Cinematica en dos dimensiones

CONCEPTOS BASICOS QUE DEBE SABER PARA ESTA UNIDAD
Unidad 4
Cinemática en dos dimensiones
Introducción
En el capítulo anterior se estudió el movimiento en una
dimensión, ahora estudiaremos el movimiento en dos
dimensiones, ejemplo de este tema es algo que vivimos los
días domingos cuando juegan Foot Ball los rojos contra los
cremas o el Barcelona contra el Real Madrid cuando los
jugadores lanzan la pelota en diferentes posiciones y
direcciones para que la pelota entre a la portería.
Fuente propia
Otro ejemplo de movimiento en dos dimensiones es el modelo atómico de Bohr, el cual es
un ejemplo de movimiento circular que también se produce en un plano, así como se
muestra en la figura. Bohr describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo y
girando a su alrededor un electrón.
Conceptos básicos de movimiento en dos dimensiones
Tiro parabólico ANALISIS DE UNA TRAYECTORIA PARABOLICA
v0cosө0
g
v0senө0 vf
v0cosө0 fuente propia
En la figura al inicio del movimiento la velocidad tiene dos componentes una en x y otra en el
eje y, las cuales pueden calcularse como:
vxo= v0 cosө0 , vyo = v0 senө0 .
En el punto más alto podemos observar que solamente se tiene velocidad en el eje x porque
esta es constante y al alcanzar su punto más alto, la componente de la velocidad en el eje “y”
en ese instante es cero
Recuerde:
En tiro parabólico, el
movimiento sobre el eje “x”
es con rapidez constante y
sobre el eje “y” es
movimiento rectilíneo
uniformemente variado con
aceleración
g = 9.8 m/s2.
1

TEXTO DIDACTICO DE FISICA GENERAL DE APOYO A SU LIBRO DE TEXTO
Ecuaciones a utilizar para tiro parabólico
Ecuaciones para el análisis del movimiento en el
eje y, MRUV donde la aceleración es
Ecuaciones de movimiento
rectilíneo uniforme en el eje x
, , ,
)t. Resultado de la combinación de las
ecuaciones del movimiento en el eje x con el eje y.
a = 0
Conceptos básicos de movimiento circular con rapidez constante
Movimiento circular uniforme (MCU)
En este tipo de movimiento la magnitud de la velocidad permanece constante no así la
dirección que sí es variable.
vt
S
R
Figura: fuente propia
Podemos observar en la figura que la velocidad es tangente a la trayectoria, S representa la
longitud del arco que subtiende el ángulo ө, R representa el radio de la trayectoria circular.
2

Variables involucradas
Posición angular: ( )
Su unidad de medida en el sistema internacional es el
radián. Es la ubicación de la partícula midiendo el
ángulo barrido por el radio. La posición angular de la
partícula se mide en radianes en el Sistema
Internacional.
Si el ángulo se mide hacia arriba de la horizontal del
eje x positivo y sentido en contra de las agujas del
reloj, es positivo. Si se mide hacia abajo de la
horizontal del eje x positivo a favor de las agujas del
reloj, es negativo.
- + _
Positivo
Negativo
Desplazamiento angular: (  )
El desplazamiento angular se define como el cambio en la posición angular 0  f
Periodo (T)
Es el tiempo que tarda una partícula en dar una oscilación, Este intervalo de tiempo recibe el
nombre de período y se representa con la letra T.
Su unidad de medida en el sistema internacional es el segundo
Frecuencia (f )
Hablamos de la frecuencia (f), a la cantidad de vueltas que da un objeto por cada segundo,
cada minuto, cada hora o cada unidad de tiempo. Su unidad de medida en el sistema
internacional es: 1 Hertz =
segundo
revolucion1
, La frecuencia y el período son
inversamente proporcionales:
f
T
1
 , El período también se puede expresar en
segundos por cada revolución.
RECORDATORIO:
La circunferencia de un círculo
en radianes es igual a:
2 radianes = 360º o
Radianes = 180º.
Para convertir un ángulo
expresado en grados a
radianes, se procede así:
ejemplo;
60º en radianes:
Ahora le toca convertir
Radianes a grados:
______________________
3

Velocidad angular media: ( m ) La velocidad angular la definimos como la relación
entre el desplazamiento angular y el cambio en el tiempo.
t
m




