Guía sobre funciones de una variable real para un mejor aprendizaje en el estudiante Curso: V07 Educación Comercial

1. 0

2. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
CALIDAD, PERTINENCIA Y CALIDEZ
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE MATEMÁTICAS
TEMA: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
(Elaboración de Guía y Video tutorial)
DOCENETE: ING. MARIUXI MARQUEZ
ÁREA: EDUCACIÓN COMERCIAL
PARALELO: V07
INTEGRANTES:
ARCENTALES CRISTHIAN
ASANZA YORDY
AZUERO VERÓNICA
MOROCHO ROBERTO
ZAVALA KAREN
SEGUNDO SEMESTRE 2015

3. OBJETIVOS:
Suprimir algunos mitos, como que las matemáticas son complicadas.
Conseguir que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos mediante
una breve pero clara exposición de ejercicios varios, estudiado en el presente
periodo del curso de nivelación.
Lograr que el estudiantado se sienta motivado por las Matemáticas.
Incrementar el nivel de creatividad de todos los estudiantes.
JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO DE AULA
La importancia que tiene el presente trabajo, radica en el hecho de que todos
quienes conformen el equipo de trabajo del proyecto de aula, se verán obligados a
esforzarse al máximo para conseguir resultados satisfactorios en la ejecución del
mismo, es decir con este proyecto los estudiantes potenciarán sus habilidades y
destrezas adquiridas durante el presente curso, así como las diferentes cualidades
innatas con las cuales nacieron.
Así también mediante la construcción de este proyecto de aula los estudiantes de
Nivelación de la Universidad Técnica de Machala lograrán reflexionar y entender,
sobre los problemas que tuvieron en la secundaria con ejercicios matemáticos, que
en realidad resultaron ser fáciles; sólo es cuestión de práctica y de tener una guía
a la que los estudiantes puedan entender. Y qué mejor guía que la de otros jóvenes,
que manejan los temas y que por su condición de estudiantes sabrán compartir el
conocimiento de la manera en que les gustaría que les enseñen.

4. ÍNDICE
1. DESARROLLO .................................................................................................................. 1
1.1. Funciones ............................................................................................................... 1
1.1.1. El Dominio:...................................................................................................... 1
1.1.2. Rango............................................................................................................... 2
1.2. Asíntotas................................................................................................................. 4
1.2.1. Asíntotas Verticales ....................................................................................... 4
1.2.2. Asíntota Horizontal......................................................................................... 5
1.3. Función Inyectiva................................................................................................... 6
1.4. Función Sobreyectiva ........................................................................................... 7
1.5. Función Biyectiva .................................................................................................. 8
1.6. Función Lineal...................................................................................................... 10
1.7. Función Cuadrática ............................................................................................. 13
2. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 15
3. WEB GRAFÍA ............................................................................................................... 16

5. 1
1. DESARROLLO
1.1. Funciones. Se llama función real de variable real a toda función
definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los
números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un
elemento y de R:
1.1.1. El Dominio: El dominio, en términos no técnicos, son todos los valores que
se le pueden dar a la variable x con los cuales la variable dependiente y adquiere a
su vez un valor real y bien determinado. O bien, son todos los valores que se le
pueden dar a la variable x con los cuales se obtiene su gráfica.
El dominio es el conjunto de puntos o valores que puede tomar la variable
independiente x en los cuales está definida la función.
Obsérvese que en el ejemplo de la circunferencia anterior no se le pudo dar a la x
el valor de x = 11 porque no se podía obtener nada para la variable y; significa que
no pertenece x = 11 al dominio. Visto en la gráfica, en no hay gráfica
Los valores que no puede tomar la variable x son dos: los que hacen cero el
denominador o los que hacen negativa una raíz cuadrada. En realidad hay más,
pero en este curso solamente se tomarán en cuenta esos dos
El dominio de cualquier función son todos los valores o números de la recta
numérica, desde hasta, que queden después de quitar todos − ∞ + ∞ aquellos que
hacen cero el denominador (o denominadores) o que hagan negativa una raíz
cuadrada.
Para encontrar los valores que hacen cero el denominador (o los denominadores),
se iguala a cero el denominador y se resuelve la ecuación que resulta. Para

