9 precipitazioni ci

Un po’ di Fisica dell’atmosfera

Riccardo Rigon Giorgione - La tempesta, 1507-1508

Tuesday, March 6, 12

“La pioggia cade, la foglia
trema”
Robindronath Tagore


Le Precipitazioni

Obbiettivi:

• Introdurre i fenomeni di circolazione generale e una descrizione dei
fenomeni atmosferici correlati alla produzione delle precipitazioni

•Parlare delle precipitazioni, della loro formazione in atmosfera e della
loro caratterizzazione al suolo

3

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

La radiazione

• Il motore di tutto è la radiazione
solare
Wikipedia - Sun

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

I meccanismi di formazione delle precipitazione:

- Frontizio
- Orografico
- Convettivo

5

Riccardo Rigon


Un pò di Fisica dell’Atmosfera

TheEsiste un complesso
general circulation
sistema di circolazione
in a rotating atmosphere
globale
Foufula-Georgiou, 2008

6

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Deja Vu

7

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Il meccanismo frontizio

8

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Il meccanismo frontizio

9

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Il meccanismo convettivo

10

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Il meccanismo convettivo

11

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Il meccanismo orografico

12

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni
Il meccanismo orografico Passage of low pressure center over mountains

Whiteman (2000)

13

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni
Il meccanismo orografico

14

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni
Rainfall evolution over topography

T=318 min

15

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni


T=516 min

16

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

T=672 min

17

Riccardo Rigon


Le precipitazioni
A. Adams - Pioggia Tenaya,

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova

•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla
superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova


•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento,
subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova


•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento,
subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis.

•Questa situazione:
•genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa
pressione
•discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità
nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto
•genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere
“scivolano” sopra altre, innalzandosi.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova

•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)
diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla
radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della
variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova


•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale
delle masse d’aria.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova



•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova



•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.

•L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in
misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità
atmosferica

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova

•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica
(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo
possibile (ma non sempre probabile) la condensazione del vapore acqueo.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova


•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua
liquida o solida, sospese in aria.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova


•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua
liquida o solida, sospese in aria.

Storm building near Arvada, Colorado
. U.S. © Brian Boyle.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Perchè piova

•Se le goccie d’acqua riescono ad accrescersi al punto da raggiungere un peso
sufficiente, precipitano a terra. Piove, nevica o grandina.

Precipitation, Thriplow in Cambridgeshire. U.K
© John Deed.

Riccardo Rigon


Over Berwick-upon-Tweed, Northumberland, UK.
© Antonio Feci

Riccardo Rigon
Le Precipitazioni

- Stratiforme
I tipi di evento

Stratocumulus stratiformis
23

Le Precipitazioni

I tipi di evento
- Convettivo
Over Austin, Texas, US

Cumulonimbus capillatus incus
© Ginnie Powell

24

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Nubi stratiformi

25

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Nubi stratiformi

26

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Ciclone extratropicale
Houze, 1994

27

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Nubifragi
Houze, 1994

28

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Nubifragi
Houze, 1994

29

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Fattori che influenzano la natura e la quantità
delle precipitazioni al suolo

•La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in
funzione dei sistemi di circolazione generale

•L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la
quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride).

•La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la
posizione generale dell’orografia

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni
a large range of scales
pixel = 4 km pixel = 125 m

km
2
512 km

km
4

(mm/hr)

0 4 9 13 17 21 26 30
R (mm/hr)

31

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Spatial Rainfall

32

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Caratteristiche delle
precipitazioni al suolo

•Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada)
•L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area
(proiettata), spesso espressa in mm o cm.

•La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con
continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di
registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere
dalla continuità della stessa)

•L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo
di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi.

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Caratteristiche delle
precipitazioni al suolo

•L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive
(storm inter-arrival time)

•La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia

•La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con
altezza e durata assegnate

•La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione

Riccardo Rigon


Le precipitazioni Estreme

Eventi

5 6
2 3

1 4
35

Riccardo Rigon

Le Precipitazioni

Temporal Rainfall

36

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Istogramma delle precipitazioni
mensili

37

Riccardo Rigon


Le Precipitazioni

Statistiche

38

Riccardo Rigon



a lognormal distribution
Durate

39

Riccardo Rigon


Intensità
lognormal ?

