1. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada acara malam pentas hiburan, panitia seksi kesenian akan
menampilkan hiburan yang terdiri dari penampilan kelompok-kelompok band
dan penampilan kelompok tarian. Untuk menampilkan tida kelompok band
dan satu kelompok tarian, panitia mengeluarkan biaya sebesar Rp 2.750.000.
untuk menampilkan dua kelompok band dan dua kelompok tarian, panitia
mengeluarkan biaya Rp 2.500.000. berapakah biaya yang harus dibayar oleh
panitia pada malam pentas tersebut yang ternyata menampilkan dua
kelompok band dan satu kelompok tarian?
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kasus yang sering kita jumpai
seperti di atas yang pemecahannya dapat kita selesaikan dengan
menggunakan sistem persamaan linear dua variabel.
B. Rumusan Masalah
1. Perbedaan persamaan linear dan sistem persamaan linear.
2. Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
3. Cara menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.
C. Tujuan
1. Mengenal kembali sistem persamaan linear dua variabel
2. Dapat membedakan persamaan linear dan sistem persamaan linear
3. Dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan non linear
1

2. BAB II
PEMBAHASAN
A. Persamaan Linear Satu Variabel, Persamaan Linear Dua Variabel
Dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Persamaan Linear Satu Variabel
1) 2x + 5 = 3
2) 1 – 2y = 6
3) z + 1 = 2z
Variabel pada persamaan (1) adalah x, pada persamaan (2) adalah y, dan pada
persamaan (3) adalah z. Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk
persamaan linear satu variable. karena masing-masing persamaan memiliki
satu variabel dan berpangkat satu. Variabel x, y, dan z adalah variabel pada
himpunan tertentu yang ditentukan dari masing-masing persamaan tersebut.
Persamaan yang memiliki satu variabel dan peubahnya berpangkat satu
disebut persamaan linear dengan satu variabel.
Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax
+ b = c dengan a, b, dan c adalah konstanta, a 0, dan x variabel pada suatu
himpunan.
2. Persamaan Linear Dua Variabel
1) x + 5 = y
2) 2a – b = 1
3) 3p + 9q = 4
Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua
variabel. Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada
persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p +
9q = 4 adalah p dan q. Persamaan yang memiliki dua variabel dan peubahnya
berpangkat satu disebut persamaan linear dua variabel.
Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c
dengan a, b, c ∈ R a, b ≠ 0, c adalah konstanta dan x, y suatu variabel.
2

3. 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
x + y = 5…………………………………………………. (1)
2x – y = 11 ………………………… …………………..(2)
Persamaan (1) dan (2) merupakan persamaan linear dengan dua variabel yang
saling terkait. Beberapa persamaan yang saling terkait disebut sistem
persamaan linear. Karena kedua persamaan di atas saling terkait, memiliki
dua variabel dan penyelesaian yang sama (x=3 dan y=2) maka disebut sistem
persamaan linear dua variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk berikut
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a, b 0, x dan y suatu variabel, a1 dan a2 adalah koefisien dari variabel
x, b1 dan b2 adalah koefisien dari variabel y, dan c1,c2 adalah konstanta.
B. Penyelesaian atau Akar dan Bukan Akar Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel
Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdapat
pengganti-pengganti dari variabel sehingga kedua persamaan menjadi kalimat
benar. Pengganti –pengganti variabel yang demnikian disebut penyelesaian
atau akar dari sistem persamaan atau bukan akar dari sistem persamaan
tersebut.
Contoh 1:
Diketahui sistem persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5.
Tunjukkan bahwa x = 4 dan y = 3 merupakan akar atau penyelesaiannya!
Jawab:
Nilai x = 4 dan y = 3 disubstitusikkan pada persamaan x + 2y =10 dan 2x–y
=5, diperoleh :
x + 2y = 10
4 + 2(3) = 10
4 + 6 = 10
10 = 10 (benar)
2x – y = 5
2(4) – 3 = 5
8–3=5
5 = 5 (benar)
3

