente
      
Cxxxxxxx
Cxxxxxxxxdxx


5sin
625
6
cos
125
6
5sin
25
3
5cos
5
1
5sin65cos565sin535cos5
625
1
5sin
23
233


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Ejercicios B
Evaluar las siguientes integrales
1. 

xdxe x
4cos3
.
3. 

dxxx 21
sin .
5. 

dxxx 213
sin .
7.  xdx5
sec .
9.   x
x
e
dxe
2
1
.
11. dt
t
tt

4cos3sin
13.   yy
dy
45
.
15. .
2
tan 1


dz
z
z
2.  dxx 2/csc3
.
4.  
dx
x
xx
sin1
cossin
.
6.  xdxx 3cos2
.
8.  xdx2sin6
.
10. 

dxee xx 1
cos .
12. dx
x
x


2
2
4
94
14. dyy 5tan2
.

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5. Otras técnicas de integración
Cuando se integran funciones racionales, nos podemos encontrar con expresiones
del tipo cbxax 2
con 042
 acb ; expresiones de este tipo se denominan
irreducibles. En este caso, resulta útil completar el cuadrado perfecto y entonces
aplicar alguna de las fórmulas que se encuentran en la tabla ya descrita previa una
sustitución.
Para ver de una manera más detallada la aplicación de este proceso consultar el
anexo 1.
Ejemplo 1. Encontrar   522
zz
dz
.
Solución. La técnica es completar el cuadrado perfecto como sigue:
          4141215125252
22222
 zzzzzzzzz .
Por lo tanto:
  

 4152 22
z
dz
zz
dz
.
Ocupamos la sustitución dzduzu  ,1 y así
 
C
z
C
u
u
du
z
dz





 





 2
1
tan
2
1
2
tan
2
1
441
11
22

8 xx
dx
.
Solución. Completamos el cuadrado como
       22222
416168161616888  xxxxxxxxx .
Así:
 
 

 22
4168 x
dx
xx
dx
.
Hacemos la sustitución dxduxu  ,4 y así:
 
C
x
C
u
u
du
x
dx





 





 4
4
sin
4
sin
16416
11
22


Página 24 de 46
Ejemplo 3. Obtener
   xxx
dx
21 2
.
Solución. Completamos el cuadrado perfecto como sigue:
      1111222
2222
 xxxxxxx .
Entonces:
     
 

 11121 22
xx
dx
xxx
dx
.
Hacemos dxduxu  ,1 y así:
   
  CxCu
uu
du
xx
dx





 1secsec
1111
11
22

Ejemplo 4. Hallar   544 2
xx
dx
Solución. Se completa el cuadrado como sigue:
        612614415144544544
22222
 xxxxxxxxx .
Por lo tanto,
  

 612544 22
x
dx
xx
dx
.
Hacemos 2/,2,12 dudxdxduxu  , por lo que
 
C
u
u
C
u
u
u
du
u
du
x
dx




















 6
6
ln
64
1
6
6
ln
62
1
2
1
62
1
6
2/
612
222

Ejemplo 5. Evaluar dt
ee
e
tt
t
  822
.
Solución. Hacemos primero dtedvev tt
 , y así:
 

 8282 22
vv
dv
dt
ee
e
tt
t
.
Ahora bien
        9191218128282
22222
 vvvvvvvvv
y

Página 25 de 46
  

 9182 22
v
dv
vv
dv
.
Hacemos dvduvu  ,1 y
   
C
v
v
C
v
v
C
u
u
u
du
v
dv













 4
2
ln
6
1
31
31
ln
6
1
3
3
ln
32
1
991
22
.
Finalmente
C
e
e
dt
ee
e
t
t
tt
t




 4
2
ln
6
1
822

Algunas ocasiones es necesario separar el integrando para aplicar algunas de las
fórmulas, lo que se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 6. Hallar  

dx
x
x
2
1
23
.
Solución. Se procede a separar la integral como
  





222
1
2
1
3
1
23
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
.
La primera integral se resuelve por sustitución como sigue:
xdudxxdxduxu 2/,2,1 2
 y
22/1
2(1
2/1
2
1
2/12
1
2
1
2
1
21
xu
u
duu
u
du
x
du
u
x
dx
x
x
















.
La segunda integral es




x
x
dx 1
2
sin
1
,
por lo que
  CxxCxxdx
x
x


 

