1. Практичне заняття 1
Похідна за напрямом
Завдання 1.1. Побудувати лінії рівня плоского скалярного поля
( ) ,Z M x y які відповідають значенням 1,2,3,4,5.Z
Розв’язання. Рівняння сімейства ліній рівня має вид ( ) ,Z M C тобто
x .y C Покладемо 1
M
z
y
отримуємо відповідні лінії рівня:
1; 2; 3; 4; 5.x y x y x y x y x y
Побудуємо ці лінії в прямокутній системі координат .xOy Отримуємо
прямі, які паралельні бісектрисі 2-го і 4-го координатних кутів (рис. П1.1).
Рис. П1.1
Завдання 1.2. Знайти поверхні рівня скалярного поля 2
.u x y
Розв’язання. Сімейство поверхонь рівня скалярного поля
визначається рівнянням: ( , , ) .u x y z C В даному випадку отримуємо:
2
,x y C або — сімейство параболічних циліндрів.2
y C x
2. Завдання 1.3. Знайти похідну функції 2
z x y2
в точці (3;4):A
1) за напрямом бісектриси першого координатного кута;
2) за напрямом радіуса-вектора точки ;A
3) за напрямом вектора 4 3 .i j
Розв’язання. Знаходимо частинні похідні функції 2
z x y 2
:
і
обчислюємо їх значення в точці A
2 2 2 2
3 4
; ; ;
5 5A A
z x z z y z
x x y yx y x y
.
Похідна функції в точціz Aза довільним напрямом (cos ,cos ):
3 4
cos cos .
5 5A
z
Знаходимо косинуси кутів і і похідну функції за заданим
напрямом.
z
1) Для бісектриси першого координатного кута 45 ,
2 3 2 4 2 7
cos cos , .
2 5 2 5 2A
z
2
10
2) Для вектора 2 2
(3,4): 3 4 5,OA OA
3 4 3 3 4 4
cos ,cos , 1.
5 5 5 5 5 5A
z
3) Для вектора 2 2
4 3 : 4 ( 3) 5,i j
4 3 3 3 4 4
cos ,cos , 0.
5 5 5 5 5 5A
z
Завдання 1.4. Знайти похідну поля 2 2
( ) 2u M y z xyz z в точці
(3;1;1)M за напрямом вектора ,
якщо
утворює з координатними осями
гострі кути , , , причому ,
3 4
.
Встановити характер зміни поля в
даному напрямі.
3. Розв’язання. За умовою задачі
1 2
cos cos ,cos cos .
3 2 4 2
Так як а кут2 2 2
cos cos cos 1, гострий, то
2 2 1 1 1
cos 1 .
4 2 2
cos 1 cos Частинні похідні функції ( )в
точці
u M
(3;1;1)M мають значення:
2 ; 2; (2 2 ); 4
M M
u u u u
yz yz xz
x x y y
;
2
2 2 ;
M
u u
y xy z
z z
3.
Похідна за напрямом буде:
cos cos cos
M MM
u u u u
x y z
1 1 1 5 4
( 2) ( 4) ( 3) .
2 22
2
2
Тобто 0,
u
отже, скалярне поле ( )u M спадає в заданому напрямі.
Завдання 1.5. Знайти похідну функції в точці
за напрямом від точки
2
ln( 3 )u xz y z
0(2; 2; 1)M 0M до точки З’ясувати
характер зміни поля в даному напрямі.
1(3; 5;1).M
Розв’язання. Знаходимо вектор 0 1M M
і його напрямні косинуси:
2 2 2
3 2 ; 1 ( 3) 2 14i j k
;
1 3
cos ;cos ;cos .
14 14 14
2
Тепер обчислюємо значення частинних похідних у точці 0 :M
0 0
2
2 2
1 1
; ; ; ;
3 33 3M M
u z u u u
x x y yxz y z xz y z
1
4. 0
2
2 3
; .
33 M
u xz u
z zxz y z
1
Отже, похідна за напрямом буде:
0 00
cos cos cos
M MM
u u u u
x y z
1 1 1 3 1 2 4 2 14
.
3 3 314 14 14 3 14
21
Оскільки 0,
u
то задана функція в даному напрямі зростає.
Завдання 1.6. Знайти похідну функції (z arctg xy) в точці яка
належить параболі за напрямом цієї кривої (в напрямі зростання
абсциси).
0(1;1),M
2
y x
Розв’язання. За напрям l
параболи 2
y x в точці беремо
напрям дотичної до параболи в цій точці. Маємо:
0(1;1),M
2
1 1
( ) 2 ; (1) 2;cos ;
51
y x x tg y
tg
2 1 2
sin 1 cos 1 .
5 5
де - кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі Ox.
zЗнайдемо частинні похідні функції в точці
1
v
xyz
:
0 0
2 2 2 2
1 1
; ; ; .
2 21 1M M
z y z z x z
x x y yx y x y
Отже,
0 0
1 1 1 2 3
cos sin .
2 25 5 2M M
z z z
x y
5
Завдання 1.7. Знайти похідну функції 2 2
ln( 2)z x y в точці (1;2)A
за напрямом зовнішньої нормалі до кривої 2 2
2x y в точці (1;1).B
Розв’язання. За напрям
кола 2 2
2x y в точці (1;1)B беремо
5. напрям зовнішньої нормалі до кола в цій точці. Маємо:
1
2 2 0, , 1, , нB B
x
x yy y y k y k
y k
;
1
1.н
B
k tg
y
Так як кут знаходиться в першій чверті, то cos 0 і sin 0 (рис.
П1.2).
Рис. П1.2
2
1 1 1
cos ;
21 1 21 tg
2
1 1 2
sin 1 .