4. Karena selalu diperoleh kalimat benar, maka x = 4 dan y = 3 merupakan akar
atau penyelesaian dari persamaan x + 2y =10 dan 2x – y = 5.
Contoh 2:
Apakah x = 6 dan y = 2 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan x +
2y = 10 dan 2x – y = 5
Nilai x = 6 dan y = 2 disubstitusikan pada persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y
= 5, diperoleh:
x + 2y = 10
6 + 2(2) = 10
6 + 4 = 10
10 = 10 (benar)
2x – y = 5
2(6) – 2 = 5
12 – 2 = 5
10 = 5 (salah)
Pada persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5, x = 6 dan y = 2 disubstitusikan
pada kedua persamaan tersebut, ternyata mengakibatkian salah satu
persamaan menjadi kalimat yang salah. Oleh karena itu, x=6 dan y=2
bukanlah penyelesaian atau akar dari persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5.
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dapat
ditentukandengan mencari pasangan bilangan yang memenuhi setiap
persamaan linearnya dan bila pasangan bilangan itu disubstitusikan ke
persamaannya akan menghasilkan pernyataan yang benar.
Penyelesaian pada sistem persamaan linear ax + by = c dan px + qy = r
adalah menentukan pengganti untuk x dan y yang memenuhi kedua
persamaan tersebut sehingga diperoleh suatu bentuk pasangan koordinat x dan
y atau (x,y).
Himpunan peneyelesaian dari sistem persamaan linear dapat dicari
dengan beberapa metode yaitu, metode grafik, metode substitusi, metode
eliminasi dan metode gabungan.
1. Metode Grafik
Salah satu metode penyelesaian sistem persamaan adalah dengan metode
grafik yaitu membaca (menaksir) titik potong kedua persamaan garis pada
bidang kartesius. Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis
4

5. tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka
himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Contoh 3:
Selesaikan sistem persamaan x + 3y = 5 dan 2x – y = 3 dengan metode
grafik.
Jawab:
Kita tentukan titik potong masing-masing garis tersebut dengan sumbu x dan
sumbu y.
Menggunakan tabel:
x + 3y = 5
2x – y = 3
X
0
5
x
0
Y
0
y
-3
0
(x,y) ( 0,1 ) (5,0)
( x,y ) (0,-3) (1 , 0 )
( 0,1 )
(1 , 0 )
(0,-3)
(5,0)
Dari gambar di samping nterlihat bahwa
titik (2,1) merupakan ntitik potong kedua
garis tersebut. Untuk meyakinkan bahwa
pasangan bilangan berurutan tersebut
merupakan akar penyelesaian sistem
persamaan , kita ndapat mengecek dengan
cara mensubstitusikan titik (2,1) pada
kedua persamaan.
a. x + y = 5
2 + 3(1)=5
2+3=5
b. 2x – y= 3
2(2) – 1 = 3
4–1=3
Jadi jelas bahwa penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(2,1)}
Contoh 4:
Tentukan penyelesaiansistem persamaan 2x –y = 4 dan x = 3 untuk x,y
R.
Jawab:
Untuk persamaan 2x – y =4
Titik potong pada sumbu x, maka sumbu y = 0, sehingga:
5

6. 2x - 0 = 4
⇔
2x = 4
⇔
x =2
koordinat titik potong pada sumbu y, maka x = 0:
2(0) - y = 4
⇔
-y =4
⇔
y =-4
Koordinat titik potong pada sumbu y adalah (0, -4). atau dengan
menggunakan table:
X
2
0
Y
0
-4
(x,y) (2, 0) (0, -4)
Untuk persamaan x = 3, dapat langsung dibuat grafiknya, yaitu garis yang
sejajar dengan sumbu y dan titik (3,0).
Grafik sistem persamaan tersebut ditunjukan pada gambar disamping
2x – y = 4
x= 3
Karena koordinat titik potongnya
adalah (3,2) maka penyelesaiannya
adalah x = 3 dan y = 2.
(3,2)
(2 , 0)
(0, 4)
Pada kedua contoh di atas dan pembahasan sebelumnya diperoleh
bahwa penyelesaian dari SPLDV yang diberikan hanya memiliki tepat satu
pasangan. Mengingat kedudukan dua garis dalam satu bidang mempunyai 3
kemungkinan, yaitu sejajar, berpotongan dan berimpit, maka:
Grafik penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang sejajar tidak
mempunyai penyelesaian.
Grafik penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang saling
berpotongan di satu titik mempunyai satu penyelesaian.
Grafik penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang berimpit
mempunyai tak hingga penyelesaian.
6