40

Riccardo Rigon

Le Precipitazioni

Precipitazioni Estreme

41

Riccardo Rigon


Le precipitazioni estreme
Kandinski -Composition VI (Il diluvio)- 1913

Riccardo Rigon



Obbiettivi:

•Descrivere le precipitazioni estreme e delle loro caratteristiche

•Calcolare le precipitazioni estreme con assegnato tempo di ritorno con R

43

Riccardo Rigon


Consideriamo le precipitazioni massime annuali
Queste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche:
1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla
prefissata durata.

anno 1h 3h 6h 12h 24h
1 1925 50.0 NA NA NA NA
2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6

......................................
......................................

46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.2
47 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.4
51 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.2
52 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2 44

Riccardo Rigon


Consideriamo le precipitazioni massime annuali
Precipitazioni Massime a Paperopoli

150
Precipitazione (mm)

100
50

1 3 6 12 24

durata

Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni 45

Riccardo Rigon



150
Precipitazione (mm)

100
50

1 3 6 12 24

Mediana durata

>boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione
(mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 46

Riccardo Rigon



150
Precipitazione (mm)

100
50

1 3 6 12 24

upper quantile durata

47

Riccardo Rigon



150
Precipitazione (mm)

100
50

1 3 6 12 24

durata
lower quantile

48

Riccardo Rigon


1 ora 3 ore 6 ore

25

15

15
20

10
15

10
Frequenza

Frequenza

Frequenza
10

5

5
5
0

0

0
20 40 60 80 20 40 60 80 100 40 60 80 100

Precipitazion in mm Precipitazion in mm Precipitazion in mm

49

Riccardo Rigon


12 ore 24 ore

12
8

10
6

8
Frequenza

Frequenza

6
4

4
2

2
0

0

40 60 80 100 120 40 80 120 160

Precipitazion in mm Precipitazion in mm

50

Riccardo Rigon


Tempo di ritorno
E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si
ripete (o è superata). Sia:
T
l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura
Siano

n

le misurazioni fatte in T e

m=T/n

il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento
considerato).
51

Riccardo Rigon


Tempo di ritorno

Allora il tempo di ritorno della misura h* è

T m m m
T r := =n = =
l l ECDF (h⇥) 1 F r(H < h )

dove Fr= l/n è la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*).
Se l’intervallo di campionamento è unitario (m=1), allora il tempo di ritorno
è l’inverso della frequenza di superamento del valore h*.

Si osservi, che in base a quanto sopra, esiste una relazione biunivoca
tra quantili e tempo di ritorno

52

Riccardo Rigon



150
Precipitazione (mm)

100

q(0.75) -> Tr = 4 anni
50

1 3 6 12 24

durata
q(0.25) -> Tr = 1.33 anni
Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni
53

Riccardo Rigon


Le curve di possibilità pluviometrica

h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp

54

Riccardo Rigon



tp

altezza di
precipitazione
legge di potenza

55

Riccardo Rigon



tp

altezza di
precipitazione
coefficiente
dipendente dal
tempo di ritorno

56

Riccardo Rigon



tp

altezza di
precipitazione

d u r a t a
considerata

57

Riccardo Rigon



esponente (non
dipendente dal
tp tempo
ritorno)
di

altezza di
precipitazione

58

Riccardo Rigon



tp

Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente
della durata, allora n >0

E’ noto però che l’intensità media della precipitazione:

h(tp , Tr )
J(tp , Tr ) := = a(Tr ) tn
p
1
tp
decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1

Riccardo Rigon



Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472
Tr = 100 anni a = 40.31
Tr = 200 anni a = 44.14

log(prec) [mm]
curve di possibilità pluviometrica
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4
1 10 tp[h] 100
60

Riccardo Rigon


Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele
tra loro nel piano bilogaritmico

log(prec) [mm]
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4
1 10 tp[h] 100
61

Riccardo Rigon



log(prec) [mm]
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8

1.7

1.6
tr = 500 anni
1.5 h(,500) > h(200)
tr = 200 anni
1.4
1 10 tp[h] 100
62

Riccardo Rigon



log(prec) [mm]
2.4
tr=50 anni
tr=100 anni
2.3 tr=200 anni
a 50
2.2 a 100
a 200
2.1

2

1.9

1.8 tr = 500 anni
1.7
tr = 200 anni
1.6

1.5 Invece h(,500) < h(200) !!!!
1.4
1 10 tp[h] 100
63

Riccardo Rigon


Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle
probabilità e dell’analisi statistica

E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra
quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.

Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di
probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori
estremi di tipo I, o curva di Gumbel

h a
P [H < h; a, b] = e e b
⇥<h<⇥

b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (in effetti la moda)

Riccardo Rigon


Distribuzione di Gumbel

Riccardo Rigon



La media della distribuzione e data da:

E[X] = b + a

dove:

0.57721566490153228606
è la costante di Eulero-Mascheroni:

Riccardo Rigon



La mediana:

a b log(log(2))

La varianza :

2
V ar(X) = b 2
6

Riccardo Rigon



La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate
le grandezze significative) è

y
P [Y < y] = e e

Riccardo Rigon



70

Riccardo Rigon


Metodi di adattamento dei parametri
relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di
adattamento dei parametri.

Ne useremo nel seguito 3:

- Il metodo dei minimi quadrati

- Il metodo dei momenti

- Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood)

Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn}

71

Riccardo Rigon



Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i
momenti della popolazione. Siano, ad esempio

µH
2
H

La media e la varianza e

(t)
MH

il momento t-esimo del CAMPIONE
72

Riccardo Rigon



Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei
momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti
della popolazione, che risultano definiti da:
⇥
MH [1; ] = EH [h] = h pdfH (h; ) dh
⇥
⇥
MH [t; ] = (h EH [h]) pdfH (h; ) dh t > 1
t
⇥
Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti
momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la
funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate
numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a
secondo membro ammette una soluzione analitica.
73

Riccardo Rigon



Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel
porre:

MH [1; a, b] = µH
MH [2; a, b] = ⇥H
2

o:

b + a = µH
2 2
b 6 = ⇤H
2

Riccardo Rigon


Il metodo della massima verosimiglianza
(maximum likelihood)

Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la
serie temporale registrata:

P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]

Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:

N
P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] = P [hi ; a, b]
i=1

Riccardo Rigon



N
P [{h1 , · · ·, hN }; a, b] = P [hi ; a, b]
i=1

La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza
rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri.

76

Riccardo Rigon



Meglio: rappresenta la distribuzione dei parametri condizionata alle misure
(in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)

Riccardo Rigon



Se la serie osservata è sufficientemente lunga, si ritiene che i parametri più
affidabili (veri!) siano i più probabili.

Nel caso della figura, a*.

Riccardo Rigon



Per semplificare i calcoli si definisce anche la funzione detta di log-
verosimiglianza:

N
log(P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]) = log(P [hi ; a, b])
i=1

79

Riccardo Rigon



Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere
da:

⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b])
⇥a =0
⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b])
⇥b =0

Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.

80

Riccardo Rigon


81

Riccardo Rigon


Metodo dei minimi quadrati

Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità
di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

e nel minimizzarlo

82

Riccardo Rigon



di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

scarto
quadratico

e nel minimizzarlo

82

Riccardo Rigon



di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

scarto
ECDF
quadratico

e nel minimizzarlo

82

Riccardo Rigon



di non superamento:
n
2
2
(⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥])
i=1

scarto
ECDF Probabilità
quadratico

e nel minimizzarlo

82

Riccardo Rigon


Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto
agli m parametri

⇤ (⇥j )
2
=0 j =1···m
⇤⇥j

Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie.

83

Riccardo Rigon


Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...

Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un verto senso ottimi.
Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare
un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson.

84

Riccardo Rigon


Il Test di Pearson
Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:

1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali

85

Riccardo Rigon


Il Test di Pearson

2 - derivarne una suddivisione del dominio

86

Riccardo Rigon


Il Test di Pearson

3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

87

Riccardo Rigon


Il Test di Pearson

6 - Valutare la funzione

dove:

P [H < h0 ] = P [H < 0]

P [H < hn+1 ] = P [H < ]

88

Riccardo Rigon


Il Test di Pearson

e nel caso della figura delle slides precedenti

(P [H < hj+1 ] P [H < hj ]) = 0.2

Quindi:

Riccardo Rigon


Il Test di Pearson

6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo

Per completare il tutto

7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24
ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durata

Riccardo Rigon


Dopo aver applicato Pearson
e ripetuto l’operazione per ognii durata

1.0
0.8
0.6

1h

3h
P[h]

