análisis en dos dimensiones

1. ANÁLISIS GRÁFICO
interpretación
PROGRAMACIÓN LINEAL (VOLUMEN 3)
Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc.
Carlos J. Molestina Malta
1

2. ANÁLISIS GRÁFICO
• Si bien es cierto, en la vida Empresarial es muy raro trabajar con dos
variables, no es menos cierto que el hecho de estudiar la geometría
bidimensional, nos permite entender de una manera didáctica la
interpretación de los resultados obtenidos en optimizaciones de
programación lineal.
• Es pues, por lo tanto imperativo que entendamos la resolución gráfica
mediante la Geometría de dos dimensiones, para comprender los conceptos
de “acotamiento”, “Degenaración”, “precio sombra”, etc.
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3. GRAFICACIÓN DE DESIGUALDADES Y
CONTORNOS
• Supongamos que tenemos la siguiente desigualdad:
2𝑋2 − 𝑋1 ≤ −2
• Paso 1: Gráfico de la igualdad: Convertimos la desigualdad en una igualdad
y trazamos la recta que representa esta ecuación.
2𝑋2 − 𝑋1 = −2
De donde: 𝑋1 = 2𝑋2 + 2
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4. GRAFICACIÓN DE DESIGUALDADES Y
CONTORNOS
X1 X2
-4 -3
-2 -2
2 0
4 1
6 2
8 3
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5. GRAFICACIÓN DE DESIGUALDADES Y
CONTORNOS
• Paso 2: Escogemos un punto de prueba: Elegimos cualquier punto de prueba que no esté sobre la línea. Si el punto X1=0, X2=0 no está
sobre la recta, puede ser un punto conveniente.
Paso 3: resuelva la expresión del lado izquierdo:
Sustituimos el punto de prueba en lada izquierdo de la
desigualdad. En nuestro caso es (0,0) y obtenemos el valor de
cero.
Paso 4: determine si el punto de prueba satisface la
desigualdad:
a) Si el punto de prueba satisface la desigualdad,
entonces todos los puntos que están del lado del
punto de prueba son correctos.
b) Si el punto de prueba no satisface la desigualdad
original, entonces la recta y todos los puntos que no
están del mismo lado que el punto de prueba
satisfacen la desigualdad.
Punto
De
prueba
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6. LÍNEAS DE CONTORNO
• Los contornos, también llamados isocuantas tienen un papel
importante en la representación geométrica de modelos en PL.
Un contorno de una función f de dos variables es el conjunto de
todos los pares (X1, X2) para los cuales f(X1,X2 )adopta cierto
valor constante específico. Cuando f es una función de las
ganancias, los contornos se denominan rectas de isoganancias, y
cuando f es una función de los costos, los contornos representan
rectas de isocostos.
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7. LÍNEAS DE CONTORNO (Ejemplo)
• SUPONGA QUE ESTAMOS VENDIENDO DOS PRODUCTOS. La ganancia por cada unidad del
producto 1 es $2, y la ganancia por unidad del producto2 es $4. La ganancia total procedente de la venta
de X1 unidades del producto 1 y X2 unidades del producto 2, se expresa por medio de una función f de
dos variables, definida por: 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 = 𝑓 𝑋1, 𝑋2 = 2𝑋1 + 4𝑋2 La graficación de contornos se
reduce a la graficación de
igualdades. Los contornos de
una Función lineal forman una
familia de rectas paralelas.
La graficación de desigualdades
se reduce a la graficación de
contornos, y después a la
identificación del lado correcto.
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8. MÉTODO DE RESOLUCIÓN GRÁFICA
(EJEMPLO)
MAX 5000E + 4000F Máxima contribución a las ganancias
s.a. E + F >= 5 Requisito de producción mínima
E – 3F <= 0 Balance de la posición en el mercado
10E + 15F <= 150 Capacidad en el departamento A
20E + 10F <= 160 Capacidad en el departamento B
30E + 10F>= 135 Horas de trabajo empleadas en las pruebas
E,F >=0 Condición de no negatividad.
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MAX 5000E + 4000F Máxima contribución a las ganancias
s.a. E + F >= 5 Requisito de producción mínima
E – 3F <= 0 Balance de la posición en el mercado
10E + 15F <= 150 Capacidad en el departamento A
20E + 10F <= 160 Capacidad en el departamento B
30E + 10F>= 135 Horas de trabajo empleadas en las pruebas
E,F >=0 Condición de no negatividad.