7. 2. Metode Substitusi
Jika penyelesaian sistem persamaan bilangan berurutan yang relative
besar atau tidak memuat bilangan bulat, maka metode grafik tidak dapat
digunakan dengan baik. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah
metode substitusi.
Substitusi berarti mengganti. Jadi, untuk menentukan penyelesaian atau
himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode
substitusi, kita perlu mengganti salah satu variabel dengan variabel lain.
Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem npersamaan
x + 2y = 8
3x – 5y = 90
Jawab:
Persamaan x + 2y = 8 dapat dinyatakan dalam bentuk x = 8 – 2y, kemudian
pada persamaan 3x – 5y = 90, gantilah x dengan 8 – 2y sehingga diperoleh:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
3x – 5y
3(8 – 2y) – 5y
24 – 6y – 5y
24 – 11y
-11y
-11y
y
=
=
=
=
=
=
=
90
90
90
90
90 – 24
66
-6
untuk menentukan nilai x, gantilah y dengan – 6 pada persamaan x + 2y = 8
atau 3x – 5y = 90, sehingga diperoleh
3x – 5y = 90
3x – 5(-6) = 90
3x + 30 = 90
3x = 90 - 30
x = 60/3
x = 20
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan diatas adalah {(20, -6)}
x + 2y
x + 2(-6)
x – 12
x
x
=
=
=
=
=
8
8
8
8 + 12
20
atau
7

8. Contoh 6 :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 7x – 4y =2 dan 3x +
2y=12.
Jawab:
Persamaan 3x + 2y = 12 dapat dinyatakan dalam bentuk y = 6 -
.
Kemudian, substitusikan y ke persamaan 7x – 4y = 2 diperoleh :
7x – 4y = 2
⇔ 7x – 4(6 -
= 2
⇔ 7x – 24 – 6x = 2
⇔
7x + 6x = 2 + 24
⇔
13x = 26
⇔
x = 26/13
⇔
x = 2
Selanjutnya, substitusikan x = 2 ke salah satu persamaan, maka di peroleh:
7x – 4y = 2
7(2) – 4y = 2
14 - 2 = 4y
12 = 4y
12/4 = y
3 = y atau y = 3
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah {(2,3)}
3. Metode Eliminasi
Metode eliminasi berarti penghilangan/pelenyapan salah satu variabel
atau peubah dari sistem persamaan linear dua variabel. Pada metode ini,
angka dari koefisien variabel yang akan dihilangkan harus sama atau dibuat
agar sama. Jika variabelnya x dan y, maka untuk menentukan variabel x kita
harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya.
Jika kokefisien dari salah satu variabel sudah sama maka kita dapat
mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk
selanjutnya menentukan variabel yang lain.
Contoh 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x – 4y = -11 dan
4x + 5y =6
8

9. Jawab:
Langkah I (eliminasi variabel y untuk memperoleh nilai x)
3x – 4y = –11 (x5) ⇒
4x + 5y = 6 (x4) ⇒
15x – 20y = – 55
16x + 20y = 24
31x
= –31
x
= –1
+
Langkah II (eliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y)
3x – 4y = –11 (x4) ⇒
4x + 5y = 6 (x3) ⇒
12x – 16y = – 44
12x + 15y = 18 _
–31y = –62
y = 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(–1, 2)}
4. Metode Gabungan
Metode ini biasanya lebih banyak dipergunakan untuk menyelesaikan
persoalan yang berkaitan dengan bsistempersamaan linear. Dengan
mengeliminasi salah satu variabel, kemudian nilai salah satu variabel yang
diperoleh disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan itu sehingga dapat
diperoleh nilai variabel yang lain.
Contoh 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y=2 dan x+5y=
6, jika x,y R.
Langkah I (metode eliminasi)
2x – 5y = 2 (x -1) ⇒ -2x + 5y = -2
x + 5y = 6 (x 1) ⇒ x + 5y = 6 _
-3x
= –8
x
= 8/3
x
= 2
karena variabel y sudah sama
maka dapat langsung dikerjakan
2x – 5y = 2
x + 5y = 6 +
3x
= 8
x
=
Langkah II (metode substitusi)
Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan 2x – 5y = 2 atau x + 5y = 6.
9

