Mecanica de materiales metodo de area de momento

1. MÉTODO DE ÁREA MOMENTO
De la ecuación general de flexión tenemos:
EI
M
dx
d
=
θ
Integrando:
∫ ∫= dx
EI
M
dθ
∫=−
B
A
AB dx
EI
M
)( θθ
tengamos presente que ρ
1
=
EI
M
curvatura de un elemento viga.
Teorema 1:
El área bajo el diagrama de curvatura
( )EI
M
entre dos puntos A y B es
igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva
elástica.
Se puede usar para vigas con EI variable.
BA θθ − : ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.
Se mide en radianes.
Áreas positivas indican que la pendiente crece.
W
M/EI
Diagrama de momentos sobre EI=
curvatura
θA θB
θB θA
θB
( ) ∫=−−
B
A
AB dx
EI
M
θθ

2. Teorema 2:
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
CAACAC Xd /// * ∆=θ
, si sumamos todos los desplazamientos
verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
∫=∆
B
A
A
BBA dx
EI
M
X/
momento de primer orden con respecto a A del
área bajo la curva de EI
M
entre A Y B.
El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la
curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto
B, es igual al momento del área bajo la curva EI
M
entre los puntos Ay
B con respecto a un eje A.
Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por
articulaciones.
Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la
viga y se denomina flecha.
Ejemplo:
θ (-)
θ (+)
A
∆ A/C
C D
XC/A
∆ A/D
XD/A
B

3. Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el
punto B.
E, I constantes.
Pasos a realizar:
1. Encontrar el diagrama de momentos.
2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa.
3. Para encontrar θ fijar un punto inicial al cual se le conozca la
pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de
referencia y el punto pedido.
Cambio en θ = área bajo M/EI
4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su
flecha, preferiblemente un apoyo.
El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área
bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a
encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI midiendo X
desde el punto al que se le va a hallar la deflexión).
5. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de
M/EI indican qque la pendiente crece.
Ejercicio
Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en
función de EI.
∑ =−= 03*20AA MM
mtfM A −= 60
∑ =−+= 02060 xMM XX
306020 <<−= xxM X
630 <<= xM X
20t
3m 3m
M=60t-m
20t
3m 3m
A
CB
20t
0.30
0.20
x
B
CA
3m
-60

4. 4
2
2
**2
*1803*60
m
m
t
EI
mt
EI
área ==
adimensional (radianes)
0=Aθ condición de apoyo
?=Bθ
EIEI
BAB
90
2
180
−=⇒−=− θθθ
θC - θB = 0 por no existir momento en ese tramo. BC θθ =
Rpta.
Flecha = momento de primer orden con respecto a B
EI
m
EI
AB
180
)3(*
3
2
*
90
/ =−−=∆
si
0=∆ A
positivo
EI
B
180
=∆
EI
m
EI
AC
450
3
3
3*2
*
90
/ =





+−=∆
Rpta.
Ejercicio
0≠Aθ
Determinar Dθ y max∆
∆B
B
θB
∆C
C
X
θA
=0
Curva elástica
tentativa
5 10
15
4m 2m
3m
D
A C
∆B/A =∆B - ∆A
∆C/A =∆C - ∆A
∆C=450m / EI
θB = -90/EI
θC = -90/EI

5. dx
EI
M
D
A
AD ∫=/θ
EIEIEI
AD
5.22
2
45
2
3*15
===−θθ
EI
AD
5.22
3
3
*
2
3*15
/ ==∆
3
2
*2*
2
2*20
2
3
4
*
2
4*20
/ +





+=∆ AC
EI
AC
160
3
480
3
80
3
2*200
/ ==+=∆
DESVIACIÓN POSITIVA
EI
EI
L
AC
A
67.26
6
160
/
−==
∆
=θ
NEGATIVA
EIEI
D
01.80
3*
67.26
==∆
EIEIEI
YD
51.575.2201.80
=−=
Remplazando en 1:
EI
D
17.4
−=θ
EIEI
AC
40
2*
4*20
/ ==θ
EI
AB
40
=−θθ
EI
B
67.66
=θ
EI
X
EI
X
Am
22
*
2
5
*4*2
20*
==−θθ
EI
X
EI
2
*
2
567.26
=




 −
−
27.3=X
Busquemos el punto de tangencia cero, 0=θ , punto de max∆
EIEI
Am
14.29
3
27.3
*
4
20
*
2
27.3
/ ==∆
21.8727.3*
67.26
* −===∆
EI
xm Aθ
M/EI 20/EI
θD/A ∆D/A
∆C/A
YD

6. EI
Ym
1.58
=

7. EI
Ym
1.58
=