Secciones cónicas: historia y tipos

LAS SECCIONES CÓNICAS
Historia
El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo ligado a uno de los
tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo
o problema de Delos.
"...la peste se llevo una cuarta parte de la población ateniense y la
profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el
origen del segundo problema..."
"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para
preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto
que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer
los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió
para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su
volumen en lugar de dos ..."

Generalidades.
Se designa sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección
entre un cono y un plano(si dicho plano no pasa por el vértice), se obtienen las
cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e
hipérbola. Un cono circular recto. La primera definición conocida de sección cónica
surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron
como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola
y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden
definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de
la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
Tipos de Cónicas
Secciones cónicas
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación
del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones
cónicas, a saber:
 β < α : Hipérbola (naranja)
 β = α : Parábola (azulado)
 β > α : Elipse (verde)
 β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

 Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
 Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será
tangente al cono).
 Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el
vértice.
 cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β
disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del
cono (β = 0).
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y
F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
 Centro,
 Eje mayor, AA´
 Eje menor, BB´
 Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia
entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la
curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares
se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes
elementos:
 Centro, O
 Vértices, A y A

 Distancia entre los vértices
 Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes
elementos:
 Eje, e
 Vértice, V
 Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas,
tiene la siguiente ecuación:
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que
interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen
secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están
relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán
hipérbolas o parábolas.También son importantes en aerodinámica y en su
aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran
exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.
Circunferencia
La circunferencia es una línea curva y cerrada donde todos sus puntos están a
igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan
de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada
radio.
La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el
lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es
decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos
semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular
al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados,
cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se
denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.
Elementos de la circunferencia.
Secantes, cuerdas y tangentes. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la
circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
 Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la
circunferencia;

 Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la
circunferencia;
 Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia
(necesariamente pasa por el centro);
 Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas
de longitud máxima son los diámetros)
 Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
 Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en
un sólo punto;
 Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la
circunferencia;
 Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
 Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos
de un diámetro.
Diámetros Conjugados :
Par de diámetros conjugados en una elipse
Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda
cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros
de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados.
En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en
el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.
Posiciones relativas
La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
 Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que
la longitud del radio.

 Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a
la longitud del radio.
 Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la
longitud del radio.
La circunferencia y la recta
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
 Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del
centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
 Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la
distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta
tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de
tangencia con el centro.
 Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos
distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
 Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular
comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente
Dos circunferencias
En función de sus posiciones relativas, se denominan:
 Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus
centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o
distinto radio. (Figura 1)
 Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás
puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus
centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o
distinto radio. (Figura 2)

 Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus
centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o
distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de
dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo
entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
 Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos
de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay
entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios.
Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
 Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre
sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de
sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
 Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus
centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona
circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura
5)
 Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos
circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son
circunferencias coincidentes.
Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el
punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada
circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:

Ecuaciónvectorialde la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:
. Donde es el parámetro de la curva, además cabe
destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación
cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas
deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio
esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en
coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la
ecuación se transforma en:
Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones
trigonométricas como:
y con funciones racionales como
Circunferencia topológica.

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea
homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–
dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente fijado al identificar los
dos extremos de un intervalo cerrado.
La circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro.
→
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
realizamos estos cambios:
Otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Para que una expresión del tipo:

En la ecuación de la circunferencia se cumplira que:
 Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un
mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos
de la ecuación
 No tenga término en xy.

Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas:
Ejemplo.
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
Ejemplo.
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el
radio.
Ejemplo.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación

por las coordenadas de los puntos se obtiene el
sistema:
Ejemplo.
Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia,
y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:
2. No tiene término en xy.
3.
Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.
Ejemplo.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente
al eje de abscisas.
Ejemplo.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente
al eje de ordenadas.
Ejemplo.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de
intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
Ejemplo.
Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica con
,
y que pasa por el punto (-3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Ejemplo.
Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1).
¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Ejemplo.
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
Ejemplo.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y
tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

Ejemplo.
Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio
es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Circunferenciasconcéntricas
Dos o más circunferncias son concéntricas si sus centros coinciden.
Las circunferencias concéntricas no tienen ningún punto en común.
Ejemplo.
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
, y que pasa por el punto (-3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Ejemplo.
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
Laboratorio

La Elipse
Historia
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas (Egipto). La
elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por
Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la
sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.
En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde
descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler
introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705,
demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica
alrededor del Sol.
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la
suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un
cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la
generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje
menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor
de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí:
 El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
 el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje
mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos
focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a). Si F1
y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia
F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
donde es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El
resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos
equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos
adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal
(segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la
letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que , también vale la relación:
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada
cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.La designación tradicional
de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función
trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a
cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las
longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y
PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de
la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico,
para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio
vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de
puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor
llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P
de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular
de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta
propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede
ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales
se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina
foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la
excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación , también es cierto que ,
también es útil la fórmula .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz
para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela
a la directriz anterior.
Ecuaciones de la elipse
En coordenadas cartesianas
Forma cartesiana centrada en origen
La ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a
corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es
horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento

[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,
siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Formacartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
En coordenadas polares
Forma polar centrada en origen
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(ec 1)
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la
excentricidad ), es:
(ec 2)
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse,
θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la
ecuación (ec 1), en caso contrario utilizar la ecuación (ec 2).

