DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
LORIANNYS SEMIAO
C.I. 28.512.341
PROF. PEDRO BELTRÁN
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN: BARCELONA
CARRERA: ARQUITECTURA
ASIGNATURA: MATEMÁTICA III

INTRODUCCIÓN
La matemática, constituye la base de la arquitectura, su relación se remonta a los primeros tiempos de
la construcción del hombre de las estructuras funcionales, por lo que históricamente, la arquitectura era parte de
la matemática, y en muchos períodos del pasado, las dos disciplinas eran indistinguibles.
De esta manera en las antiguas sociedades bizantinas, egipcias, griegas, islámicas y romanas, los
matemáticos eran arquitectos, y los arquitectos eran matemáticos, de tal modo que los matemáticos participaron
en el diseño de grandes estructuras como pirámides, estadios, templos, zigurats y canales de riego.
Es importante mencionar, que las derivadas o diferenciales tienen demasiadas aplicaciones, son la base
de la mayoría de las ingenierías, con las derivadas puedes resolver muchos problemas relacionados con la
variación del tiempo, para así poder visualizar la sombra, que beneficie a la edificación.
Además de ello, también la derivación de funciones de varias variables (en el Espacio R3 ), como las
derivadas parciales, diferencial total, gradientes, divergencia y Rotor, plano tangente y recta normal, regla de la
cadena, Jacobiano, extremos relativos, multiplicadores de Lagrange, integración defunciones de varias variables,
integrales dobles y triples, integral en línea y los teoremas de: Gauss, Ampere, Stoke y Green, también tienen
muchas aplicaciones en las obras arquitectónicas, lo cual permiten una mejor funcionalidad y .

Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro
número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se aproxima al valor de a, la función se acerca
al valor L que corresponde al límite.
Cuando x tiende al valor de c, la función f tiende al valor de L. Algunos limites son obvios y corresponden al
mismo valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites no se usan en casos obvios sino en funciones
más complejas donde el valor de una función puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado
en este asunto.
En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un valor L. Sin embargo, la
tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables
independientes que componen a la función.

Para las funciones de dos variables, x se podía
aproximar a un valor acercándose tomando
valores menores (por la izquierda) o tomando
valores mayores (por la derecha). Solo existen
dos posibilidades. En funciones de varias
variables ocurre lo mismo, sin embargo el
acercamiento ocurre hacia un punto ( x , y ), y al
ubicarlo en el espacio, el acercamiento puede
hacerse desde una cantidad infinita de
direcciones y no solo eso, sino de trayectorias.
Por ejemplo, al punto (0,0) se le puede
aproximar por la trayectoria de la función y =
x^2, por izquierda y por derecha, así como por
la trayectoria de la función z = x o z = y. El
objetivo es aprovechar todo lo anterior para
encontrar un límite que pareciera que no puede
ser resuelto. Por ejemplo:

Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
El conjunto de todas las ternas
ordenadas de números reales
recibe el nombre de espacio
tridimensional , y se denota
por R³ . Cada terna ordenada
(x,y,z) se denomina punto del
espacio tridimensional

Continuidad de una función de dos variables

DERIVACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES (EN EL
ESPACIO R3 ).
Por una función de varias variables entendemos una función
f : D ⊂ R
n −→ R
m que a cada punto X ∈ D le hace corresponder un único punto
Y ∈ R
m, que notaremos en la forma Y = f(X) y que llamaremos imagen del
punto
X mediante la función f . El conjunto D se llama dominio de la función.
Formalmente se indica en la forma
f : D ⊂ R
n −→ R
m
X = (x1,..., xn) 7−→ f(X) = (f1(x1,..., xn),..., fm(x1,..., xn)),
donde cada fi
, i = 1,...,m, es una función
fi
: D ⊂ R
n → R
que se llama componente i-ésima de f .
En forma abreviada, una función de m componentes se escribe como f =
(f1,..., fm).

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Llamaremos función real de varias variables (o campo escalar) a
toda función
f : R¨¨ → R
Y llamaremos función vectorial de varias variables (o campo
vectorial) a toda función
f : R¨¨ → Rm
En ambos casos se dice que f es una función de n variables.

Calculo de derivada

En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables,
es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como
constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría
diferencial, funciones analíticas, física, matemática
DERIVADAS PARCIALES

Si f está una función de x y
y, el proceso de tomar la
derivada parcial ∂f/∂x y
evaluarla a (a, b) es nada
más que tomar constante y
a y = b y calcular la razón
de cambio de f en el punto
x = a. Entonces, la derivada
parcial es el pendiente de la
recta tangente en el punto
donde x = a y y = b, a lo
largo del plano que pasa
por y = b
Interpretación geométrica de derivadas parciales
∂z ∂x (a, b) es el pendiente de la recta
tangente en el punto P(a, b, f(a, b)) a lo
largo del corte que pasa por y = b.