9. USO DE EXCEL EN LA SOLUCIÓN
GRÁFICA
• Una vez resuelto en Excel el gráfico,
concluimos que las variables de decisión
optimas son E=4,5 y F=7, estas son la
función objetivo y su Valor objetivo VO=
$50500. Esta es una función objetivo único ya
que la Isoganancia toca el vértice que une las
ecuaciones
• 10E+15F<=150 y
• 20E+10F<=160
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10. Resultado POM (software)
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11. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
• Recuerde Usted que cuando estudiamos el modelo de la “caja negra”, las variables
endógenas o de salida, eran la VARIABLE DE DESEMPEÑO (función objetivo) y
las variables de consecuencia.
• Estas variables de consecuencia vamos revisar ahora, haciéndonos las preguntas
siguientes:
1. Cuantas horas de uso del Departamento A requiere la solución óptima?
2. Cuantas horas de uso del Departamento B requiere la solución óptima?
3. Cuantas horas de trabajo se dedicaran a realizar pruebas en la solución optima?.
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12. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
1. Cuantas horas de uso del Departamento A requiere la solución óptima?
10E + 15F <= 150
Recuerde que las horas del Departamento A están expresadas en el lado izquierdo de la desigualdad, entonces:
Horas usadas en el Departamento A = 10E+15F
Si remplazamos las variables E y F de la solución optima, tenemos que:
10*4,5+15*7 = 45+105=150
Vemos, entonces que “en el caso optimo se usan 150 horas en el departamento A”
(LI)150 = 150(LD)
Como vemos, se usaron todas las horas disponibles del departamento A. En este caso es una restricción activa u
obligatoria, ya que no queda holgura o excedente.
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13. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
2. Cuantas horas de uso del Departamento B requiere la solución óptima?
20E + 10F <= 160
Recuerde que las horas del Departamento B están expresadas en el lado izquierdo de la desigualdad,
entonces:
Horas usadas en el Departamento B = 20E+10F
Si remplazamos las variables E y F de la solución optima, tenemos que
20*4,5+10*7 = 90+70=160
Vemos, entonces que “en el caso optimo se usan 160 horas en el departamento B”
(LI)160 = 160(LD)
Como vemos, se usaron todas las horas disponibles del departamento B. En este caso es una
restricción activa u obligatoria, ya que no queda holgura o excedente.Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 13

14. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
3. Cuantas horas de trabajo se dedicaran a realizar pruebas en la solución optima?.
30E + 10F>= 135
Siguiendo los mismos pasos observamos que:
30*4,5+10*7= 135+70= 205
Por lo tanto:
(LI)205>135(LD)
Vemos, en este caso que se requirieron más horas de las programadas, por lo que hay
un “excedente de horas que permite la restricción. Entonces cuando en una
restricción hay excedente u holgura se interpreta como una restricción inactivaExtraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 14

15. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
(Conclusiones)
A. Si en condiciones de optimalidad, el lado izquierdo de la restricción es igual al lado derecho,
entonces dicha restricción es activa u obligatoria. Así, una restricción de igualdad siempre es
activa.
B. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. En una restricción del tipo ≥, la
diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho (cantidad sobrante) suele llamarse
excedente. En una restricción del tipo ≤, la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo
(cantidad no usada) se llama holgura.
C. En condiciones de optimalidad, todas las restricciones de desigualdad incluidas en un modelo
tienen una holgura o un valor excedente, y para lo referente a las decisiones factibles dicho
valor siempre es no negativo. Con una restricción dada, el valor de holgura o excedente es cero
si y solo si dicha restricción es activa.Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 15

16. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
(Conclusiones geométricas)
De acuerdo al análisis anterior, podemos concluir que:
a) Geométricamente, una restricción activa es la que pasa por la
solución optima.
b) Geométricamente, una restricción inactiva es la que no pasa por la
solución optima.
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17. Análisis de minimización
• Consideremos la siguiente PL
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 5𝑋1 + 2𝑋2
𝑠. 𝑎. 3𝑋1 + 6𝑋2 ≥ 18
5𝑋1 + 4𝑋2 ≥ 20
8𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 16
7𝑋1 + 6𝑋2 ≤ 42
𝑋𝑖 ≥ 0
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18. Utilización de POM e interpretación
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19. Restricciones redundantes
En el caso estudiado vemos que la desigualdad
E + F >= 5
Se encuentra fuera de la solución factible, ya que solo se requiere de las otras cuatro para
definir la región factible. Esto es así por que cualquier combinación de E y F que
satisfacen las cuatro restricciones, automáticamente satisface esta restricción. A este tipo
de restricciones se las conoce como redundantes.
• UNA RESTRICCIÓN REDUNDANTE ES AQUELLA CUYA SUPRESIÓN
NO PROVOVA CAMBIOS EN LA REGIÓN FACTIBLE.
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20. Modelos no acotados
Cuando en un modelo no se han considerado todas las restricciones que
limiten el área factible, y limiten la función objetivo, entonces nos
enfrentamos a un modelo no acotado.
Esto permite que siempre para cualquier conjunto de valores permisibles
de las variables de decisión podemos encontrar otros valores permisibles
que mejoren el valor objetivo, este tipo de modelos no acotados son
“patológicos” y por lo general se presentan por no haber considerado una o
varias restricciones importantes.Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 20