Formas polares centradas en un foco
Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la
elipse es:
Para el otro foco:
"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro
foco en la coordenada angular , la forma polar es:
}
El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera
del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum
de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un

foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa
por el foco.
Formas paramétricas
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje
mayor y el menor, es:
Mediante : no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares
con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La
relación entre y θ es
.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro
sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:
Mediante . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen
está centrado en .
Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.

Perímetrode una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de
segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión
sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado
menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula,
utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión
aproximada del perímetro de una elipse:
Propiedades notables
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se
puede ver en Analogía de Michelson y Morley.
La elipse como cónica
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal
manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz
del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso
el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas
figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de
la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz. En una curva

hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira
tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.
Construcción paramétrica de una elipse
Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida
de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los
ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radios alineados, la
intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.
Anamorfosis de una circunferencia en una elipse
Determinada trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el
plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde con
una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego y
significa trasformar.

Una circunferencia en un plano
cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse
mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha
contraído y/o el X se ha dilatado.
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados,
cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la
circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos.
Elipses semejantes
Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño
(pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un
factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física5
acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.
Teorema:
Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses
semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta
de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.
Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las
elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando
uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis,
podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los
segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción.
Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la
misma longitud, la tenían ya al principio.No deben confundirse las elipses
semejantes con las elipses cofocales. La elipse en mecánica celeste

Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una masa en
órbita barre con su radio vector áreas iguales".
En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a
interacción gravitatoria describen una órbita elíptica (o circular 6 ) la una en torno a
la otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las
masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) está
ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la
trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades
relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con
gran precisión porque sus dimensiones son mucho. más pequeñas que las
distancias entre ellos. La cinemática de la órbita se rige por las leyes de Kepler. En
la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que
cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre
con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está más cerca de la
"estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera
que su velocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas
de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus arcos t0 t1 se han recorrido en
intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de los
focos de la elipse.
Elipses
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices

Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los
ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de
la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje
mayor.

Ecuaciones de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la
elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de
focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje mayor
Semidistancia focal :
Semieje menor:

Ecuación reducida:
Excentricidad :
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Si el eje principal está en el origen :
Las coordenadas de los focos son: F'(0, -c) y F(o, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas
de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos
tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse
será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación
de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ejemplo

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro
C(4, 2).
Ejemplos
Dada la elipse de ecuación : ,
Hallar el centro, semiejes, vértices y focos.
Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos
tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

La Parábola
Historia
La tradición refiere que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en
su estudio del problema de la duplicación del cubo,1 donde demuestra la existencia
de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es
confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.Sin embargo, el primero en
usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada
obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el
estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Secciones cónicas.
La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de parábolas.
En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante
de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.nota 1 Se define
también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una
recta llamada directriz,nota 2 y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría
proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen
pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. La
parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su
forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo,

son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la
influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria
balística).
Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por
otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del
triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado
del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de
un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las
bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta
cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea
recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la
sección que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido
por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola
Apolonio de Perge
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los
rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas
satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la
búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo,
dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
Propiedades geométricas
Diferentes elementos de una parábola.

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que
unen el foco y la directriz de la parábola (azul).
Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono
recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la
parábola como un lugar geométrico:
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una
recta dada, llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.
De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola
que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un
punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se
traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La
intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como
resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para
diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea
necesario.
De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a
la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección
de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como
vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La
distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Los puntos de la parábola están a la
misma distancia del foco F y de la
recta directriz.
Construcción de puntos en una
parábola.
Lado recto
El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es
paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre
la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa
que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el
segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).
Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman
ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean

cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además,
tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el
punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para
construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son
desconocidos.
Semejanza de todas las parábolas
Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la
apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la
única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que
todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su
escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en
ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación
cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es
que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la
ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al
tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre
la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la
directriz.

Tangentes a la parábola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la
proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual
es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto. Luego MP
biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.
Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que
FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro
punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de
MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque
a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos
paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son
muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio
concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en
la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante
un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes
centrales captadoras de energía solar. Análogamente, una fuente emisora situada

en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros
tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de
luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o
divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un
emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el
foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las
grandes centrales captadoras de energía solar.

