La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
Problemas de la parábola
1. DR. JAIME E. BRAVO H.
PRESENTA
PROBLEMAS DE LA PARÁBOLA
QUITO - ECUADOR
2. DADO EL VÉRTICE ( 3, 4) Y EL FOCO (3,2). DETERMINE: 1) LA ECUACIÓN
CANÓNICA DE LA PARÁBOLA, 2) LA ECUACIÓN GENERAL, 3) LA LONGITUD DEL
LADO RECTO, 4) ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ Y 5) LA GRÁFICA.
1.- ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
La parábola es de la forma
( X – h ) 2 = - 4p ( Y – k )
( X – 3 ) 2 = - 4p ( Y – 4 )
Para hallar el valor de p
encontramos la distancia entre el
vértice y el foco donde p = 2
Entonces la ecuación es:
( X – 3 ) 2 = - 4(2 ) ( Y – 4 )
( X – 3 ) 2 = - 8 ( Y – 4 )
3.- LONGITUD DEL LADO RECTO = 4P
De la ecuación se determina que el lado recto es igual a 8
2.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
Para determinar la ecuación encontramos el punto
de intersección del eje de simetría y la bisectriz,
como la directriz se encuentra por arriba del vértice
sus coordenadas son:
(x; y + p ); ( 3; 4 + 2 )
Las coordenadas son ( 3; 6 ) la ecuación de la
directriz es Y = y + p ; y = 6
DR. JAIME E. BRAVO H . MSc
2.- ECUACIÓN GENERAL
Resolvemos la ecuación canónica y
encontramos la ecuación general
X2 – 6X + 8Y = 23
4. DADA LA ECUACIÓN 4 X 2 – 20 X – 24Y + 97= 0 REPRESENTA UNA PARÁBOLA,
HALLAR LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE Y DEL FOCO, LA ECUACIÓN DE SU
DIRECTRIZ Y LA LONGITUD DE SU LADO RECTO
1.- COORDENADAS DEL
VÉRTICE
Dividimos para 4 a la ecuación
dada
4 X 2 – 20 X – 24Y + 97=0
X 2 – 5x – 6 y + 97 / 4 = 0
FORMAMOS EL TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
(X 2 – 5x + 25/4) = 6 y - 97 / 4 +
25 / 4 = 0
FACTORAMOS
( X – 5/2 )2 = 6 Y + 18
( X – 5/2 )2 = 6 (Y - 3 )
LAS COORDENADAS DEL
VÉRTICE
( 5 / 2 ; 3 )
2.- COORDENADAS DEL FOCO
Como la parábola se abre hacia arriba
las coordenadas del foco son :
F ( x ; y+p ) con respecto al vértice
Determinamos p
4p = 6 ; p = 3 / 2 entonces
F ( x ; y + p ); F ( 5/ 2 ; 3+ 3 / 2 ) ;
Las coordenadas del foco son :
F ( 5 / 2; 9 / 2 )
3.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
Para determinar la ecuación encontramos el punto de
intersección del eje de simetría y la bisectriz, como la
directriz se encuentra por debajo del vértice sus
coordenadas son:
(x; y – p ); ( 5/2 ; 3 – 3 / 2 )
Las coordenadas son ( 5 / 2 ; 3 / 2 ) la ecuación de la
directriz es Y = y – p ; y = 3 / 2
4.- LADO RECTO
LR = 4p
De la ecuación se determina
que
LR = 6
DR. JAIME E. BRAVO H . MSc
6. Dado el foco( - 5, 4) y el vértice(-1, 4) de una parábola
determinar:1) la ecuación canónica,2)la ecuación general, 3)el
valor del lado recto, 4)la ecuación de la directriz,5) la gráfica
1.- ECUACION CANÓNICA
La parábola es de la forma
(Y – k ) 2 = - 4 p (x - h )
