matematica practicas

1. Solucionario
Examen del MEP
Setiembre, 2014
1. Si los n´umeros son n, n + 1, n + 2 tenemos que la suma de los cuadrados de los dos
menores (n2 + (n + 1)2) equivale al mayor aumentado en 20 (n + 2 + 20). As´ı
2n2
+2n+1 = n2
+(n+1)2
= n+2+20 = n+22 ⇒ 2n2
+n−21 = 0 ⇒ n = 3 o n = −7/2
Como n es entero n = 3, entonces n + 1 = 4, n + 2 = 5 o sea los n´umeros son 3,4,5.
Respuesta B 4
2. ´Area es largo por ancho, largo l, ancho a. Entonces 28 = l · a, y largo excede en 4,5 a la
medida del ancho (l = a + 4, 5).
Sustituyendo 28 = l·a = (a+4,5)a = a2 +4,5a ⇒ a2 +4, 5a−28 = 0 ⇒ a = −8o a = 3, 5
como a es positivo (longitud) a = 3, 5. Respuesta A) 3,5
3. x = edad de Jos´e, a la edad de Jos´e se le suma el cuadrado de la misma (+x2) y al
disminuirle 58 se obtiene 124, entonces
x + x2 − 58 = 124 Vemos que II no representa la edad de Jos´e, luego x + x2 − 58 =
124 ⇒ x2 + x − 182 ⇒ x = 13 o x = −14 ⇒ Jos´e no tiene m´as de 15 a˜nos.
Respuesta B.
4. Si x es el n´umero, x2 = 3x + 54 ⇒ x2 − 3x − 54 = 0 ⇒ x = −6 o x = 9 como x es
negativo, x = −6
Respuesta A) 6
5. Si los n´umeros naturales son a y b, entonces a−b = 9, a2+b2 = 725 cambiando a por 9+b
en la segunda ecuaci´on (b + 9)2 + b2 = 725 ⇒ 2b2 + 18b + 81 = 725 ⇒ 2b2 + 18b − 644 =
0 ⇒ b = −23 o b = 14, b es natural entonces b = 14, a = 23.
1

2. Respuesta C) 14
6. El ´area est´a en funci´on del radio, por lo que depende del radio y el radio no depende de
otro parametro, por lo que es independiente.
Respuesta A) Ambas
7. Basta ver que g(0) = −1 /∈ R+.
Si x /∈ Z, f(x) /∈ Z+, por ejemplo f(1/2) = 11/2 /∈ Z+ .
Respuesta B) Ninguna
8. Por cada hora trabajada gana 4500, entonces en h horas gana 4500 · h.
En 80 horas habr´a ganado 80 · 4500 = 360000 > 350000.
Respuesta A) Ambas
9. Se puede ver que el cero tiene dos preim´agenes, se ve que el valor de f en 0 es 1, por lo
que uno est´a en el ´ambito de f.
Respuesta A) Ambas
10. Se necesita que el n´umero dentro de la raiz no sea negativo, o sea −3 − x ≥ 0 ⇔ −3 ≥
x ⇔ x ∈ [−∞, −3].
Respuesta C) ] − ∞, −3]
11. A la derecha f crece hasta infinito, a´si que su ambito no es [−1, 1].
Se ve que f empieza en -2 y se extiende indefinidamente a la derecha, su ambieto si es
[−2, ∞[.
Respuesta D) Solo la II
12. Simplemente el denominador de f no se debe anular, se necesita x+3 = 0 o sea x = −3.
Respuesta C) R − {−3}
2

