Protein diag plus_lyseis

1. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .1.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μία συνάρτηση f σε ένα διάστημα  ,  . Αν G είναι μία παράγουσα της f στο,
 ,  τότε να αποδείξετε ότι      f t dt G G


   
 .
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού.
Α3. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα  ,  του πεδίου
ορισμού της;
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα από
το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση την λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι Σωστή ή
Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν  
0x x
lim f x 0

 τότε  f x 0 κοντά στο 0x .
β) Ισχύει ότι x x  για κάθε x .
γ) Ισχύει ότι
x 0
x 1
lim 1
x
 
 .
δ) Κάθε συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημό της, σε καθένα από τα
διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση  
  
 2
x 1
f x x 1
 
   

με
   2
x 1
f x f 2 x
lim 12
x 1
 
 

Β1. Να αποδείξετε ότι  f 1 4   και 2  .
Β2. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα.
Β3. Να αποδείξετε ότι    2
x 1 2 x 4 x 2 1        x .

2. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .2.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει ότι
 
 
 2
f x
f x2e
e 1
f x
 

για κάθε x με  f 0 0 ,  f x 0  .
Γ1. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.
Γ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Γ3. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα.
Γ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της
συνάρτησης f την ευθεία y x και τις ευθείες x 0 και x 1 .
ΘΕΜΑ Δ
Έστω  f : 0,  παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:
 Η παράγωγος f είναι γνησίως αύξουσα στο  0,  .
  f 1 1

   
h 0
f 1 5h f 1 h
lim 0
h
  

Θεωρούμε ακόμα την παραγωγίσιμη συνάρτηση g η οποία είναι τέτοια ώστε  
 f x 1
g x
x 1

 

και την συνάρτηση      x g x g    με  x 1,  και 1  .
Να αποδείξετε ότι:
Δ1. Είναι  f 1 1  καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x 1 .
Δ2. Η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα και στην συνέχεια να λύσετε στο  την ανίσωση
       2 2 4 4
8 6 8 5 2 6 2 5x x x x           , όπου η συνάρτηση  είναι
η αρχική της συνάρτησης φ.
Δ3. Η συνάρτηση g είναι κυρτή και ότι η εξίσωση         f 11 x x      έχει
ακριβώς μία λύση για x 1 .
Επιμέλεια Διαγωνίσματος: Ευθύμης Κατσιμπράς
Μαθηματικός

3. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .1.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεωρία σελίδα 217
Α2. Θεωρία σελίδα 128
Α3. Θεωρία σελίδα 104
Α4. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό
ΘΕΜΑ Β
Β1.
           22
1 1
1 2 12
lim 12 lim 12
1 1x x
f x f f x ff x f x
x x 
               
 
       
 
2
1 1
1 2 1
lim lim 12 1
1 1x x
f x f f x f
x x 
  
  
 
 Για το
   2
1
1
lim
1x
f x f
x


θέτω 2
x y . Για 1x  έχω 1y  και x y επομένως
           1 1
1 11
lim lim 2 1
11y y
f y f yf y f
f
yy 
    
 

, αφού  
   
1
1
1 lim
1y
f y f
f
y

 

 Για το
   
1
2 1
lim
1x
f x f
x
 

θέτω 2 2x y x y     . Για 1x  έχω 1y  κ
       
 
 1 1
1 1
lim lim 1
2 1 1y y
f y f f y f
f
y y 
 
  
   
.
          1 2 1 1 12 3 1 12 1 4f f f f              .
Ακόμα  
 
 
1
1 4
1
2 4 0 2
x
f
x
f x x
  
  


 
            2 4 2      .

4. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .2.
Β2. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  με
    1 4f x x x 

           1 4 0f x x           , αφού
   1 1 1x x                     1 4 4 0x           
και f συνεχής στο  ως παραγωγίσιμη επομένως η f είναι κοίλη στο  .
Β3. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , f
C στο
  1, 1A f είναι      1 1 1y f f x    με   0 1 1
1 1 2 1 1f


  
        .
Άρα  1 1
1 4 1 1 4 4y x y x
 
 
             
 
1
4 3y x

    .
Η συνάρτηση f είναι κοίλη στο  επομένως η εξίσωση εφαπτομένης βρίσκεται πάνω από
την f
C στο   1, 1A f . Άρα,   1
4 3f x x

    
 
 2
1 1
2 1 4 3
x
x x
 
 
         
  2
1 1
2 4 2
x
x x
 
 
       
   
2
1 2 1 1x x         .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έχουμε ότι    
   
 
 
 
 
 
2
:
2 2
f x
e
f x f x f x
f x
f x
e e f x f x e f x
e

        
 
   
     
   2 2
f x f x f x f x
e f x e f x e e x
           
   
 
0
0 0
2 0
x
f x f x
f
e e x c c



    .
   