6h

12h
0.4

24h
0.2
0.0

0 50 100 150

Precipitazione [mm]
91

Riccardo Rigon


Dopo aver applicato Pearson
e ripetuto l’operazione per ogni durata

1.0
Tr = 10 anni

0.8
0.6

1h
3h
P[h]

6h
12h
0.4

24h
0.2

h1 h3 h6 h12 h24
0.0

0 50 100 150

Precipitazione [mm]
92

Riccardo Rigon


Si ottengono infine per interpolazione le
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

180
160
140
120
t [ore]

100
80
60
40

0 5 10 15 20 25 30 35

h [mm]

93

Riccardo Rigon


Si ottengono infine per interpolazione le
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

94

Riccardo Rigon

Le precipitazioni Estreme - Addendum

2
Il

Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e
varianza unitaria, allora la variabile

e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato
da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con

che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione
Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà”

95

Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento


2
Il
from Wikipedia

La distribuzione, in effetti, è:

E la sua cumulata:

dove () è la funzione “gamma” incompleta
96



La funzione gamma incompleta

La funzione Gamma



2
Il
from Wikipedia

98



2
Il
from Wikipedia

Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà

E( k) =k

La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà

V ar( k) = 2k
La moda è pari a

99



2
Il
from Wikipedia

2
In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per
stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una
distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il
test ha la forma generale

100



2
Il
from Wikipedia

Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia
distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei
2
quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero
di addendi diminuito di 1.

In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte
l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione
degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con
k-1 gradi di libertà.
101



Ovvero

Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi,

Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k.

Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato



Se

Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2:

•dalla distribuzione ipotizzata, ma ottenendo un campione relativamente raro

•da un’altra distribuzione



2
Il
from Wikipedia

2
Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente
esclusive. L’ipotesi zero:

che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione

E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa:

che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione

104



Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro

L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal
vero con certezza

Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una
differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson),
ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili
ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti
tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che
i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata.

Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una
confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05



L’accettazione dell’ipotesi zero

E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato
secondo un criterio assunto come “ragionevole”.

Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si
accetta”.

A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale.

Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e da risultati
ripetibili.



In pratica
Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità

ovvero:



Se

Si rigetta l’ipotesi zero

Viceversa

si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare)



Corollario

Avendo a disposizione più ipotesi zero valide

Si accetta

Quella con più piccolo

Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di
confidenza.


Le precipitazioni estreme -
GEV
Michelangelo, Il diluvio, 1508-1509

Riccardo Rigon


Le precipitazioni Estreme - GEV

A little more formal

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un
Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la
distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità
non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

I) Distribuzione di Gumbel

z b
G(z) = e e a
⇥<z<⇥
a>0

111

Riccardo Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non
può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

II) Distribuzione di Frechèt

0 z b
G(z) = ( za b )
e z>b
a>0 >0

112

Riccardo Rigon


II) Distribuzione di Frechèt
from Wikipedia

P [X < x] = e x

Media

Moda

Mediana

Varianza

113

Riccardo Rigon



R:

dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE)
pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)
qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)
rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1)

114

Riccardo Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non
può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

III) Distribuzione di Weibull

e [ ( z a b )] z<b
G(z) =
1 z b
>0
a>0
115

Riccardo Rigon



from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull
(P. Rosin and E. Rammler, 1933)

116

Riccardo Rigon



from Wikipedia
Quando k = 1, la distribuzione di Weibull
III) Distribuzione di Weibull si riduce alla distribuzione esponenziale.
(P. Rosin and E. Rammler, 1933)
Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull
diventa molto simile alla distribuzione
normale.

Media

Moda

Mediana

Varianza
117

Riccardo Rigon



R:

dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE)
pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rweibull(n, shape, scale = 1)

118

Riccardo Rigon



Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una
distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

G(z) = e [1+ ( z
⇤
µ
)] 1/⇥

z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0
⇥<µ<⇥ ⇤>0
⇥<⇥<⇥

Per =0 la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel

Per >0 la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt

Per <0 la distribuzione diviene una Weibull
119

Riccardo Rigon



G(z) = e [1+ ( z
⇤
µ
)] 1/⇥

z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0
⇥<µ<⇥ ⇤>0
⇥<⇥<⇥

120

Riccardo Rigon



gk = (1 k )
121

Riccardo Rigon



R

dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE)
pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)
qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)
rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0)

122

Riccardo Rigon

Distribuzioni Autosimilari

Grazie per l’attenzione!