10. 2x – 5y = 2
2(8/3) –5y = 2
16/3 – 5y = 2
–5y = 2 –
–5y = –
y =–
(– )
y =
jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 adalah
{(2 , )}
D. Sistem Persamaan Linear Dua Variable Dengan Pecahan
Dalam sistem persamaan, jika pada salah satu atau kedua persamaan
terdapat pecahan, maka persamaan yang mengandung pecahan itu harus
dijadikan persamaan lain yang ekuivalen tetapi tidak lagi mengandung
pecahan. Pengubahan itu dapat dilakukan dengan cara mengalikan setiap
persamaan itu dengan KPK dari bilangan penyebut masing-masing pecahan.
Setelah persamaan-persamaannya tidak lagi memuat pecahan, maka untuk
menyelesaikanya dapat dikerjakan dengan menggunakan salah satu metode
yang telah dipelajari
Contoh 9:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan 3x + 2y = 17 dan x – y = –1!
Jawab:
Langkah I
Persamaan x – y = –1 diubah sehingga tidak jlagi mengandung pecahan
x – y = –1
(dikalikan dengan 6 yaitu KPK dari 3dan 2)
⇔ 6( x – y) = (–1)6
⇔
2x – 3y = – 6
Langkah II (kerjakan dengan salah satu metode yang telah dipelajari)
10

11. Misalnya menggunakan metode gabungan:
3x + 2y = 17 (x2) ⇒
2x – 3y = – 6 (x3) ⇒
6x + 4y = 34
6x – 9y = – 18 _
13y = 52
y = 52/13 = 4
jadi y = 4
3x + 2y = 17
3x + 2(4) = 17
3x + 8 = 17
3x = 17 – 8
3x = 9
x =3
jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 4.
E. Penerapan/Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variable
dalam Kehidupan Sehari-Hari
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat
diselesaikan dengan menerapkan penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel. Masalah-masalah ini biasanya berbertuk soal cerita. Pada bagian ini
akan membahas bagaimana cara untuk menyelesaikan masalah seperti ini.
Contoh 10:
Harga dua baju dan tiga kaos adalah Rp 85.000, sedangkan harga tiga baju
dan satu kaos jenis yang sama adalah Rp 75.000. Tentukan harga sebuah baju
dan harga sebuah kaos!
Jawab:
Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahannya ke dalam kalimat
matematika sehingga diperoleh formulasi untuk mendapatkan pemecahan
(solusi) atas permasalahan yang terjadi.
Pada soal cerita ini ada dua besaran yang belum diketahui, yaitu harga sebuah
baju dan harga sebuah kaos. Dimisalkan:
Harga sebuah baju = x rupiah, dan
Harga sebuah kaos = y rupiah, maka
Harga 2 baju dan 3 kaos: 2x + 3y = 85.000
Harga 3 baju dan 1 kaos: 3x + y = 75.000.
11

12. Sehingga, didapat sistem persamaannya adalah 2x + 3y = 85.000 dan
3x + y = 75.000.
kemudian kerjakan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian.,
maka:
2x + 3y = 85.000 (x1)
⇒ 2x + 3y = 85.000
3x + y = 75.000 (x3)
⇒ 9x + 3y = 225.000 _
– 7x = –140.000
x = 20.000
2x + 3y = 85.000
2(20.000) + 3 y = 85.000
40.000 + 3 y = 85.000
3y = 85.000 – 40.000
3x = 45.000
x = 15.000
jadi harga sebuah baju = x rupiah = Rp 20.000 dan
harga sebuah kaos = y rupiah = Rp 15.000
Contoh 11:
Perbandingan umur ayah dan ibu adalah 4:3. Enam tahun yang lalu,
perbandingan umur mereka adalah 7:5. Berapakah perbandingan umur
mereka enam tahun yang akan datang ?
Jawab:
Misalkan umur ayah sekarang adalh x tahun dan umur ibu sekarang adalah y
tahun, maka diperoleh sistem persamaan x : y = 4 : 3 atau y = x dan (x – 6) :
(y – 6) = 7 : 5 atau 5x – 7y = –12.
y = x di substitusikan ke persamaan 5x – 7y = –12. Diperoleh:
5x – 7y = –12
5x – 21( x) = –12
5x – x = –12
x–
x = –12
– x = – 12
x = 48
Substitusikan x = 48 ke salah satu persamaan yang diperoleh y = 36 sehingga
dapat diperoleh perbandingan umur ayah dan ibu pada 6 tahun mendatang
adalah (x + 6) : (y + 6) = 54 : 42
= 9 :7
12

