2. 1
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.1 Έστω η συνάρτηση
2 2
x 1
x λx λ 3
f x
e x
, με λ .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
x
lim f x
ii)
x
1
lim
f x
iii)
x
lim f f x
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το όριο
x 1
limf x
είναι:
i) πραγματικός αριθμός. ii) μη πεπερασμένο.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
8 3
3 2
x
α ημα f x f x
lim
ln α 2 f x f x 5
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού
αριθμού α 2
.
ε) Να υπολογίσετε το όριο
x
lim 7 9f x μ 2 f x
για τις διάφορες τιμές του
πραγματικού αριθμού μ.
E.2 Δίνεται η συνάρτηση
x
e
f x , x 1
x 1
.
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
γ) Να βρείτε τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f και να σχεδιάσετε την
γραφική της παράσταση.
δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της f που διέρχεται από το σημείο
A 1,0 .
ε) Δίνεται η ευθεία ζ : αx y 2021 0
, α . Για τις διάφορες τιμές του α, να βρείτε το πλήθος
των εφαπτομένων της f που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ.
E.3 Δίνονται οι συναρτήσεις x
f x e 1
με x 0
και
g x 2lnx
με x 0
.
α) Να ορίσετε την συνάρτηση
φ x f g x
.
Δίνεται 2
φ x x 1
, με x 1
.
β) Αν ε είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της φ στο σημείο
3 3
A ,φ
2 2
,
να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x
η ευθεία ε.
γ) Να αποδείξετε ότι η φ αντιστρέφεται και να βρείτε την
1
φ
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
x
lim φ x λx 2020
για τις διάφορες τιμές του λ .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 19
3. 2
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.4 Δίνεται η συνάρτηση
x
x
e x
f x
e 1
, x 0
.
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα
0
x 1,0
και ότι αυτή είναι η μοναδική της ρίζα.
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
f x
e λ
για τις διάφορες τιμές του λ 0
.
E.5 Δίνεται η συνάρτηση x
lnx
f x α
e
με x 0
και α 0
.
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y α
είναι οριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f στο και
στη συνέχεια ότι η f βρίσκεται πάνω από την ε για κάθε x 1
.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
0,1 .
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) η συνάρτηση f έχει μια ρίζα
0
x 0,1
. ii) το 0
x είναι η μοναδική ρίζα της f.
δ) Δίνεται η συνάρτηση
f x
h x f x e 1
.
i) Να αποδείξετε ότι η h συνάρτηση εφάπτεται στον x x
. ii) Να υπολογίσετε το όριο
0
x x
1
lim
h x
.
E.6 Δίνεται η συνάρτηση 3
f x αx βx 5
, x , της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται
στην ευθεία y 18x 27
στο σημείο
A 2,f 2 .
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 2
και β 6
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) i) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα
0
x 3, 2
και ότι αυτή είναι μοναδική στο .
ii) Να υπολογίσετε το όριο
0
x 0
0
x x
lim
f x x
.
E.7 Δίνεται η συνάρτηση 3 2
f x x αx β
, x . Αν η γραφική παράσταση της f εφάπτεται
στον άξονα x x
στο σημείο με τετμημένη x 2
, τότε:
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 3
και β 4
.
β) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
x 2
ln x e
lim
f x
ii)
x 1
ln x 1
lim
f x
iii)
ν
x
f x
lim
x
, ν .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 19
4. 3
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση 3 2
x 3x λ 4
έχει ακριβώς
τρεις πραγματικές ρίζες.
E.8 Δίνεται η συνάρτηση
3
2
x λx μ
f x
x 1
με λ, μ για την οποία ισχύει ότι
x 1
4x
lim f x 3
x 1
.
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ.
Δίνονται λ 9
και μ 0
.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2
x αx 9x α 0
είναι ισοδύναμη με την
f x α
και στη
συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α .
E.9 Δίνεται η συνάρτηση
x
2
xe , x 0
f x
x
ln x 1 , x 0
2
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f ημx x 2f x
.
E.10 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
αx
1
x
x e , x 0
f x
x β, x 0
, της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο
Μ 1,f 1
διέρχεται από το σημείο
Λ 2, 2
.