 , Su unidad de
medida en el sistema internacional es 





segundo
radian
Velocidad angular instantánea: ( )
La velocidad angular instantánea se define como el límite de la velocidad angular media
cuando el tiempo tiende a cero o la primera derivada del ángulo respecto del tiempo.
Su unidad de medida en el sistema internacional es 





segundo
radian
Velocidad tangencial ( v )
En el movimiento circular existe una velocidad tangente a la trayectoria cuya magnitud es
que va cambiando en dirección. Su unidad de medida en el sistema
internacional es 



s
m
y en el sistema técnico inglés es




s
p
Aceleración centrípeta: (ac)
Se llama aceleración centrípeta porque siempre apunta en dirección hacia el centro del
círculo y porque la aceleración es un vector que, cuando 0t , tiene una dirección
perpendicular a la velocidad tangencial (la misma que la del radio).
v1 v2 v1
ac V2 ∆v
Se calcula la magnitud de la aceleración centrípeta así:
r
v
ac
2
 O rac
2

Su dirección dirigida hacia el centro del círculo. Su unidad de medida en el sistema
Internacional es
4

Movimiento circular uniformemente variado MCUV
Si la rapidez angular no es constante, es decir aumenta o disminuye, entonces, existe una
aceleración angular constante.
ACELERACION ANGULAR PROMEDIO
Se define como el cambio de la velocidad angular en relación al tiempo.
. Y su unidad de medida en el sistema internacional es radian/s2
FORMULAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MCUV
ACELERACION RADIAL
SU UNIDAD DE MEEDIDA EN EL SISTEMA INTERNACIONAL ES:
ACELERACION TANGENCIAL
, SU UNIDAD DE MEEDIDA EN EL SISTEMA INTERNACIONAL ES:
ACELERACION RESULTANTE
Es la magnitud del vector cuyas componentes son la aceleración tangencial y radial.
, SU UNIDAD DE MEEDIDA EN EL SISTEMA INTERNACIONAL ES:
5

PASOS RECOMENDADOS PARA RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TIRO
PARABOLICO:
a) Leer detenidamente el problema, hasta entenderlo y plantear la pregunta y
datos que se tienen.
b) Estrategia a utilizar, haga un dibujo de lo que se le presenta en el problema.
c) Colocar separadamente datos del movimiento del eje x, y del eje y.
Ejemplo
Datos del eje x datos del eje y
d) Analizar el movimiento en el eje x (movimiento rectilíneo uniforme) y el
movimiento en el eje y (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado),
separadamente con sus ecuaciones respectivas.
Recuerde que para analizar los siguientes ejemplos usted debe leer detenidamente
los conceptos anteriores.
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
Una pelota es lanzada desde el suelo
con una magnitud de velocidad inicial
de 120 p /s formando un ángulo de 62
grados sobre la horizontal directamente
hacia una pared de altura h como se
observa en la figura. Use g = 32.2
2
/ sp calcule:
a) El valor de la altura máxima
b) La distancia horizontal recorrida
desde el inicio hasta el momento
donde alcanza su altura máxima
RESOLUCION:
a) ¿El valor de la altura máxima en pies?
Primero colocamos el nivel de referencia en el suelo. La pelota alcanza su altura
máxima cuando la componente de la velocidad en y es cero.
El movimiento sobre el eje x es con rapidez constante, y aceleración cero.
Datos: en la siguiente hoja
eje x eje y
Componentes iníciales de la velocidad
Vx0 = v0 cosө0, Vx0 = 120cos62º vy0 = v0 senө0 vy0 = 120sen62º
Vx0 = 56.33 p/s vy0 = 105.95 p/s
Cuando alcanza su altura máxima las componentes de la velocidad son:
Vx = 56.33 p/s (constante) vy= 0
Componentes de la aceleración
ax = 0 ay = g = -32.2 2
/ sp
La ecuación que contiene los tres datos, y la pregunta es, , y
6

