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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Ing. César Canelo Sotelo
Contenido del curso
• Teoría de redes
• El problema del árbol de expansión mínima
• El problema de la ruta más corta
• El problema de flujo máximo
• El problema de flujo de costo mínimo
• Administración de proyectos: ruta crítica
determinística, ruta crítica probabilística, optimización
de proyectos
• Programación dinámica
• Proceso de Jerarquía analítica
• Teoría de colas
SISTEMA DE EVALUACIÓN: G
• Promedio de prácticas (PP)
• Examen parcial (EP)
• Examen final (EF)
Promedio final = (PP + EP + EF)/3
BIBLIOGRAFÍA
• Investigación de Operaciones - Winston
Wayne
• Introducción a la Investigación de
Operaciones - Hillier y Lieberman
• Investigación de Operaciones – H. Taha
• Investigación de Operaciones: El arte de la
toma de decisiones – Mathur y Solow
• Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa – Eppen Gould
TEORÍA DE REDES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Ing. César Canelo Sotelo
GRÁFICAS
Las gráficas son diagramas que si se
interpretan en forma adecuada proporcionan
información que se utiliza para describir cierto
tipo de estructura. Son de utilidad porque
muestran las conexiones o relaciones entre
varias partes de la estructura. Ejemplos:
mapas de carreteras, rutas de itinerario aéreo,
etc.
GRÁFICA DE ORDEN n
• Una gráfica es un par ordenado G = (X, A),
donde X ≠ Ø , es finito.
• X se denomina conjunto de vértices o nodos.
• Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y
tiene como elementos a pares de vértices de
X. Los arcos unen a todos o algunos de los
vértices xi, xj Є X.
GRAFICAS ORIENTADAS
• Una gráfica orientada G consiste en un
conjunto de vértices o nodos X y un conjunto
de arcos A.
• Para denotar un arco u, se requiere definir el
concepto de extremo.
Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define:
xi : Extremo inicial o predecesor.
xj : Extremo final o sucesor.
GRÁFICAS ORIENTADAS
El arco u = (xi, xj ) también se expresa como:
xi xj
Y se representa como:
Cola Cabeza
Xi Xj
GRÁFICAS ORIENTADAS
U1 U2 U5
U3 U4
U6
Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son:
X = x1, x2, x3, x4, x5
A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3)
A = u1, u2, u3, u4, u5, u6
X1
X3
X2
X4
X5
GRÁFICAS ORIENTADAS
• ARCOS ADYACENTES
Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice
en común.
Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes.
• VÉRTICES ADYACENTES
Dos vértices son adyacentes si son diferentes
y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o
de Xj a Xi.
Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.
GRÁFICAS ORIENTADAS
• ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE
Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a
dicho vértice o sale del mismo.
Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice
que el arco u es incidente hacia el exterior de
Xi. En caso contrario, se dice que u es
incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos:
Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5
Hacia el interior de X3: u4
GRÁFICAS ORIENTADAS
u1 u2 u5
u3 u4
u6
x1
x3
x2
x4
x5
ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la
gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente
a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y.
El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el
exterior, se representa por W⁺ (Y) .
Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es
incidente hacia el interior de Y, y se
representa por W⁻ (Y) .
ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES
Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto:
Y = x3, x4
Entonces:
W⁺ (Y) = u2, u3, u6
W⁻ (Y) = u4
Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como:
W (Y) = u2, u3, u4, u6
U2 U5
U1
U3 U4
U6
Gráfica orientada
X1
X2
X3
X4
X5
GRÁFICAS
• SUBGRÁFICAS
Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráfica
constituida por Y subconjunto de X y por arcos de A
que unen vértices de Y. No intervienen todos los
vértices de X, en consecuencia sólo intervienen los
arcos de A que unen los vértices de Y.
• GRAFICA PARCIAL
Una gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituida
por el conjunto de vértices de X y por B subconjunto de
A. Intervienen todos los vértices de X de la gráfica
original.
GRÁFICAS ORIENTADAS
• CAMINO
Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el
cual el extremo final de cada arco coincide con el
extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos:
Camino representado por arcos Camino representado por los vértices
( u5, u6) (x3, x4, x5)
GRÁFICAS ORIENTADAS
• CAMINO SIMPLE
Es un camino que no utiliza más de una vez el
mismo arco.
• CAMINO ELEMENTAL
Es un camino que no utiliza más de una vez el
mismo vértice.
• LONGITUD DE UN CAMINO
Es el número de arcos que contiene el camino y
se representa por ℓ(u).
Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.
x3
x1
x2
x5
x4
u1 u2
u3
u4
u5
u6
GRÁFICAS ORIENTADAS
• CIRCUITO
Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el
que el vértice inicial X1 es igual al vértice final
Xk.
Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito.
• ANILLO
Es un circuito constituido por un solo vértice y
con un solo arco.
Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.
REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS
• Para la representación de gráficas orientadas
se pueden emplear varias estructuras de
datos. Una representación común es la matriz
de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se
supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de
adyacencia para G es una matriz B de orden
nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j]
es verdadero sí y solo sí, existe un arco que
vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1
para verdadero y 0 para falso.
Ejemplo
1
4
2
3
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 2 3 4
1
2
3
4
GRÁFICAS NO ORIENTADAS
En las gráficas no orientadas los conceptos de
arco, camino y circuito, se sustituyen por arista,
cadena y ciclo.
ARISTA
Se denomina arista de una gráfica no orientada G
a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj,
con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A.
O sea, es el segmento que une dos vértices
adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial
y final.
GRÁFICA NO ORIENTADA
En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones:
(Xi, Xj) y (Xj, Xi)
X1 X2
X3X5
X4
GRÁFICAS NO ORIENTADAS
• CADENA
Es una secuencia de aristas.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena.
• CICLO
Es una cadena finita en el que coinciden los
vértices inicial y final.
Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)
REPRESENTACIÓN
También se puede usar la matriz de
adyacencia. Ejemplo:
a b
d c
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
a b c d
a
b
c
d
REDES DE TRANSPORTE
DEFINICIÓN
Se denomina red de transporte al grafo finito, sin
anillos, donde se cumple que:
a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0
llamado capacidad del arco.
b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 ,
este vértice se llama fuente o entrada de la red.
c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 , este
vértice se llama destino o sumidero de la red.
REDES DE TRANSPORTE
• FLUJO
Es una función entera Ø(u), definida sobre el
conjunto A de arcos. Esta función es un flujo para
una red de transporte si satisface:
0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A.
La función Ø(u) puede considerarse como la
cantidad de materia que fluye por el arco u.
Como la cantidad de materia que entra es igual a
la que sale, entonces para todo nodo se cumple:
Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale
REDES DE TRANSPORTE
• ARCO SATURADO
Se dice que un arco u Є A está saturado si:
Ø(u) = c(u)
• FLUJO COMPLETO
Un flujo es completo si todo camino que va de
la fuente al destino contiene al menos un arco
saturado.
Ø(u)
c(u) 1 0
c(u)- Ø(u) 2 1
0 2
2 2
RED DE TRANSPORTE
X1
Xs Xt
X2
3 1
42
RED DE TRANSPORTE
• CORTE
Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices,
que contiene al destino Xt y no contiene a la
fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes
hacia el interior de Y) se le denomina corte de la
red.
Un corte de una red, es un conjunto de arcos
cuya ausencia desconectaría completamente a la
red.
Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces
el corte correspondiente a Y está dado por:
W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }
CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE
x1
xtxs
x2
3 1
42
REDES DE TRANSPORTE
• CAPACIDAD DE CORTE
Se denomina así a la expresión:
C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y)
Al definirse la capacidad de un corte se toma
en cuenta la dirección de los arcos del corte.
Ejemplo, si Y = (X2, Xt) ,
C [W⁻(Y)] = 2 + 1 = 3
G R A C I A S

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Teoria redes

  • 1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ing. César Canelo Sotelo
  • 2. Contenido del curso • Teoría de redes • El problema del árbol de expansión mínima • El problema de la ruta más corta • El problema de flujo máximo • El problema de flujo de costo mínimo • Administración de proyectos: ruta crítica determinística, ruta crítica probabilística, optimización de proyectos • Programación dinámica • Proceso de Jerarquía analítica • Teoría de colas
  • 3. SISTEMA DE EVALUACIÓN: G • Promedio de prácticas (PP) • Examen parcial (EP) • Examen final (EF) Promedio final = (PP + EP + EF)/3
  • 4. BIBLIOGRAFÍA • Investigación de Operaciones - Winston Wayne • Introducción a la Investigación de Operaciones - Hillier y Lieberman • Investigación de Operaciones – H. Taha • Investigación de Operaciones: El arte de la toma de decisiones – Mathur y Solow • Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa – Eppen Gould
  • 5. TEORÍA DE REDES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ing. César Canelo Sotelo
  • 6. GRÁFICAS Las gráficas son diagramas que si se interpretan en forma adecuada proporcionan información que se utiliza para describir cierto tipo de estructura. Son de utilidad porque muestran las conexiones o relaciones entre varias partes de la estructura. Ejemplos: mapas de carreteras, rutas de itinerario aéreo, etc.
