1

1. Практичне заняття 5
Циркуляція векторного поля. Ротор
Завдання 5.1. Обчислити циркуляцію векторного поля
вздовж замкненого контуру( 2 ) ( 1)F x y i y j z    
   
k L, утвореного
перетином площини 2 2x y z   з координатними площинами
0, 0, 0.x y z  
Розв’язання. Контур L являється кусково-гладкою кривою, яка
складається з трьох гладких ліній (відрізків прямих): 1 2 3L L L L   (рис.
П5.1), тому циркуляцію обчислюємо за формулою (5.2)
1 2 3
.
L L L L
Ц F d F d F d F d             
       
Знайдемо дані криволінійні інтеграли:
а)
 0, 0
1 2 2; 2 2
1 1
:
2 , 1, 0( 2 ) ( 1)
z dz
x y y x
A B
L AB
dy dx x x
L L
F d x y dx ydy z dz
 
   
         
 

 
20 0
0
1
1 1
9
( 2(2 2 )) (2 2 ) ( 2) (8 7 ) (8 7 ) | ;
2 2
x
x x dx x dx x dx x              
б)
 0, 0,
2 2; 2
2
:
, 2, 0( 2 ) ( 1)
x dx
y z z y
B C
L BC
dz dy y y
L
x y dx ydy z dz
 
   
       
2; 
0 0
0
2
2 2
0 (2 1)( ) |ydy y dy dy y           

2. Рис. П5.1
в)
 0, 0,
3 2 2; 2 2
3
:
2 , 0, 1( 2 ) ( 1)
y dy
x z z x
C A
L CA
dz dx x x
L
x y dx ydy z dz
 
   
       
 
21 1
1
0
0 0
1
( 0) 0 (2 2 1)( 2) (5 2) 5 2 | .
2 2
x
x dx x dx x dx x
 
             
 
 
9 1
2 2
2 2
Ц        0.
)
Завдання 5.2. Знайти циркуляцію векторного поля
вздовж замкненого контуру2 2
(F xyi xz j x y k   
   
L, утвореного
перетином поверхонь а) безпосередньо; б) за формулою
Стокса.
2 2
1; 2:x y z  
Розв’язання. а) Контур - коло (рис. П5.2), тому перейдемо до
параметричного завдання:
L
cos ; sin ( 1).x R t y R t R  
2 2
cos ,
: sin ,
2.
( )
sin ,
cos ,
0; 0 2
L L
x t
L y t
z
Ц F d xydx xzdy x y dz
dx tdt
dy tdt
dz t





       
 

  
 
 


3. Рис. П5.2
 
2 2
2 2
0 0
32 2
2 2 2
0 0
0 0
cos sin sin 2cos cos 0 sin cos 2cos
1 cos2 sin 1
sin (sin ) 2 | sin2 | 0 2 0 2 .
2 3 2
t t tdt t tdt t tdt tdt
t t
td t dt t t
 
 
 
 
            
  
           
 
 
 
б) Циркуляцію обчислюємо використовуючи формулу Стокса (4.6). В
даному випадку
2 2
, , ( ); ;
; ; 2 ; 2 ;
P P
P xy Q xz R x y x
y z
Q Q R R
z x x y
x z x y
0;
 
      
 
   
     
   
поверхня : 2z 
os ; cos ) 
- паралельна до площини , томуXOY
(cos ; c ( (0;0;1)).n k 
 
k 

       2 0 0 2 0 1Ц y x x z x d z x d
 
                

4.  
2 1
0 02 2
32 2
2 1 2
0 0
0 0
: 2,
, 2 (2 cos
: 1 1
1 1
cos | 1 cos sin | 2 .
3 3 3
xyD
xy
z
d dxdy x dxdy d d
D x y
d d

 


)     


      

     
   
     
           
    
  
  

Завдання 5.3. Знайти циркуляцію поля    2 3 6F x y i y j z     k
   
вздовж замкненого контуру ,L утвореного перетином площини
2 3 6x y z   з координатними площинами 0, 0, 0.x y z  
Відповідь. .18Ц  
Завдання 5.4. Знайти циркуляцію поля 2
F yzi xy j x    k
   
вздовж
замкненого контуру ,L утвореного перетином поверхонь а)
безпосередньо; б) за формулою Стокса.
2 2
4,x y  2:z 
Відповідь.
Завдання 5.5. Знайти ротор векторного поля
     2
F x z i y z j x z     
   
k .
Розв’язання. Використовуючи формулу (5.6), будемо мати
   
       
       