sustituyendo valores:
0 = 105.952
+ 2(-32.2)(H)
Despejando H, obtenemos: Hmaxima = 174.31 p
El tiempo que le toma en llegar a alcanzar la altura máxima se puede calcular ya que
servirá para resolver el inciso b, utilizando los datos de el eje y
atvv  0 sustituyendo datos del eje “y”
0 = 105.95 + (- 32.2) t, despejando t obtenemos: Tiempo = 3.29 segundos. Este
tiempo es el mismo para recorrer la distancia horizontal.
b) ¿La distancia horizontal recorrida es?
Al analizar sobre el eje x donde el movimiento es rectilíneo uniforme con aceleración cero.
solo se conoce Vx = 56.33 p/s pero el tiempo que le toma en llegar al la parte más alta
es el mismo tiempo que tarda en recorrer la distancia horizontal, calculado en el inciso a
tx = ty = 3.29 segundos
ECUACION QUE REUNE ESTOS DATOS Y LA PREGUNTA, ES:
tvx x
Sustituyendo en la ecuación de MRU:
∆x= (56.33 p/s)(3.29 s) ∆x=185.34 pies (solución)
EJEMPLO 2
Un niño hace girar en una circunferencia vertical una pelota usando una cuerda de longitud
0.5 m, con una frecuencia de
segundo
vueltas
2 , la pelota está atada a la cuerda en uno de sus
extremos, y en determinado momento, cuando se encuentra a una altura de 2m sobre el
suelo, se rompe y la pelota sale disparada horizontalmente en el punto más alto de su
trayectoria circular como se muestra en la figura. Use g = 9.8 2
/ sm calcule:
a) ¿El tiempo que le toma a la pelota en caer al suelo?
b) ¿La distancia horizontal recorrida desde el inicio hasta el momento en que llega al
suelo?
RESOLUCION:
a) ¿El tiempo que le toma a la pelota en caer al suelo?
Primero colocamos el nivel de referencia en el suelo.
Magnitud de la velocidad tangencial rv 
V0
1m
1 m
x
Nivel de referencia suelo
7

la rapidez angular con la que gira la pelota es:
seg
rad
vuelta
radianes
segundos
vueltas
57.12
1
*2
*
2



Inicialmente la pelota sale disparada con la velocidad a la cual gira la pelota, es decir la
velocidad tangencial. El radio del circulo es r = 0.5 m, la magnitud de la velocidad
tangencial es:
s
m
m
segundo
radian
rv 29.65.0*57.12  
eje x eje y
Datos (Velocidad inicial):
Vx = 6.29 m/s vy = 0
Cuando llega al suelo las componentes de la velocidad son:
Vx = 6.29 m/s (constante) vy =?
Componentes de la aceleración:
ax = 0 ay = g = -9.8 2
/ sm
Analizando en el eje y, la ecuación es:
vy = 0 g = -9.8 2
/ sm y0 =2.0 m yF = 0 t =?
2
2
00
)8.9(
2
1
)0(0.20
2
1
tt
attvyyf


Al despejar: t = 0.639 segundos.
b) La distancia horizontal recorrida desde el inicio hasta el momento en que
llega al suelo se calcula sabiendo que el movimiento es rectilíneo uniforme con
ax = 0, y el tiempo utilizado en recorrer la distancia en el eje x es igual a la
distancia recorrida en eje y, los datos son:
t = 0.639 s vx = 6.29 m/s
∆x = (6.29 m/s)(0.639 s) ∆x =4.02 metros
EJEMPLO 3
Para la aguja segundera de un reloj que tiene un
radio de 10 cms, calcule:
a) La velocidad tangencial en un punto en el borde
de la aguja segundera, en m/s
b) La aceleración centrípeta en un punto en el
borde de la aguja segundera.
RESOLUCION:
La aguja segundera del reloj experimenta una frecuencia de oscilaciones f constante,
ya que completa 1 vuelta en 60 segundos y la pregunta es:
a) La velocidad tangencial en un punto en el borde de la aguja segundera.
8

segundos
vuelta
f
60
1

La rapidez angular se calcula convirtiendo la frecuencia f en radian/segundo:
seg
rad
vuelta
radianes
segundos
vuelta
301
*2
*
60
1 



La magnitud de la velocidad tangencial se calcula así teniendo como dato el radio de la
aguja segundera r = 10 cm = 0.1 m:
s
m
m
segundo
radian
rv 010.01.0*
30


 
La aceleración centrípeta en un punto en el borde de la aguja segundera, es
b)
1.0
010.0 22

r
v
ac , 2
3
1009.1
s
mxac


,
hacia el centro del reloj
EJEMPLO 4
Un río fluye hacia el Este con velocidad de (4 m/s) i. Un bote se dirige hacia el Este
(aguas abajo) con velocidad relativa al agua de (5 m/s) i.
a) Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el
Este (río abajo) y cuando se dirige hacia el Oeste (río arriba)
b) El tiempo que tarda el bote en desplazarse 100 m hasta el punto P y regresar de
nuevo al punto de partida O
9