3. 13. Como la funci´on es decreciente, el m debe ser negativo. El b representa la intersecci´on
de la recta con el eje y(f(0) = b) se ve que se intersecan en el semiplano superior y as´ı b
es positivo.
Respuesta C) Solo la I.
14. Tenemos los puntos en la grafica (0,300) y (200,400), si nuestra gr´afica es y = mx + b
entonces m = 400−300
200−0 = 1
2 y b = 300 la intersecci´on con el eje y, luego evaluando en
1000, y(1000) = 1
21000 + 300 = 800.
Respuesta B) 800
15. Como (-1,5) pertenece al g´afico significa que −m − 2 = f(−1) = 5 ⇒ m = −7
Respuesta B) -7
16. Se ve que el dominio de la funci´on va desde −∞ a 0, as´ı que 1 no est´a en el dominio
Los puntos (-1,1) y (0,2) est´an en la recta, as´ı que la ecuaci´on de la recta es y = mx+b,
con m = 2−1
0−(−1) = 1, as´ı que y(−3) = −3 + 2 = −1, o sea (-3,-1) es parte del gr´afico de
f.
Respuesta D) Solo la II
17. Tenemos que sin producir hay un costo de 104 000, o sea que (0,104 000) est´a en la
g´argica de este costo, y adem´a al producir 1000 boligrafos el costo es 364 000, o sea que
(1000,364 000) est´a en la grafica. Entonces C(x) = mx + b, con b = 104000 donde se
interseca con el eje y, y m = 364000−104000
1000−0 = 260.
Respuesta B) C(x) = 260x + 104000
18. Despues de tres a˜nos su precio es 9000 dolares, o sea 9000 = P(3) = p1(1 − 0, 2 · 3) =
p1(1 − 0, 6) = p1 · 0, 4 ⇒ p1 = 9000/0, 4 = 22500.
Respuesta D) 22500
19. Si la cantidad de personas es x, entonces g(x) = 1080, o sea 8x − 600 = 1080 ⇒ 8x =
1680 ⇒ x = 210
Respuesta B) 210
3

4. 20. Vemos que (0,3) y (1,0) estan en d, por lo que d = −3x+3 con k es paralela a d, entonces
k = −3x + b pero como el punto (2,3) est´a en k se tiene que 3 = −3 · 2 + b, as´ı b = 9
luego, la intersecci´on con el eje y es el punto (0, b).
Respuesta B) (0, 9)
21. Vemos que los puntos (0, −4), (3, 0) est´an sobre l1, a´si que l1 = 4
3x − 4 como l2 es
perpendicular a l1 se tiene que l2 = −3
4x + b y como (2, 1) est´a sobre l2 se tiene que
1 = −3
42 + b ⇒ b = 5
2 luego el punto de intersecci´on de l2 con el eje y es (0, b).
Respuesta B) (0, 5
2).
22. Por producir y vender una corbata se genera 5000 - 1000 = 4000, luego si x es la cantidad
de corbatas vendidas, la cantidad que gana la empresa ser´a P(x) = 4000x − 800000 es
una funci´on creciente y se ve que interseca el eje x es (200,0) que es cuando no hay
perdida ni ganancia, al vender una corbata m´as ya se obtiene alguna ganancia.
Respuesta C) 201
23. Vemos que la segunda ecuaci´on es la primera multiplicada por 4, as´ı el sistema es
equivalente a x − 2y = 5 que tiene una cantidad infinita de soluciones, por lo tanto es
tanto consistente como dependiente.
Respuesta A) Ambas
24. Un funci´on cuadratica es c´oncava hacia abajo si obtiene su m´aximo en el v´ertice, de lo
contrario, si no es c´oncava hacia abajo es c´oncava hacia arriba y obtiene su m´ınimo en el
v´ertice, como en el v´ertice (2,9) est´a sobre el punto (0,3) la funci´on no alcanza m´ınimo
en el vertice, o sea que alcanza un m´aximo y por lo tanto es c´oncava hacia abajo.
Por ser c´oncava hacia abajo, la funci´on es creciente desde −∞ a 2 (la coordenada del
vertice) y decreciente de 2 a +∞ (incluye de 3 a +∞)
Respuesta A) Ambas
25. Como su coeficiente principal es negativo, f es c´oncava hacia abajo, crece desde −∞
a la coordenada x vertice que es −b
4a en este caso 4, y luego decrece. A´si alcanza su
punto m´aximo en x = 4 y el m´ınimo en alg´un extremo del intervalo, se tiene que
f(0) = 0, f(4) = 16 y f(6) = 12, vemos que su m´ınimo es 0 y su m´aximo es 16.
Respuesta B) [0, 16]
4

