Presentazione del prof. Ivan Graziani del seminario tenuto al convegno di didattica della matematica di Castel San Pietro Terme "Incontri con la matematica XXV", dal titolo "Pitag'ORA et LABORA": un interessante percorso didattico laboratoriale condotto tra scuola primaria e secondaria di I grado su alcuni dei più famosi contributi dati da Pitagora allo sviluppo della geometria, dall'omonimo teorema a tanto altro.

1. 25 Convegno Nazionale
Incontri con la Matematica
Castel San Pietro Terme – 6 novembre 2011
Prof. Graziani Ivan
Istituto Comprensivo di Santa Sofia (FC)

2.  Per rispetto …
 Perché spesso, per come viene presentato, viene “odiato”
forse più della stessa matematica … (Come dice anche
Umberto Eco nelle sue “Interviste impossibili”, edite da
Bompiani nel 1975: “… mi chiedo se per molti altri che ci
ascoltano il suo nome non evochi soltanto memorie
ingrate: la tavola pitagorica, il teorema di Pitagora …”)
 Perché in molti casi ci sono eccessi di “pitagorismi”
concentrati nel secondo anno di scuola secondaria di I
grado.
 Perché Pitagora non è solo il suo famoso Teorema.
 Perché Pitagora è Pitagora!

3.  Perché la didattica laboratoriale e l’insegnamento
cooperativo sono due valide metodologie per rendere più
accattivante l’apprendimento e, soprattutto, maggiormente
concorrenziale nei confronti degli altri stimoli mediatici
che raggiungono i nostri studenti.
 Perché se “faccio imparo”.
 Perché Pitagora si presta molto bene ad attività di vario
genere anche trasversali alle diverse discipline della nostra
scuola.
 Perché “il laboratorio di matematica rende più divertente
apprendere, perfino la geometria ...” (Irene III Primaria)

4.  Un nostro intento è stato anche quello di presentare alcune
attività collegate a Pitagora e alla sua Scuola nei diversi
ordini di scuola di un Istituto Comprensivo.
 Pitagora, quindi, non solo alle “medie” ma fin dalla Scuola
d’Infanzia.
 Pitagora, per questo motivo, non solo legato al suo
Teorema, ma alle tante altre attività collegabili ai
numeri, all’aritmogeometria, ai solidi e ad altre
“conseguenze” imputabili alla Scuola di Pitagora.
 E’ stata importante anche la contestualizzazione storica; a
tutti i livelli i ragazzi si sono stupiti che Pitagora fosse
vissuto “tanto tempo fa”.

5. Le scuole e le classi che abbiamo “frequentato” sono state:
 La Scuola dell’Infanzia “Sacro Cuore” di Cusercoli, con i bambini di 5
anni.
 La Scuola Primaria “De Amicis” di Cusercoli, con i bambini delle
classi seconda e quarta.
 La Scuola Primaria “De Amicis” di Santa Sofia, con i bambini della
classe terza.
 La Scuola Secondaria di I grado “Galileo Galilei” di Santa Sofia con i
ragazzi delle classi prima e terza.
 La Scuola Secondaria di I grado “Don Milani”, con i ragazzi delle
classi prima e terza a Civitella di Romagna e della prima e seconda a
Cusercoli.
 Un doveroso ringraziamento va, oltre che ai bambini, alle colleghe
delle scuole partecipanti e alla cara collega Stefania che, grazie anche al
suo status quiescente, mi ha “supportato” in alcuni incontri in classe.

6. Alla Scuola dell’Infanzia abbiamo iniziato insieme alla maestra a
chiedere ai 12 bambini di 5 anni cos’era secondo loro la matematica e
che cosa fa un matematico, ottenendo varie risposte alcune delle quali
un po’ spiazzanti, tipo “il matematico lavora in banca” o la “matematica
serve per scrivere” …
Dopo aver chiarito qualche dubbio dei
bambini, siamo passati a raccontare un po’
la storia di Pitagora e della sua Scuola,
mostrando anche l’immagine del “bel”
signore che faceva il “matematico”.
Abbiamo quindi chiesto loro quali numeri e
quali figure geometriche conoscevano,
aiutandoci anche con le forme che ci ha
dato la maestra.