2
2
2
0 1 2 1 0 0 2 1 .
i j k
x z y z
rotF i
x y z y z
x z y z x z
x z x z y z x z
j
x z x y
i j x k rotF i x
          
     
 
  
         
     
       
          
  
 

    
j



Завдання 5.6. Знайти ротор векторних полів:
а) 2 2
2 ;
x
F x yi yz j k
y
  
   
б)      2 2 2 2 2 2
;F x y i y z j z x k     
   

5. в) 3 3 3
;F z i y j x k  
   
г)  2 21
.
2
F y i x  
  
j
Відповідь.
в)  2 2
3 ;rotF z x j 
 
г)  rotF x y k 
 
Завдання 5.7. Стаціонарний рух потоку рідини задано вектором
кутової швидкості  0;0; 


. В цьому випадку векторне поле задається
векторною функцією  .M yi x j 
 
   

Знайти ротор даного поля.
Відповідь. 2rot k 
 
.
Завдання 5.8. Знайти ротор вектора H

напруженості магнітного поля.
Розв’язання. Вектор H

напруженості магнітного поля, яке
створюється постійним струмом I , визначається формулою
   2 2 2
2
2
, .
I
H yi x j x y

    
  
Знайдемо ротор даного поля:
 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 4
2 2
2 2
0
2 2
2 0
i j k
Ix Iy
rotF k
x y z x y
Iy Ix
x y x y
x y x x y y
I k
 
 
, 0 .x y
        
       
        

 
    
    
 
  
 


k 2
Таким чином, у всіх точках простору, крім точок осі Oz , тому
циркуляція даного поля по довільному контуру, який не містить вісь
дорівнює нулю.
0rotH 

Oz
Завдання 5.9. Знайти циркуляцію векторного поля
вздовж замкненого контуру
(рис.П5.3).
2 2
2F yzi x j x z  
    2 2 2
: ;L z x y z  

6. Розв’язання. Циркуляцію обчислюємо за формулою Стокса (5.7).
Рис. П5.3
Знайдемо ротор поля :F

  
 
2 2
0 2 2 2 2
2
: 2|| . 0;0;1 ;
i j k
rotF i xz y j x z k
x y z
zy x x z
z пл XOY n k
  
     
  
 
   
  
   
 
 .
 
   
2 2
32 2 2
2 2
0
0 0 0
: 2,
2 2 ,
: 4 2
2 4 2 cos 2 2 cos |
3xy
xy
D
z
Ц rotF nd x z d d dxdy
D x y
x dxdy d d d
 
 

  


       

      
   
 
          
 
 
   
 
2
2
0
0
8 8
2 cos 4 2 sin 4 | 16
3 3
d


.   
   
          
   
 

7. Завдання 5.10. Знайти циркуляцію векторного поля
 3
2F xzi y x j yzk   
   
вздовж замкненого контуру 2 2
: 4 ; 3L z x y z   
(рис.П5.4).
Рис. П5.4
Розв’язання. ;Ц rotF nd

 
 
 
2
3
2
2 3
2
: 3|| . 0;0;1 ;
3 .
i j k
rotF zi x j x k
x y z
xz y x yz
z пл XOY n k
rotF n x

  
   
  
 
   
 
.
  
   
 
 
Маємо:
2 1
2 3
0 02 2
2
0
: 3,
3 , 3
: 1 1
3 1 cos2 3 3
2 .
4 2 8 4
xy
z
Ц x d d dxdy d d
D x y
d




2
cos   


  

   
   

   
  

 

8. Завдання 5.11. Знайти циркуляцію векторного поля
вздовж контуру2
F y i xz j y zk  
   2
1.2 2 2
: ;L z x y z  
Відповідь. Ц   .
Завдання 5.12. Знайти циркуляцію векторного поля
вздовж контуру3
F y i yz j xz   
   2
k .2 2
: 1 ; 0L z x y z   
Відповідь.
3
4
Ц  .
Завдання 5.13. Знайти циркуляцію векторного поля
вздовж контуру2
F y i zx j xyzk  
    2 2
: 6 ;L z x y z 2.    
Відповідь. 8Ц  .
ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ:
Практичне завдання №5
Номери:5.4, 5.6 а,б.
РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ВИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З
РОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)