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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Ing. César Canelo Sotelo
Contenido del curso
• Teoría de redes
• El problema del árbol de expansión mínima
• El problema de la ruta más corta
• El problema de flujo máximo
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• Administración de proyectos: ruta crítica
determinística, ruta crítica probabilística, optimización
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• Programación dinámica
• Proceso de Jerarquía analítica
• Teoría de colas
SISTEMA DE EVALUACIÓN: G
• Promedio de prácticas (PP)
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BIBLIOGRAFÍA
• Investigación de Operaciones - Winston
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• Introducción a la Investigación de
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TEORÍA DE REDES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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GRÁFICAS
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interpretan en forma adecuada proporcionan
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tipo de estructura. Son de utilidad porque
muestran las conexiones o relaciones entre
varias partes de la estructura. Ejemplos:
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GRÁFICA DE ORDEN n
• Una gráfica es un par ordenado G = (X, A),
donde X ≠ Ø , es finito.
• X se denomina conjunto de vértices o nodos.
• Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y
tiene como elementos a pares de vértices de
X. Los arcos unen a todos o algunos de los
vértices xi, xj Є X.
GRAFICAS ORIENTADAS
• Una gráfica orientada G consiste en un
conjunto de vértices o nodos X y un conjunto
de arcos A.
• Para denotar un arco u, se requiere definir el
concepto de extremo.
Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define:
xi : Extremo inicial o predecesor.
xj : Extremo final o sucesor.
GRÁFICAS ORIENTADAS
El arco u = (xi, xj ) también se expresa como:
xi xj
Y se representa como:
Cola Cabeza
Xi Xj
GRÁFICAS ORIENTADAS
U1 U2 U5
U3 U4
U6
Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son:
X = x1, x2, x3, x4, x5
A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3)
A = u1, u2, u3, u4, u5, u6
X1
X3
X2
X4
X5
GRÁFICAS ORIENTADAS
• ARCOS ADYACENTES
Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice
en común.
Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes.
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Dos vértices son adyacentes si son diferentes
y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o
de Xj a Xi.
Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.
GRÁFICAS ORIENTADAS
• ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE
Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a
dicho vértice o sale del mismo.
Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice
que el arco u es incidente hacia el exterior de
Xi. En caso contrario, se dice que u es
incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos:
Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5
Hacia el interior de X3: u4
GRÁFICAS ORIENTADAS
u1 u2 u5
u3 u4
u6
x1
x3
x2
x4
x5
ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la
gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente
a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y.
El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el
exterior, se representa por W⁺ (Y) .
Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es
incidente hacia el interior de Y, y se
representa por W⁻ (Y) .
ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto:
Y = x3, x4
Entonces:
W⁺ (Y) = u2, u3, u6
W⁻ (Y) = u4
Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como:
W (Y) = u2, u3, u4, u6
U2 U5
U1
U3 U4
U6
Gráfica orientada
X1
X2
X3
X4
X5
GRÁFICAS
• SUBGRÁFICAS
Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráfica
constituida por Y subconjunto de X y por arcos de A
que unen vértices de Y. No intervienen todos los
vértices de X, en consecuencia sólo intervienen los
arcos de A que unen los vértices de Y.
• GRAFICA PARCIAL
Una gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituida
por el conjunto de vértices de X y por B subconjunto de
A. Intervienen todos los vértices de X de la gráfica
original.
GRÁFICAS ORIENTADAS
• CAMINO
Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el
cual el extremo final de cada arco coincide con el
extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos:
Camino representado por arcos Camino representado por los vértices
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GRÁFICAS ORIENTADAS
• CAMINO SIMPLE
Es un camino que no utiliza más de una vez el
mismo arco.
• CAMINO ELEMENTAL
Es un camino que no utiliza más de una vez el
mismo vértice.
• LONGITUD DE UN CAMINO
Es el número de arcos que contiene el camino y
se representa por ℓ(u).
Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.
x3
x1
x2
x5
x4
u1 u2
u3
u4
u5
u6
GRÁFICAS ORIENTADAS
• CIRCUITO
Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el
que el vértice inicial X1 es igual al vértice final
Xk.
Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito.
• ANILLO
Es un circuito constituido por un solo vértice y
con un solo arco.
Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.
REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS
• Para la representación de gráficas orientadas
se pueden emplear varias estructuras de
datos. Una representación común es la matriz
de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se
supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de
adyacencia para G es una matriz B de orden
nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j]
es verdadero sí y solo sí, existe un arco que
vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1
para verdadero y 0 para falso.
Ejemplo
1
4
2
3
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 2 3 4
1
2
3
4
GRÁFICAS NO ORIENTADAS
En las gráficas no orientadas los conceptos de
arco, camino y circuito, se sustituyen por arista,
cadena y ciclo.
ARISTA
Se denomina arista de una gráfica no orientada G
a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj,
con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A.
O sea, es el segmento que une dos vértices
adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial
y final.