G.Ulrici, 2000 ?

Riccardo Rigon

Bibliografia e Approfondimenti

•Albertson, J., and M. Parlange, Surface Length Scales and Shear Stress: Implications
for Land-Atmosphere Interaction Over Complex Terrain, Water Resour. Res., vol. 35,
n. 7, p. 2121-2132, 1999

•Burlando, P. and R. Rosso, (1992) Extreme storm rainfall and climatic change,
Atmospheric Res., 27 (1-3), 169-189.

•Burlando, P. and R. Rosso, (1993) Stochastic Models of Temporal Rainfall:
Reproducibility, Estimation and Prediction of Extreme Events, in: Salas, J.D., R.
Harboe, e J. Marco-Segura (eds.), Stochastic Hydrology in its Use in Water Resources
Systems Simulation and Optimization, Proc. of NATO-ASI Workshop, Peniscola,
Spain, September 18-29, 1989, Kluwer, pp. 137-173.

Riccardo Rigon


•Burlando, P. e R. Rosso, (1996) Scaling and multiscaling Depth-Duration-Frequency
curves of storm precipitation, J. Hydrol., vol. 187/1-2, pp. 45-64.

•Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin
hydrology. 1. Precipitation scenarios for the Arno River, central Italy, Hydrol.
Process., 16, 1151-1175.

•Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin
hydrology. 2. Impacts on runoff variability of the Arno River, central Italy, Hydrol.
Process., 16, 1177-1199.

• Coles S., An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer,
‘‘

2001

• Coles, S., and Davinson E., Statistical Modelling of Extreme Values, 2008

Riccardo Rigon


•Foufula-Georgiou, Lectures at 2008 Summer School on Environmental Dynamics,
2008

•Fréchet M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société
Polonaise de Mathematique, Crocovie, vol. 6, p. 93-116, 1927

•Gumbel, On the criterion that a given system of deviations from the probable in
the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably
supposed to have arisen from random sampling, Phil. Mag. vol. 6, p. 157-175, 1900

• Houze, Clouds Dynamics, Academic Press, 1994

Riccardo Rigon


• Kleissl J., V. Kumar, C. Meneveau, M. B. Parlange, Numerical study of dynamic
Smagorinsky models in large-eddy simulation of the atmospheric boundary layer:
Validation in stable and unstable conditions, Water Resour. Res., 42, W06D10, doi:
10.1029/2005WR004685, 2006

•Kottegoda and R. Rosso, Applied statistics for civil and environmental engineers,
Blackwell, 2008

•Kumar V., J. Kleissl, C. Meneveau, M. B. Parlange, Large-eddy simulation of a diurnal
cycle of the atmospheric boundary layer: Atmospheric stability and scaling issues,
Water Resour. Res., 42, W06D09, doi:10.1029/2005WR004651, 2006

•Lettenmaier D., Stochastic modeling of precipitation with applications to climate
model downscaling, in von Storch and, Navarra A., Analysis of Climate Variability:
Applications and Statistical Techniques,1995

Riccardo Rigon


•Salzman, William R. (2001-08-21). "Clapeyron and Clausius–Clapeyron
Equations" (in English). Chemical Thermodynamics. University of Arizona. Archived
from the original on 2007-07-07. http://web.archive.org/web/20070607143600/
http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html.
Retrieved 2007-10-11.

•von Storch H, and Zwiers F. W, Statistical Analysis in climate Research, Cambridge
University Press, 2001

•Whiteman, Mountain Meteorology, Oxford University Press, p. 355, 2000

Riccardo Rigon


•Equazione del moto della parcella (equazione di Eulero)

In un ambiente in equilibrio (velocita’ media nulla)

Dalle slides di Dino

Riccardo Rigon


Assumendo l’equilibrio idrostatico

si ottiene


Riccardo Rigon


da cui:

o:

con:


Riccardo Rigon


usando ora l’assunzione che la parcella si muova di moto adiabatico:

e l’equazione di stato dei gas ideali

si ottiene:


Riccardo Rigon


da cui:

ed infine l’equazione differenziale ordinaria:


Riccardo Rigon


per :

si ha equilibrio neutrale

equilibrio instabile (la soluzione diverge
esponenzialmente)

per :

equilibrio stabile (la soluzione oscilla con frequenza

detta di Brunt - Vaisala

Riccardo Rigon

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