  • 7. GRÁFICA DE ORDEN n • Una gráfica es un par ordenado G = (X, A), donde X ≠ Ø , es finito. • X se denomina conjunto de vértices o nodos. • Al conjunto A se denomina arcos o aristas, y tiene como elementos a pares de vértices de X. Los arcos unen a todos o algunos de los vértices xi, xj Є X.
  • 8. GRAFICAS ORIENTADAS • Una gráfica orientada G consiste en un conjunto de vértices o nodos X y un conjunto de arcos A. • Para denotar un arco u, se requiere definir el concepto de extremo. Sea u Є A / u = (xi, xj ), se define: xi : Extremo inicial o predecesor. xj : Extremo final o sucesor.
  • 9. GRÁFICAS ORIENTADAS El arco u = (xi, xj ) también se expresa como: xi xj Y se representa como: Cola Cabeza Xi Xj
  • 10. GRÁFICAS ORIENTADAS U1 U2 U5 U3 U4 U6 Esta red representa la gráfica G, cuyos vértices y arcos son: X = x1, x2, x3, x4, x5 A = (x1, x1), (x3, x2), ( x3, x4), ( x3, x5), (x4, x5), (x5, x3) A = u1, u2, u3, u4, u5, u6 X1 X3 X2 X4 X5
  • 11. GRÁFICAS ORIENTADAS • ARCOS ADYACENTES Dos arcos son adyacentes si tienen un vértice en común. Ejemplo, u2 y u3 son adyacentes. • VÉRTICES ADYACENTES Dos vértices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que va de Xi a Xj o de Xj a Xi. Ejemplo, x2 y x3 son adyacentes.
  • 12. GRÁFICAS ORIENTADAS • ARCO INCIDENTE A UN VÉRTICE Un arco u es incidente al vértice Xi si llega a dicho vértice o sale del mismo. Si Xi es el extremo inicial del arco u, se dice que el arco u es incidente hacia el exterior de Xi. En caso contrario, se dice que u es incidente hacia el interior de Xi. Ejemplos: Hacia el exterior de X3: u2, u3, u5 Hacia el interior de X3: u4
  • 13. GRÁFICAS ORIENTADAS u1 u2 u5 u3 u4 u6 x1 x3 x2 x4 x5
  • 14. ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES Sea Y un subconjunto de X, perteneciente a la gráfica G = ( X, A), se dice que u es incidente a Y hacia el exterior si xi Є Y, xj ~ Є Y. El conjunto de arcos incidentes a Y hacia el exterior, se representa por W⁺ (Y) . Si xi ~ Є Y y xj Є Y , se dice que u es incidente hacia el interior de Y, y se representa por W⁻ (Y) .
  • 15. ARCOS INCIDENTES A UN CONJUNTO DE VÉRTICES Así, si en la gráfica definimos Y como el conjunto: Y = x3, x4 Entonces: W⁺ (Y) = u2, u3, u6 W⁻ (Y) = u4 Al conjunto W⁺ (Y) U W⁻ (Y) se representa como: W (Y) = u2, u3, u4, u6
  • 16. U2 U5 U1 U3 U4 U6 Gráfica orientada X1 X2 X3 X4 X5
  • 17. GRÁFICAS • SUBGRÁFICAS Se denomina subgráfica de G=(X,A) a la gráfica constituida por Y subconjunto de X y por arcos de A que unen vértices de Y. No intervienen todos los vértices de X, en consecuencia sólo intervienen los arcos de A que unen los vértices de Y. • GRAFICA PARCIAL Una gráfica parcial de G=(X,A) es la gráfica constituida por el conjunto de vértices de X y por B subconjunto de A. Intervienen todos los vértices de X de la gráfica original.
  • 18. GRÁFICAS ORIENTADAS • CAMINO Es una secuencia de arcos u = (u1, u2, . . . , uk), en el cual el extremo final de cada arco coincide con el extremo inicial del arco que le sigue. Ejemplos: Camino representado por arcos Camino representado por los vértices ( u5, u6) (x3, x4, x5)
  • 19. GRÁFICAS ORIENTADAS • CAMINO SIMPLE Es un camino que no utiliza más de una vez el mismo arco. • CAMINO ELEMENTAL Es un camino que no utiliza más de una vez el mismo vértice. • LONGITUD DE UN CAMINO Es el número de arcos que contiene el camino y se representa por ℓ(u). Ejemplo: Si u = ( u5, u6) , entonces ℓ (u) = 2.