1212
2
sin213sin213
1
23

Ejemplo 7. Evaluar dx
x
x


2
cos
sin1
.
Solución. Se procede a separar la integral como

Página 26 de 46
  

dx
x
x
dx
x
dx
x
x
222
cos
sin
cos
1
cos
sin1
.
Puesto que
xx
xx
x
x
x
x
x
tansec
cos
1
cos
sin
cos
sin
,sec
cos
1
2
2
2
 .
Por lo tanto
  Cxxxdxxxdxdxxxxdx
x
x


 sectantansecsectansecsec
cos
sin1 22
2

Ejemplo 8. Obtener  ydyyy tansecsin .
Solución. Puesto que
y
y
y
y
y
cos
sin
tan,
cos
1
sec  ,
Entonces
dy
y
y
dy
y
y
y
yydyyy  











 2
2
cos
sin
cos
sin
cos
1
sintansecsin .
Como 1cossin 22
 yy , entonces yy 22
cos1sin  , por lo que
 











Cyydyydy
dydy
y
dy
y
dy
y
y
dy
y
y
ydyyy
tansec
cos
1
1
cos
1
cos
cos1
cos
sin
tansecsin
2
222
2
2
2

Algunas otras formas en las que se ocupan otros medios se encuentran en los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 9. Calcular   dxxx
6
2  .
Solución. Hacemos 2 xu , de donde dudxux  ,2 y así
     
    Cxx
Cuuduuduuduuuduuudxxx

 
78
7867676
6
2
7
2
2
8
1
7
2
8
1
2222


Página 27 de 46
Ejemplo 10. Evaluar 

dxx1
sin .
Solución. Se hace xu  , de donde ududxux 2,2
 , por lo que
 
C
xx
x
x
C
uu
u
u
C
uu
u
u
uduuuduudxx
















 






2
sin
2
12
2
1
sin
2
12
4
1
sin
4
12
2sin22sinsin
2
1
2
1
2
2
1
2
111

Ejemplo 11. Hallar dx
x
x
 1
.
Solución. Como   111  xx , entonces
 
1
1
1
1
111
1 




 xx
x
x
x
,
por lo que
Cxx
x
dx
dxdx
x
dx
x
x










  1ln
11
1
1
1

Ejemplo 12. Encontrar dx
x
x
 1
2
2
3
.
Solución. Como   xxxx 2122 23
 , entonces
 
Cx
xdx
x
x
xdxdx
x
x
xdx
x
xxx
dx
x
x














  
1ln
1
2
2
1
2
2
1
212
1
2
2
2
222
2
2
3

Ejemplo 13. Determinar dx
xx
x
  12
.
Solución. Primero completamos el cuadrado perfecto de esta manera:
  4
3
2
1
4
3
4
1
4
1
1
4
1
11
2
2222
























 xxxxxxxxx .
Por lo tanto,

Página 28 de 46
 
dx
x
x
dx
xx
x
 

 4/32/11 22
.
Hacemos ahora 2/1 xu , de donde dudxux  ,2/1 , por lo que la última
integral se transforma en:
   






 4/32
1
4/34/3
2/1
4/32/1
2222
u
du
du
u
u
du
u
u
dx
x
x
.
Puesto que
1ln
2
1
4
3
ln
2
1
4/3
22
2

 xxudu
u
u
,
Y
 





 






 

















3
12
tan
3
2
3
2/12
tan
3
2
3
2
tan
3
2
2/3
tan
2/3
1
4/3
1
111
2
x
xuu
u
du
Entonces
C
x
xxC
x
xxdx
xx
x





 














 





3
12
tan
3
1
1ln
2
1
3
12
tan
3
2
2
1
1ln
2
1
1
1
212
2

Ejemplo 14. Determinar
 
  
dx
xx
xxxx
 
 
22
312
119
93tan1
.
Solución. Manipulamos el integrando como sigue
 
  
   
    22
1
22
212
22
312
119
3tan
119
193tan1
119
93tan1








 
x
x
x
x
xx
xxxx
xx
xxxx
.
En consecuencia
 
      
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
xx
xxxx
 















 
22
1
22
1
22
312
119
3tan
119
3tan
119
93tan1
.