5. 26. La funci´on es c´oncava hacia arriba, y su m´ımino lo alcanza en 0, ya que x2 ≥ 0 entonces
el su vertice est´a en (0, f(0)) = (0, 0).
el discriminante de la cuadr´atica es 0, as´ı que solo interseca el eje x una vez.
Respuesta A) Ambas
27. Usando la formula el eje de sim´etria est´a en x = −
b
2a
= 9.
Respuesta D) Solo la II
28. En el v´ertice de est´a cuadr´atica, que es concava hacia abajo, se alcanza el m´aximo, este
vertice esta en x = −
400
−2
= 200 luego el m´aximo es f(200) = 40000
Respuesta C) 40 000
29. A los 0 segundos la piedra esta´a a la misma altura que el edificio, por lo que la altura
del edificio es h(0) = 30.
El discriminante de la cuadr´atica es ∆ = 998, como la funci´on es c´oncava hacia abajo
su m´aximo (la altura m´axima que alcanza la piedra) es −
∆
4a
=
998
19, 6
< 55.
Respuesta C) Solo la I
30. La cuadr´atica es c´oncava hacia abajo por lo que su coeficiente principal es negativo.
La cuadr´atica interseca el eje x dos veces as´ı que su discriminante es positivo.
Respuesta B) Ninguna
31. Para que una funci´on sea invertible (y en particular f−1 lo es), debe ocurrir que sea
sobreyectiva; y esto a su vez significa que su codominio es igual a su ´ambito; y ambos
son iguales al dominio de f; luego la primera proposici´on es verdadera. La segunda
tambi´en ser´ıa verdadera pues debe ocurrir que f−1 sea una funci´on biyectiva, osea que
su dominio y codominio tienen la misma cantidad de elementos. Por tanto la respuesta
correcta es la A.
32. Vea que la intersecci´on de f con el eje y es b; osea 2. Y la intersecci´on con el eje x es
−b
m ; qu en este caso dar´ıa 6. Por tanto la funci´on pasa por los puntos (0, 2) y (6, 0), osea
que la respuesta correcta es la B. (Note que esta respuesta viene mala en la hoja de
5

6. respuestas).
33. La primera afirmaci´on es falsa, puesto que (0, 2) ∈ Gf−1 (con esto nos referimos a la
gr´afica) implicar´ıa que (2, 0) ∈ Gf , dicho de otra manera, (0, 2) est´a en la gr´afica de
f−1 es equivalente a que (2, 0) est´e en la gr´afica de f, y esto a su vez equivale a que
f(2) = 0; pero vea que f(2) = −22 +2 = −2 = 0; por tanto la primera es falsa. Por otro
lado, la segunda afirmaci´on s´ı es correcta, pues el ´ambito de una inversa es el dominio
de la funci´on original. La respuesta ser´ıa entonces la opci´on D.
A continuaci´on enunciamos resultados con respecto las funciones exponenciales.
Si f(x) = ax, entonces:
Si a > 1, f es creciente.
Si a < 1, f es decreciente.
a > 1 equivale a que la imagen del intervalo ] − ∞, 0[ es ]0, 1[ y que la imagen de
]0, ∞[ es ]1, ∞[.
a < 1 equivale a que la imagen del intervalo ] − ∞, 0[ es ]1, ∞[ y que la imagen de
]0, ∞[ es ]0, 1[.
34. Para la primera parte, de las relaciones anteriores, una funci´on exponencial es creciente
s´olo si su base es mayor a uno. En este caso la base es 1
5, que es menor a uno, luego f
decrece. Por otro lado, si el ´ambito es (0, 1] y f decrece, el dominio es [0, +∞); osea que
la segunda es verdadera y por tanto la respuesta correcta es la D.
35. Por las mismas f´ormulas del ejemplo anterior, se tiene que si el dominio de f es ]−∞, 0]
con codominio [0, 1[; entonces f debe ser creciente y por tanto a > 1, que satisface la
primera condici´on. Por otro lado, vea que, como −1 > −2, entonces como f es creciente;
se debe tener que f(−1) > f(−2); que contradice la segunda afirmaci´on. Por tanto la
respuesta correcta es la C.
36. Para la primera afirmaci´on, vea que f es decreciente pues su base es menor a uno. Luego,
en +∞ la funci´on es as´ıntota a 0; y en −1 vale 4; como −1 va abierto en el dominio, 4
va abierto en el ´ambito y se obtiene que el codominio es ]0, 4[; osea que la afirmaci´on es
verdadera. Con respecto a la segunda, vea que f(0) = 1, as´ı que esta es falsa. La opci´on
6