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
και β 1
.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες τις f.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο κρίσιμα σημεία και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία
και τα ακρότατα.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 4 of 19
5. 4
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.11 Δίνεται η συνάρτηση
2
x
x 1 αx, x 0
f x
ln e 2x β, x 0
, η οποία έχει ακριβώς ένα κρίσιμο
σημείο.
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
και β 1
.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
δ) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
E.12 Δίνεται η συνάρτηση
x
x
xe 1, x 0
f x
x , x 0
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
x
f ημx
lim
lnx
E.13 Δίνεται η συνάρτηση
2 x 1
2
α e , x 1
f x
x αx, x 1
, η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του
θεωρήματος Bolzano στο διάστημα
1,1
.
α) Να βρείτε το α.
Δίνεται α 2
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
E.14 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
3 2
x λx 1
, x 1
x 1
f x
μ 4, x 1
, με λ,μ .
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ και να δείξετε ότι 2
f x x x 1
, x .
Δίνονται λ 2
και μ 5
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 5 of 19
6. 5
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτομένες της f που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με
τους άξονες x x
και y y
και στη συνέχεια ότι αυτές τέμνονται κάθετα μεταξύ τους.
δ) Αν α 0
, να δείξετε ότι η εξίσωση
f α αf 2α α 4 f 3α
f x
2α 5
έχει ακριβώς δύο
ρίζες.
E.15 Δίνεται η συνάρτηση
π
συνx αx, x ,0
2
f x
1
1 βx , x 0,
2
της οποίας η γραφική παράσταση έχει
στο σημείο
A 0,f 0 , εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία x y e 0
. Δίνεται επιπλέον η
συνάρτηση g :
για την οποία ισχύει η σχέση
g x f x g x f x 1 2f x
, για
κάθε π 1
x ,
2 2
.
α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
Δίνονται α 1
και β 2
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κρίσιμα σημεία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι
x 0
limg x 0
.
δ) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
π
ξ ,0
6
τέτοιο, ώστε π
f ξ
π 1
.
ii) Αν επιπλέον η g είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2020
π 1 ημx x ξ g x
2021
έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα
0, ξ
.
E.16 Δίνεται η συνάρτηση
2
x
x 2x, x 0
f x
α 1, x 0
, με 0 α 1
.
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β) Να υπολογίσετε το όριο
3 2
x
x x
lim
f f x 1
.
Δίνεται επιπλέον ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα
1 1
,
2e 2
.
γ) i) Να αποδείξετε ότι 2
α e
.
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 6 of 19
7. 6
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
1 1
ξ ,
2e 2
τέτοιο, ώστε να ισχύει
2
2
4e 1
f ξ
2e 2e
και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή του ξ.
δ) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη 1
f
.
ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
στο ίδιο σύστημα αξόνων.
E.17 Δίνεται η συνάρτηση x e
f x e ln x
x
, x 0
.
α) i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Να λύσετε την εξίσωση
2021 2020
f x f x f x
.
β) i) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f
.
ii) Να λύσετε την ανίσωση
x 1
e f x ημx 1
.
γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f
και να δείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα 0
x .
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
1
f x 2021
0
f f x x 1
έχει μια τουλάχιστον λύση στο
διάστημα
0
1,x .
E.18 Δίνεται η συνάρτηση x α x
f x e lnx
με x 0
και α της οποίας η γραφική παράσταση
εφάπτεται στον άξονα x x
.
α) Να βρείτε το α.
Δίνεται α 1
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να λύσετε την εξίσωση e
f f x ln 0
x
.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
2 2
x 0
1
lim
f 1 x f συν x
.
E.19 Δίνεται η συνάρτηση
2
x
4x x 4 αx, x 0
f x
e βx 1, x 0
.
α) Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο και στο σημείο
A 1,f 1 δέχεται οριζόντια
εφαπτομένη, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
Για α 2 και β e
:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 7 of 19
8. 7
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να βρείτε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle δεν ικανοποιούνται για την f στο
διάστημα
1,1
και να αιτιολογήσετε γιατί η f δεν αντιστρέφεται.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
δ) i) Να αποδείξετε ότι
7
e
e
ln 2
6
.
ii) Δίνεται η συνάρτηση
7
e
e
h x ln x ln
6
. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h f
.
