2. www.askisopolis.gr
2
Εκφωνήσεις
1. Έστω συνάρτηση h για την οποία ισχύει
1
h ln x ln x 1, x 0
x
.
α) Να βρεθεί η συνάρτηση h.
β) Να μελετηθεί η h ως προς τη μονοτονία, να βρεθούν οι ρίζες και το πρόσημο της h.
γ) Να λυθεί στο η ανίσωση x
h e x 2 e
.
2. Δίνεται η συνάρτηση x
f x e x 1, x .
α) Να δειχθεί ότι για κάθε y f A , η εξίσωση f x y έχει ως προς x μοναδική λύση.
β) Να βρεθεί πραγματική συνάρτηση g για την οποία ισχύει:
g(x) xlnx xlnx xlnx
e e g(x) xlnxe e ,x 0.
γ) Να λυθούν στο ,
i) η εξίσωση: 4 4 2 2
f(2x 4) ln(2x 4) f(x 4) ln(x 4) (I).
ii) η ανίσωση: 2 2 2 2
f(2x 2) ln(2x 2) f(x 4) ln(x 4) (II).
3. Δίνεται η συνάρτηση f x ln x 2x 2, x 0 .
α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
β) Να λυθεί η εξίσωση f x 0 .
γ) Να λυθεί γραφικά η εξίσωση f x 0 .
δ) Να λυθεί η εξίσωση f x 2 f x 1 f 2x f 2x 1 .
4. Δίνεται η συνάρτηση
x x
e e
f x , x
2
.
α) Να δειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το 1
f 0
.
β) Να βρεθεί η 1
f
στο πεδίο ορισμού της.
γ) Να βρεθεί η μονοτονία της 1
f
.
δ) Να δειχθεί ότι η 1
f
είναι περιττή.
5. Δίνεται η συνάρτηση
x
x
e 1
f x
e 1
.
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
γ) Να γράψετε την f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων.
δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει το 1 1
f f 2
.
ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και να λύσετε την εξίσωση:
3
f x x f x f x x f x
3. www.askisopolis.gr
3
6. Έστω οι συναρτήσεις f,g: με g x f x f 2 x για κάθε x και g γνησίως
αύξουσα στο .
α) Να βρείτε τη ρίζα και το πρόσημο της g.
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 2
f x f 2 x .
γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο .
δ) Να δείξετε ότι f 3 f 0 f 2 f 1 0 .
7. Έστω συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι 4
f f x x για κάθε x .
α) Να δείξετε ότι η f δεν είναι 1-1.
β) Να δείξετε ότι 4 4
f x f x για κάθε x .
γ) Έστω ότι η f είναι πολυωνυμική. Να αποδείξετε ότι 2
f x x .
8. Έστω η συνάρτηση 2
f x x 1 1, x 1 .
α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε.
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f
.
γ) Να δείξετε ότι η fC δεν βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της 1
f
.
δ) Έστω συνάρτηση g : τέτοια, ώστε να ορίζεται στο 1, οι συναρτήσεις f g και
g f .
i. Να δείξετε ότι αν η f g είναι αντιστρέψιμη, τότε και η g είναι αντιστρέψιμη.
ii. Να βρείτε την g αν 2
g f x x 1 x 1 για κάθε x 1 .
4. www.askisopolis.gr
4
Άσκηση 1η
1
Έστωσυνάρτηση hγια τηνοποίαισχύει h(lnx) lnx 1,x 0
x
x
α)Ναβρεθείησυνάρτησηh.
β)Ναμελετηθείηhωςπροςτηνμονοτονία,ναβρεθούνοιρίζεςκαι τοπρόσημοτηςh.
γ)Ναλυθείστο ηανίσωση: h(e x 2) e.
Λύση
t
1 2 1 2
κ
(2)
κ κ
κ(3)
x
e
x x x x
1 2 1 2 1 2
1
α) Έχουμε : h(ln x) ln x 1 ,x 0(1).
x
Έστω ln x κ,κ ,x 0(2) x e 0,κ (3)
1
(1) h(κ) lne 1,κ h(κ) e κ 1,κ
e
Άρα h(x) e x 1,x .
β)Γιακάθε x ,x ,με x x x x (4) e e e 1 e 1(5).
(4
1
1 2x x
1 2 1 2
h
h
h
x x x
) (5) e x 1 e x 1 h(x ) h(x ) h στο .
Έχουμε : h(0) 0και επειδή h στο ,η ρίζα x 0είναιμοναδική.
Γιαx 0 h(x) h(0) h(x) 0.
Γιαx 0 h(x) h(0) h(x) 0.
γ)Για x έχουμε:h(e x 2) e h(e x 2) h( 1) e x
2
2
2
2
2
h
x
2 1
e x 1 0 h(x) 0 h(x) h(0) x 0.
2
Άσκηση 2η
x
g(x) xln x xln x xln x
Δίνεται ησυνάρτηση f (x) e x 1 ,x .
α)Να δειχθεί ότι για κάθε y f (A) ,η εξίσωση f (x) y,έχει ως προς x
μοναδική λύση.
β)Να βρεθεί πραγματική συνάρτηση g γιατηνοποία ισχύει :
e e g(x) xln xe e ,x 0.
γ)Ναλυθούνστ
4 4 2 2
2 2 2 2
ο ,
i)ηεξισώση:f (2x 4) ln(2x 4) f (x 4) ln(x 4) (I).
ii)η ανίσωση:f (2x 2) ln(2x 2) f (x 4) ln(x 4) (II).
Λύση
1 2 1 2
1 2
xln x
e
x x x x
1 2 1 2
x x
1 2 1 2
e
g(x) xln x xln x xln x
g(
α)Αρκεί να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως μονότονηάρα 1 1.
Γιακάθε x ,x ,με x x (1) e e e 1 e 1 (2)
(1) (2) e x 1 e x 1 f (x ) f (x ) f στο .
β)Για x 0 έχουμε : e e g(x) xln xe e
e
1
1
x) xln x g(x) xln x
(4)
h(x)
f ,1 1 (4)
e g(x) xln x 1 e g(x) xln x 1 0 (3)
Έστω h(x) g(x) xln x(4) τότε(3) e h(x) 1 0 f (h(x)) 0
f (h(x)) f (0) h(x) 0 g(x) xln x 0 g(x) xln x,x 0.
5. www.askisopolis.gr
5
f
1 2 1 2 1 2
ln x
1 2 1 2
1 1 2 2 1
γ) Έστω η συνάρτηση φ(x) f (x) ln x ,x 0.
Η συνάρτηση f είναι στο άρα και στο διάστημα (0, ) ,οπότε
για κάθε x ,x (0, )με 0 x x f (x ) f (x ) (5)
επίσης 0 x x ln x ln x (6)
(5) (6) f (x ) ln x f (x ) ln x φ(x ) φ(x
1
1
1
2
4 2
2 2
) φ στο(0, ).
Η εξίσωση (I)και η ανίσωση (II)έχουνσύνολο ορισμού
x / 2x 4 0και x 4 0 και
x / 2x 2 0και x 4 0 ,αντίστοιχα.
1
φ
4 2 4 2 4 2
άρα φ,1 1
2 2
φ
2 2 2 2 2
(I) φ(2x 4) φ(x 4) 2x 4 x 4 2x x 0
2
x (2x 1) 0 x 0 ή x .
2
(IΙ) φ(2x 2) φ(x 4) 2x 2 x 4 x 2 x 2
x 2 ή x 2.
1
1
Άσκηση 3η
Δίνεται η συνάρτηση f (x) ln x 2x 2 ,x 0.
α)Ναμελετηθείη f ωςπρος τηνμονοτονία.
β)Ναλυθεί η εξισώση: f (x) 0.
γ)Ναλυθεί γραφικά η εξισώση: f (x) 0.
δ)Ναλυθεί ηεξισώση:f(x 2) f(x 1) f(2x) f(2x 1).
Λύση
ln
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
f
άρα1 1
α)Για κάθε x ,x (0, ) με 0 x x ln x ln x (1) επίσης
0 x x 2x 2x 2x 2 2x 2 (2)
(1) (2) ln x 2x 2 ln x 2x 2 f(x ) f(x ) f στο (0, ).
β)Για x 0 έχουμε :f(x) 0 f(x) f(1) x 1.