Página 29 de 46
Para la primera integral del lado derecho se hace ,
91
3
,3tan 2
1
dx
x
duxu

 
por
lo que
 2122
2
22
1
3tan
6
1
6
1
2
1
3
1
3
1
3
91
1919
3tan
xuuududu
x
x
u
dx
x
x 












 


  .
Para la segunda integral, hacemos dudxuxxu  ,1,1 y
 
1
1
1ln
1
ln
1
ln
111
1
1
3222















 
x
x
u
u
u
u
u
du
u
du
du
uu
du
u
u
dx
x
x
En consecuencia
 
  
  C
x
xxdx
xx
xxxx




 

 1
1
1ln3tan
6
1
119
93tan1 21
22
312


Página 30 de 46
Ejercicios C
Evaluar las siguientes integrales
1.   3xx
dx
3.   dpp2
25
5. dr
r
r
  2
2
4
7. 

xdxx 1
cos
9.
 
dx
x
xx
 

22
2
3
6
11. dx
x
x

2
13.  
dx
xx
x
sectan
tan
15.   842
yy
dy
17.   34 2
xx
dx
19.  
dx
x
x
42
2
21.   422

d
23. dx
x
x
  2
sin1
cos
25. dm
mm
  449
8
2
2. dx
x
x


2
49
4.    dxxx
3
57
6. dt
t
t

 43
8.  dppsin
10. 

dyy1
tan
12.  

dy
y
y
4
12
2
14.  
dx
x
x
4
2
16.   542
tt
dt
18. dx
x
x
 

12
34 2
20.
 
 

dx
x
x
2
1
1
sincos
22. dx
x
xx


2
sin
sincos2
24. dx
xx
x
  122
3

Página 31 de 46
6. Aplicaciones
Para realizar las aplicaciones de la integral hay que entender correctamente el
siguiente enunciado.
Teorema (Fundamental del Cálculo, segunda parte). Si f es continua en [a,b] y
F es una antiderivada de f, i. e. )()(' xfxF  para x en [a,b], entonces
 
b
a
aFbFdxxf )()()( .
Puesto que  dxxf )( es una antiderivada de )(xf , entonces el teorema anterior
nos dice que hay que encontrar la integral indefinida y luego evaluarla en los
extremos según lo que afirma este enunciado.
Usualmente se ocupa la siguiente notación para el cálculo de integrales definidas:
b
a
b
a
dxxfdxxf   )()( .
Ejemplo 1 (Área). Calcular el área limitada por las curvas 2
xy  y xy  2 .
Solución. Una gráfica (figura 1) nos determina que el área buscada es:
Figura 1

Página 32 de 46
  
2
9
2
1
5
2
1
38
3
8
2
4
3
1
2
1
2
3
8
24
3
1
2
1
2
3
1
2
1
22
1
2
32
1
2
2





















 xxxdxxx

Ejemplo 2 (Trabajo). Cuando una partícula se ubica a una distancia de x pies del
origen, una fuerza dada por xx 22
 actúa sobre ella. Calcular el trabajo que se
realza al mover la partícula desde 1x hasta 3x .
Solución. El trabajo está dado por 
b
a
dxxFW )( , donde F representa la fuerza y
los extremos representan las posiciones en las que se mueve la partícula.
Así que
  3
50
8
3
26
1
3
1
9
3
27
1
3
1
33
3
1
3
1
2 23
3
1
23
3
1
2


















  xxdxxxW 
Ejemplo 3 (Integrales múltiples). Así como la integral definida representa el área
de una función de una variable y que es no negativa, las integrales dobles
representan volúmenes de superficies, esto es, la gráfica de una función f de dos
variables usualmente x y y que toman valores entre intervalos cerrados, por
ejemplo a x b  , c y d  . Este tipo de integral múltiple se escribe como
( , )
d b
c a
f x y dxdy  (3.1)
en la que se aprecia el orden en que se escriben los límites de integración, en la
primera integral de izquierda a derecha se ponen los de la letra que dice el último
diferencial que en este caso es dy.
De esta manera la integral (3.1) es equivalente a
( , )
b d
a c
f x y dydx  (3.2)
La manera de encontrar su valor (o evaluarlas) es a través de lo que se llama las
integrales iteradas. Por ejemplo para encontrar el valor de (3.2), se resuelve
primero la integral interna, esto es con respecto a y, considerando a x como
constante. Una vez realizada se encuentra la integral exterior esto es con respecto
a x. En esta última se tiene una integral que sólo depende de esa letra.
De manera análoga la integral en (3.1) se calcula primero con respecto a x,
considerando a y constante. Una vez realizada ésta se calcula con respecto a y.