E.20 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
f : 0,π με αρνητική κλίση στο π και για την οποία
ισχύει η σχέση
2 2 2
x f x συν x c
για κάθε
x 0,π
.
α) i) Να αποδείξετε ότι c 1
. ii) Να βρείτε τον τύπο της f.
Δίνεται
ημx
, 0 x π
x
f x
1, x 0
.
β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
ξ 0,π
τέτοιο ώστε 6ημ1 3ημ2 2ημ3
f ξ
18
.
γ) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και 1
g x
x
έχουν κοινή εφαπτομένη ε στο κοινό τους
σημείο
0 0
Μ x ,y και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.
E.21 Δίνεται η συνάρτηση
f x x 2 x 1
, x 0
.
α) Να υπολογίσετε το όριο
x 1
x x 2x 1
lim
f x lnx
.
β) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει
ημx ημ ημx
ημx ημ ημx
2
για κάθε
x 0,π
.
γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f f
και να αποδείξετε ότι
f f x x
για
κάθε
x 0,1
.
ii) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με 0 α 1 β
και
f α β
. Να αποδείξετε ότι η
εξίσωση
f x α f x β
1
x β x α
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
α,β .
δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση x
g x x λ 2
, x για την οποία ισχύει ότι
g x 1
για κάθε x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 8 of 19
9. 8
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i) Να βρείτε το λ.
ii) Αν λ e
, να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν
δύο ακριβώς κοινά σημεία Α και Β με τετμημένες 0 και
0
x 1,2
αντίστοιχα.
E.22 Δίνεται η συνάρτηση
f x 2συνx x x
, x .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f
.
ii) Nα υπολογίσετε το όριο
1
x
f x
lim
x
, αν γνωρίζετε ότι η 1
f
είναι συνεχής.
iii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της 1
f
τέμνει τον άξονα y y
σε σημείο με τεταγμένη
0
π
y 1,
3
.
γ) i) Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο
π π
,
2 2
.
ii) Έστω τα σημεία
π π
A ,f
2 2
και
π π
B ,f
2 2
. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική
εφαπτομένη της f στο διάστημα
π π
,
2 2
που είναι παράλληλη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
E.23 Δίνεται η συνάρτηση αx 1
f x
x α
, x α
της οποίας η γραφική παράσταση δεν τέμνει την
ευθεία y x
.
α) Να αποδείξετε ότι 1 α 1
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να αποδείξετε ότι
f f x x
, x α
.
δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι 1
f f
.
ε) Αν α 0
, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f 2α αx f 3α αx
23
x 3 x 2
έχει μια τουλάχιστον
λύση στο διάστημα
2,3 .
E.24 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f :
και g :
για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις
x
x 0
f x e 1 1
lim
x ημx 2
και 2
g x συνx 4x x
για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι
f 0 0
και
f 0 2
.
β) Να αποδείξετε ότι
g 0 1
και
g 0 4
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 9 of 19
10. 9
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης g f
στο 0
x 0
.
δ) Αν επιπλέον
● η f είναι γνησίως αύξουσα,
● η g είναι κυρτή,
● η f g
ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο
π,4 , να αποδείξετε ότι:
i) η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο
π,4 .
ii) οι συναρτήσεις f g
και g έχουν κοινή ρίζα
ξ π,4
.
iii) η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε μοναδική θέση
ρ 0,ξ
.
iv) δεν υπάρχει το όριο
h 0
h
lim
g ρ h g ρ
.
E.25 Δίνεται η συνάρτηση 2
f x x 2λlnx, x 0, λ 0
.
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει
2
x
2λ
xe 1
για κάθε x 0
.
γ) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η ευθεία y x
εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f.
Δίνεται
1
λ
2
.
δ) Να αποδείξετε ότι 2x ln2 1
f x
4
για κάθε x 0
.