GRÁFICA NO ORIENTADA
En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones:
(Xi, Xj) y (Xj, Xi)
X1 X2
X3X5
X4
GRÁFICAS NO ORIENTADAS
• CADENA
Es una secuencia de aristas.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena.
• CICLO
Es una cadena finita en el que coinciden los
vértices inicial y final.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)
REPRESENTACIÓN
También se puede usar la matriz de
adyacencia. Ejemplo:
a b
d c
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
a b c d
a
b
c
d
REDES DE TRANSPORTE
DEFINICIÓN
Se denomina red de transporte al grafo finito, sin
anillos, donde se cumple que:
a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0
llamado capacidad del arco.
b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 ,
este vértice se llama fuente o entrada de la red.
c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 , este
vértice se llama destino o sumidero de la red.
REDES DE TRANSPORTE
• FLUJO
Es una función entera Ø(u), definida sobre el
conjunto A de arcos. Esta función es un flujo para
una red de transporte si satisface:
0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A.
La función Ø(u) puede considerarse como la
cantidad de materia que fluye por el arco u.
Como la cantidad de materia que entra es igual a
la que sale, entonces para todo nodo se cumple:
Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale
REDES DE TRANSPORTE
• ARCO SATURADO
Se dice que un arco u Є A está saturado si:
Ø(u) = c(u)
• FLUJO COMPLETO
Un flujo es completo si todo camino que va de
la fuente al destino contiene al menos un arco
saturado.
Ø(u)
c(u) 1 0
c(u)- Ø(u) 2 1
0 2
2 2
RED DE TRANSPORTE
X1
Xs Xt
X2
3 1
42
RED DE TRANSPORTE
• CORTE
Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices,
que contiene al destino Xt y no contiene a la
fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes
hacia el interior de Y) se le denomina corte de la
red.
Un corte de una red, es un conjunto de arcos
cuya ausencia desconectaría completamente a la
red.
Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces
el corte correspondiente a Y está dado por:
W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }
CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE
x1
xtxs
x2
3 1
42
REDES DE TRANSPORTE
• CAPACIDAD DE CORTE
Se denomina así a la expresión:
C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y)
Al definirse la capacidad de un corte se toma
en cuenta la dirección de los arcos del corte.
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G R A C I A S

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Teoria redes

  • 1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ing. César Canelo Sotelo
  • 2. Contenido del curso • Teoría de redes • El problema del árbol de expansión mínima • El problema de la ruta más corta • El problema de flujo máximo • El problema de flujo de costo mínimo • Administración de proyectos: ruta crítica determinística, ruta crítica probabilística, optimización de proyectos • Programación dinámica • Proceso de Jerarquía analítica • Teoría de colas
  • 3. SISTEMA DE EVALUACIÓN: G • Promedio de prácticas (PP) • Examen parcial (EP) • Examen final (EF) Promedio final = (PP + EP + EF)/3
  • 4. BIBLIOGRAFÍA • Investigación de Operaciones - Winston Wayne • Introducción a la Investigación de Operaciones - Hillier y Lieberman • Investigación de Operaciones – H. Taha • Investigación de Operaciones: El arte de la toma de decisiones – Mathur y Solow • Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa – Eppen Gould
  • 5. TEORÍA DE REDES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ing. César Canelo Sotelo
  • 6. GRÁFICAS Las gráficas son diagramas que si se interpretan en forma adecuada proporcionan información que se utiliza para describir cierto tipo de estructura. Son de utilidad porque muestran las conexiones o relaciones entre varias partes de la estructura. Ejemplos: mapas de carreteras, rutas de itinerario aéreo, etc.
  • 7. GRÁFICA DE ORDEN n • Una gráfica es un par ordenado G = (X, A), donde X ≠ Ø , es finito. • X se denomina conjunto de vértices o nodos. • Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y tiene como elementos a pares de vértices de X. Los arcos unen a todos o algunos de los vértices xi, xj Є X.
  • 8. GRAFICAS ORIENTADAS • Una gráfica orientada G consiste en un conjunto de vértices o nodos X y un conjunto de arcos A. • Para denotar un arco u, se requiere definir el concepto de extremo. Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define: xi : Extremo inicial o predecesor. xj : Extremo final o sucesor.
  • 9. GRÁFICAS ORIENTADAS El arco u = (xi, xj ) también se expresa como: xi xj Y se representa como: Cola Cabeza Xi Xj
  • 10. GRÁFICAS ORIENTADAS U1 U2 U5 U3 U4 U6 Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son: X = x1, x2, x3, x4, x5 A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3) A = u1, u2, u3, u4, u5, u6 X1 X3 X2 X4 X5
  • 11. GRÁFICAS ORIENTADAS • ARCOS ADYACENTES Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice en común. Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes. • VÉRTICES ADYACENTES Dos vértices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o de Xj a Xi. Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.