DIFERENCIAL TOTAL

Ejemplo

DIFERENCIAL TOTAL

Ejemplo

Interpretación geométrica en R2

GRADIENTE

Propiedades

EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica cuán curvadas están las
líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica
exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un
punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas
(aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse
simétricamente si existe divergencia en ese punto)
Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas
de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está
curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de
curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el
campo.”
DIVERGENCIA Y ROTOR.

Rot F = 2 ex seny k
En la figura 5 vemos como las hay una tendencia
curva en las líneas del campo.
En el punto (1, 1). En este caso Mod Rot F = 2 e sen
1= 4.57
Para este ejemplo, la divergencia de F en (1, 1) es
igual a
Div F = ex cosy + excosy = 2ex cosy
En (1, 1) Div F = 2.94
Eso significa que en este campo, en este punto (1,
1) no sólo tiene tendencia a rotar sino también a
abrirse.

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL.
Plano tangente

Ecuación del plano tangente

RECTA NORMAL

Ejemplo

Es una fórmula
para la derivada
de la composición
de dos funciones.
Tiene
aplicaciones en el
cálculo algebraico
de derivadas
cuando existe
composición de
funciones.
REGLA DE LA
CADENA

A la izquierda, la función f(x)=sin(Ln(x)). A la derecha, su derivada f'(x),
obtenida aplicando la regla de la cadena. En ella, la última función que actúa, el
seno, en azul, es la primera que se deriva. Posteriormente actúa el logaritmo
neperiano, en verde. Precisamente por ello se denomina regla de la cadena,
porque el proceso consiste en ir "encadenando" sucesivamente las derivadas de
las funciones que actúan.
Ejemplo
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros
por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la
temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro
y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio
de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Demostración regla de la cadena
En un entorno de x, f(x+h) puede ser reescrita como f(x)+k. Además,
observa como al hacer h próximo a 0, el valor de k también se acerca a 0.
g[f(x+h)]=g[f(x)+k]
Si h→0, entonces k→0

JACOBIANO
La matriz Jacobiana
En cálculo vectorial, se llama Jacobiano o determinante jacobiano al determinante
de la matriz Jacobiana. Tanto la matriz Jacobiana como el determinante Jacobiano
reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi
Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una
función.
Recibe este nombre en honor a Carl Gustav Jacobi, un importante matemático y
profesor del siglo XIX que hizo importantes contribuciones al mundo de las
matemáticas, especialmente en el campo del álgebra lineal.

Transformaciones lineales / Jacobiano
En la vista de la izquierda, un cuadrilátero que podrás deformar a tu gusto,
moviendo sus vértices. - En la vista derecha, el cuadrilátero que se obtiene al
aplicar al anterior la transformación lineal dada por u=u(x,y) ; v=v(x,y) - Se muestra
también el jacobiano de la transformación y las áreas de ambas regiones

Extremos relativos
Se trata de puntos donde una función adquiere un máximo o mínimo valor
posible, esto es en comparación a los puntos de un entorno cercano a ellos, a
este tipo de puntos los llamaremos extremos relativos.
Máximos y mínimos
Son los valores más grandes y también los más pequeños de una función, se
les conoce como extremos de una función.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto
cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico
máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el
contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un
punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico
mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno,
ninguno o varios puntos críticos.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f está una función de x y y,
entonces f tiene un máximo
relativo a (a, b) si f(a, b) ณ f(x, y)
para toda (x, y) en una pequeña
cercanía de (a, b). Un mínimo
relativo se define en manera
parecida. f tiene un punto de silla
en (a, b) si f tiene allí un mínimo
relativo a lo largo de un corte y
un máximo relativo a lo largo de
un otro corte.
La función que se ilustra tiene un
mínimo relativo a (0, 0), un
máximo relativo a (1, 1), y puntos
de silla a (1, 0) y (0, 1).

Ejemplos
Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para
encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema
2x = 0
-2(y-1) = 0.
La primera ecuación produce x = 0, y la segunda da y = 1. Entonces, el
único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de f es el plano
cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un
candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.
Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:

fxx(x, y) = 2
fyy(x, y) = -2
fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0
Después calcule
H = fxx(0, 1)fyy(0, 1) -[fxy(0,
1)]2
= (2)(-2) -02 =- 4
Como H es negativo, tenemos un
punto de silla a (0, 1). Aquí está la
gráfica de f que muestra su
ubicación.