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό διάστημα
α,α 1
με α 0
, στο οποίο η f ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
E.26 Δίνεται η συνάρτηση
3 2
f x λx 3λx 4 λ 1 x
, x , λ .
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η f είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Έστω η συνάρτηση
h x g f x
όπου
g x x
, x 0
.
i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση h ορίζεται στο .
ii) Να υπολογίσετε το όριο
x
lim h x 3x
για τις διάφορες τιμές του λ.
γ) Αν λ 1
, να δείξετε ότι η συνάρτηση
2
4
φ x f x lnx
3
με x 0
, έχει ακριβώς δύο
τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο.
E.27 Δίνεται η συνάρτηση
f x lnx λx
, όπου x 0
και λ .
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f για τις διάφορες τιμές του λ.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 10 of 19
11. 10
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση f f
.
Δίνεται λ 0
.
γ) Να ορίσετε την συνάρτηση
g x f f x
και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία και την
κυρτότητα.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
1 2
ξ , ξ 2,4
, τέτοια ώστε
1 2
g ξ g ξ ln2
.
E.28 Δίνεται η συνάρτηση
4
3 2
x
f x x λ x λ
4
, με λ .
α) Να δείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής Α και Β και να βρείτε την ελάχιστη απόσταση ΑΒ.
β) Να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ δύο κρίσιμα σημεία.
γ) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο σε μοναδικό σημείο 0
x 3
.
δ) Αν λ 0
, να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης
x
6x e
h x
f x
.
E.29 Δίνεται η συνάρτηση
f x x λ x
, όπου x λ
και λ .
α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ορίζεται η συνάρτηση f f
.
δ) Aν οι συναρτήσεις f και f f
παρουσιάζουν την ίδια μέγιστη τιμή στην ίδια θέση, να βρείτε την
τιμή του λ και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα.
E.30 Δίνεται η συνάρτηση 2 λ
f x x λx e
.
α) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία το όριο
x 1
limf x
είναι καλώς ορισμένο.
β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η f να ορίζεται στο .
γ) Να αποδείξετε ότι το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο μπορεί να οριστεί η f πραγματοποιείται
για μοναδικό
λ 1,0
.
E.31 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
f : 0,π για την οποία ισχύουν:
●
2
f x 2 f x ημxσυνx
για κάθε
x 0,π
,
● π
f 0 f
4
και
● δεν ικανοποιείται για την f το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα
0,π .
α) Να αποδείξετε ότι
f x 1 ημx συνx
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 11 of 19
12. 11
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
β) Να υπολογίσετε το όριο
x 0
f x
lim
x ημx
.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f x x 1
έχει ακριβώς μια ρίζα.
E.32 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :
για την οποία ισχύει η σχέση
2 x
f x c lnf x e x
για κάθε x με c .
α) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.
β) Αν c 2
, να βρείτε την συνάρτηση f.
Δίνεται x
f x e
, x .
γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
x
x
1
lim
f x e
ii)
2 x
x
x
f x 2
lim
f x 2
.
δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ε) Να λύσετε την εξίσωση
x
2 2 e
x e 4 4 x
2
.
E.33 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
f : 0,1 για την οποία ισχύουν:
●
f x
2
ln x x 1
, για κάθε
x 0,1
και
● η εξίσωση α
f x e
με α είναι αδύνατη.
α) Να αποδείξετε ότι:
1 x
, 0 x 1
lnx
f x
0, x 0
.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
E.34 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις
f : 0, και g :
για τις οποίες ισχύουν
οι σχέσεις
x x
e g x f e
για κάθε x και
x 1
x 0
xg x x
lim 1
ημx f συνx
.
α) Να αποδείξετε ότι
x
g x f e 1
, x .
β) Αν
h 0
f 1 2h g 0 1
lim 2
h
, να αποδείξετε ότι:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 12 of 19
13. 12
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i)
f 1 1
.
ii) η εφαπτομένη της f στο
A 1,f 1 εφάπτεται της g στο
B 0,g 0 .