13. F. Sistem Persamaan Nonlinear
1. Sistem persamaan bentuk pecahan sederhana
Contoh 12:
+ = 1 dan
- = - 16
Dengan memisalkan = a dan = b. diperoleh sistem persamaan linear dua
variabel dengan variabel a dan b yaitu, 4a + 3b = 1 dan 5a – 2b = –16
4a + 3b = 1 (x2) ⇒
5a – 2b = –16 (x3) ⇒
4a + 3b = 1
4(-2) + 3b = 1
-8 + 3b = 1
3b = 1 + 8
3b = 9
b=3
8a + 6b = 2
15a – 6b = – 48 +
23a
= –46
a
= –2
Gantikan nilai a = -2 dab b= 3 ke pemisahan mula-mula
dan diperoleh = -2 ⇔ x = - dan = 3 ⇔ y = .
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
diatas adalah {(- , )}
2. Sistem persamaan linear dan kuadrat
Sistem persamaan linear dan kuadrat terdiri dari fungsi linear dan fungsi
kuadrat dengan dua peubah yang mempunyai bentuk umum
y = ax + b
y = px2 + qx + r
dengan p
0.
Himpunan penyelesaian dari sistem linear-kuadrat dapat ditentukan dengan
menggunakan metode substitusi.
Contoh 13:
Tentukan hjimpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat
y = x + 2 dan y = x2
Jawab:
Substitusikan y = x + 2 ke persamaan y = x2
13

14. x2 = X + 2
x2 – x – 2 = 0
(x + 1) ( x – 2) = 0
x1 = -1 atau x2 = 2
substitusikan x1 dan x2 sehingga diperoleh y1= 1 dan y2 = 4. Jadi, himpunan
penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat diatas adalah {(-1,1),(2,4)}
3. Sistem persamaan kuadrat-kuadrat
Sistem sistem persamaan kuadrat-kuadrat dngan dua peubah terdiri dari
dua fungsi kuadrat. Sistem persamaan kuadrat-kuadrat mempunyai bentuk
umum
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
dengan a 0 dan p 0.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat-kuadrat dapat
ditentukan dengan menggunakan metode dubdtitusi atau eliminasi.
Contoh 14:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat
y = x2 + 4x + 4
y = 10 - x2
Jawab:
Substitusikan y = 10 – x2 ke y = x2 + 4x +4, kemudian selesaikan dan
diperoleh:
10 – x2 = x2 + 4 + 4
2x2 + 4x – 6 = 0 (x )
x2 + 2x – 3 = 0
(x + 3)(x – 1) = 0
x1 = – 3 atau x2 = 1
y1 =1 atau y2 = 9
jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat-kuadrat di atas adalah
{(–3,1),(1,9)}.
14

15. BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b
atau ax + b = c dengan a, b, dan c adalah konstanta, a 0, dan x
variabel pada suatu himpunan.
Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by
= c dengan a, b, c R, a, b 0, dan x, y suatu variabel.
Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax
+ by = c dan px + qy = r maka dikatakan dua persamaan tersebut
membentuk sistem persamaan linear dua variabel.
Pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan di atas
disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat
dilakukan dengan metode grafik, eliminasi, substitusi, dan metode
gabungan.
Untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear dua variabel, terlebih dahulu ubahlah soal cerita
tersebut menjadi beberapa kalimat atau model matematika, kemudian
selesaikan sistem persamaan tersebut.
Sistem persamaan nonlinear dua variabel dapat diselesaikan dengan
cara mengubahnya terlebih dahulu ke bentuk sistem persamaan linear
dua variabel, yaitu dengan pemisalan sehingga terbentuk variabelvariabel baru. Selanjutnya kembalikan penyelesaian variabel-variabel
baru tersebut ke variabel semula.
15

16. DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2007.Matematika untuk KelasVIII.
Jakarta: Erlangga
Nuharini, Dewi dkk. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk
SMP/MTs kelas VIII. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Rahaju, E. Budi dkk.2008.Matematika Sekolah Menengah Pertama Kelas
VIII. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional
Saleh, N. Taufiq dkk.2005. Fokus Matematika untuk SMP Kelas VIII.
Jakarta: PT. Pabelan
16