7. Dopo abbiamo affrontato, come attività-gioco, i numeri figurati,
utilizzando della pasta colorata (i “ditalini”) per costruire numeri
triangolari e quadrati aiutandosi anche con le forme triangolari e
quadrate..

8. I bambini hanno realizzato con relativa facilità i diversi numeri fino a
10 per i “triangolari” e fino a 9 per i “quadrati”. Alcuni di loro hanno
provato a spingersi oltre, soprattutto con i numeri triangolari.

9.  Hanno apprezzato il loro
primo incontro con i
numeri di Pitagora.
 Hanno incollato la pasta
su fogli bianchi con la
colla vinilica, tanto cara
al “Mucciaccia di Art
Attack”.
 E alla fine dell’attività
hanno incollato i loro
lavori più significativi su
un cartellone, con la
maestra, per ricordare la
giornata dedicata ai
numeri figurati.
 Per il livello di scuola è
un approccio più che
soddisfacente.

10. Nella classe seconda della scuola Primaria di Cusercoli, composta da
14 bambini abbiamo ripercorso alcuni aspetti della storia della scuola
pitagorica, soffermandoci brevemente sul simbolo della Scuola e sul
loro celebre motto “tutto è numero”.
Abbiamo poi introdotto l’aritmogeometria e i numeri figurati, partendo
da quelli triangolari, soffermandoci sulle particolarità che osservavano i
bambini e provando a generalizzare.

11. Siamo poi passati ai numeri quadrati e abbiamo chiesto ai bambini
cosa notassero di particolare.
 Si sono alternate osservazioni particolarmente acute sulle similitudini
tra i due sistemi e altre un po’ più bizzarre, legate all’età dei “nostri
scolari”, come quella di Nicola che ha detto che “i numeri triangolari
sono il tetto di quelli quadrati”.
 Irene e Andrea hanno notato che il numero di triangolini realizzati nei
numeri triangolari è uguale ai numeri quadrati.
Riccardo e
Gianluca hanno
notato che il
numero di
quadratini dei
numeri quadrati
è uguale al
numero
quadrato
precedente.

12. Nella seconda parte dell’incontro abbiamo consegnato ad ogni
bambino 8 triangolini rettangoli quadrettati con dimensioni 3,4 e 5 e
tre quadrati quadrettati con lati di 3, 4 e 5.
Abbiamo poi chiesto ai bambini di provare a costruire con quei
pezzetti, suddivisi in due gruppi (uno con i 2 quadrati di lato 3 e 4 e
quattro dei triangolini e l’altro con il quadrato di lato 5 e i restanti
quattro triangolini), due quadrati “grandi” uguali.
 Andrea e Irene sono stati molto veloci e in meno di 3 minuti hanno
composto i due quadrati.

13.  Con qualche minuto in più, anche tutti gli altri bambini sono riusciti a
costruire le due figure richieste.
 Abbiamo quindi chiesto se notavano qualcosa di particolare che
avessero in comune le due figure appena costruite.
 Tutti i bambini hanno osservato che entrambi i quadrati avevano al
loro interno 4 triangoli.
 Poi Irene ha detto che “i due quadrati più piccoli sono grandi quanto
quello più grande”. Riccardo, invece, ha detto: “Occupano lo stesso
spazio”. E, non avendo loro fatto ancora le aree, questo ci basta …

14. Cambiando classe e anche scuola siamo andati a Santa Sofia in una
classe terza della scuola Primaria, composta da 17 bambini.
 Siamo partiti anche in questo caso da un po’ di storia su Pitagora e sulle
sua scuola, sul periodo storico, sul simbolo e sul motto.
 Per la costruzione del simbolo siamo partiti dal pentagono e dalle sue
diagonali, concetto che i bambini ancora non avevano appreso, ma
sono stati subito bravi a fare.
Anche lo studente non italiano,
da poco nel nostro Paese.

15. Poi siamo passati come di consueto ai numeri figurati.
 I bambini sono stati bravi e hanno fatto presto a capire i numeri
triangolari, così siamo passati subito a quelli quadrati, chiedendo loro
cosa notassero di particolare.
 Ilaria ha notato le differenze tra i numeri e li ha collegati indicando
quanto doveva “aggiungere ai numeri per ottenere il numero
successivo”.
 Matteo ha notato che per i numeri triangolari si può fare questa
sequenza:
1 + 0 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10 “ … e così via”.