6. encontrar los valores que hacen negativa una raíz cuadrada se construye una
desigualdad haciendo el subradical menor que cero. No tenga raíces cuadradas, su
dominio son todas las x, es decir, toda la recta numérica, escrito: − ∞ < X < +∞.
Ejemplo 1: Hallar el dominio de f(x)=
2𝑥+1
𝑥−2
Solución: En este caso no hay raíces cuadradas, pero sí existe un denominador
con variable. Entonces debe buscarse el valor que hace cero ese denominador y
excluirlo de la recta numérica. El valor que hace cero el denominador se obtiene
haciendo
X − 2 =0
De donde x=2
Este es el único valor que no puede tomar la x, por lo tanto el dominio son todos los
de la recta numérica menos el 2, lo cual se escribe de cualquiera de las siguientes
formas:
X ≠ 2
O bien x < 2 U x > 2
O también (−∞,2) ∪ (+ ∞, 2).
1.1.2. Rango: El rango de una función es equivalente al dominio, solamente que
mientras éste es sobre el eje de las x, el rango es sobre el eje de las y.
Analizado la función desde su gráfica, aunque de manera no muy formal se puede
decir que el dominio es el intervalo de valores de la x en la que existe su gráfica,
mientras que el rango es el intervalo de valores de la y en la que existe su gráfica.
Ejemplo 2: Hallar el dominio y el rango de y=
4−3𝑥2
𝑥2

7. Solución: El dominio, como no hay raíz cuadrada, son los valores que quedan luego
de quitar aquellos que hacen cero el denominador, es decir que 𝑥2
= 0, o sea X=0
Por lo tanto, el dominio es:
X ≠ 0
Para calcular el rango, primero se despeja la x:
y=
𝟒−𝟑 𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
𝒚 = 𝟒 − 𝟑𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
𝒚 + 𝟑𝒙 𝟐
= 𝟒
𝒙 𝟐(𝒚 − 𝟑) = 𝟒
𝒙 𝟐
=
𝟒
𝒚 + 𝟑
X= √
𝟒
𝒚+𝟑
X=
√𝟒
√ 𝒚−𝟑
X=
𝟐
√ 𝒚+𝟑
Luego de obtener una expresión con la variable x despejada, se analizan los valores
de la variable y que hacen cero el denominador y que hacen negativa la raíz
cuadrada

8. Valores que hace cero el denominador
Eliminando estos valores de la recta numérica, lo que queda son los valores válidos, es
decir, el rango.
El rango es y > 3
1.2. Asíntotas: Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica
de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la gráfica
se aproxima indefinidamente pero nunca la toca y mucho menos la brinca. A medida
que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, la
correspondiente variable dependiente tiende a infinito, cualquiera que este sea. En
general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, en nuestro caso
únicamente estudiaremos las:
1.2.1. Asíntotas Verticales: Como su nombre lo indica, son rectas verticales
asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones
racionales de la forma:
F(x) = g(x) / h(x)
Y se determinan encontrando las raíces del denominador h(x) correspondiente.
Tales valores reciben el nombre de Polos de la función. Entonces, el número de
polos asociados a una función determinarán el número de asíntotas verticales que
tiene tal función. Sea el ejemplo siguiente:
Valores que hacen cero el denominador: Valores que hacen negativa la raíz
cuadrada:
Y+3=0
Y=-3
y + 3 < 0
Y < -3

9. • Obtenga las asíntotas verticales de la función:
F (x) = (
𝟒
𝒙−𝟒
)
Como lo indicamos en el párrafo anterior, para determinar las asíntotas de ésta
función obtenemos sus polos, los que, como ya mencionamos, son los valores de
“x “para los cuales H (x) = 0.
Sabemos que en los casos en los cuales h(x) = 0 la función se indetermina es decir
su valor tiende a infinito. En este ejemplo la asíntota se encuentra en:
x – 4 = 0; es decir en x = 4.
La recta x = 4 es la asíntota de esta función, que es única, ya que el denominador
es un término lineal lo que implica que solamente en un valor se anula. La gráfica
correspondiente se muestra en la figura siguiente. En ella vemos que a medida que
x se aproxima a 4 el cociente aumenta indefinidamente.
1.2.2. Asíntota Horizontal: Como su nombre lo indica, son rectas horizontales
asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones
racionales de la forma: f(x) = g(x) / h(x) y se determinan haciendo que la variable
independiente “ x “, tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función
cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar y mucho menos
sobrepasar.
Considérese el caso de una función racional cuyos términos son polinomios dada
por: M. C. J. AGUSTÍN FLORES AVILA 88 CALCULO CAPITULO 1 f(x) = P(x) /
Q(x) Dependiendo de la elación entre los grados de los dos polinomios, tendremos
los siguientes casos:
1. – El Polinomio P(x) del Numerador y Polinomio Q(x) del Denominador tienen el
mismo grado.
2. – El grado del Polinomio Q(x) del Denominador es mayor que el grado del
Polinomio P(x) del Numerador.