γ) Έστω ότι x
g x xe 1
.
i) Να βρείτε τον τύπο της f.
ii) Αν lnx
f x 2
x
, να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε
σημείο με τετμημένη
0
x 0,1
.
iii) Nα αποδείξετε ότι
g x f x
για κάθε x 1
.
E.35 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :
για την οποία ισχύουν:
●
2
x 1 f x 2x f x 1 2
για κάθε x .
● η ευθεία y x
εφαπτεται της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
A 0,f 0 .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f x x
2
e
G x
x 1
είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε την f.
Δίνεται
2
f x ln x 1 x
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
δ) Να υπολογίσετε τα όρια: i)
x 1
1
lim
f x ln2 1
ii)
x 1
x 1
lim
f x ln2 1
ε) Να λύσετε την εξίσωση
2
x
f e f ημx ημx
.
στ) Να αποδείξετε ότι
f x f f x ln2 ln2
για κάθε
x 1,1
.
E.36 Δίνεται συνάρτηση f :
για την οποία ισχύει
f x 2f x
για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
x 2
h x e f x
είναι σταθερή.
β) Αν
f 0 1
, να βρείτε τον τύπο της f.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f
.
ii)
1
f x x f x
για κάθε x 0
.
δ) Να αποδείξετε ότι:
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 13 of 19
14. 13
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
i) οι γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
παρουσιάζουν ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση σε
μοναδική θέση
0
x 2ln2, 2
.
ii) οι εφαπτομένες των f και 1
f
είναι παράλληλες στο 0
x και σχηματίζουν με τον άξονα x x
γωνία
π π
ω ,
4 2
.
iii) 0
4
x
e
.
E.37 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :
με
f 0 1
και έστω επίσης η συνάρτηση
x
2
x
x 2 xe
G x f x
e
για την οποία ισχύει 2020
G x y G x y
για κάθε x, y .
α) Να αποδείξετε ότι η G είναι σταθερή και στη συνέχεια ότι
G x 1, x
.
β) Να αποδείξετε ότι:
i)
2
2 x
f x xe 1
ii) η f έχει μοναδική ρίζα
0
x 0,1
.
γ) Αν επιπλέον ισχύει
0
h 0
0
lnx
lim
f x h
, να αποδείξετε ότι:
i) x
f x xe 1
. ii)
0
x x
f x
lim 1
x lnx
.
E.38 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :
και η συνάρτηση g :
για την οποία
ισχύει
x
g x f x 1 f e
για κάθε x και
g 1 2
.
α) Αν η f έχει ασύμπτωτη στο την ευθεία y 2x
, να αποδείξετε ότι η g έχει ασύμπτωτη
στο την ευθεία
y 2x f e
.
Δίνεται επιπλέον ότι η g είναι κυρτή και έχει εφαπτομένη την ευθεία y x
.
β) Να αποδείξετε ότι 1
f 1
2
.
γ) Αν ε είναι η εφαπτομένη της f στο σημείο
A 1,f 1 , να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μια
εφαπτομένη της g που είναι κάθετη στην ε.
δ) Να δείξετε ότι η g έχει ολικό ελάχιστο.
E.39 Δίνεται η συνάρτηση f :
για την οποία ισχύει η σχέση
3
1 x 2 x
f x f x e x
3
για κάθε x .
α) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε
3
1 x x
f x x c e
3
, x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 14 of 19
15. 14
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
ii) Αν 7
f 1
3
, να βρείτε τον τύπο της f.
Δίνεται
3
1 x x
f x x 1 e
3
.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μια ρίζα
0
x 1,0
και ότι αυτή είναι μοναδική.
δ) Έστω πραγματικός αριθμός
0
κ x ,1
και η συνάρτηση 0
0
κ x
h x ln
x x
με 0
x x
.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f x h x e
έχει λύση στο διάστημα
0
x ,κ .
ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της h στο σημείο
Α κ,h κ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι
η συνάρτηση
2
0 0
0
x 2κx
φ x x ln x x x h x 1
2 κ x
είναι γνησίως αύξουσα.
E.40 Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση f :
για την οποία ισχύουν 1
f x , x 0
x x
και
f 1 1
. Δίνεται επίσης το σημείο
M α,f α , α 0
.