16.  Sofia è stata particolarmente brava ed è arrivata con i numeri
triangolari fino a 120 (15° numero triangolare).
 Tutti i bambini sono arrivati a fare la sequenza dei numeri quadrati
fino a 100 (10° numero quadrato).
 Martina ha osservato che i numeri quadrati sono il prodotto di “un
numero per se stesso”.
 Ilaria ha detto che “il numero dei triangolini è uguale ai numeri
quadrati”.

17. Siamo quindi passati alla costruzione dei quadrati con gli 8 triangolini
rettangoli e i 3 quadrati coi lati di 3, 4 e 5 unità.
 La più veloce è stata Martina che ha impiegato circa 3 minuti a
costruire entrambi i quadrati.
 Matteo ha notato subito che i due
quadrati sono uguali
 Sofia ha detto: “se tolgo i 4
triangoli per parte mi rimangono 1
quadratone e due quadratini che
sono uguali”.
 Francesco ha detto che “ è come la
proprietà invariantiva …”.
 Tutti hanno detto che si sono
divertiti e Francesca ha aggiunto
che “le è piaciuto Pitagora,
bellissima la sua storia che è
vissuto 2600 anni fa …”

18. Tornando a Cusercoli siamo stati nella 4a classe Primaria, con 18
bambini, e abbiamo parlato della Scuola di Pitagora, anche in modo
critico e contestualizzando un po’ di più storicamente.
 Avendo i bambini già affrontato le potenze e le superfici, abbiamo
potuto alzare un po’ il tiro sia nella storia che nelle attività.
 La nostra storia del simbolo della scuola è potuta partire dal pentagono
e dalle sue diagonali. Il motto “tutto è numero” è stato affrontato con
bambini che conoscevano già le frazioni e le potenze e quindi abbiamo
parlato anche dei “problemi” arrecati dalla radice di 2 e di Ippaso da
Metaponto.

19. Nell’attività sui numeri figurati sono state fatte osservazioni più
consapevoli sulle similitudini tra numeri triangolari e quadrati …
… seppure in modi diversi …

20. Anche dalla ricostruzione dei due quadrati uguali con i triangoli
rettangoli e i tre quadrati, sono emerse delle osservazioni interessanti e
Letizia ha osservato che il triangolo aveva i tre lati che coincidevano
con i lati dei tre quadrati.
 A quel punto abbiamo
estratto dal “cilindro”
altri triangoli rettangoli
con diversi quadrati
chiedendo ai bambini di
associare ai triangoli i
quadrati corrispondenti.
 Abbiamo poi chiesto di
osservare i numeri dei
quadratini all’interno
delle diverse figure e di
dirci cosa ci fosse di
particolare.

21.  Alessia e Enrico hanno scritto i
numeri dei quadratini sulle terne
di quadrati corrispondenti ai lati
dei triangoli rettangoli.
 Arturo, Federico e Luca hanno poi
costatato che “la somma dei due
numeri che corrispondono ai
quadrati più piccoli” di ogni terna
“dà come risultato il numero del
quadrato più grande”.
 Letizia ha notato che “le aree dei
due quadrati più piccoli è uguale
al quadrato più grande”.
 Pitagora potrebbe anche essere
moderatamente soddisfatto …
 Anche i bambini lo erano …

22. Per le tre classi della Scuola Secondari di I grado distinguiamo le
attività svolte nel primo e nel secondo quadrimestre.
Infatti le attività collegabili a Pitagora e alla sua Scuola sono
molteplici e sono relativi ai vari periodi dell’anno e alle altre
tematiche svolte normalmente.
 Per la classe prima, quindi, le attività del primo quadrimestre sono
svolte in parte con i ragazzi della Scuola Secondaria di Civitella di
Romagna e di Santa Sofia, mentre quelle relative al secondo
quadrimestre sono state svolte nella sezione di Cusercoli della Scuola
Secondaria di Civitella di Romagna.
 Per la classe seconda solo alla Scuola Secondaria di Cusercoli.
 Per la classe terza nel primo quadrimestre a Santa Sofia e nel
secondo a Civitella di Romagna.

23. Primo quadrimestre:
La prima attività svolta nella classe 1a è stata quella relativa ai numeri
figurati, effettuata nel primo periodo dell’anno scolastico, insieme ai
numeri naturali.
Siamo sempre partiti dalla storia di Pitagora, dal periodo in cui è
vissuto, dalla sua Scuola e dal suo simbolo, che ci ha fatto fare
un’ulteriore attività sui segmenti.
Da alcune immagini del
passato abbiamo anche
potuto scoprire sia gli
interessi sia l’importanza
del grande Pitagora.

24. I numeri figurati sia triangolari che quadrati sono stati costruiti
insieme ai ragazzi, sia sui quaderni che sulla lavagna LIM. I ragazzi
dovevano poi trovare quali fossero le analogie tra i due tipi di numeri e
le particolarità sia dei numeri triangolari che di quelli quadrati.
 Giorgia e Vittoria hanno scritto che “da un numero triangolare al
successivo si aggiunge un pallino in più del precedente”:
 Rocco ha scritto che “il numero quadrato è uguale ai triangolini dei
numeri triangolari”:

25.  Riccardo ha scritto che “i numeri quadrati sono quelli che posso
esprimere come prodotto di due numeri uguali, cioè come quadrato di
un numero.
 Anche Alice, Robert e Pietro hanno detto che “i numeri quadrati sono
sempre il quadrato di un numero”.
 Ettore, Guido e Pietro L. hanno detto che “da un numero quadrato al
successivo si aggiungono sempre due pallini in più rispetto a quanto
aggiunto al precedente”.
 Rocco ha aggiunto che la differenza tra due numeri quadrati successivi
è sempre un numero dispari e questo accade anche per la somma di due
numeri quadrati successivi”.
Es.: 9 – 4 = 5 36 – 25 = 11 9 + 16 = 25 36 + 49 = 85
 Alessandro ha detto che “il numero di triangolini e di quadratini che si
formano nei due tipi di numeri sono uguali”
Abbiamo poi osservato che i numeri quadrati sono quelli della
“diagonale” della tavola pitagorica, realizzata con Excel.
Questo è, invece, il lavoro di un gruppo della 1a “media” di Civitella.

26. Il simbolo della Scuola di Pitagora lo abbiamo analizzato dal punto di
vista della geometria con Geogebra partendo dal pentagono regolare.
 Da questo siamo arrivati al rapporto aureo e al rettangolo aureo che i
ragazzi hanno cercato in vari oggetti e riscontrato nelle carte di credito,
nelle carte sim e in altri oggetti di casa, tra i quali anche un tavolo.
 Il passaggio dal pentagono al rettangolo aureo è stato poi visto dai
ragazzi nel cartone animato della Disney “Paperino nel mondo della
Matemagica” del 1959 (!).

27. Nel secondo quadrimestre con i ragazzi della Scuola Secondaria di
Cusercoli, insieme alle frazioni, abbiamo fatto un’attività che rientrava
in un laboratorio denominato “Fra azioni e frazioni”.
 Insieme all’insegnante di Musica
abbiamo ripercorso il rapporto tra
“Pitagora, frazioni e musica”.
 I ragazzi hanno potuto osservare i
rapporti tra le lunghezze delle corde
e il suono prodotto e anche i valori
delle relative vibrazioni.
 Anche con un’arpa ...

28. Quando era il momento di “affrontare” i divisori abbiamo raccontato ai
ragazzi la storia in cui un giorno fu chiesto a Pitagora: "Chi è un
amico?“. Ed egli rispose: "Colui che è l'altro me stesso.“
Pitagora portò come esempio i numeri 220 e 284. Sono due numeri
amici perché ciascuno di essi è uguale alla somma dei divisori propri
dell'altro, specificando che un divisore proprio di un numero è un
divisore minore del numero stesso.
 I divisori di 220 sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
 I divisori di 284 sono 1,2,4,71,142
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220
Siccome non è facile per ragazzi di prima “media” trovare da soli altri
numeri amici, in quanto 220 e 284 sono i due più piccoli tra questi,
abbiamo allora chiesto quali tra queste coppie fossero numeri amici:
1100 e 1420; 1.184 e 1.210; 1540 e 1988; 2.620 e 2.924
Questa è stata la risposta di un gruppo, utilizzando Excel.

