1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco (UPTAEB)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Participante :
Daniela Petit
Cédula:
26.976.166
Matemática
Programa Nacional de Formación en Administración (PNFA)
2. SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve
para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor
de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están
compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar
atentos a las siguientes reglas:
Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un
polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será
un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso,
sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en
ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es
necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x).
Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo
o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
3. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de
tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el
resultado de la suma algebraica es un polinomio, formado por los dos
sumandos. Para distinguir la suma de su resultado, podemos escribir los
sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las
mismas literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma
con los demás términos:
(2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2) + (9a2)] +
[(–6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] = 9a + 6a2 – 10b2
4. Suma de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y
restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar
dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados,
respetando el signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
2. Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b +
5b] + [– 8b2 + 6b2] + c
3. Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre
paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del
polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [–
8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Suma de monomios y polinomios:
Como podemos deducir de lo ya explicado, para sumar un monomio con un
polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el
monomio se sumará al término; si no hay términos comunes, el monomio se
agrega al polinomio como un término más:
5. Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2) Alineamos los términos comunes y
realizamos la suma:
Si tenemos (m – 2n2 + 3p) + (4n), realizamos la suma, alineando los términos:
m – 2n2 + 3p
4n
m +4n –2n2 +3p
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su
identificación y los cálculos de cada operación.
6. RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La resta o sustracción de monomios y polinomios es una operación en la cual se
quiere encontrar la diferencia entre el minuendo y el sustraendo.
De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica,
debemos tener en cuenta que restar dos términos semejantes resulta un único
termino semejante, para dos términos no semejantes, el resultado se deja tal cual
es.
Si bien, la suma algebraica no afecta a los signos operacionales de los términos
entre paréntesis, la resta si afecta a cada termino, esto es, cambia los signos
operacionales de cada termino luego de eliminar los paréntesis, veamos un ejemplo
generalizado.
Resta de monomios:
La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, 1, o
sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos
casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x
7. Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que
restamos cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si
tiene signo negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a
negativo. Para no tener confusión, escribimos los números con signo negativo,
o incluso todas las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x).:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de
tener en cuenta:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener
la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de
la resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el
sustraendo. Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y
sustraendo entre paréntesis:
(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n
8. Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los
demás términos:
(2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2) – (9a2)] –
[(–6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[ –12a2]–[ –2b2] = –5a + 12a2 +2b2
Resta de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas
de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el
polinomio. Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando
el signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
2. Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–
sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c
9. 3. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre
paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del
sustraendo cambian de signo: [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c =
7a + 3a2 + b – 14b2 – c
VALOR NÚMERICO
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es
el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar
las operaciones indicadas.
Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer
los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado:
Ejemplo:
Dada la expresión:
10. Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos
aritméticos:
MULTIPLCACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe de aplicar la
regla de los signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando
son iguales se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales
son diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente.
Regla de los signos:
11. Ejemplo:
Multiplicar 3x3y2 por 7x4
(3x3y2)(7x4)
Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente
de x es la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo
esta en uno de los factores se escribe y con su propio exponente.
(3)(7)x3+4y2
21x7y2
Multiplicación de un monomio por un
polinomio
Para esta operación se debe multiplicar el
monomio por cada uno de los monomios
que forman al polinomio, ejemplo:
3 * (2x3-3x2+4x-2)
(3 * 2x3) + (3 * -3x2) + (3 * 4x) + (3 * -2)
6x3-9x2+12x-6
12. Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un
polinomio por todos los monomios del otro polinomio, por ejemplo:
(2x2-3) * (2x3-3x2+4x)
(2x2*2x3) + (2x2*-3x2) + (2x2*4x) + (-3*2x3) + (-3*-3x2) + (-3*4x)
4x5-6x4+8x3-6x3+9x2-12x
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la
división aritmética, así que si hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y
q(y) siendo el divisor , de modo que el grado de p(x) sea mayor o iguala 0
siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas dividiéndose. División que
podemos representar.
Regla de los signos
13. Y la ley de los exponentes nos dice que si tenemos las mismas bases
tanto en el dividendo como en el divisor sus exponentes se restan.
Nota.- Si el exponente del término es 0 se escribe la unidad.
División de monomios.- Se dividen los coeficientes y las literales se restan
junto con sus exponentes.
Ejemplo.- 5xm+2y4z / -4xm-4y3z = 5/4 x6y
División de polinomio entre monomio.-Se realiza dividiendo cada uno de
los factores del polinomio entre el factor del monomio.
Ejemplo.- 3ª3-6ª2b+9ab2 / 3ª=a2-2ab+3b2
División de polinomios.- Para dividir un polinomio entre otro polinomio es
necesario seguir los siguientes pasos.
1.- Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético.
2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor.
3.- Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto
obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
4.- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor
exponente que el dividendo.
Ejemplo.- -15x2+22xy-8y2 / -3x+2y = 5x-4y
14. PRODUCTOS NOTABLES:
Los Productos Notables o Identidades Notables son los resultados de
ciertas multiplicaciones que se obtienen de forma directa sin necesidad de
aplicar la propiedad distributiva, esto es por la forma que representan.
Identidades Notables Principales
Binomio al Cuadrado
El desarrollo de un binomio al
cuadrado nos da un trinomio
cuadrado perfecto, esto es «el
cuadrado del primer término, más el
doble del primer término por el
segundo término, más el cuadrado del
segundo término».