Ejemplo 5
Un piloto de un avión observa que la brújula indica que va dirigiéndose hacia el Oeste. La
rapidez del avión respecto al aire es de 150 km/h. Si existiera un viento de 30 km/h hacia el
Norte,
¿Calcule la velocidad del avión respecto a la tierra?
RESOLUCION:
Figura cuando el bote se mueve
hacia la derecha.
Velocidad del agua = 4 m/s i
Velocidad de la bote = 5 m/s i
Figura: cuando el bote se mueve
hacia la izquierda.
Velocidad del agua = 4 m/s i
Velocidad de la bote = - 5 m/s i
0 P
100 m
a) Un observador en la tierra observará que
el bote se mueve más rápido ya que el
bote navega a favor de la corriente. La
velocidad del bote resultante
respecto de tierra es la suma vectorial
de estas dos:
iiiv 954 

m/s.
Si el bote navega en el sentido contrario al del
rio, la velocidad del bote es – 4 i, por lo tanto
la velocidad resultante del bote respecto a un
observador en la tierra es la suma vectorial de
las dos velocidades:
iiiv 154 

m/s
b) El tiempo que tarda el bote en
desplazarse 100 m hasta el punto P y
regresar de nuevo al punto de
partida O: es la suma del tiempo de ida
más el tiempo de regreso.
t y despejando t queda así:
Tiempo total = 111.11 segundos
RESOLUCION:
Podemos observar las velocidades del avión respecto del aire y respecto de un observador
en tierra, así también el vector velocidad del viento en forma vectorial, formando un
triángulo rectángulo, el Oeste se ha dibujado a lo largo del eje “y”, el Norte a lo largo del
eje “x”.
10

Oeste
V
vavión/aire=150 km/h Vviento
Vavión/tierra
Norte
Vviento= 30 km/h Figura: fuente propia
Por el teorema de Pitágoras, del triángulo rectángulo formado, sabemos que 1502
= 302
+
V2
, Despejando obtenemos: Vavión/tierra = 146.969 km / h, dirigida hacia arriba.
Recuerde que el teorema de Pitágoras establece que en un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado
más grande del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los dos catetos los que conforman el ángulo
recto.
c2 = a2 + b2
11

ACTIVIDAD No. HOJA DE TRABAJO
PRIMERA SERIE
A continuación encontrará 5 expresiones, algunas verdaderas y otras falsas,
identifique las verdaderas colocando una “V” en el CUADRO a la derecha de cada una
y una “F” cuando la considere falsa.
1 En un tiro parabólico, la velocidad en el punto más alto de su
trayectoria no es cero.
2. El valor de la aceleración en tiro parabólico es cero en el punto más alto
de su trayectoria.
3 La unidad de la ACELERACION en el sistema Internacional es el m/s2
4 De un helicóptero se lanzan dos paquetes, los dos con velocidad horizontal 10
y 15 m/s. “Los dos paquetes caen al mismo tiempo”
5 En el movimiento circular uniforme, la aceleración es cero
6 En el movimiento circular uniforme, la velocidad es variable
7 En el movimiento circular uniforme, la aceleración tiene dirección radial
SEGUNDA SERIE
Resuelva los problemas siguientes dejando constancia del procedimiento
PROBLEMA 1
En un bar local, un cliente hace deslizar un tarro vacío de cerveza sobre la barra para
que vuelvan a llenarlo. El cantinero esta momentáneamente distraído y no ve el tarro, el
cual cae de la barra y golpea el piso a 1,4 metros de la base de la misma.
Si la altura de la barra es 1 metro.
1. ¿Con que velocidad abandono el tarro la barra?
2. ¿Cual fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de chocar
con el piso?
12

PROBLEMA 2
Exactamente 3 segundos después de que el proyectil es disparado al aire desde el suelo,
se observa que tiene una velocidad jiv