29. Nella classe seconda della secondaria di I grado, consueto “Regno di
Pitagora” e di vari “pitagorismi”, abbiamo affrontato diverse attività
legate al celebre teorema e non solo.
Siamo partiti dalla storia del Teorema di Pitagora e da un francobollo
greco:
 Dal semplice conteggio del numero degli scacchi
delle tre scacchiere del francobollo, abbiamo chiesto
ai ragazzi cosa notassero.
 Marco e Nicolò hanno notato che il triangolo
rettangolo non era “disegnato correttamente”
(abitudinari!).
 E’ stato spiegato il significato della parola ipotenusa
e che il “consueto” disegno è fatto in quel modo solo
perché è più semplice rappresentare l’angolo retto
Comunque tutti hanno trovato, chi prima chi dopo, la relazione di
somma tra i due quadrati più piccoli e quello più grande.

30. Da qui siamo passati al disegno con carta, anche millimetrata, e matita.
 Per generalizzare la relazione siamo andati al computer e abbiamo
cercato di verificare il teorema con Geogebra.
 Abbiamo anche provato a generalizzarlo con altri poligoni regolari e
anche con il cerchio.

31. Siamo poi passati alle diverse dimostrazioni su carta e con modelli.

32. Un’ulteriore attività è stata fatta con i ragazzi in tre fasi:
1. È stato assegnato un lavoro da svolgere al computer con il software
Geogebra, che consisteva nel fare un’ulteriore costruzione su un
triangolo rettangolo con i tre quadrati costruiti sui cateti e ipotenusa.
2. La costruzione realizzata era dopo da stampare e ritagliare, per poi
ricostruire una nuova figura (un quadrato) su cui ragionare.
3. In classe abbiamo lavorato a gruppi, cercando di spiegare e dimostrare
geometricamente cosa era stato fatto, utilizzando le conoscenze
relative alle proprietà delle rette parallele e alla similitudine tra i
triangoli e tra altre figure.

33. Altre attività svolte nella classe seconda della Scuola Secondaria di I
grado di Cusercoli sono state:
1. Un’attività sulle terne pitagoriche dove i ragazzi, divisi in gruppi,
dovevano trovare una formula per ricavare delle terne partendo dalla
misura di un cateto, sia con il numero pari che con quello dispari.
2. Una dimostrazione del Teorema di Pitagora effettuata con il Tangram,
già utilizzato anche con le frazioni di cui questa dimostrazione ne
risente.
3. Un passaggio effettuato con Geogebra dal Teorema di Pitagora ai
Teoremi di Euclide, anche in modo dinamico.
4. Un’attività svolta insieme al dott. Michele Canducci nell’ambito del
“Progetto Tanzania” dell‘Akap (Associazione Karibuni Assistenza alle
Popolazioni) con l’obiettivo di realizzare alcuni laboratori didattici
nella scuola di Guandumehy (Tanzania). In tale contesto, la classe è
stata inserita per effettuare una sperimentazione sulla validità dei
materiali e dei metodi didattici da “esportare” nei laboratori effettuati
nel mese di luglio 2011 in Tanzania.

34. Anche per quanto riguarda le attività per la Classe terza della scuola
secondaria di I grado distinguiamo quelle svolte nel primo da quelle
svolte nel secondo quadrimestre.
Nel primo quadrimestre, abbiamo incontrato Pitagora in un’attività
di approccio al linguaggio algebrico legata ai numeri figurati e svolta
con i ragazzi della classe 3° di Civitella di Romagna.
L’abbiamo chiamata “Numeri figurati e inizio di algebra”.
 E’ stata fatta un’attività con gruppi di 4-5 ragazzi, ai quali è stato
consegnato un compito svolgibile anche con l’ausilio del computer.
 Il compito consisteva nel trovare una formula per determinare
l'ennesimo numero figurato (triangolare, quadrato, pentagonale,
esagonale e rettangolare) in funzione della posizione occupata.
 I lavori più significativi sono venuti da due gruppi che nel tempo
assegnato di 2 ore hanno trovato le formule di tutti i numeri richiesti.
 Un gruppo ha anche esteso il compito effettuando con Geogebra una
rappresentazione grafica dei numeri figurati, verificando tra essi la
presenza di due rami di parabola.