21. Modelos no acotados
(demostración)
• Si cogemos el ejemplo anterior y, no consideramos las horas del departamento A y B. Nuestro
modelo quedaría como sigue:
• Si desarrollamos gráficamente el modelo obtenemos lo siguiente
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22. Modelos no acotados
(Demostración)
Si cogemos (2, 2)
Como punto de
prueba, vemos que
no se cierra el vértice
de la función objetivo
Y, por lo tanto esta
función puede
prolongarse hasta el
infinito
(2,2)
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23. Modelos no acotados
(interpretación)
• Como vemos en el gráfico, el conjunto restringido se extiende hacia el
infinito y es posible deslizar arbitrariamente la recta de ganancias en esa
dirección.
• En otras palabras podríamos obtener ganancias que se aproximen al infinito
y eso simplemente no es real. Esto indica claramente que el modelo no tiene
solución por que la función objetivo no está acotada. Los modelos de este
tipo se llaman modelos no acotados. Estos son “patológicos”. Pueden
surgir cuando no se incluyen en el modelo una o más restricciones
importantes, o se ingresaron mal los datos.
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24. Modelos no factibles
MAX 5000E + 4000F Máxima contribución a las ganancias
s.a. E + F >= 5 Requisito de producción mínima
E – 3F <= 0 Balance de la posición en el mercado
10E + 15F <= 150 Capacidad en el departamento A
20E + 10F <= 160 Capacidad en el departamento B
30E + 10F>= 135 Horas de trabajo empleadas en las pruebas
E,F >=0 Condición de no negatividad.
MAX 5000E + 4000F
s. a. E + F ≤ 5
E – 3F ≤ 0
10E + 15F ≤ 150
20E + 10F ≤ 160
30E + 10F ≥ 135
E,F ≥ 0
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25. Modelo no factible
1
2
3
45
Como podemos ver en el gráfico, no existe un par de
variables que satisfagan a todas las restricciones.
(No satisfacen la restricción 1). Por lo tanto carece de
solución.
Podemos concluir
que la no factibilidad
depende solo de las
restricciones y no
tiene nada que ver
con la función
objetivo
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26. Conclusiones
Todo programa lineal corresponde a alguna de las tres siguientes categorías, en
las que no puede haber suposiciones:
1. El modelo tiene una solución óptima
2. No existe solución óptima porque el modelo no está acotado
3. No existe solución óptima porque el modelo no es factible
4. Cuando hay una solución óptima, por lo menos un vértice es el óptimo
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27. Análisis de sensibilidad gráfico
• La optimización obtenida en un modelo restringido puede parecer que se ha
encontrado una solución. Esto simplemente no es cierto. En este punto
recién comienza la búsqueda de la solución final.
• Hay que tener muy en cuenta que un modelo es una abstracción de la
realidad y que, por lo tanto no se han considerado todas las variables
existentes, esto puede llevar a inexactitudes e incertidumbre. En este punto
nacen preguntas que obligan a analizar el modelo. A este análisis se lo conoce
como “Análisis de sensibilidad” o “Análisis de postoptimalidad”.
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28. Análisis de sensibilidad
• Su nombre tiene que ver con los cambios (fuertes o débiles) en la respuesta
del modelo, ya sea en el valor objetivo, en la función objetivo, en el lado
derecho de las restricciones, etc. Si cambian en el futuro los coeficientes de la
función objetivo o si varía el lado izquierdo de alguna o varias restricciones,
etc.
• La idea es, entonces determinar que tan sensible es el modelo al cambio
futuro, para poder hacer las correcciones necesarias.
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29. Cambios en los coeficientes de la función
objetivo
• Sabemos que los coeficientes de la función objetivo son o; las utilidades,
márgenes de contribución o costos, todos ellos unitarios. Estos se
ubican al lado izquierdo de la función objetivo; en su lado derecho está el
valor objetivo que se intenta optimizar.
Cuando se presentan posibles cambios a futuro en uno o varios de estos
coeficientes, es importante verificar este efecto en la función objetivo. Cuando
esto pasa veremos que el modelo solo cambia en la pendiente del contorno de
la función objetivo. Veamos:
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30. Comportamiento en el cambio de coeficientes
5000𝐸 + 4000𝐹 = 𝑚𝑎𝑥𝑍
4000𝐸 + 5000𝐹 = 𝑚𝑎𝑥𝑍
5000𝐸 + 10000𝐹 = 𝑚𝑎𝑥𝑍
Al cambiar los coeficientes de la función objetivo, se
modifican las pendientes de los contornos de la función
objetivo. Esto puede afectar o no la solución óptima.
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31. Cambios en el lado derecho
• Si dejamos de lado la función objetivo y sometemos a cambios una o más restricciones se presenta lo siguiente:
Suponga que cambiamos la restricción 30E+10F>=135 por 30E+10F>=210
El cambio de un valor del lado derecho tiene
como resultado una traslación paralela de la
restricción modificada. Esto puede afectar
tanto la solución óptima como el VO. El efecto
en cada caso dependerá de los valores precisos
del lado derecho que sean modificados y de la
magnitud de dichos cambios.
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32. Estrechamiento y relajación de una restricción
de desigualdad
• Estrechar una restricción de desigualdad significa hacerla más dificil de
satisfacer. Para una restricción ≥ esto significa aumentar el LD. Para una
restricción ≤ esto significa disminuir el LD.
• Relajar una restricción de desigualdad significa hacerla más fácil de
satisfacer. En el caso de una restricción ≥ esto significa disminuir el LD.
Para una restricción ≤ esto significa aumentar el LD.
• El estrechamiento de una restricción de desigualdad contrae el conjunto
restringido (Área factible), o bien, no lo afecta en absoluto. La relajación de
una restricción de desigualdad expande el conjunto restringido, o bien no lo
afecta en absoluto.
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33. Restricciones importantes y no importantes
• Ya vimos anteriormente que una variable redundante puede suprimirse sin
que afecte el conjunto restringido y por lo tanto la solución óptima, por lo
que se convierte en una restricción no importante para el modelo.
• Ahora, usando POM en el ejemplo de análisis veamos que pasa si
suprimimos las restricciones inactivas.
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34. Análisis en POM de las restricciones importantes y
no importantes
Modelo original Eliminamos las restricciones inactivas
En cualquier modelo de PL, para un conjunto de datos fijo, las restricciones inactivas pueden ser
suprimidas sin afectar la solución óptima. La solución óptima está determinada íntegramente por las
restricciones activasExtraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 34

35. Adición o supresión de restricciones
• La supresión de restricciones hace que la región factible se expanda o
no sufra cambio alguno.
• La adición de restricciones hace que la región factible se vuelva más
pequeña o no sufra cambio alguno.
• Veamos un ejemplo: añadamos una restricción nueva y analicemos el nuevo
modelo:
Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 35

36. Adición o supresión de restricciones
Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 36

37. Conclusiones de adición o supresión de
restricciones
• La adición de restricciones a un modelo empeora el VO o no lo cambia
en absoluto. La supresión de restricciones mejora el VO o no produce
cambio alguno en él.
De manera análoga podemos concluir:
• La adición de variables mejora el VO o no lo cambia en absoluto,
mientras que la supresión de variables empeora el VO o no produce
cambios en él.
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38. Extraído de Investigación de operaciones Eppen MSc. Carlos J. Molestina Malta 38