Máximos y mínimos de funciones de dos variables

Ejemplo

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados
así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y
mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el
problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es
igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.
Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas
multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un
extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una
nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las
funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias
variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las
condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de
la función sean iguales a cero.

Sea f : R
2 → R dada por
f(x, y) = (x + 1)2 + y
2
En este caso vamos a encontrar los puntos críticos
∇f(x, y) = (2(x + 1), 2y) ⇒ ∇f(x, y) = (0, 0) ⇔
2(x + 1) = 0
2y = 0 ⇔
x = −1
y = 0
por lo tanto el único punto crítico es (−1, 0) para ver si es máximo o mínimo nos fijamos
que en la
función
f(x, y) = (x + 1)2 + y
2 ⇒ f(x, y) ≥ 0
en este caso cuando evaluamos en el punto crítico (−1, 0) se tiene
f(−1, 0) = (−1 + 1)2 + 02 = 0
Ejemplo

por lo que podemos decir que el punto (−1, 0) es un punto mínimo

Integración de funciones de varias variables
La integral definida de una
función representa el área
limitada por la gráfica de la
función, en un sistema de
coordenadas cartesianas con
signo positivo cuando la
función toma valores
positivos y signo negativo
cuando toma valores
negativos.

Conceptos y aplicaciones
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una
piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su
longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el
volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie
(para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida).
Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son
sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

EJEMPLO DE
INTEGRAL
PARTES

INTEGRALES DOBLES
Son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras cosas,
nos permiten calcular el volumen bajo una superficie.
Dada una función de dos variables, f(x, y), puedes encontrar el volumen entre
la gráfica y una región rectangular del plano xy al tomar la integral de una
integral esta es la función de y

A esta integral se le conoce como
integral doble.
Definición.
Sea z=f(x;y) una función definida, continua y acotada en una región
R del plano.
Consideremos un punto Pk arbitrario interior a cada sub-division
de una partición P y sea f(Pk) el valor de la función en dicho punto.
llamaremos con el nombre de suma de productos interiores o suma
de Riemann correspondientes a la función f(x;y) y a una partición
P,a:

Si efectuáramos nuevas particiones de la región R, cada vez más refinadas tal
que 0 aumentaría el numero de partes.
si existe el limite de esta suma, cuando 0 lo llamaremos integral doble de la
función z= f(x;y) en la región R y lo representamos por:

Propiedades de la integral doble.
Descomposición con respecto de la
región de integración: si la región R se
descompone en R1 y R2/R1R2= y R1
R2=R
Propiedad de homogeneidad:
Siendo C = constante y f
(x;y)integrable en R

Descomposición con respecto al integrando.
siendo f(x;y) y g(x;y) son integrables sobre la región R
Propiedad de
monotonía:
si f(x;y) y g(x;y) son
integrables en R y

S es la región limitada por las rectas y=-1,y=1,x=3 y el eje y.
Graficamos la región de integración.

INTEGRALES DOBLES RECTANGULARES
construimos sumas de Riemann asociadas los puntos intermedios y a sus
particiones , cuando la suma de todas estas particiones tiende a 0 las suma de
estas es mas cercana al valor real, el nombre que obtiene dicho valor se llama
integral de la función dada. Cambiamos el dominio de definición, pasamos de
un intervalo a un rectángulo

y en las particiones consideramos su rectángulos en vez de subintervalos. El
primer objetivo de esta sección es dar una definición de volumen del conjunto

Integrales
Dobles
Circulares.
hallando los limites de integración y formulándolos en la integral nos
quedaría:

hallando los limites de
integración y
formulándolos en la
integral nos quedaría:
la región circular se
obtiene al hacer rotar un
segmento de recta en
torno al origen del
sistema.

para poder realizar la
conversión a coordenadas
polares deberíamos
recordar:
entonces, tomando
pequeños diferenciales
los cuales se aproximan
a una región
rectangular nos
quedaría la siguiente
integral.

por lo tanto para encontrar una integral en coordenadas polares
se debe.
expresar la región en el sistema polar, y determinar los limites de
integración.
sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su
equivalente en coordenadas polares.
reemplazar el diferencial de área por su equivalente en
coordenadas polares
evaluar la integral resultante.

Integrales dobles
Definición geométrica de la integral doble
La integral doble de f(x, y) en la región R del plano xy
se define como
R f(x, y) dx dy
= Volumen arriba de la región R y abajo de la gráfica de f
- Volumen abajo de la región R y arriba de la gráfica de f.
La siguiente figura demuestra el volumen (en el caso que la gráfica de f está arriba de la región R).