Reemplazamos el vértice (h, k )
(Y – 4 ) 2 = - 4 p (x +1 )
Determinamos el valor de p
encontrando la distancia del foco al
vértice que es 4 entonces P = 4 y la
ecuación canónica es:
(Y – 4 ) 2 = - 16 (x +1 )
2.- ECUACIÓN GENERAL
Resolvemos la ecuación
(Y – 4 ) 2 = - 16 (x +1 )
Y2 – 8y + 16 = - 16( x + 1) la
ecuación es:
y 2 – 8y -16x + 32 = 0
3.- LADO RECTO
Como el lado recto es igual a 4 p este
es: LR = 16
4.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
X = h + p
X = -1 + 4
X = 3
DR. JAIME E. BRAVO H . MSc
8. Dado el foco(3,3) y la distancia del vértice al foco igual a 5 si el eje de simetría es paralelo al eje X
determinar:1) La ecuación canónica,2)Ecuación general,3)Ecuación de la directriz, 4) el valor del lado recto,
5) la gráfica
1.- ECUACIÓN CANÓNICA
Es de la forma (Y – k ) 2 = 4 p (x - h )
Determinamos las coordenadas del
vértice (h, k) como el vértice está a la
izquierda del foco se tiene que:
V(Xf – p ; Yf ); V(3 – 5,3); V ( -2, 3 )
Reemplazando V y P = 5 en la ecuación
canónica se tiene:
(Y – 3 ) 2 = 20 (X + 2 )
2.- ECUACIÓN GENERAL
Resolvemos la ecuación
(Y – 3 ) 2 = 20 (X + 2 )
Y2 – 6y - 20 x - 31 = 0
3.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
Como la directriz está ala izquierda
del vértice se tiene que las
coordenadas son :
X = h-p
X = -2 – 5
X = - 7
4.- EL VALOR DEL LADO RECTO
LR = 4 P
LR = 4 x 5
LR = 20
NOTA
Recuerde que la distancia del vértice al foco es p
Y la distancia del vértice a la directriz es p
DR. JAIME E. BRAVO H . MSc
10. EXPRESE LA ECUACIÓN
X 2 + 6 X – 5Y + 19 = 0
EN LA FORMA CANÓNICA , DETERMINE EL VÉRTICE
(h , k ), EL VALOR DE P, LAS COORDENADAS DEL FOCO Y LA ECUACIÓN DE LA
DIRECTRIZ
DR. JAIME E. BRAVO H. MSc
1. Ecuación Canónica
X 2 + 6 X = 5 Y - 19
• COMPLETAMOS EL
TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
X 2 + 6 X + 9= 5 Y - 19 + 9
• FACTORAMOS EL TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
• ( X + 3 ) 2 = 5Y – 10
• EXTRAEMOS EL FACTOR
COMÚN
• ( X + 3 ) 2 = 5( Y – 2 )
• OBTENEMOS LA ECUACIÓN
CANÓNICA
2.- VÉRTICE
( -3,2)
3.- EL VALOR DE P
4P = 5
P = 5 / 4
4.- COORDENADAS DEL FOCO
Como la parábola se abre
hacia arriba se tiene que las
coordenadas del foco son :
F( h, k+p); F ( -3; 13/4)
5.- ECUACIÓN DE LA DIRECTRIZ
Como la directriz se encuentra abajo del vértice
las coordenadas de intersección de está con el
eje de simetría son :A( h; k-p); A = ( -3; 3/4 )
Por lo tanto la ecuación es
Y = k – p entonces y = 3 /4
DR. JAIME E. BRAVO H . MSc
13. Dado el vértice (3,-4) y la ecuación de la
directriz y = - 8 determinar: 1) El valor del lado
recto,2)Coordenadas del foco, 3) Ecuación
canónica, 4) Ecuación General, 5) Gráfica
Dado el vértice (-4, 2) y el foco ( -4,-2) determinar:
1) El valor del lado recto, 2)Ecuación de la directriz
3) Ecuación canónica, 4) Ecuación General, 5) Gráfica