8.46.7  (m / s), donde el eje x horizontal
hacia la derecha es positivo y el eje y es positivo hacia arriba, determine:
3. ¿Cuál es su altura máxima respecto al nivel del suelo, en m es?:
a. 59.7 b. 58.5 c. 30.4 d. 29.2 e. NAC
4. ¿Cuál es el tiempo total que el proyectil está en el aire en segundos es?:
a. 2 b. 4 c. 5 d. 7 e. NAC
5. ¿Cuál es la distancia total horizontal que recorre el proyectil desde que fue
lanzado hasta que llega al suelo?
a. 58 b. 53 c. 48 d. 38 e. NAC
PROBLEMA 3
Un helicóptero deja caer un paquete de provisiones a un grupo de extraviados. Si el
helicóptero viaja horizontalmente a 40 m/seg. a una altura de 100 metros sobre el suelo.
6. ¿Donde cae el paquete en relación con el punto en que se soltó?
7. ¿Cuál es La velocidad del paquete (magnitud) en el punto donde cae al
suelo, en m/s?
PROBLEMA 4
Se lanza un balón de fútbol, en un lanzamiento de falta, con una velocidad de 25 m/s y
un ángulo de 53º con la horizontal. Calcula:
8. La altura que tendrá el balón cuando se encuentre a una distancia (medida sobre
la horizontal) de 20 m del punto de lanzamiento.
9. ¿El vector desplazamiento entre los segundos 1 y 2?
10. ¿La velocidad media entre esos mismos instantes?
PROBLEMA 5
Se lanza un proyectil, desde el suelo, con una rapidez inicial de 60 m/s con un ángulo de
30 grados por encima de la horizontal. El proyectil cae sobre una ladera 4 segundos
después. No tome en cuenta la fricción del aire, calcule:
11. Cuál es La velocidad del proyectil (magnitud) en el punto más alto de su
trayectoria, en m/s.
a. 0 b. 52 c. 30 d. 60 e. NAC
12. Cuál es La distancia en línea recta desde el punto de lanzamiento del
proyectil hasta el punto de impacto, en m.
a. 21 b. 42 c. 208 d. 212 e. NAC
13

PROBLEMA 6
Una pelota es lanzada desde el suelo con una
magnitud de velocidad inicial de 120 p /s
formando un ángulo de 62 grados sobre la
horizontal directamente hacia una pared de
altura h como se observa en la figura. La pelota
golpea en el borde superior de la pared 5.5
segundos después. Use g = 32.2 2
/ sp calcule:
13. El valor de la altura máxima en pies.
14. La distancia horizontal recorrida
desde el inicio hasta el momento
donde alcanza su altura máxima en
pies.
15. La altura h de la pared es
PROBLEMA 7
Una pelota de Beisbol abandona el bate con una velocidad inicial de 122 p/s formando un
ángulo de 30 grados sobre la horizontal y es atrapada por un jugador al nivel del suelo,
situado a una distancia d pies de la plataforma de lanzamiento. Use g = 32.2 2
/ sp
16. ¿Cuál es el valor de la distancia d en pies?
A) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) NAC.
17. ¿qué altura máxima alcanzó en pies?:
a) 400.7 b) 57.7 c) 200.7 d) 127.7 e) NAC.
18. ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire?:
a) 1.9 b) 7.6 c) 3.8 d) 14.4 e) NAC
PROBLEMA 8
En la encarnizada lucha de las chicas superpoderosas con Mojo Jojo, Cactus dispara un
proyectil con velocidad inicial v y un ángulo de 37º con la horizontal desde el borde de la
azotea de un edificio de 100 m de altura. Cuando se encuentra en su altura máxima roza a un
pájaro que vuela a una altura de 120 m. Calcula
19. La velocidad inicial.
20. El tiempo que tarda en llegar al pájaro.
21. La altura del proyectil a los 5 segundos del lanzamiento.
22. El punto de impacto.
23. La velocidad de impacto
14