2 22
Знайдемо частинні похідні функції в точціz .A
2 2 2 2
2 2 2
; ; ; .
3 32 2A A
z x z z y z
x x yx y x y
4
y
Отже,
2 2 4 2
cos sin 2.
3 2 3 2A A
z z z
x y
Зауваження. Похідна функції за напрямом внутрішньої нормалі до
кривої знаходиться аналогічно тільки
z
180 45 225
і
6. cos 0,cos 0 (рис. П1.3).
Рис. П1.3
Завдання 1.8. Знайти похідну функції arcsin
x
z
y
в точці (1;2)M в
напрямі дотичної до кривої 2cos , sinx t y t при 0.t
Розв’язання. За напрям
кривої (еліпс) 2cos , sinx t y t беремо
напрям дотичної до цієї кривої. Маємо:
1
2sin , .
2
t
t x
t
y
x t y ctg t
x
Маємо: (0;1); ; 0
2
(рис. П1.4).
7. Рис. П1.4
Знайдемо частинні похідні функції z в точці .M
2 2 2 2
1 1
; ; ;
3 2M M
z z z x z
x x y yy x y y x
1
;
3
1 1
cos cos cos cos0 .
23 2 3 2M M
z z z
x y
1
3
Завдання 1.9. Знайти та побудувати лінії рівня плоских скалярних
полів:
1. 2
2
,
y
z
x
2. ,z xy
3. 2 2
,z x y
4. 2
,z x y
які відповідають значенням 1,2,3.z
Завдання 1.10. Знайти поверхні рівня скалярного поля ( )u M , якщо:
1. ,( ) 2u M x y z
2.
22 2
( )u M x y z ,
3. ,u M 2 2
( ) 2x y z
4.
2 2
( ) .
x y
u M
z
Завдання 1.11. Знайти похідну функції в точці2 2
2z x xy y (1;2)M
за напрямом , що утворює кут
60
з додатним напрямом осі
З’ясувати характер зміни поля в даному напрямі.
.Ox
Відповідь.
9 3
.
2
Спадає в даному напрямі.
Завдання 1.12. Знайти похідну функції 3 2
2 5z x x y y 1 у точці
(1;2)M за напрямом від цієї точки до початку координат.
8. Відповідь.
1
5
.
Завдання 1.13. Знайти похідну функції у точці2
ln( 4 )u x y 2
(6;4)M
за напрямом вектора 0 1,M M
де 1(4;5).M
Відповідь..
Завдання 1.14. Знайти похідну функції 2y x
u xe ye z у точці
за напрямом вектора1(0;0;2)M 1 2,M M
де 2(4M ;1;3).
Відповідь.
Завдання 1.15. Знайти похідну функції
x y z
u
y z x
у точці 1( 1;1;1)M
за напрямом вектора 1 2,M M
де 2(2;3;4).M
Відповідь.
10
22
.
Завдання 1.16. Знайти похідну функції у точці2 2
ln( 2 )u x y z 3
(2;1; 1)A у напрямі, який утворює рівні кути з осями координат .
Відповідь..
Завдання 1.17. Знайти похідну скалярного поля у точці( , , )u x y z M за
напрямом вектора :
а) 2 2 2 3 2
( ) , , (u x y z i j k M 1;1;1).
Відповідь. 3.
б) 2 2
), 2 2 , (1;5; 2).u x y xy z j k M
Відповідь.
2
12
.
в) 2
ln(1 ) , 2 3 2 , (0;1;1).u y x arctgz i j k M
Відповідь.
1
17
.
г)
3
sin( 2 ) , 4 3 , ( ; ;3).
2 2
u x y xyz i j M
9. Відповідь.
3
2
.
д) , 5 , ( 4;3; 1
x
u xy i j k M
z
).
Відповідь.
20
27
.
Завдання 1.18. Знайти похідну функції
1 x
z
yy x
в точці
1
1;
2
M
параболи 21
2
y x за напрямом цієї параболи.
Відповідь. 3,5 2
Завдання 1.19. Знайти похідну функції в точці2 2
ln( 2 )z x y
1
1;
3
M
за напрямом кривої 31
3
y x .
Відповідь.
15 2
11
.
Завдання 1.20. Знайти похідну функції 2 2
ln( 1)z x y в точці (1;1)A
за напрямом зовнішньої нормалі до кривої 2 2
8x y в точці (2;2).B
Відповідь. 2 2 .
Завдання 1.21. Знайти похідну функції 2 2
ln( 1)z x y в точці (1;1)A
за напрямом внутрішньої нормалі до кривої 2 2
8x y в точці ( 2; 2).B
Відповідь. 0.
Завдання 1.22. Знайти похідну функції
y
z arctg
x
в точці (1;1)A за
напрямом дотичної до кривої cos , sinx t y t при .
4
t
Відповідь. 0.
Завдання 1.23. Знайти похідну скалярного поля у точці( , , )u x y z M за
напрямом нормалі до поверхні що утворює гострий кут з додатним,S
10. напрямом осі Oz.
1.
2 2 2 2 2 21 1
5 ; : 4 4; 2, ,1
4 2
.y x z S z x y M
u x
Відповідь.
10
9
.
2. 2 3 2 2
; : 3 12 0; 2,2,4 .u xz x y S x y z M
Відповідь.
8
41
.
3. 2 2
; : 2 10 0; 2,2, 1
y
u a .g xz S x y z M
x
rct
Відповідь.
4
3
.
4. 2 2 2
4 ; : ; 1,1,0 .u xy z S z x y M
Відповідь. 0.
ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ
Практичне завдання №1 Номери:
1.13, 1.14, 1.16.
РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ВИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З
РОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)