35. Un’altra attività è stata quella relativa ai solidi siamo partiti da scatole
da rompere fino ad arrivare ai solidi regolari, e in particolare al
pentagono, tanto caro a Pitagora, e dal dodecaedro.
Per costruire i solidi regolari con i ragazzi della classe 3° di Santa Sofia è
stato fatto un laboratorio utilizzando scatole e modelli tipo polydron ® e
geofix ® per evidenziare sviluppi e proprietà dei solidi.

36.  Anche in questo caso abbiamo usato Pitagora per entrare in modo
diverso tra i solidi.
 Da questi siamo poi passati ad un’attività laboratoriale sullo sviluppo
del dodecaedro e sui consueti sviluppi del cubo con gli esamini.
 Un’ulteriore attività è stata proposta agli appassionati della geometria al
computer, assegnando il compito di effettuale un’altra cosa cara al
nostro Pitagora e cioè quella di circoscrivere un pentagono regolare con
un decagono regolare.
… e complimenti
a Chaofeng!

37. Al termine di un percorso triennale sulla Storia della Matematica
nell’Istituto Comprensivo di Castrocaro Terme le docenti Stefania Neri
di matematica e Serena Laghi di lettere hanno ripercorso, insieme ai
ragazzi della classe terza, la “traumatica scoperta dei numeri
irrazionali” che sconvolse l’intera Scuola Pitagorica attraverso una
rappresentazione teatrale dal titolo “Processo Matematico”.
In tale spettacolo veniva narrata la storia di Ippaso di Metaponto e
della scoperta dei numeri irrazionali, attraverso la della radice di 2, e
del conseguente tragico epilogo della vita del pitagorico Ippaso che
aveva diffuso la notizia al di fuori della Scuola, fatto assolutamente
proibito dallo stesso Pitagora ai suoi allievi.
Un vero e proprio giallo che è particolarmente piaciuto ai ragazzi per
mettere il “povero” Pitagora alla “forca”.
Un godimento degli studenti che si spera abbia portato loro altrettanto
apprendimento.

38. Nel secondo quadrimestre, un particolare impiego del Teorema di
Pitagora si ritrova nella geometria analitica svolta nelle classi terze.
 Più precisamente si ritrova nella formula per il calcolo della distanza tra
due punti. Molto spesso, applicando la consueta formula con
coordinate di segno negativo, capita che si attribuiscano ai segmenti
delle erronee misurazioni, legate ai consueti errori di segno.
Per evitare che ciò accada, suggerisco agli studenti più inclini agli errori
di questo tipo di verificare con i “cateti immaginari” del segmento
ipotenusa se la formula sia stata applicata correttamente e permettere
quindi un’autovalutazione sull’esattezza del proprio operato.
 Es.: se devo trovare la lunghezza del segmento AB con A(2; - 1) e B(-2;3)
2 2
 Si ha x A xB y A y B che diventa 2 2 2 1 3
2
16 16 32 5,7
Per i nostri “distratti” fanciulli dovrebbe essere
facile vedere che i due cateti immaginari misurano
4 unità e che quindi il risultato ottenuto è corretto
anche per Pitagora.
Contrariamente a : 2 2 2 1 3
2
0 16 16 4
O ancor peggio : 2 2
2
1 3
2
0 4 4 2

39. Un curioso approfondimento effettuabile con Pitagora è quello relativo
ai frattali.
Noi siamo partiti dalla realizzazione dell’albero di Pitagora, che non è
rigorosamente un frattale, ma, se costruito con certosina pazienza per
mezzo di Geogebra, dopo una necessaria bozza cartacea, fa un certo
effetto scenico.

40.  Partendo da quest’opera, realizzata “in casa”, i ragazzi hanno fatto
ricerche sulle forme frattali in natura e si è letteralmente aperto un
mondo …
… e con queste vi saluto!