Ejercicios

1. Ejercicio 1. Usando las propiedades bàsicas de los limites de fun-
ciones calcular los siguientes limites. En cada caso indiar que
propiedades se han empleado:
(a) lim
x!1
x2
+ 3x + 2
p
3x 1 = 6
p
2 (h) lim
x!2
x2
16
x 2 = unde ned
(b) lim
x!0
ln(x + 1) = 0 (i) lim
h!0
(t+h)2
t
h con t 2 R; t …jo.
(c) lim
x! 1
e2x+5
x+2 = e3
(j) lim
x!2
5x2
+9x+2
x2 4 = 11
4
(d) lim
x!3
x2
1
x2 3x+2 = 4 (k) lim
x!b
x3
b3
x b = 3b2
(e) lim
x! 2
x
x+3
x2
+xp
x2+5
(l) lim
x 1
x 1p
x 1
= 1p
x 1
(x 1)
(f) lim
x!0
p
1+x
p
1 xp
4x+1 3
= 0 (m) lim
x!0
q
x+4
x
2p
x
= unde ned
(g) lim
x! 4
sin2
x+tan x
cos(2x
3 )
=
p
3
Ejercicio 2 Calcular los siguientes lìmites.
(a) lim
x!3
(3x 5)
1
1 x = 1
2 (d) lim
x!0
sin(2x)
x
tan x
3x
= 3
p
2
(b) lim
x!1
(3x+1
2x 5 )
x+1
3x+1 = 1
2 2
2
3
3
p
3 (e) lim
x!1
p
2x2+1+1
x
x+1
= 1
(c) lim
x!0+
(sin(2x)
sin x )
1
x = 1 (f) lim
x!0+
sin(3x2
)
sin(4x2)
1
x
= 0
Ejercicio 3. Sabiendo que lim
y!0
(1+y)
1
y = lim
t!1
(1+1
t )t
= e calcular los siguientes
lìmites:
(a) lim
x!+1
x 2
x+3
x
= e 5
(e) lim
x!0
ln(1+x)
x = 1
(b) lim
x!+1
1 + a
x
x
; a 2 R …jo (f) lim
h!0
ln(a+h) ln a
h ; a > 0 …jo.
(c) lim
h!0
1 + h
x
1
h
= e
1
x (g) lim
h!0
eh
1
h = 1
(d) lim
x!0+
(1 + sin x)
1
x
= e (h) lim
h!0
ea+h
ea
h ; a 2 R …jo
Ejercicio 4. Determinar el conjuntos de puntos de discontinuidad (en R) de
las siguientes funciones.Rede…nirlas, si fuera posible, para que resulten
continuas:
(a) f(x) = x 1
x(x2 4) (e) f(x) =
8
<
:
4x2
3 si x > 1
1 si x = 1
x2
3x+2
x2 4x+3 si x < 1
(b) f(x) =
8
<
:
x si x < 0
x2
si 0 x < 2
2 si x 2
(f) f(x) = x2
p
x2+1 1
(c) f(x) = x
2
3 4
2x
2
3 3x
1
3 2
(g) f(x) =
( p
3x+1
p
x+3
x2 x si x > 1
sin( 2x+2)
x2+x 2 si x < 1
(d) f(x) = (x 1)2
x2 1
1

2. Ejercicio 5. En cada uno de los siguientes casos hallar todos los pares de
nùmeros reales a y b para los que la funciòn f resulta continua en todo R :
(a) f(x) =
8
<
:
x si x 2 ( 1; 0]
ax + b si x 2 (0; 2)
x2
si x 2
(b) f(x) =
8
<
:
x3
+ 1 si x 0
ax2
+ b si 0 < x < 2
x2
1 si x 2
Pràctica 6: Càlculo Integral
1.
Z
dx
2x2+5x+13 =
p
79 2
79 arctan
p
79 4
79 x + 5
79
1
79 2
4.
Z
dxp
x2+6x+21
5
7.
R
sin2
axdx = 1
4a (sin 2ax 2ax) 8
10.
R
arcsin 1
x dx = arctanh 1q
1
x2 (x2 1)
+ x arcsin 1
x 1
13.
R dx
x2
p
4+x2
= 1
4x
p
x2 + 4 1
16.
R ln 2x
x ln 4x dx = ln x ln (2 ln 2 + ln x) ln 2 1
19.
R x3
p
1+2x x2
dx = 4 arcsin
p
2 1
2 x 1
2
5
6 x
p
x2 + 2x + 1 1
3 x2
p
x2 + 2x + 1 19
6
p
x2 + 2x + 1 2
22.
R
tan3
xdx = 1
2 tan2
x + ln (cos x)
2