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Análogamente con el binomio
diferencia al cuadrado :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
El binomio al cuadrado es el más
conocido de los productos notables y
quizá el más utilizado en los problemas
algebraicos.
Identidades de Legendre
Las identidades de Legendre son dos
identidades que relacionan
los binomios suma y diferencia.
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Diferencia de Cuadrados
La diferencia de cuadrados nos dice
que el producto de dos binomios ;
uno que presenta la suma de dos
expresiones y el otro la diferencia de
las mismas expresiones nos da el
cuadrado de la primera, menos el
cuadrado de la segunda.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
15. Trinomio al Cuadrado
Al desarrollar el trinomio de un cuadrado se
obtiene la suma de los cuadrados de los tres
términos, más el doble de la suma de los productos
tomados de dos en dos (productos binarios).
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Binomio al Cubo
Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene el
cubo del primer término, más el producto del triple
del primero al cuadrado por el segundo, más el
producto del triple del primero por el segundo al
cuadrado, más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Análogamente con el binomio diferencia al cubo:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Asimismo, si le damos forma a estas dos
expresiones tendremos los siguientes resultados
del binomio al cubo, el cual puede ser muy
importante para la resolución de los ejercicios.
16. (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Suma y Diferencia de Cubos
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Trinomio al Cubo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b
+ c)(a + c)
Multiplicación de Binomios con un
Término en Común
Al multiplicar dos binomios con un
término en común se obtiene: el
común al cuadrado, más el producto
de la suma de no comunes por el
común, más el producto de no
comunes.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejercicio:
Si: a + b = 4 y ab = 5
Calcular: a3 + b3
Resolución:
Nos piden la suma de cubos, para
este caso vamos a elevar al cubo el
binomio que tenemos como dato.
Tenemos:
(a + b)3 = 43
Desarrollamos el binomio al cubo:
a3 + b3 + 3ab(a + b) = 43
a3 + b3 = 43 – 3ab(a + b)
= 64 – 3(5)(4) = 4
∴ a3 + b3 = 4
17. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por
ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Factorización: es el proceso de encontrar dos o
más expresiones cuyo producto sea igual a una
expresión dada; es decir, consiste en transformar
a dicho polinomio como el producto de dos o más
factores. Encontrar los polinomios raíz de otros
más complejos.
1. Factor Común.
Consiste en simplificar todos
los términos del polinomio por
un mismo coeficiente, ya sea
una letra o un numero, o la
combinación de ellos.
*6xyˆ3 - 9nxˆ2yˆ3 + 12nxˆ3yˆ3 - 3nˆ2xˆ4yˆ3
- Todos los términos son divisibles entre 3
- En todos los términos hay X y Y, N no está en
todos los términos. El menor exponente de X es
1, y el menor exponente de Y es 3.
- El factor común es 3xyˆ3
6xyˆ3 - 9nxˆ2yˆ3 + 12nxˆ3yˆ3 + 3nˆ2xˆ4yˆ3
/3xyˆ3= 2 - 3nx + 4nxˆ2 - nˆ2xˆ3
El resultado se expresa: 3xyˆ3(2 - 3nx + 4nxˆ2 -
nˆ2xˆ3)
18. 2. Trinomio cuadrado perfecto.
Se cumple con un procedimiento muy sencillo
- Se ordena el trinomio de mayor a menor (de acuerdo al exponente).
- Se calcula la raíz cuadrada del primer y último término.
- Se abren 2 pares de paréntesis, se coloca en ambos los resultados de la
raíz y el signo entre los resultados será el signo que posea el segundo
término del trinomio.
19. 3. Diferencia de cuadrados.
El procedimiento es similar al caso 2.
- Se calcula la raíz cuadrada del
primer y segundo termino (ya que es
este caso tan solo hay dos términos).
- Se abren dos pares de paréntesis, y
en cada uno se coloca el resultado del
calculo de las raíces.
- En el primer paréntesis se coloca
entre los resultados el signo positivo, y
en el segundo signo negativo.
- El resultado debe ser la expresión
del producto de la suma por su
diferencia, ya vista en producto
notable.
4. Cociente de la Suma o
Diferencia de Potencia Iguales.
Estableciendo ciertas reglas
provenientes del Teorema del
residuo, se establece que:
· an-bn es divisible por a-b siendo n
par o impar
· an+bn es divisible por a+b siendo n
par.
· an-bn es divisible por a+b cuando
n par.
· an+bn nunca es divisible entre a-b.
Para este caso hay que identificar
que tipo de polinomio se tiene,
siempre se tendrá un binomio y
cada término elevado a potencias
iguales, de aquí se separan dos
casos si son sumas o restas
- Se debe dividir el binomio entre el
posible divisor respetando sus
signos.
20. - De allí se obtendrá otro polinomio, el
resultado se debe escribir como el
divisor por el resultado de la división.
5. Trinomio de la forma:
Primero para identificar un trinomio
cuadrado, hay que tomar ciertas
características:
- Debe tener 3 términos.
- Un termino debe estar elevado al
cuadrado; y los términos
subsiguientes deben tener la
degradación del exponente (a la 1
y a la 0).
Existen dos formas para sacar los
factores de este tipo de
expresiones, una es por la
ecuación de segundo grado, donde
se calculan los posibles valores de
la incógnita. .