Página 33 de 46
A manera de ejemplo, se calculará  
1 2
2
0 1
xy y dxdy  .
Solución. Primero se encuentra  
2
2
1
xy y dx .
El proceso es el siguiente:
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2 2
1
1
2 2 2
2 1
2
2 2 2
1 3
2 2
2 2
x
x
x
xy y dx y xy y y y y
y y y y y y


        
               
        
 
     
 

Este último resultado se pone en la integral con respecto a y, esto es ahora se
calcula
1
2
0
3
2
y y dy
 
 
 
 . Finalmente:
11
2 2 3
0 0
3 3 1 3 1 13
2 4 3 4 3 12
y
y
y y dy y y


   
        
   
 
Ejemplo 4 (Ecuaciones diferenciales separables). Una ecuación diferencial es
una ecuación que contiene una o más derivadas de una función desconocida. El
orden de una ecuación diferencial está determinada por el orden de la derivada de
mayor grado. Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida
depende de una sola variable; es parcial si la función desconocida depende de
dos o más variables y se consideran sus derivadas parciales.
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al sustituirse en la
ecuación dada, produce una identidad.
El tipo más simple de ecuaciones de primer orden son las separables, cuya forma
es
)()( yx
dx
dy
 ,
Cuya solución se obtiene escribiéndola como
dxx
y
dy
)(
)(


 ,
e integrando esta última relación, esto es la solución general es

Página 34 de 46
  dxx
y
dy
)(
)(


.
Como ejemplo, resolveremos
2
2
1 y
x
dx
dy

 .
Para resolverla, escribimos la ecuación como
  dxxdyy 22
1 
que al integrar da
 
Cxyy
dxxdyy

 
33
22
3
1
3
1
1
Ejemplo 5 (Ecuación separable). Resolver yx
e
dx
dy 23 
 .
Solución. Puesto que yxyx
eee 2323

, escribimos la ecuación como
dxedye
dxe
e
dy
ee
dx
dy
xy
x
y
yx
32
3
2
23




que al integrar da
Cee
dxedye
xy
xy





32
32
3
1
2
1 
Ejemplo 6 (Ecuaciones lineales). Una ecuación lineal de primer orden puede
escribirse en la forma
)()(' xgyxpy  , (3.3)
donde p y g son funciones dadas. Si g es idénticamente cero se dice que (3.3) es
homogénea. En otro caso se dice que es no homogénea.
En el caso de una ecuación no homogénea, la solución está dada por:




 


dxxpdxxp
eexgCxy
)()(
)()( ,
cuya construcción se realiza mediante los siguientes pasos:

Página 35 de 46
I. Identificar )(xp
II. Calcular Idx.
III. Escribir II
e .
IV. Identificar )(xg y hacer IIIxg *)( .
V. Calcular IVdx.
VI. Escribir VC  .
VII. Escribir II .
VIII. Escribir VII
e .
IX. Solución general: VIIIVIy * .
A manera de ejemplo resolveremos
22
3 xyx
dx
dy
 .
Aplicaremos los nueve pasos ya descritos, a saber:
I. 2
3)( xxp  .
II. 32
3 xdxx  .
III.
3
x
e
IV. 2
)( xxg  ,   33
22 xx
exex  .
V.
33
3
12 xx
edxex 
VI.
3
3
1 x
eC  .
VII. 3
x .
VIII.
3
x
e
.
IX. Solución:
3
1
3
1 333






  xxx
CeeeCy 
Ejemplo 7 (Transformada de Laplace). Sea )(tf dada para 0t . La
transformada de Laplace de f, que se denotará por  )(tfL o )(sF se define por
  



0
)()()( dttfesFtfL st
,
donde la integral en el lado derecho se denomina integral impropia y se define por






a
st
a
st
dttfedttfe
00
)(lim)( ,
esto es como un límite de integrales definidas.
Calculemos la transformada de Laplace de la función definida por 0,1)(  ttf .