7. correcta ser´ıa por tanto la C.
37. Como a < 1, entonces la funci´on exponencial es decreciente y entonces obtiene valores
entre 0 y 1 para cualquier n´umero positivo (por las f´ormulas anteriores). En particular
se cumple la primera proposici´on: como 5 > 0, entonces 0 < f(5) < 1.Haciendo el ra-
zonamiento contrario, si x < 0 es un valor negativo, la funci´on es mayor a uno en ese
punto. Luego ambas son verdaderas y la respuesta correcta es la A.
A continuaci´on enunciamos resultados con respecto las funciones logar´ıtmicas.
Si f(x) = logb x, entonces:
Si a > 1, f es creciente.
Si a < 1, f es decreciente.
a > 1 equivale a que la imagen del intervalo ]0, 1[ es ] − ∞, 0[ y que la imagen de
]1, ∞[ es ]0, ∞[.
a < 1 equivale a que la imagen del intervalo ]1, ∞[ es ] − ∞, 0[ y que la imagen de
]0, 1[ es ]0, ∞[.
38. La primera afirmaci´on es verdadera por las proposiciones de arriba. La segunda es ver-
dadera tambi´en por el mismo motivo por tanto la respuesta correcta es la A. (N´otese que
se pueden intercambiar los intervalos de abiertos a cerrados en estas hip´otesis siempre
que se respete el orden establecido, en este caso por ejemplo recordando que la imagen
de 1 es cero, as´ı que o ambos van cerrados o ambos van abiertos; la ´ultima afirmaci´on
de las f´ormulas que se mencionan arriba se traduce entonces como: a < 1 equivale a que
la imagen del intervalo [1, ∞[ es ] − ∞, 0] y que la imagen de ]0, 1] es [0, ∞[).
39. Como a < 1, la funci´on es decreciente, luego, como 3 > 2, obtenemos que f(3) < f(2),
as´ı que la primera afirmaci´on es verdadera. Con respecto a la segunda, la cuarta regla
que damos atr´as implica que la imagen de los elementos mayores a uno es negativa, osea
que x > 1 implica que f(x) < 0, que es contrario a lo que aparece en la hip´otesis. Por
tanto solo la primera es correcta y la respuesta correcta es C.
40. Que f(x1) > f(x2) con x1 < x2 implica que f invierte el orden en las desigualdades,
osea que f es decreciente. Luego 0 < b < 1, que confirma la primera opci´on. Por otro
7

8. lado, la cuarta afirmaci´on que damos arriba implica que, como 0 < b < 1, entonces la
imagen de ]1, ∞[ es ] − ∞, 0[; lo que contradice la segunda parte del problema. Luego
s´olo la 1 es verdadera y por lo tanto la respuesta correcta es la C.
41. La primera ecuaci´on logw 128 = 7 implica que w7 = 128 por tanto w = 128
1
7 = 2. La
segunda ecuaci´on se transforma entonces en log4 x = −2 osea x = 4−2 = 1
16. Finalmente
la respuesta correcta es la D.
42. La pregunta viene incompleta. Los c´alculos que se pueden realizar vienen a continuaci´on.
Tenemos que:
2 logw 2 =
1
2
logw 2 =
1
4
2 = w
1
4
24
= w
16 = w.
De la segunda ecuaci´on:
8log2(x)
= 16
23 log2(x)
= 24
3 log2(x) = 4
log2(x) =
4
3
x = 2
4
3
43. Observemos que:
logw(81) = 4
81 = w4
3 = w
Por otro lado, de la segunda ecuaci´on
8

9. log1
2
(x) = 3
x =
1
2
3
x =
1
8
Y por tanto la respuesta correcta seria la opci´on B.
44. Como AB = 20, y O es el centro de la circunferencia, se tiene que OA = 10 y esta es la
medida del radio del c´ırculo. Por otro lado, vea que OD es tambi´en un radio, por tanto
OD = 10. Como el tri´angulo ODA tiene un ´angulo de 60, obtenemos que debe ser un
tri´angulo equil´atero; por tri´angulos especiales, se tiene que la distancia del punto medio
de AD a O es la altura de ADO desde O, y por tanto este mide 10
√
3 y la respuesta
correcta es la D.
45. Como el di´ametro de C2 es la cuarta parte del di´ametro de C1, este debe medir 28, como
el di´ametro es el doble del radio, este radio buscado debe ser de 14. Que ser´ıa la opci´on
A.
46. Como el di´ametro de la rueda es de 120, entonces el radio mide 60. Luego la distancia
m´ınima pedida debe ser la diferencia entre los dos radios, que resulta 60 − 10 = 50. La
respuesta correcta ser´ıa entonces la A.
47. La distancia entre dos centros debe ser entonces la distancia entre las circunferencias
m´as la suma de los dos radios que son la distancia desde el centro de dichos c´ırculos a
sus circunferencias. La respuesta ser´ıa entonces 20 + 4 + 4 = 28. Que ser´ıa la opci´on C.
48. Veamos primero que la distancia entre la circunferencia m´as grande y la que est´a interior
a esta es el di´ametro de las circunferencias peque˜nas, que debe medir 10. Por tanto, co-
mo el radio de la circunferencia mayor es de 24, se tiene que el radio de la circunferencia
interior es de 14; finalmente la distancia entre el centro de la circunferencia y el centro
de las circunferencias peque˜nas es la suma de sus radios, es decir 14 + 5 = 19. Por tanto
la respuesta correcta es la A.
9