PROBLEMA 9
Se lanza un balón de fútbol, en un lanzamiento de falta, con una velocidad de 25 m/s y un
ángulo de 53º con la horizontal. Calcula:
24. La altura que tendrá el balón cuando se encuentre a una distancia (medida sobre la
horizontal) de 20 m del punto de lanzamiento
25. El vector desplazamiento entre los segundos 1 y 2
26. La velocidad media entre esos mismos instante.
PROBLEMA 10
Un corredor da 10 revoluciones completas durante 15 minutos en una pista circular de
radio 100 m con rapidez constante. Calcule:
27. La rapidez angular en rad/s.
28. El periodo.
29. La rapidez promedio del corredor desde el momento que inicia hasta el final
de los 15 minutos es, en m/s.
a. 0.1 b. 2.8 c. 4.0 d. 7.0 e. NAC
PROBLEMA 11
Una persona llega en 90 segundos a la parte superior de una escalera eléctrica inmóvil
caminando 15 m cuando se encuentra en ella, luego se mueve y llega arriba en 60
segundos. Determine:
28.El tiempo que tardará en subir caminando con la escalera en movimiento, en
segundos:
a. 30 b. 36 c. 150 d. 200 e. NAC
PROBLEMA 12
Un bote de motor puede viajar a 8 m/s respecto al agua. Parte de una de las orillas del río
que tiene un ancho de 50 m y fluye hacia el Este a razón de 5 m/s respecto a la orilla. Si
el bote cruza el río en dirección perpendicularmente al mismo, halle,
29.La velocidad relativa del bote respecto a la orilla, en m/s
a. 11.2 b. 9.43 c. 15.2 d. 8.5 e. NAC
30.Cuál es la distancia que avanza río abajo el bote , en m:
a. 31.25 b. 50 c. 100.2 d. 150 e. NAC
PROBLEMA 13
Dos carreteras se intersectan como se ve en la figura. En el instante mostrado, una patrulla
P está a 41 m de la intersección y avanza a 76 km/H. El conductor M se halla a 57 m de allí y
se desplaza a 62 km/H. En este momento, determine:
31. ¿Cuál es la velocidad (MAGNITUD Y DIRECCIÓN) del conductor relativa a la
patrulla.
a. 14 b. 98.1 c. 138 d. 144 e. NAC
57 m
15

41 m
M P
Conductor patrulla
PROBLEMA 14
Una llanta efectúa 40 revoluciones en 5 segundos llegando a la frecuencia de 100 rpm al
cabo de ese tiempo,
31. ¿cuál fue la aceleración angular suponiéndola constante?
32. ¿Qué tiempo en segundos transcurre en el momento en que tiene la frecuencia de 50
rpm?
33. Si la llanta tiene un radio 25 cm ¿Cuál es su aceleración TOTAL en el momento del
inciso anterior?
PROBLEMA 15
La posición angular de un objeto que gira está dada por 42
252 ttt  rad. Halle: 34. La
velocidad y la aceleración angular en el intervalo de t = 1 s a t = 2 segundos.
PROBLEMA 16
Si las aspas de un molino de viento parten del reposo y giran con una aceleración angular de
0.236 rad / 2
s ,
34. ¿Cuál es la rapidez angular cuando han pasado 10 segundos?
35.¿Cuántas revoluciones ha dado las aspas a los 10segundos?
PROBLEMA 17
Si las aspas de un molino de viento parten del reposo y giran con una aceleración angular de
0.236 rad / 2
s ,
36. Qué tiempo en segundos transcurre antes que un punto del aspa experimente el mismo
valor en la magnitud de la aceleración centrípeta y tangencial.
PROBLEMA 18
Para la aguja segundera de un reloj que tiene un radio de 10 cms,
calcule:
37. La velocidad tangencial en un punto en el borde de la aguja
segundera, en m/s
38. La aceleración centrípeta en un punto en el borde de la aguja
segundera.
Si un cuerpo recorre una circunferencia de 5 m de radio con FREECUENCIA
constante de 10 revoluciones por cada minuto,
39. ¿cuál es el valor del período,
16

40. ¿La frecuencia?
41. ¿La velocidad tangencial?
42. ¿La velocidad angular?
43. ¿La aceleración normal?
17

Carne______________________Nombre________________________________________________
FORMULARIO Vectores


AsenA
AA
y
x

 cos 22
yx AAA 

xxx BAR  yyy BAR  = =
= =
)()()(cos
222
),,(
zbzaybyaxbxaABBA
zayaxaAzayaxakzajyaixaA







Trabajo = Torca =
BA
BA



cos cos/ AP BA

 ,
B
B
B
BA
P BA 



 
/ senBABXA


Si la aceleración es constante y el tiempo inicial es cero:
t
f
vovor
f
r
tatovor
f
rraov
f
vtaov
f
v
)(
2
1
2
2
1
2
22






















Movimiento Circular y Relativo












B/A
v
P/B
v
P/A
v
B/A
r
P/B
r
P/A
r
22
2
a
0
1
T
r
r
tv
crtv
rs
dt
d
t
medf
f
T







Movimiento circular uniformemente variado
Dinámica de la traslación



 



gmwNssfN
kk
famF 
Trabajo, potencia y energía mecánica
d
f
F
f
EE
FNC
W
mec
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