Actividad 5 segunda parte

1. Matemática ll – Unidad 4 – Actividad 5 – 2da
parte
Cindy Ortega
De la batería de funciones seleccione una y elabore su gráfica aplicando derivadas.
Comparta su trabajo en el foro Actividad 5. Segunda parte.
Ejercicio sobre gráfica de funciones aplicando derivadas.
Ejercicio seleccionado:
𝑓( 𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
Analizaremos en que intervalos la función es creciente o decreciente:
Calculamos la primera derivada:
𝑓( 𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2
− 6𝑥
Sabemos donde 𝑓′( 𝑥) > 0, f es creciente, donde 𝑓′( 𝑥) < 0, f será decreciente.
Buscamos los intervalos donde 𝑓′( 𝑥) > 0 𝑦 𝑓′( 𝑥) < 0.
Para ello calculamos las raíces de 𝑓′( 𝑥) = 0.
𝑥 =
+6 ± √62 − 4 · −3 · 0
2 · 3
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 0
La función es continua en todos sus puntos.
Construimos la tabla para analizar los signos de 𝑓′( 𝑥).
Intervalo −∞ < 𝑥 < 0 0 < 𝑥 < 2 2 < 𝑥 < +∞
Valor de prueba -2 1 4
Signo de 𝑓′(𝑥) + - +
f Crece Decrece crece
Concluimos:
 f es creciente en (−∞;0) ∪ (2;+∞).
 f es decreciente en (0;2).

2. Matemática ll – Unidad 4 – Actividad 5 – 2da
parte
Cindy Ortega
Analizamos máximos y mínimos relativos.
𝑓( 𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
𝑓(𝑥) Está definida para todos los números reales.
Calculamos 𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2
− 6𝑥
Calculamos raíces de 𝑓′( 𝑥) = 0 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 0
Construimos la tabla para analizar los signos de 𝑓′( 𝑥).
Intervalo −∞ < 𝑥 < 0 0 < 𝑥 < 2 2 < 𝑥 < +∞
Valor de prueba -2 1 4
Signo de 𝑓′(𝑥) + - +
f Crece Decrece crece
En x=0 la derivada primera cambio de signo de + a – por lo que x=0 es un valor
máximo de f.
En x=2 la derivada primera cambio de signo de – a + por lo que x=2 es un valor mínimo
de f.
Calculamos f valuada en cada una de las raíces obtenidas:
𝑓(0) = 0
𝑓(2) = −4
Concluimos:
 El punto máximo relativo es (0,0).
 El punto mínimo relativo es (2,−4).
Analizamos concavidad y puntos de inflexión de la función.
Calculamos primera y segunda derivada de la función:
𝑓( 𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2
− 6𝑥
𝑓′′( 𝑥) = 6𝑥 − 6

3. Matemática ll – Unidad 4 – Actividad 5 – 2da
parte
Cindy Ortega
Calculamos la raíz de 𝑓′′( 𝑥) = 0. 𝑥1 = 1
El punto de inflexión será x=1.
𝑓′′ Se encuentra definida en todos los puntos.
Intervalo
−∞ < 𝑥
< 1
1 < 𝑥
< +∞
Valor de
prueba
-1 3
Signo de
𝑓′′(𝑥)
- +
f
Cóncava hacia
abajo
Cóncava hacia
arriba
TABLA DE VALORES
x F(x)
-3 -54
-2 -20
-1 -4
0 0
1 -2
2 -4
3 0
4 16

4. Matemática ll – Unidad 4 – Actividad 5 – 2da
parte
Cindy Ortega
La gráfica obtenida es la siguiente: