1. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη μαθηματικών Νέας Ορεστιάδας 1
Αρχικά θα εξηγήσουμε , γιατί μόνο με την πληροφορία 0f ' x , σε ένωση διαστημάτων δεν μπορούμε να
συμπεράνουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα .
Παράδειγμα
Έστω η συνάρτηση
1
f x x , x R-{0}
x
Έχουμε : 2
1
1 0 0 0f ' x , x , ,
x
Οπότε :
▪ f είναι συνεχής στο 1 0A , και 0f ' x 1 0x A ,
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 1 0A ,
▪ f είναι συνεχής στο 2 0A , και 0f ' x 2 0x A ,
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 2 0A ,
Τώρα για να χαρακτηρίσουμε την f γνησίως αύξουσα στο 0 0A , ,
πρέπει για οποιαδήποτε 1 2x ,x A με 1 2x x να συνεπάγεται 1 2f x f x
Οπότε αν πάρουμε 1 1 2 20 0x A , και x A , τότε αν είναι γνησίως αύξουσα στο
0 0A , , πρέπει να ισχύει ο ορισμός , δηλαδή : 1 2 1 2x x f x f x
Όμως αν πάρουμε 1 1 2 20 1 0 0 1 0x , A , και x , A ,
έχουμε 1 2
1 1
0 1 0 1 10 9 9 0 1 0 1 10 9 9
0 1 0 1
f x , , , και f x , , ,
, ,
άρα 1 2f x f x
Έτσι 1 2 1 2x x f x f x . ( Βλέπω το διπλανό σχήμα )
Άρα η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο 0 0A , ,
Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι αν μας δώσουν την άσκηση :
Δίνεται η συνάρτηση :
x
x
e
f x
e 1
.
Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφή της f και να τη βρείτε .
Τότε αν στην προσπάθειά μας να δείξουμε ότι η f είναι 1-1 , βρούμε την παράγωγο
2
0 0 0
1
x
x
e
f ' x , x , ,
e
και «πούμε» : άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
fD ,0 0, οπότε είναι 1-1 στο fD ,0 0, , τότε κάνουμε λάθος .
Μαθηματικά Γ Λυκείου
Πως εξετάζουμε αν μια συνάρτηση είναι 1-1 , όταν το πεδίο ορισμού
της αποτελείται από ένωση διαστημάτων , ξένων μεταξύ τους ;
2. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη μαθηματικών Νέας Ορεστιάδας 2
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
Έτσι σύμφωνα με τα παραπάνω , αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το οποίο είναι ένωση διαστημάτων
ξένων μεταξύ τους , είναι «επικίνδυνο» να εργαστούμε με την μονοτονία για να δείξουμε ότι η f είναι 1-1 .
Οπότε πως θα εργάζομαι αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αποτελείται από ένωση διαστημάτων ξένων
μεταξύ τους ;
Το ασφαλέστερο είναι να εργαστούμε με τον ορισμό
ή με την ισοδύναμη πρόταση με τον ορισμό .
Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση :
x
x
e
f x
e 1
.
Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφή της f και να τη βρείτε .
Λύση .
Πεδίο ορισμού της f :
x x x x 0
fe 1 0 , e 1 0 e 1 e e x 0 άρα x 0 οπότε Α ,0 0,
Θέλουμε να δείξουμε ότι η f είναι 1-1 .
Θα εργαστούμε με τον κλασσικό τρόπο .
Για οποιαδήποτε 1 2 1 2fx ,x A με f x f x έχουμε :
1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 1
x x
x x x x x x x x x x
x x
e e
f x f x e e e e e e e e e e x x
e e
Άρα η f είναι 1-1 στο 0 0fA , ,
Η f είναι 1-1 στο fA οπότε ορίζεται η 1
f
στο ff A
Για κάθε fx A έχουμε
x
x x x x x
x
e
f x y y e ye y e ye y 1 y e y (1)
e 1
Αν y 1 τότε η (1) γίνεται x
0 e 1 αδύνατο . Άρα f1 f A
Άρα για y 1 έχουμε x x y
1 y e y e
y 1
Επειδή x
e 0 πρέπει
y
0 y y 1 0
y 1
Άρα y ,0 1,
Οπότε x x 1y y y y
e lne ln x ln f y ln , y ,0 1,
y 1 y 1 y 1 y 1
Ή 1 x
f x ln , x ,0 1,
x 1
3. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη μαθηματικών Νέας Ορεστιάδας 3
Καλά ως τώρα , όμως υπάρχουν περιπτώσεις που η πρόταση
είναι δύσκολο ή και αδύνατο να εφαρμοστεί , λόγο του τύπου της f , παράδειγμα
1
xf x e lnx ,
τότε πως μπορούμε να εξετάσουμε αν η f είναι 1-1 ;
Η απάντηση( κάπως κριμένη ) βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο .
Ας μεταφράσουμε αλγεβρικά την πρόταση : «κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της
f το πολύ σε ένα σημείο ».
Τα κοινά σημεία της fC με την ευθεία 0y y προκύπτουν από την λύση του συστήματος
f
0
y f x
Σ : , x D R
y y
Οπότε , η fC θα έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την 0y y , αν το σύστημα (Σ) έχει το πολύ μια λύση ,
άρα η εξίσωση 0f x y να έχει το πολύ μια λύση .
Έτσι αυτό που έχουμε να κάνουμε για να εξετάσουμε αν η f είναι 1-1 , είναι να εξετάσουμε αν η 0f x y
έχει το πολύ μια λύση για κάθε 0y R .
4. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη μαθηματικών Νέας Ορεστιάδας 4
Έτσι σύμφωνα με τα παραπάνω , για να εξετάσουμε αν
x
x
e
f x
e 1
είναι 1-1 στο 0 0A , , ,
βρίσκουμε τα διαστήματα που αποτελούν το σύνολο τιμών της f και εξετάζουμε αν η τομή τους είναι το κενό
σύνολο .
▪ Η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 1 0A , άρα 1
0
0
xx
f A lim f x , lim f x ,
▪ Η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 2 0A , άρα 2
0
1
x x
f A lim f x , lim f x ,
Ξέρουμε ότι , αν κάθε ευθεία 0 0y y , y R τέμνει την fC το πολύ σε
ένα σημείο τότε η f είναι 1-1 .
Αυτό είναι ισοδύναμο με το : η εξίσωση 0 0f x y , y R
έχει το πολύ μια λύση .
Επειδή 1 2f A f A αυτό σημαίνει ότι κάθε 0y R θα ανήκει μόνο στο 1f A ή μόνο στο 2f A ή σε
κανένα από τα δύο .
Οπότε η εξίσωση 0 0f x y , y R έχει το πολύ μια λύση , άρα κάθε ευθεία 0 0y y , y R τέμνει την fC
το πολύ σε ένα σημείο οπότε η f είναι 1-1
Συνοψίζοντας .
Όταν έχουμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού της μορφής fD α,β γ,δ για να εξετάσουμε αν
η f είναι 1-1 , έχουμε τις εξής επιλογές .
α) με την πρόταση .
β) βρίσκουμε τα διαστήματα που αποτελούν το σύνολο τιμών της f και εξετάζουμε αν η τομή τους είναι το
κενό σύνολο .
Ουντζούδης Δημήτρης .