La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz.
(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz.
(Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)
La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy.
(Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

Gráfica de una función de dos variables
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y,
f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a
estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos
puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

Ejemplos
La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio
tridimensional.

INTEGRAL DE LÍNEA.
Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada
sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del
plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a
lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos
por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

FORMULA

Fórmulas para calcular la integral de línea.
Segundo método
Primer método

ENCONTRAR LA INTEGRAL DE
LÍNEA PARA
Problema de
las funciones
en el intervalo
Solución
Se derivan las funciones con respecto a
“x”
Y con respecto a “y”

Utilizando la fórmula del
primer método
Sustituyendo

Integral de línea Curvas y parametrizaciones

TEOREMA DE GAUSS
En Cálculo Vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o
teorema de Gauss-Ostrogradsky, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una
superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha
superficie
El teorema de Gauss, mejor conocido como teorema divergencia, es un postulado establecido
dentro de la geometría diferencial. A su vez, trabaja de la mano con la teoría del cálculo un
integral. De esta manera, el teorema define una forma de calcular una integral de un campo
vectorial sobre una superficie, a través de una integral de volumen. Este enunciado se expresa
a través de la siguiente fórmula:

Se tiene que:
S es una superficie cerrada, la cual contiene al volumen V
F hace referencia a un campo vectorial arbitrario
n es el vector unitario normal a la superficie.

TEOREMA DE AMPÉRE
la ley de Ampère, modelada por el francés André-Marie Ampère en 1831,1 relaciona un campo
magnético estático con la causa, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell
la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del
electromagnetismo de la física clásica.
La ley de Ampère explica que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno
cerrado es proporcional a la corriente que recorre en ese contorno.
El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encierran la corriente.
La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente.
El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor.
De esta manera se tiene que, el planteamiento define el cálculo de una integral de línea que se
encuentra dentro del campo vectorial F, la cual tiene una dirección tangencial apuntando a la curva
C. Se dice que esta entonces será igual a la integral de la superficie S, la cual se halla en la
circulación del campo F que limita con dicha superficie. Es así como se concluye que la orientación
de la curva C es positiva, y que la superficie S igualmente está orientada positivamente.

La circulación del vector campo magnético a lo largo de una curva cerrada que rodea a un
conductor por el que circula una corriente de intensidad I, es igual al producto de la constante
µo (permeabilidad magnética del vacío) por la intensidad que penetra en el área limitada por
la curva.

TEOREMA DE STOKES
El teorema de Stokes es una proposición que forma parte de la geometría diferencial. Dentro de
este, se define que es posible transformar una integral de curva a una integral de superficie. Y de
la misma manera, se dice que se estable una relación entre las integrales de línea y de superficie.
El teorema de Stokes es una teoría propuesta por dos científicos irlandeses de las áreas física y
matemática. William Thompson fue el prime el realizar sus aportes a este postulado. Y
posteriormente, George Gabriel Stokes complementó el enunciado. Aunque se le conoce también
como teorema de Stokes-Thompson, fue reconocido solo por el apellido de Stokes al ser este
quien lo presentara en un examen parra el Premio de Smith.

De esta manera se tiene que, el planteamiento define el cálculo de una integral de línea que se
encuentra dentro del campo vectorial F, la cual tiene una dirección tangencial apuntando a la curva
C. Se dice que esta entonces será igual a la integral de la superficie S, la cual se halla en la
circulación del campo F que limita con dicha superficie. Es así como se concluye que la orientación
de la curva C es positiva, y que la superficie S igualmente está orientada positivamente.

El cálculo de una integral de una función f que comprende un intervalo [a,b], se puede hacer a
través de una anti derivada F de f. De esta manera, se desarrolla la siguiente
fórmula:
abfx dx= Fb-F(a)

TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green se ha logrado relacionar estrechamente con las integrales. Y es que la
aplicación de este se basa en el cálculo integral.
Cuando hablamos de este término, se hace referencia a un proceso de cálculo que permite
obtener una función a partir de su derivada. De esta manera, vuelve a su estado original. A su
vez, se conoce a la integral como la operación inversa de la derivada. Al conocer esta teoría,
es que se puede entender ampliamente el postulado de Green.
tanto en física como en matemáticas, el teorema de Green establece la relación entre una
integral de línea a nivel de una curva cerrada simple C y una integral de tipo doble sobre la
región plana D la cual es limitada por C.

Dentro de este postulado se afirma que, “Sean C una curva cerrada simple
positivamente orientada diferenciable por trozos en el plano, D la región
limitada porC y F= (P,Q) un campo vectorial en el plano. Si P y Q tienen
derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D”.