10. En estos casos la asíntota es la recta y = 0, como veremos en el siguiente ejemplo.
F (x) = (
𝟒𝒙+𝟏
𝒙 𝟐−𝟓𝒙+𝟔
)
Procedemos a tomar el denominador
Polos = x2 – 5x + 6 = 0
Luego extraemos la raíz de la incógnita, en este caso “x” y procedemos a buscar
dos números que multiplicados den el valor del coeficiente y que a su vez sumados
o restados den el término del medio.
(x – 2) (x – 3) = 0
Luego pasa abajo con el signo opuesto y esas serían las asíntotas verticales.
x = 2 y x = 3
1.3. Función Inyectiva: Según (INSTITUTO UNIVERSITARIO
DETECNOLOGIA INDUSTRIAL RODOLFO LOERO ARISMENDI, 2001) Una
función es Inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un
único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y)
pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Planteamiento del problema:
 Dado los datos obtenidos de los resultados de los resultados dela encuesta que
se realizó en el sector ¨Teniente Ledesma¨ del Cantón de El Guabo, se aplicara
la siguiente función Inyectiva:
Resolución del problema:
Una función F de dominio D=Dom (F) es Inyectiva cuando elementos distintos de D
le corresponden imágenes distintas:

11. Si X₁, X₂ЄD:X₁≠X₂→F(X₁) ≠F(X₂)
Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen:
X F(X) Y
Dom (F) Lm (F)
F(X₁) =F(X₂) →4X₁-1=4X₂-1→4X₁=4X₂→X₁=X₂
1.4. Función Sobreyectiva: Según (INSTITUTO UNIVERSITARIO
DETECNOLOGIA INDUSTRIAL RODOLFO LOERO ARISMENDI, 2001) Sea f una
función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada Sobreyectiva), si y
sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.
Planteamiento del problema:
Con los datos obtenidos en la encuesta nos arroja los siguientes resultados
obtenidos del proyecto la contaminación del suelo del sector ¨Teniente Ledesma¨
del Cantón de El Guabo.
Resolución del problema:
Una función F: X→Y, es una función Sobreyectiva si:
Lm (F) =Y
X₁
X₂
X₃
X₄
F(X₃)
F(X₁)
F(X₂)
F(X₄)

12. Esto significa que todo elemento є Y es la imagen de al menos un elemento X є A.
Es decir la imagen de F coincide con el conjunto final.
F(X)
X Y=Lm (F)
1.5. Función Biyectiva: En matemáticas, una función es Biyectiva si es al mismo
tiempo Inyectiva y Sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de
salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del
conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Formalmente, dada una función :
La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:
Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de , tal que la
función evaluada en es igual a .
X₁
X₂
X₃
X₄
X₅
F(X₃)
F(X₁)
F(X₂)
F(X₄)

13. Dados dos conjuntos e finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si
y sólo si e tienen el mismo número de elementos.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx +
b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el
intercepto con el eje Y.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada
ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto
con el eje Y.(MELCHOR, 2014)
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de
este es imagen de un solo elemento del dominio, es decir, es Sobreyectiva e
Inyectiva a la vez.
EJEMPLO
Sea la función :{(2;b), (6: a), (7; c)}, definida de A en B mediante el grafico de la
figura.

14. Podemos afirmar que:
I. A elementos diferentes del domino le corresponden imágenes diferentes.
II. El rango de esta formado por los elementos a, b, c que forman todo el
conjunto de llegada B.
De (I) y (II) concluimos que la aplicación( es biyectiva de A en B)
1.6. Función Lineal: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos
los números reales, cuyo condominio también todos los números reales, y cuya
expresión analítica es un polinomio de primer grado.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx +
b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el
intercepto con el eje Y.
Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los
elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el
condominio, siempre que m no sea cero.
Definición: f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función
lineal.
Según J.P.G Lejeune-Dirichlet quien describió: “Una Variable es un símbolo que
representa un numero dentro de un conjunto de ello. Do variable de X o Y
están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X, entonces por alguna
regla o correspondencia se la asigna un valor automáticamente a Y”
Ejercicio:
 Dado los datos obtenidos en el sector “Teniente Ledesma” para su
tabulación se utilizara la siguiente función:
F(x)= 2x+3

15. 1) Para resolver la siguiente función procederemos a realizar una tabla de valores
la cual en X se escogen los valores que uno desee en el centro ira la función y
por ultimo Y la cual la calcularemos al reemplazar los valores escogidos en X
en la función y resolvemos. como procederemos a resolver:
2) Luego de haber realizado la tabla de valores y haber obtenido los valores de Y
,procederemos a identificar los puntos:
3) Luego de obtener los puntos procedemos a calcular la pendiente mediante la
fórmula:
𝑚 =
Y2 − Y1
X2 − X1
X F(x)= 2x+3 Y
0 F(0) = 2(0)+3 3
1 F(1) = 2(1)+3 5
2 F(2) = 2(2)+3 7
-1 F(-1) = 2(-1)+3 1
-2 F(-2) = 2(-2)+3 -1
X Y
0 3
1 5
2 7
-1 1
-2 -1
(0,3)
(1,5)
(2,7)
(-1,1)
(-2,-1)

16. Para la cual tomaremos dos puntos al azar y empezamos a sustituirlos en la
fórmula. Para lo cual 1=X1, 5=Y1 y 2= X2, 7=Y2
(1,5) y (2,7)
𝑚 =
7 − 5
2 − 1
𝑚 =
2
1
𝑚 = 2
4) Luego se procede a graficar los puntos y comprobar si la función es lineal.
Debido a que la línea debe ser recta.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Valores Y

17. 1.7. Función Cuadrática: En matemáticas, una función cuadrática de una
variable es una función polinómica definida por:
Con .1 También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático2 .
También se denomina función cuadrática a funciones definidas
por polinomios cuadráticos de más de una variable, como por ejemplo:
En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero
representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las
formas:
Que corresponden a tres tipos de secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola).
“Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 +
bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si
representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,
obtenemos siempre una curva llamada parábola.” (anthonyo, 2005)
EJEMPLO
x2 +5X-6
A este ejercicio lo vamos a resolver mediante el caso de factorización TRINOMIO
DE LA FORMA x2 + bx + c
Y se lo representa en una tabla de valores sabiendo que en la izquierda van las X y
en las derecha las Y.

18. E cogido valores al azar para darle a X la primera es cuando X vale 0 Y será -6,
cuando X valga 1 Y será 0, cuando X valga 2 Y será 8, cuando X valga-1 Y será -
10, y cuando X valga -2 Y valdrá -12.
Y para sacar sus puntos se debe unir las X con las Y y después lo
representaremos gráficamente continuación vera como quedara.
TABLA DE VALORES
X x2 +5X-6 Y
0 (o)2+5(0)-6 -6
1 (1)2+5(1)-6 0
2 (2)2+5(2)-6 8
-1 (-1)2+5(-1)-6 -10
-2 (-2)2+5(-2)-6 -12
PUNTOS
(0;-6)
(1;-0)
(2;-8)
(-1;-10)
(-2;-12)

19. 2. CONCLUSIONES
 Podemos decir que La función lineal es un elemento importante en muchas
investigaciones, dado que nos permite mantener una actitud científica frente al
fenómeno que estudiamos, y nos posibilita elaborar interpretaciones objetivas
del mismo.
 Una Función Inyectiva es aquella que tiene un punto de salida y un punto de
entrada y la función Sobreyectiva es aquella que tiene un punto de partida que
pertenece a un punto de llegada y más de dos puntos de llegada que pertenece
a un de partida.
 El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a
lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria. Creo
que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se
cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creo que también este
trabajo me será útil en la práctica.
 Ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, , en
las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas, valores conocidos pueden ser
números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda
ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien
mediante otros procesos, y que las incógnitas, pueden ser representadas
generalmente por letras, y resolver una ecuación es encontrar su solución, que
es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple,
ejemplo= x=5
 Una asíntota es una línea recta que está asociada a la gráfica de algunas
funciones en algunos casos funcionan como límites y también se encuentran en
funciones racionales.

20. 3. WEB GRAFÍA
(file:///C:/Users/Caja%202/Downloads/Dialnet-FuncionesMatematicasParaQueSeUtilizan-
2779659.pdf, 1805-1859)
file:///C:/Users/Caja%202/Downloads/Dialnet-FuncionesMatematicasParaQueSeUtilizan-
2779659.pdf
http://www.diclib.com/cgi-
bin/d1.cgi?l=es&base=es_wiki_10&page=showid&id=5279#.VttpsqLc9hw
http://www.amschool.edu.sv/paes/f10.htm
MELCHOR, J. (2014). matematica mas facil. toboso: A H GORDON.
anthonyo, j. (2005). matematicas capitulo 2. dallas: monforte .
Html.funciones-matematicas.com
http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/Mecanica/MateI/1.7.-
%20Asintotas%20Verticales%20y%20Horizon
tales.pdf