1
1
1
γ) Για x 0 έχουμε : f(x) 0 ln x 2x 2 0 ln x 2 2x οπότε οι λύσεις
είναι οι τετμημένες τωνσημείων τομήςτωνγραφικώνπαραστάσεωντωνσυναρτήσεων
g(x) ln x και h(x) 2 2x με x 0.
6. www.askisopolis.gr
6
Έχουνμοναδικό σημείοτομήςτο Α(1,0) με τετμημένη x 1 η οποία
είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x) 0.
δ)Ηεξίσωση:f(x 2) f(x 1) f(2x) f(2x 1) (I)έχεισύνολοορισμού
x / x 2 0,x 1 0,2x 0και2x 1 0
1
x / x 2,x 1, x 0και x (0, ).
2
Γιαx 1 η (Ι)γίνεται :f(3) f(2) f(2) f(3),αληθής,οπότεη x 1 είναι προφανής ρίζα.(
fx
fx 1
II)
Αν 0 x 1 2x x 1 f(2x) f(x 1) (3).
0 x 1 2x 1 x 2 f(2x 1) f(x 2) (4).
(3) (4) f(2x) f(2x 1) f(x 1) f(x 2) (5).
1
1
fx
fx 1
Αν x 1 2x x 1 f(2x) f(x 1) (6).
x 1 2x 1 x 2 f(2x 1) f(x 2) (7).
(6) (7) f(2x) f(2x 1) f(x 1) f(x 2)(8).
Από(II),(5),(8)έχουμε ότι μοναδική ρίζατηςεξίσωσης (I) είναι η x 1.
1
1
Άσκηση 4η
Δίνεται η συνάρτηση:
x x
e e
f(x) ,x .
2
α) Να δειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το 1
f 0
.
β) Να βρεθεί η f -1
και το πεδίο ορισμού της.
γ) Να βρεθεί η μονοτονία της f -1
.
δ) Να δειχθεί ότι η f -1
είναι περιττή.
Λύση
t
1 2
t
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
e
x x
1 2 1 2
e
x x x x
1 2 1 2
x x x x:2
x x x x
1 2
f (0) 0
1 1
α)Για κάθε x ,x με x x e e (1) επίσης
x x x x e e e e (2)
e e e e
(1) (2) e e e e f (x ) f (x )
2 2
f στο ηf είναι 1 1 στο .
Έχουμε : f (0) f (f (0)) 0.
1
1
1
xx x e
x x
2x x 2x x 2 2 x 2 2
x 2 2 x 2
x x x x
x x
β) Έστω f (x) y,y .
e e
Οπότε για x ,y , έχουμε : y e e 2y
2
e 1 2ye e 2ye y y 1 (e y) y 1
(e y) y 1 e y y 1 (3).
e e e e
Αλλά : e y e 0(4).
2 2
(4)
x 2 x 2
2 2 2 2
(3) e y y 1 e y y 1 (5).
Αλλά: y 1 y y y y 1 y y 1 y 0, για κάθε y (6).
7. www.askisopolis.gr
7
1
(6)
x 2 2
f
1 1 1 2
Άρα:(5) lne ln(y y 1) x ln(y y 1) καιf(A) οπότε και Α .
f :f(A) Α ήf : με f (x) ln(x x 1) .
f
1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2γ)Για κάθε y ,y με y y f(f (y )) f(f (y )) f (y ) f (y ) f στο .
1
1
1
1 2 2
f
2 2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 1
f
δ)1ος τρόπος
Για κάθε x A x και f ( x) ln( x ( x) 1) ln( x 1 x)
( x 1 x)( x 1 x) ( x 1) x 1
ln ln ln
x 1 x x 1 x x 1 x
ln( x 1 x) ln( x 1 x) f (x) f περιττή στο .
2ος τρόπος
Για κάθε x A x και
1
x x x x
f
f περιττή
1 1 1 1 1
e e e e
f( x) f(x) f περιττή στο .
2 2
Για κάθε y A y και
f ( y) f ( f(x)) f (f( x)) x f (y) f περιττή στο .
Άσκηση 5η
Δίνεται η συνάρτηση
x
x
e 1
f x
e 1
.
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
γ) Να γράψετε την f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων.
δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει το 1 1
f f 2
.
ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και να λύσετε την εξίσωση
3
f x x f x f x x f x
Λύση
α) Επειδή x
e 1 0 για κάθε x , είναι f
Έστω 1 2x ,x με 1 2x x . Είναι:
1 2 1 2
1 2
x x x x
1 2 x x
e 1 e 1 e
f x f x
e 1 e 1
1 2x x
e e 1 1 2x x
e
1 2x x
e e 1
1 2
1 2 1 2
x x
x x x x
2 e e
e 1 e 1 e 1 e 1
Επειδή 1 2x x είναι 1 2 1 2x x x x
e e e e 0 και αφού 1 2x x
e 1 0, e 1 0 , είναι
1 2 1 2f x f x 0 f x f x f 1 .
β) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο είναι και 1-1 και αντιστρέφεται.
x
x x x x x
x
e 1
f x y y e 1 ye y e ye y 1 e 1 y y 1
e 1
(1)
Αν y 1 η (1) είναι αδύνατη, οπότε για y 1 είναι x y 1
e
1 y
(2).
Επειδή x
e 0 για κάθε x , είναι
2 2y 1
0 y 1 1 y 0 1 y 0 y 1 y 1 1 y 1
1 y
. Τότε η (2) γίνεται:
8. www.askisopolis.gr
8
y 1
x ln
1 y
, άρα 1 y 1
f y ln , y 1,1
1 y
, οπότε και 1 x 1
f x ln , x 1,1
1 x
.
γ) Έστω
x 1
g x , x 1
x 1
και x
h x e , x .
Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g h ισχύει ότι:
h
x
g
x A x
h x A e 1 ύ
, άρα
g h . Είναι
x
x
h x 1 e 1
g h x g h x f x
h x 1 e 1
δ) Έστω ότι 1 1 1 1
f f 2 f f 2
, τότε
1 1 1 1
f f f 2 f f 2 f f f 2 f f f f 2
(3).
Τώρα έχουμε δύο τρόπους για να διαπιστώσουμε ότι η (3) δεν ισχύει.
Προηγουμένως αποδείξαμε ότι 1 y 1 , δηλαδή 1 f x 1 , οπότε δεν μπορεί η τιμή της f να
είναι 2. Αλλιώς τώρα:
f
f f f
f
e 1
f f 2 2 e 1 2e 2 3 e
e 1
αδύνατο.
ε) Επειδή fA , για κάθε fx A και fx A
Είναι
x
x xx
x
x
1 e1
1
e 1 eef x
1e 1 1
e
x
x
1 e
e
x x
x x
1 e e 1
f x
1 e 1 e
, οπότε η f είναι περιττή.
Επειδή η f είναι περιττή ισχύει ότι f x x f x x , οπότε η εξίσωση γίνεται:
3
f x x f x f x x f x f x x 3
f x f x x f x
1 1
3 3 3 2
f x f x x x x x 0 x x 1 0 x 0
ή 2
x 1 x 1
Άσκηση 6η
Έστω οι συναρτήσεις f,g: με g x f x f 2 x για κάθε x και g γνησίως αύξουσα
στο .
α) Να βρείτε τη ρίζα και το πρόσημο της g.
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 2
f x f 2 x .
γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο .
δ) Να δείξετε ότι f 3 f 0 f 2 f 1 0 .
Λύση
α) Παρατηρούμε ότι g 1 f 1 f 1 0 , οπότε:
για κάθε
g
x 1 g x g 1 0
1
και για κάθε
g
x 1 g x g 1 0
1
β)
g
2 2 2 2 2 2
f x f 2 x f x f 2 x 0 g x g 1 x 1 1 x 1
1
γ) Έστω ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο . Τότε για x 1 είναι f x f 1 (1)
και
f
x 1 x 1 2 x 1 f 2 x f 1 f 2 x f 1
2
(2)
9. www.askisopolis.gr
9
Από 1 2 f x f 2 x 0 g x 0 που είναι άτοπο.
δ) f 3 f 0 f 2 f 1 0 f 3 f 1 f 2 f 0 g 3 g 2 που ισχύει αφού
η g είναι γνησίως αύξουσα στο .
Άσκηση 7η
Έστω συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι 4
f f x x για κάθε x .
α) Να δείξετε ότι η f δεν είναι 1-1.