CONCLUSIÓN
Las matemáticas, son importantes para la construcción de edificaciones, ya que las estructuras
carecerían de integridad sin sus debidos cálculos, de esta manera que para que un edificio tenga resistencia y
estabilidad, debe tener ángulos precisos, longitudes correctas de sus muros y medidas adecuadas para el techo.
Además de ello, la estética arquitectónica o la belleza depende en gran medida de las matemáticas.
Arquitectos como Louis Sullivan añadieron diseños ornamentales a los edificios para realzar su belleza, por lo
que tales diseños emplearon simetría, formas geométricas, fractales y otros patrones de papel tapiz que derivan
de la matemática.
De esta forma, tanto en arquitectura como en las ingenierías es indispensable tener un dominio en el
cálculo, ya que existen muchas cosas que se pueden construir y diseñar, que resultan limitadas básicamente
por las dificultades técnicas para la ejecución de las obras, pero si se hace el cálculo preciso en el tiempo
indicado se podrá lograr el éxito en nuestros proyectos.

ANEXOS
VIDEO. DERIVADAS PARACIALÑ. REGLA DE LA CADENA.
https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68
VIDEO. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN.
https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM
VIDEO. DERIVADAS PARCIALES.
https://www.youtube.com/watch?v=eqpy04gK64c.

BIBLIOGRAFIA
Cálculo aplicado resumen del tema: funciones de varias variables. Disponible en:
https://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html. 05-01-2021.
GRADIENTE - DIVERGENCIA – ROTACIONAL. Disponible en:
http://juanfernandosaninmaths.blogspot.com/2011/06/gradiente-divergencia-rotacional.html. Medellín,
Agosto 2011. visitado 20-12- 2020.
Derivación e Integración de Funciones de Varias Variables. Publicado por Erwin Portillo, disponible
en: https://prezi. Com /ygpxdd2dlazy/ derivacion-e-integracion- de-funciones –de -varias-variables/?
frame=f49e32c812d5cfbfa76dca82e8de98176b098f88, 22 de marzo de 2018. visitado 20- 12- 2020.
FISICA LAB. Teorema de Gauss. Disponible en: https://www.fisicalab.com/apartado/teorema-gauss.
02- 01- 2021.
Derivadas Parciales
Slideshare. Disponible en: https://
www.slideshare.net/gerardogarcia116/derivadas-parciales-71400915. 20-12-2020

Integral de Línea. Calculo Vectorial. Disponible en:
https://temasdecalculo2.wordpress.com/2018/01/02/5-2-integral-de-linea-calculo-vectorial/. 02-01- 2021.
Integrales de línea y de Superficie. Disponible en:
https://sites.google.com/site/sierraexportadorapalta216/3-integrales-de-linea-y-de-superficie. 04- 01-
2021.
Máximo y mínimo. Disponible en:
http://maximosminimosyplanotangente.blogspot.com/2017/11/rfrfr.html. 02-01- 2021.
MeGTS. Disponible en: https://medium.com/@MrGTS/integrales-dobles-ede08e3f71d4. 05-01-2021.
Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccional. Disponible en:
https: //es. slideshare. net/ juancarlosbroncanotorres/ sesin-03 -30091046 . Publicado el 16 de ene. de
2014. visitado 05-12-2021.
Portafolio Cálculo 1, Jhordi Gómez. Disponible en:
https://sites.google.com/site/portafoliocalculo1jhordigomez/extremos-relativos-y-puntos-o-numeros-
criticos. 05- 01- 2021.

Rotacional. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional. 02- 01- 2021.
Reglas de derivación y regla de la cadena. Disponible en:
https://www.problemasyecuaciones.com/funciones/derivadas/reglas-derivacion-cadena-ejemplos-
suma-resta-producto-cociente-derivadas.html. 10- 01-2021.
Regla de la Cadena. Disponible en: https://www.fisicalab.com/apartado/regla-cadena. 05- 01- 2021.
Teorema. Disponible en: https://www.teorema.top/teorema-de-gauss/. 02-01- 2021.
Teorema. Disponible en: https://www.teorema.top/teorema-de-green/. 02-01- 2021.

Wikipedia. La enciclopedia Libre. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena.
10-01-2020.
Wikipedia. La Enciclopedia Libre. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano. 02-01- 2021.
Wikipedia la Enciclopedia Libre. Disponible en:
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange. 07-01- 2021.
Wikipedia la Enciclopedia Libre. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n. 05-
01-2021.
Wikipedia la Enciclopedia Libre. Disponible en:
https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea. 05-01-2021.