  • 21. GRÁFICAS ORIENTADAS • CIRCUITO Es un camino finito N = (x1, x2, ... , xk) en el que el vértice inicial X1 es igual al vértice final Xk. Ejemplo: U = ( u5, u6, u4) es un circuito. • ANILLO Es un circuito constituido por un solo vértice y con un solo arco. Ejemplo: u1 = (x1, x1) es un anillo.
  • 22. REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS ORIENTADAS • Para la representación de gráficas orientadas se pueden emplear varias estructuras de datos. Una representación común es la matriz de adyacencia. Para una gráfica G = (X, A) , se supone que X = {1, 2, . . . , n } . La matriz de adyacencia para G es una matriz B de orden nxn, de elementos booleanos, donde B = [i, j] es verdadero sí y solo sí, existe un arco que vaya del vértice i al j. La matriz se exhibe con 1 para verdadero y 0 para falso.
  • 23. Ejemplo 1 4 2 3 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4
  • 24. GRÁFICAS NO ORIENTADAS En las gráficas no orientadas los conceptos de arco, camino y circuito, se sustituyen por arista, cadena y ciclo. ARISTA Se denomina arista de una gráfica no orientada G a un conjunto de vértices xi, xj tales que xi ≠ xj, con (xi, xj) Є A y/o (xj, xi) Є A. O sea, es el segmento que une dos vértices adyacentes. No se distinguen entre vértice inicial y final.
  • 25. GRÁFICA NO ORIENTADA En esta gráfica cada arco tiene las dos orientaciones: (Xi, Xj) y (Xj, Xi) X1 X2 X3X5 X4
  • 26. GRÁFICAS NO ORIENTADAS • CADENA Es una secuencia de aristas. Ejemplo: v = (x1, x2, x3) es una cadena. • CICLO Es una cadena finita en el que coinciden los vértices inicial y final. Ejemplo: v = (x1, x2, x3, x4, x5, x1)
  • 27. REPRESENTACIÓN También se puede usar la matriz de adyacencia. Ejemplo: a b d c 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 a b c d a b c d
  • 28. REDES DE TRANSPORTE DEFINICIÓN Se denomina red de transporte al grafo finito, sin anillos, donde se cumple que: a) Cada arco u tiene asociado un número c(u)>=0 llamado capacidad del arco. b) Existe un solo vértice Xs tal que W⁻(Xs) = 0 , este vértice se llama fuente o entrada de la red. c) Existe un solo vértice Xt tal que W⁺(Xt) = 0 , este vértice se llama destino o sumidero de la red.
  • 29. REDES DE TRANSPORTE • FLUJO Es una función entera Ø(u), definida sobre el conjunto A de arcos. Esta función es un flujo para una red de transporte si satisface: 0 <= Ø(u) <= c(u) , para todo u Є A. La función Ø(u) puede considerarse como la cantidad de materia que fluye por el arco u. Como la cantidad de materia que entra es igual a la que sale, entonces para todo nodo se cumple: Σ Ø(u) ingresa = Σ Ø(u) sale
  • 30. REDES DE TRANSPORTE • ARCO SATURADO Se dice que un arco u Є A está saturado si: Ø(u) = c(u) • FLUJO COMPLETO Un flujo es completo si todo camino que va de la fuente al destino contiene al menos un arco saturado.
  • 31. Ø(u) c(u) 1 0 c(u)- Ø(u) 2 1 0 2 2 2 RED DE TRANSPORTE X1 Xs Xt X2 3 1 42
  • 32. RED DE TRANSPORTE • CORTE Sea Y un subconjunto del conjunto X de vértices, que contiene al destino Xt y no contiene a la fuente Xs. El conjunto W⁻(Y) (arcos incidentes hacia el interior de Y) se le denomina corte de la red. Un corte de una red, es un conjunto de arcos cuya ausencia desconectaría completamente a la red. Ejemplo, si en la red se tiene Y = (X2, Xt), entonces el corte correspondiente a Y está dado por: W⁻(Y) = { (X1, Xt), (Xs, X2) }
  • 33. CORTE EN UNA RED DE TRANSPORTE x1 xtxs x2 3 1 42
  • 34. REDES DE TRANSPORTE • CAPACIDAD DE CORTE Se denomina así a la expresión: C [W⁻(Y)] = Σ c(u) , u Є W⁻(Y) Al definirse la capacidad de un corte se toma en cuenta la dirección de los arcos del corte. Ejemplo, si Y = (X2, Xt) , C [W⁻(Y)] = 2 + 1 = 3
  • 35. G R A C I A S