   
 
 
 
 
2
11
2 2 2
f x
f x f x
g x e
g x
e e x g x x x
g x g x



      
       2 2
1 2 2 1g x x g x g x x g x       
      
2
2 2 2 2
2 1 1g x x g x x x g x x x         .
Θεωρούμε συνάρτηση    h x g x x  , επομένως
   2 2 2
1 1h x x h x x     . Η εξίσωση   0h x  δεν έχει ρίζες στο  ,
επομένως   0h x  και συνεχής, άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσημο με
     0
0 0 1 0
f
h g e    και επομένως   0h x  , άρα

5. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .3.
     2 2 2
1 1 1h x x g x x x g x x x          
  2
1
f x
e x x   
   2
ln 1f x x x   .
Γ2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  με  
2
2 2
2
1
12 1
1 1
x
xf x
x x x


   
  
Επομένως   0f x  στο  και f συνεχής επομένως f στο  .
Γ3. Η f  είναι παραγωγίσιμη στο  με
 
 
2
2 2 2
1
2 1
1 1 1
xxf x
x x x

   
  
   0 0f x x   
   0 0 0f x x x      
Η συνάρτηση παρουσιάζει σημείο καμπής το  0 0f  .
Γ4.    
1
0
f x x dx    όπου  f x x γιατί η συνάρτηση f είναι κοίλη στο 0,1   και
επομένως η f
C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σημείο   0, 0f που είναι
     0 0 0y f f x    με  0 0f  και    2
1
0 1
1
f x f
x
   

, άρα
 0 1 0y x y x      . Επομένως
          
11 1 12
0 0 00
1
2 2
x
x f x dx f x dx x f x dx
           
 
  
     
1 1
1
0 2
0 0
1 1 1
1
2 2 1
x f x x f x dx f x dx
x
           

 
   
1 1
2
2 0
0
1 2 1
ln 1 2 ln 1 2 1
2 22 1
x
dx x
x
           
  1
2 ln 1 2
2
    .
ΘΕΜΑ Δ
Δ1.
           
0 0
1 5 1 1 11 5 1
lim 0 lim 0
h h
f h f f h ff h f h
h h 
               

6. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .4.
Για το
   
0
1 5 1
lim
h
f h f
h
 
θέτω
1
1 5
5
x
h x h

    . Όταν 0h  τότε 1x  ,
επομένως
       
 1 1
1 1
lim 5lim 5 1
1 1
5
x x
f x f f x f
f
x x 
 
  
 
.
Για το
   
0
1 1
lim
h
f h f
h
 
θέτω  1 1 1h x h x h x         . Όταν 0h 
τότε 1x  , επομένως
   
 
   
 1 1
1 1
lim lim 1
11x x
f x f f x f
f
xx 
 
   
 
.
Άρα        5 1 1 0 4 1 0 1 0f f f f          .
Για  0,1x  έχω f  γνησίως αύξουσα άρα    1 1 0x f x f     και f συνεχής
στο 0,1 άρα f γνησίως φθίνουσα στο 0,1 .
Για  1,x   έχω f  γνησίως αύξουσα άρα    1 1 0x f x f     και f συνεχής
στο 1,  άρα f γνησίως αύξουσα στο 1,  . Επομένως η συνάρτηση f
παρουσιάζει ελάχιστο για 1x  το  1 1f  .
Δ2. Η  είναι παραγωγίσιμη, αφού g παραγωγίσιμη στο  1,  με
   
   1
0
1
f x f
x g x
x


   

αφού    1 1f x f  και 1 0x   για κάθε
 1,x   και αφού  συνεχής έχουμε ότι η  είναι γνησίως αύξουσα στο  1,  .
Για την ανίσωση θεωρούμε      1h x x x     όπου h παραγωγίσιμη στο 
με            1 1h x x x h x x x            .
Για        
γν.αύξουσα
1 1 1 0x x x x x x

              0h x  και h
συνεχής άρα h γνησίως αύξουσα στο  . Η ανίσωση γράφεται
   
γν.αυξ.
2 4 2 4
8 5 2 5 8 5 2 5
h
h x h x x x      
2 4 2 4
4 4 0x x x x    
 
2
0
2 2 2
4 0 4 0
x
x x x

    
2
4 2 2x x     .
Δ3. Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  1,  με     g x g x   
 
 
      
 
 2
1 11
1
1 1
f x x f xf x
g x
x x
      
   
   
.

7. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .5.
Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση f στο 1, x  
Η f είναι συνεχής στο 1, x   ως παραγωγίσιμη και παραγωγίσιμη στο  1, x
Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα  1, x  τέτοιο ώστε  
   1
1
f x f
f
x


  

        1 1 2f x f x f   
 
 
 
      
 
2
2
1 1
1
1
f x x f x
g x
x
    
  

  
      
 
2
1
1
x f x f
g x
x
   
  

 
    0
1
f x f
g x
x
 
  

για κάθε  1,x   αφού για    
γν. αυξ.f
x f f x 

   
    0f x f    . Η εξίσωση         1 1x f x        έχει προφανή ρίζα την
x  αφού             
1
1 1 1 0
x
x f x

      
 
        που ισχύει γιατί
      0g g      . Θα δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι και μοναδική.
Θεωρούμε           1 1K x x f x         παραγωγίσιμη στο  1,  με
              
  1
1 1 1
1
f
K x x f K x x

    

 
            
  
       1K x x g         . Για    
   γν. αυξ. g x xg
x g x g

 
 
   
        0x g x g          άρα   0K x  για κάθε  ,x   και  K x
συνεχής στο ,  επομένως  K x γνησίως αύξουσα στο ,  .
Για x     
   
       
γν. αυξ.
0
g x xg
g x g x g x g

    
 
          
Άρα   0K x  για κάθε  ,x   και  K x συνεχής στο  ,  άρα  K x είναι
γνησίως φθίνουσα στο  ,  . Επομένως η συνάρτηση  K x παρουσιάζει ολικό
ελάχιστο για x  το   0K   . Άρα     0K x K   και η εξίσωση
        1 1x f x         έχει μοναδική την ρίζα την x  .
Επιμέλεια Διαγωνίσματος: Ευθύμης Κατσιμπράς
Μαθηματικός