  • 12. GRÁFICAS ORIENTADAS • ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a dicho vértice o sale del mismo. Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice que el arco u es incidente hacia el exterior de Xi. En caso contrario, se dice que u es incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos: Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5 Hacia el interior de X3: u4
  • 13. GRÁFICAS ORIENTADAS u1 u2 u5 u3 u4 u6 x1 x3 x2 x4 x5
  • 14. ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y. El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el exterior, se representa por W⁺ (Y) . Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es incidente hacia el interior de Y, y se representa por W⁻ (Y) .
  • 15. ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto: Y = x3, x4 Entonces: W⁺ (Y) = u2, u3, u6 W⁻ (Y) = u4 Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como: W (Y) = u2, u3, u4, u6
  • 16. U2 U5 U1 U3 U4 U6 Gráfica orientada X1 X2 X3 X4 X5
  • 17. GRÁFICAS • SUBGRÁFICAS Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráfica constituida por Y subconjunto de X y por arcos de A que unen vértices de Y. No intervienen todos los vértices de X, en consecuencia sólo intervienen los arcos de A que unen los vértices de Y. • GRAFICA PARCIAL Una gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituida por el conjunto de vértices de X y por B subconjunto de A. Intervienen todos los vértices de X de la gráfica original.
  • 18. GRÁFICAS ORIENTADAS • CAMINO Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el cual el extremo final de cada arco coincide con el extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos: Camino representado por arcos Camino representado por los vértices ( u5, u6) (x3, x4, x5)
  • 19. GRÁFICAS ORIENTADAS • CAMINO SIMPLE Es un camino que no utiliza más de una vez el mismo arco. • CAMINO ELEMENTAL Es un camino que no utiliza más de una vez el mismo vértice. • LONGITUD DE UN CAMINO Es el número de arcos que contiene el camino y se representa por ℓ(u). Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.
  • 21. GRÁFICAS ORIENTADAS • CIRCUITO Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el que el vértice inicial X1 es igual al vértice final Xk. Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito. • ANILLO Es un circuito constituido por un solo vértice y con un solo arco. Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.
  • 22. REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS • Para la representación de gráficas orientadas se pueden emplear varias estructuras de datos. Una representación común es la matriz de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de adyacencia para G es una matriz B de orden nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j] es verdadero sí y solo sí, existe un arco que vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1 para verdadero y 0 para falso.
  • 23. Ejemplo 1 4 2 3 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4
  • 24. GRÁFICAS NO ORIENTADAS En las gráficas no orientadas los conceptos de arco, camino y circuito, se sustituyen por arista, cadena y ciclo. ARISTA Se denomina arista de una gráfica no orientada G a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj, con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A. O sea, es el segmento que une dos vértices adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial y final.
  • 25. GRÁFICA NO ORIENTADA En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones: (Xi, Xj) y (Xj, Xi) X1 X2 X3X5 X4
  • 26. GRÁFICAS NO ORIENTADAS • CADENA Es una secuencia de aristas. Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena. • CICLO Es una cadena finita en el que coinciden los vértices inicial y final. Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)
  • 27. REPRESENTACIÓN También se puede usar la matriz de adyacencia. Ejemplo: a b d c 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 a b c d a b c d
  • 28. REDES DE TRANSPORTE DEFINICIÓN Se denomina red de transporte al grafo finito, sin anillos, donde se cumple que: a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0 llamado capacidad del arco. b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 , este vértice se llama fuente o entrada de la red. c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 , este vértice se llama destino o sumidero de la red.
  • 29. REDES DE TRANSPORTE • FLUJO Es una función entera Ø(u), definida sobre el conjunto A de arcos. Esta función es un flujo para una red de transporte si satisface: 0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A. La función Ø(u) puede considerarse como la cantidad de materia que fluye por el arco u. Como la cantidad de materia que entra es igual a la que sale, entonces para todo nodo se cumple: Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale
  • 30. REDES DE TRANSPORTE • ARCO SATURADO Se dice que un arco u Є A está saturado si: Ø(u) = c(u) • FLUJO COMPLETO Un flujo es completo si todo camino que va de la fuente al destino contiene al menos un arco saturado.
  • 31. Ø(u) c(u) 1 0 c(u)- Ø(u) 2 1 0 2 2 2 RED DE TRANSPORTE X1 Xs Xt X2 3 1 42
  • 32. RED DE TRANSPORTE • CORTE Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices, que contiene al destino Xt y no contiene a la fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes hacia el interior de Y) se le denomina corte de la red. Un corte de una red, es un conjunto de arcos cuya ausencia desconectaría completamente a la red. Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces el corte correspondiente a Y está dado por: W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }
  • 33. CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE x1 xtxs x2 3 1 42
  • 34. REDES DE TRANSPORTE • CAPACIDAD DE CORTE Se denomina así a la expresión: C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y) Al definirse la capacidad de un corte se toma en cuenta la dirección de los arcos del corte. Ejemplo, si Y = (X2, Xt) , C [W⁻(Y)] = 2 + 1 = 3
  • 35. G R A C I A S