Página 36 de 46

s
e
ss
e
s
dtedteL as
a
a
st
a
a
st
a
st 111
lim
1
limlim1
000






 







 
Para ver que el límite a infinito de una exponencial negativa, la figura 2 muestra la
gráfica de x
ey 2
 generada en Maple.
Figura 2. Gráfica de una exponencial negativa
Ejemplo 7 (Transformada de Laplace). Determinar  bt
eL .
Solución. Tenemos que
         
 
bssbsb
e
sb
e
sb
e
sb
dtedtedteeeL
abs
a
at
t
tbs
a
at
t
txb
a
a
txb
a
txbbtstbt
































1111
lim
1
lim
1
limlim
00000

Ejemplo 8. (Transformada de Laplace). Determinar  btL sin .
Solución. Tenemos que:
   
  222222
0
22
00
cossinlim
cossinlimsinlimsinsin
bs
b
bs
b
abbabs
bs
e
btbbts
bs
e
btdtebtdtebtL
as
a
at
t
st
a
a
st
a
st
































Página 37 de 46
Figura 3. Gráfica de la función )sin2(cos3
xxey x
 
Ejemplo 9 (Coeficientes de Fourier). Supongamos que f está definida en el
intervalo   x y que   )(2 xfxf   .
La serie de Fourier de f está dada por
 



1
0
sincos
2 n
nn nxbnxa
a
,
donde




,...2,1,0,cos)(
1
nnxdxxfan
y




,..3,2,1,sin)(
1
nnxdxxfbn
que se denominan coeficientes de Fourier.
Las siguientes consideraciones son útiles para calcular los coeficientes de Fourier.
1. Si f es par, esto es )()( xfxf  sobre ],[  , entonces
0
,cos)(
2
,)(
2
0
0
0





n
n
b
nxdxxfa
dxxfa





Página 38 de 46
Figura 4. Gráfica de una función par
2. Si f es impar, esto es )()( xfxf  sobre ],[  , entonces



 0
sin)(
2
0
nxdxxfb
a
n
n
Figura 5. Gráfica de una función impar
Como ejemplo, calculemos los coeficientes de Fourier de xxf )( con x en
],[  . Puesto que f es impar, entonces

Página 39 de 46


 0
sin
2
nxdxxbn .
Primero se calcula  nxdxxsin . Para obtenerla se hace ndudxnuxnxu /,/,  ,
por lo que:
 
nxx
n
nx
n
nxnx
n
nx
n
uu
n
u
n
uuu
n
uduu
nn
du
u
n
u
nxdxx
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
cossin
1
sin
1
sinsin
222
2222













 
En consecuencia
0sin
1
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
sin 22
0
2
0 n
n
n
n
n
nxx
n
nx
n
nxdxx 





 

.
Puesto que 0sin n y  n
n 1cos  , entonces
    1
0
11
1
sin


nn
nn
nxdxx



.
Así:
    11
0
1
2
1
2
sin
2 






 
nn
n
nn
nxdxxb




Ejemplo 10 (Coeficientes de Fourier). Hallar los coeficientes de Fourier de
2
)( xxf  con x en ],[  .
Solución. Puesto que f es par, entonces
0
cos
2
3
2
3
12
3
122
0
2
2
3
0
3
0
2
0













n
n
b
nxdxxa
xdxxa






Como en el ejemplo anterior, calcularemos  nxdxx cos2
.
Hacemos nxu  y así:
 











 uduu
nn
du
u
n
u
nxdxx cos
1
coscos 2
3
2
2
.

Página 40 de 46
Ahora bien
  uduuuuuduu sin2sincos 22
,
y como
   uuuuduuuuduu sincoscoscossin ,
entonces
  uuuuuuuuuuuduu sin2cos2sinsincos2sincos 222
 .
Por lo tanto:
    
nx
n
nxx
n
nxx
n
nxnxnxnxnx
n
uuuuu
n
nxdxx
sin
2
cos
2
sin
1
sin2cos2sin
1
sin2cos2sin
1
cos
3
2
2
3
2
3
2


Así
  1
2
2
2
0
3
2
0
2
1
2
sin
2
cos
2
sin
1
sin
2
cos
2
sin
1
cos









n
n
n
n
n
n
n
n
nx
n
nxx
n
nxx
n
nxdxx



En consecuencia
    1
2
1
2
1
4
1
22 





nn
n
nn
a 



Página 41 de 46
Anexo 1. Completar el cuadrado perfecto
Para completar el cuadrado perfecto de una expresión de la forma 2
x bx c  , se
procede de la siguiente manera:
1. Se toma el valor (con todo y signo) del factor que contiene la potencia 1, es
decir b.
2. Se divide este valor por 2, esto es se obtiene
2
b
.
3. Se eleva esta cantidad al cuadrado para obtener
2 2
2 4
b b 
 
 
.
4. Se suma y se resta este valor de la siguiente manera
2 2
2
4 4
b b
x bx c
   
      
   
.
5. Se factoriza la primera parte de la suma anterior y se escribe finalmente
2 2
2 4
b b
x c
  
    
   
.
Ejemplo. Aplicar el procedimiento a la expresión 2
6 7x x  .
1. El valor que se toma es 6.
2. Se realiza la operación
6
3
2
 .
3. Se eleva al cuadrado el resultado del paso 2, esto es 2
3 9 .
4. Se escribe      2 2
6 9 7 9 6 9 16x x x x         .
5. Finalmente 𝑥2
+ 6𝑥 − 7 = (𝑥 + 3)2
− 16 .

Página 42 de 46
Respuestas
A
1.
2
12 8 4
cos
4
u u u
C
u
  
   
 
2. 11
tan
5 5
x
C  
 
 
3.
2
8 8
t
C
t


4.  21
2 sin cos
3
u u C  
5.
sin2 sin6
4 12
x x
C 
6. 21
tan ln cos
2
u u C 
7.   91
9 1
81
t
t e C 
8. ln ln x C
9.
22
1 12 1
sin
4 4
y yy
y C 
 
10. 1 2
sin 1z z z C
  
11.  2 2 29
9 2 9 ln 9
8 8
y
y y y y C     
12.
1
ln
5 5 7
x
C
x


13.  22
32 75 40 2 5
1875
u u u C   

Página 43 de 46
14. 4 3 2
cos 4 sin 12 cos 24cos 24 sinu u u u u u u u u C    
15.
3
sin cos 1 1
sin 2
4 8 16
y y
y y C   
B
1.  
3
3cos4 4sin 4
25
x
e
x x C

  
2. csc cot ln csc cot
2 2 2 2
x x x x
C
       
          
       
3. 2 1 2 41
sin 1
2
x x x C
  
4.  
2
sin 2 1 sin
3
x x C  
5.
4 2 4
1 22 1 1
sin
8 8
x x x
x C 
 
6. 21 2 2
sin3 sin3 cos3
3 27 9
x x x x x C  
7. 31 3 3
tan sec sec tan ln sec tan
4 8 8
x x x x x x C   
8. 5 31 5 15 15
sin 2 cos2 sin 2 cos2 sin2
12 48 96 192
x x x x x x C    
9. 1
sin x
e C

10. 1 2
cos 1x x x
e e e C
  
11.
1
cos cos7
7
t t C  
12. 2 11 3 3
4 9 cos
2 2 2
x C
x

  

Página 44 de 46
13.
3 41
ln
2 7 4
y
C
y



14.
1
tan5
5
y y C 
15.
2
14
2 tan
4 2
z z
z C 
  
 
C
1.
2
√3
𝑡𝑎𝑛−1
(√
𝑥−3
3
) + 𝐶
2. −
√9−4𝑥
𝑥
−
2
3
𝑙𝑛 |
√9−4𝑥−3
√9−4𝑥+3
| + 𝐶
3. 𝑠𝑖𝑛−1 𝑝
5
+ 𝐶
4.
(7𝑥+5)5
245
−
5(7𝑥+5)4
196
+ 𝐶
5. −
𝑟
2
√4 − 𝑟2 + 2𝑠𝑖𝑛−1 𝑟
2
+ 𝐶
6. 2√3𝑡 − 4 − 4𝑡𝑎𝑛−1 √3𝑡−4
2
+ 𝐶
7.
2𝑥2−1
4
𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 −
𝑥√1−𝑥2
4
+ 𝐶
8. 2𝑠𝑖𝑛√ 𝑝 − √ 𝑝𝑐𝑜𝑠√ 𝑝 + 𝐶
9. −
𝑥
2( 𝑥2+3)
+
1
2√3
tan−1 𝑥
√3
−
3
𝑥2+3
+ 𝐶
10. ( 𝑦 + 1)tan−1
√ 𝑦 − √ 𝑦 + 𝐶
11. √2𝑙𝑛 |
√2−𝑥−√2
√2−𝑥+√2
| + 2√2 − 𝑥 + 𝐶
12. 𝑙𝑛( 𝑦2
+ 4) −
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 𝑦
2
+ 𝐶

Página 46 de 46
Bibliografía
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[2] Stewart James, Cálculo Diferencial e Integral, Thomson.
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Thomson Learning.
[7] Boyce Di Prima, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la
frontera, Noriega.
[8] Medina David, Valera Fabián, Diplomado: Aplicación de Software para la
Enseñanza de las Ciencias Básicas, Versiones 2009 y 2010, Dirección General de
Educación Superior Tecnológica.

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