α) Να αποδείξετε ότι 1
f x
x
και να κάνετε την γραφική της παράσταση.
β) Έστω ε η εφαπτομένη της f στο σημείο Μ και Α, Β τα σημεία τομής της ε με τους άξονες
x x
και y y
αντίστοιχα.
i) Nα αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ΑΒ.
ii) Αν η τετμημένη του Μ μειώνεται με ρυθμό 2 μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό με
τον οποίο μεταβάλλεται η τεταγμένη του Β την χρονική στιγμή που η ευθεία ε διέρχεται από το
σημείο
Γ 1,0 .
γ) Δίνεται επιπλέον το ορθογώνιο ΜΚΛΝ, όπου το σημείο Κ ανήκει στην γραφική παράσταση της f
και τα σημεία Λ, Ν στον άξονα x x
.
i) Να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει σταθερό εμβαδόν.
ii) Να βρείτε για ποια τιμή του α, το ορθογώνιο ΜΚΛΝ έχει ελάχιστη περίμετρο.
E.41 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
f : 1,
με
f 0 1
για την οποία ισχύει η σχέση
1
f x f x
2
.
α) Να αποδείξετε ότι
f x x 1
.
β) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την συνάρτηση 1
f
.
ii) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1
f
στο ίδιο σύστημα αξόνων.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 15 of 19
16. 15
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
Έστω τα σημεία
1
A x,f x
,
1
B 0,f x
και
Ο 0,0 .
γ) i) Να βρείτε την συνάρτηση
Ε x που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ για κάθε 0 x 1
.
ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης
Ε x όταν
x 0,1
.
δ) Έστω επιπλέον το σημείο
1
Γ 0,f 0
και η γωνία ˆ ˆ
θ ΒΑΓ
.
i) Να υπολογίσετε τα όρια π
θ
2
ΑΓ
lim
ΑΒ
και
π
θ
2
lim ΑΓ ΒΓ
.
ii) Αν η τετμημένη του σημείου Α αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον
ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία θ την χρονική στιγμή 0
t όπου
0
x t 2
.
E.42 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
x ln x 0
έχει μια ακριβώς ρίζα
0
x 0,1
.
Δίνεται επιπλέον η συνεχής συνάρτηση
0
f : x ,1 για την οποία ισχύει
1
f x 2x f x
e x
για κάθε
0
x x ,1
και
f 1 0
.
β) i) Να αποδείξετε ότι 2
f x x x lnx
.
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0
1
f x ln x
4
είναι αδύνατη.
γ) Έστω τα σημεία
Α 1,f 1 και
0 0
B x ,f x και το κινητό σημείο
M x,f x που κινείται
πάνω στην γραφική παράσταση της f . Την χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο
Γ ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη με την ευθεία
ΑΒ, η τετμημένη του μεταβάλλεται με ρυθμό
1
0
1 x
μονάδες το δευτερόλεπτο. Να αποδείξετε ότι την
ίδια χρονική στιγμή η τεταγμένη του Μ μεταβάλλεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο.
δ) Δίνεται η συνάρτηση 0
x
h x f x f
x
.
i) Να αποδείξετε ότι η h ορίζεται στο διάστημα
0
x ,1 και στη συνέχεια ότι ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα αυτό.
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της h με αντίθετες
κλίσεις.
iii) Αν γνωρίζετε ότι η h είναι κυρτή, να λύσετε την εξίσωση 0
h x x
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 16 of 19
17. 16
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.43 Δίνεται η συνάρτηση f :
η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν
f x
f x e x
για
κάθε x και
f
.
α) i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και να βρείτε τη μονοτονία της.
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.
β) Να αποδείξετε ότι ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής και να βρείτε την κυρτότητά της.
γ) Να λύσετε την ανίσωση
f x f x
2
f e f x e f x 1
.
δ) Να υπολογίσετε το όρια: i)
x
lim f x 1 f x
ii)
x 0
lim xf lnx
.