10. 49. Si dos circunferencias son tangentes interiormente, entonces la distancia entre sus centros
es la diferencia de sus radios. En este caso dicha diferencia ser´ıa r2 −r1 = 3r1 −r1 = 2r1;
pero la hip´otesis del problema dice que esta distancia es de 10; por lo tanto 2r1 = 10
y por tanto r1 = 5. Entonces r2 el radio de C2 ser´ıa r2 = 3r1 = 15 y por lo tanto su
di´ametro es 30. Y la respuesta correcta ser´ıa la opci´on D (Observe que esta tambi´en
viene mala en el solucionario).
50. Por f´ormula, si la apotema de un pol´ıgono es a y su ´angulo central n; entonces el lado
viene dado por l = 2a sin n
2 ; luego l = 2×15 sin 72
2 = 30 sin(36) = 17,6335; finalmen-
te la cantidad de madera es aproximadamente 17,6335 × 5 = 88,17 y el valor que m´as
se asemeja a este es 90, la opci´on C (esta tambi´en viene equivocada en el solucionario).
51. Por tri´angulos especiales un tri´angulo rect´angulo is´osceles de hipotenusa 12
√
2 tiene
lado 12, que ser´ıa la respuesta. Osea, la opci´on B.
52. Si la circunferencia mide 12π, elradio mide 12π
2π = 6. Pero en un hex´agono regular (debi-
do a las f´ormulas) el radio mide lo mismo que el lado, por tanto el lado mide 6 tambi´en
y por tanto el per´ımetro es de 36, que ser´ıa la opci´on A.
53. La f´ormula para el radio de un tri´angulo equil´atero en t´erminos de su lado est´a dada
por r = l
√
3
3 . Si l = 6, entonces r = 6×
√
3
3 = 2
√
3. Por tanto el ´area que se puede abarcar
(por la f´ormula para el ´area de un c´ırculo) ser´ıa: (2
√
3)2π = 12π. Es decir, la opci´on A.
54. La f´ormula para el ´area lateral es AL = π × r × g. Por la hip´otesis, tenemos que g = 15.
Para calcular r despejamos πr2 = 49π que nos da r = 7. Por tanto AL = rgπ =
7 × 15 × π = 105π. Que ser´ıa la opci´on B.
55. La f´ormula para el ´area total de un cubo nos da que A = 6l2 = 6 × 302 = 5400; que
ser´ıa la opci´on C.
56. La pregunta es equivalente a calcular el ´area total de una esfera, cuya f´ormula viene
dada por A = 4πr2. En este caso r = 1, pues el di´ametro de la esfera es 2, luego su ´area
total ser´ıa 4π × 12 = 4π. Osea, opci´on B.
10

11. 57. La primera no puede ser verdadera pues sin(π) = 0; no es igual a −1. La segunda s´ı es
verdadera pues en este momento, seg´un la gr´afica, la funci´on llega a valer 1. Por tanto
la respuesta ser´ıa s´olo la segunda, osea, opci´on D.
58. Vea que todos los d´ıas la marea est´a igual a una hora dada, por tanto a las 6 de la
tarde del Martes, la marea estar´a igual que a las 6 del Domingo, y seg´un el gr´afico esto
es en −1, el nivel m´as bajo posible. Por tanto la primera afirmaci´on es verdadera. Con
respecto a la segunda, vea que el Lunes, de 6am a 6 pm, la marea est´a bajando (s´olo
hay que ver la gr´afica para notarlo). En particular de 8 a 12 tambi´en est´a bajando, osea
que es verdadera. Por tanto ambas afirmaciones son verdaderas y la respuesta es la A.
59. La primera es verdadera, pues si el ´angulo aumenta dibuja un radio m´as grande en el
papel. La segunda tambi´ene es verdadera pues la altura del comp´as es 1, y si el radio
tambi´en es 1, se forma un tri´angulo especial, cuyo ´angulo ser´ıa de π
4 . Por tanto la res-
puesta es que ambas; la opci´on A.
11