β) Να δείξετε ότι 4 4
f x f x για κάθε x .
γ) Έστω ότι η f είναι πολυωνυμική. Να αποδείξετε ότι 2
f x x .
Λύση
α) Για x 1 είναι f f 1 1 και για x f 1 είναι
4 4 4 3
1
f f f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 0 f 1 1 f 1 0
f 1 0 ή f 1 1 .
Για x 1 είναι f f 1 1 και για x f 1 είναι
4 4
1
f f f 1 f 1 f 1 f 1
(1)
1ος
τρόπος
Αν f 1 0 τότε 1 f 1 0 f 1 f 1 και η f δεν είναι 1-1, ενώ αν f 1 1 τότε
f x 0
4
1 f 1 1 f 1 1
,άρα και πάλι f 1 f 1 οπότε η f δεν είναι 1-1.
2ος
τρόπος
Έστω ότι η f είναι 1-1 τότε :
f 1 1 f 1 1
f f 1 1 f f 1 f 1 f 1 1 1
άτοπο.
β) Αντικαθιστώντας στη σχέση 4
f f x x όπου x το f x προκύπτει
4
4 4 4
x
f f f x f x f x f x
γ) Έστω ότι η f είναι πολυώνυμο ν-οστού βαθμού. Τότε το f f x θα είναι 2
ν βαθμού, ν .
Όμως 4
f f x x , άρα 2
ν 4 ν 2 .
Έστω 2
f x αx βx γ, α 0 . Τότε για κάθε x είναι 4
f f x x
22 2 4
α αx βx γ β αx βx γ γ x
2 4 2 2 2 3 2 2 2 4
α α x β x γ 2αβx 2αγx 2βγx αβx β x βγ γ x
3 4 2 3 2 2 2 2 4
α x 2α βx αβ 2αγ αβ x 2βγ β x αγ βγ γ x
3
2
22
22
222
α 1α 1 α 1 α 1
2β 02α β 0 β 0 β 0
β 2γ β 0αβ 2αγ αβ 0 2γ 0 γ 0
0 0 0 02βγ β 02βγ β 0
γ γ 0 γ 0γ βγ γ 0αγ βγ γ 0
, άρα 2
f x x .
10. www.askisopolis.gr
10
Άσκηση 8η
Έστω η συνάρτηση 2
f x x 1 1, x 1 .
α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε.
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f
.
γ) Να δείξετε ότι η fC δεν βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της 1
f
.
δ) Έστω συνάρτηση g : τέτοια, ώστε να ορίζεται στο 1, οι συναρτήσεις f g και g f .
i. Να δείξετε ότι αν η f g είναι αντιστρέψιμη, τότε και η g είναι αντιστρέψιμη.
ii. Να βρείτε την g αν 2
g f x x 1 x 1 για κάθε x 1 .
Λύση
α) 2 2 2 2
x 1 x 1 x 1 0 x 1 0 x 1 1 1 f x f 1 , άρα η f έχει ελάχιστο το
1 για x 1 .
β) Έστω 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 2 2
1 2x 1 1 x 1 1
1 2f x f x f 1, f 1 1 1 οπότε η f αντιστρέφεται.
x 1
22 2 2 2 2
f x y 1 x 1 1 y x 1 y 1 x 1 y 1 x y 2y 2
2
x y 2y 2 , άρα 1 2
f y y 2y 2, y 1
οπότε 1 2
f x x 2x 2, x 1
.
γ) Αρκεί
2 2
1 2 2 2 2
f x f x x 1 1 x 2x 2 x 1 1 x 2x 2
2
x 1 2
2 x 1 1 2
x 2x 2 2 2
x 1 2 1 x ισχύει αφού για κάθε x 1 είναι
2
x 1 0 και 1 x 0 .
δ) i. Έστω 1 2x ,x με 1 2g x g x τότε
f g 1 1
1 2 1 2 1 2f g x f g x f g x f g x x x
άρα η g είναι 1-1 και αντιστρέφεται.
ii. Έστω f x y , τότε 2
x y 2y 2 , y 1 .
2 2
f x
g f x x 1 x 1 x 1 1 x
2
g y y y 2y 2, y 1 , άρα 2
g x x x 2x 2, x 1 .