ε) i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f
.
ii) Να αποδείξετε ότι η ασύμπτωτη της 1
f
στο είναι η ασύμπτωτη της f στο .
iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης f με τον άξονα x x
.
iv) Να αποδείξετε ότι η f τέμνει την ευθεία y x
σε μοναδικό σημείο με τετμημένη
α 0,1
.
v) Αν β είναι η τεταγμένη του σημείου όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy
,
να λύσετε την εξίσωση
f x
β
x
e β
e 1
.
E.44 Δίνονται οι συναρτήσεις
2
f x 1 x 1, x 0,1
και
g x lnx x, x 0
.
Δίνεται επίσης η συνάρτηση x
φ x g f x g f α ln
α
, με
α 0,1
.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της φ και να αποδείξετε ότι τέμνει τον άξονα x x
στο μοναδικό σημείο
A α,0 .
β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της φ στο Α τέμνει τον άξονα y y
στο σημείο
2
B 0, 1 α
και
στη συνέχεια να δείξετε ότι το ΑΒ έχει σταθερό μήκος.
γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ μεγιστοποιείται όταν το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές.
δ) Έστω ότι η τετμημένη του σημείου Α μειώνεται με ρυθμό 0,1 cm/s. Την χρονική στιγμή που το Α
έχει τετμημένη 0,6 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
i) της τεταγμένης του σημείου Β.
ii) της γωνίας
θ ΟΑΒ
.
iii) του εμβαδού του τριγώνου OAB.
ε) Να αποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε διάστημα
κ,λ 0,1
υπάρχουν 1 2 3
ξ , ξ , ξ τέτοια ώστε
να ισχύει η σχέση
2 2
1 2
1 2 2 3
1 ξ 1 ξ 1 1
ξ ξ ξ ξ
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 17 of 19
18. 17
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.45 Δίνεται η συνάρτηση
2
2
1 x , 1 x 0
f x π
συν x, 0 x
2
.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε κάθε διάστημα
ημα,α
, με
π
α 0,
2
.
Δίνεται παρακάτω η γραφική παράσταση της f και τα σημεία
Α x,f x με
π
x 0,
2
,
B 0,f 0
και
Γ Γ
Γ x ,y με ΑΓ//x x
.
β) Να αποδείξετε ότι Γ
x ημx
.
γ) Έστω
E x το εμβαδόν του πολυγώνου ΟΑΒΓ.
i) Nα αποδείξετε ότι x ημx
E x
2
,
π
x 0,
2
.
ii) Να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν Ε παρουσιάζει μέγιστη τιμή. Τι σχήμα είναι το
πολύγωνο σε αυτή την περίπτωση;
iii) Να αποδείξετε ότι
0
1
E x
2
για μοναδικό 0
1 π
x ,
2 6
.
iv) Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Α είναι
x t 2
, να βρείτε τις
συντεταγμένες του Α την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ισούται με
3
2
.
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 18 of 19
19. 18
Τσάτσος Χρήστος – Μαθηματικός
E.46 Δίνονται τα σημεία
Α 0,6 και
B 8,0 στο παρακάτω σύστημα αξόνων, καθώς και το σημείο
Δ α,β το οποίο κινείται από το Α στο Β με ΑΔ κ
.
α) Να αποδείξετε ότι
4κ
α
5
και
3 10 κ
β
5
.
β) Να βρείτε για ποια τιμή του κ μεγιστοποιείται το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΓΔΕ.
γ) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΓΔΕ αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, χωρίς όμως να
μπορεί να ξεπεράσει τα
2
3
της περιμέτρου του τριγώνου ΟΑΒ.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
2 2
3
f x x 2λ x λ 6, x , λ 0,8
4
.
δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στο τμήμα ΑΒ στο Δ και ότι α λ
.
ε) Αν το λ αυξάνεται με ρυθμό 1 μονάδα το δευτερόλεπτο, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής:
i) των κ και β.
ii) του τμήματος ΟΔ την χρονική στιγμή που η συνάρτηση f ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο
διάστημα
35
0,
4
.
στ) Να αποδείξετε ότι
f 4f x 23 f 4f x 24 f 1 3x f 3x
για κάθε x .
08.05.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 19 of 19