Основные задачи математической статистики. Примеры задач Выборка.Выборочное пространство. Примеры Простой случайный выбор. Реальные виды выборов Функция распределения выборки Эмпирическая вероятностная мера Теорема Гливенко-Кантелли

1. Выборка. Выборочное пространство
Грауэр Л.В.

2. Примеры задач
Какова доля брака в продукции завода?
Правильно ли настроен станок?
Действует ли новое лекарство?
Однородны ли посетители магазина в выходные и в будние?
Сколько заказать товара на следующий месяц?
Согласованы ли оценки экспертов?

3. Основные задачи математической статистики
приближенное определение вероятности события по
относительной частоте
нахождение приближенного закона распределения с.в.
оценивание числовых характеристик или параметров
распределения с.в.
проверка статистических гипотез
определение эмпирической зависимости между
переменными, описывающими случайное явление

4. Выборка. Выборочное пространство
В одномерном случае
ξ(ω) : Ω −→ R
(R, B(R), Pξ)
В многомерном случае
(ξ1, . . . , ξm) : Ω −→ Rm,
(Rm, B(Rm), Pξ)

5. Совокупность взаимно независимых реализаций случайной
величины ξ образует выборку X[n] объема n:
X[n] = (X1, . . . , Xn) ,
где Xi — числовая реализация случайной величины ξ в i-ом
эксперименте (i = 1, . . . , n).

6. Если ξ = (ξ1, . . . , ξm)T — случайный вектор, то
X1 =





X11
X21
...
Xm1





, . . . , Xn =





X1n
X2n
...
Xmn





.
Случайная величина ξ, реализации которой мы наблюдаем, часто
называется генеральной совокупностью.

7. Примеры
ξ ∼ B(N, p), P(ξ = k) = Ck
Npk(1 − p)N−k
X[10] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

8. Примеры
ξ ∼ B(N, p), P(ξ = k) = Ck
Npk(1 − p)N−k
X[10] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
ξ ∼ N(a, σ)
X[10] = (1.34, 0.70, 1.21, 0.46, 1.40, 1.47, 1.56, 1.09, 1.62, 1.56)

9. Простой случайный выбор
Процесс составления выборки называется выбором
Простым случайным выбором называется выбор с возвращением
в урновой модели, когда из конечного множества каждый элемент
выбирается независимо и равновероятно с другими элементами

10. Свойства простого случайного выбора
С теоретической точки зрения элементы выборки —
случайные величины

11. Свойства простого случайного выбора
С теоретической точки зрения элементы выборки —
случайные величины
Все элементы выборки могут быть выбраны и
равновероятно

12. Свойства простого случайного выбора
С теоретической точки зрения элементы выборки —
случайные величины
Все элементы выборки могут быть выбраны и
равновероятно
Каждый элемент конкретной выборки получен в равных
условиях выбора

13. Виды реальных выборов
Механический выбор
Серийный выбор
Типический выбор
Выбор на основе суждения

14. Функция распределения выборки:
FX[n]
(x1, . . . , xn) =

15. Функция распределения выборки:
FX[n]
(x1, . . . , xn) =
Выборкам объема n соответствует выборочное пространство
Rn
, B(Rn
), PX[n]

16. При n → ∞ рассмотрим бесконечномерное пространство:
R∞
, B(R∞
), PX[∞]
.
Rn, B(Rn), PX[n]
— подпространство R∞, B(R∞), PX[∞]
,
соответствующее первым n координатам.

17. Эмпирическая вероятностная мера
Эмпирическим распределением назовем вероятностную меру,
определенную следующим образом
P∗
n (B) =
ν(B)
n
,
где B ∈ B(R), а ν(B) — количество элементов выборки, попавших
в B.
Эмпирической функцией распределения называется функция
F∗
n (x) = P∗
n (−∞; x) =
ν(−∞; x)
n
, x ∈ R.

18. (X1, X2, . . . , Xn) ⇒ X(1) < X(2) < . . . < X(n)
F∗
n (x) =



, если x X(1);
, если X(1) < x X(2);
, если X(2) < x X(3);
. . .
, если X(k) < x X(k+1);
. . .
, если x > X(n).

20. Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема о предельном
распределении эмпирических вероятностей
Теорема
Для ∀ B ∈ B(R) выполняется:
P∗
n (B)
п.н.
−−−−→
n−→∞
Pξ(B).
и для ∀ x ∈ R выполняется:
F∗
n (x)
п.н.
−−−−→
n−→∞
Fξ(x).

21. Теорема Гливенко-Кантелли
Пусть заданы ф.р. Fξ(x) и эмпирическая ф.р. F∗
n (x), тогда
sup
x∈R
|F∗
n (x) − Fξ(x)|
п.н.
−−−−→
n−→∞
0
Теорема
Для ∀ B ∈ B(R) выполняется:
√
n (P∗
n (B) − Pξ(B))
Pξ(B)(1 − Pξ(B))
d
−−−−→
n−→∞
ζ,
где ζ ∼ N(0, 1).