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se sitúa
en el foco de una superficie parabólica.
Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.
Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas
geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. Una parábola cuyo vértice está
en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la
forma y=ax2
donde el parámetro a especifica la escala de la parábola,
incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes,
todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la
parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si
bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la
geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya
estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación
usando notación moderna. Tomando nuevamente la definición de parábola como
sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y
sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV
al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base
del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición
de V, por lo que haciendo
arroja la expresión moderna y=ax².
Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de
una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma
(y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola de eje es vertical es : .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando
y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de la parábola de eje es horizontal es: .
Ecuación involucrando la distancia focal
Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el
parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe
sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda
automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice
y a esa misma distancia del último.Consideremos el caso especial en que el vértice
es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por
(0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo
que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco (0,p) es: .

De forma alterna:
La ecuación de la parábola de vértice (0,0) y foco en (0,p) es: .
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la
parábola. Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren
«hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar
excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:
Ecuación de la parábola de vértice (0,0) y foco en (0,-p) es: .
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación
similar intercambiando los roles de x, y:
La ecuación de la parábola de vértice en (0,0) y foco en (p,0) es
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la
izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen
mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se
tiene.
Ec. De parábola de vértice (h, k),foco (h, k+p) es
mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.
Ec. de parábola de vértice (h, k), foco (h+p, k) es .

Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes
de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una
parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de
coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición
en un plano es:
si y sólo si :
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el
que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
, donde a es distinto de cero
Parábola
La parábolaesel lugargeométricode lospuntosdel planoque equidistande unpuntofijollamado
focoy de una rectafijallamadadirectriz.
Elementosde la parábola

Foco
Es el puntofijoF.
Directriz
Es la recta fijaD.
Parámetro
Es la distanciadel focoa la directriz,se designaporlaletrap.
Eje
Es la recta perpendicularala directrizque pasaporel foco.
Vértice
Es el puntode intersecciónde laparábolaconsueje.
Radio vector
Es un segmentoque une unpuntocualquierade laparábolaconel foco.
Ecuación de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
Ejemplo
Dada la parábola , calcularsu vértice,sufocoy la recta directriz.

Ejemplo
Ecuación de la parábola de eje vertical

Ejemplo
Excentricidad
Excentricidadde la elipse
La excentricidadesunnúmeroque mide el mayoro menorachatamientode laelipse.Yesigual al
cociente entre susemidistanciafocal ysusemiejemayor.

Excentricidadde lahipérbola
La excentricidadmide laaberturamayoromenorde las ramas de la hipérbola.

Posicionesrelativasde una cónica y una recta

Para hallarlospuntoscomunesa una cónicay una recta resolveremosel sistemaformadopor las
ecuacionesde ambas.
En general se obtiene unecuaciónde segundogrado,que tendrádependiendodel signodel
discrimínante, ,lassiguientessoluciones:
1 Si Δ > 0
Dos soluciones:la recta y la cónica son secantes.
2 Si Δ = 0
Una solución:la recta y la cónica son tangentes.

3 Si Δ < 0
Ningunasolución: la recta y la cónica son exteriores.
Calculala posiciónrelativade lacircunferencia ylarecta
.

Estudiarla posiciónrelativade lacircunferenciax2
+y2
- 4x + 2y - 20 = 0 con lasrectas:
1 x + 7y -20 = 0
2 3x + 4y - 27 = 0

Determinalaposiciónrelativade larectax + y - 1 =0 con respectoa la hipérbolax2
- 2y2
= 1.
Calcularla posiciónrelativade larecta r ≡ x + y - 5 = 0 respectoa laparábola y2
= 16 x.

Laboratorio
Hipérbola
Etimología. Hipérbole e hipérbola
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de
hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Secciones cónicas.
Historia
Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas
del cono. Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por
Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde
demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una
hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.3
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su
tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas
griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas que se cortan
en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan
F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea
perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas
gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje
transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al
cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de
los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje
transversal a una distancia ±a con respecto al centro.
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de
dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría,
y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el
valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante
positiva.
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas:
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y
ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto
Ejemplos: a) b)
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el
eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La
excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja. Una hipérbola en el plano complejo
es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ;
tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor
absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos
llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o
sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda:
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números
complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares
Dos hipérbolas y sus asíntotas.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la
longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor. Si el ángulo de
plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido
entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será una elipse. Será una
parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular al eje.
Hipérbola
La hipérbolaesel lugargeométricode lospuntosdel planocuyadiferenciade distanciasalos
puntosfijosllamadosfocosesconstante.

Elementosde la hipérbola
Focos
Son lospuntosfijosFy F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por losfocos.
Eje secundarioo imaginario
Es la mediatrizdel segmento .
Centro
Es el puntode intersecciónde losejes.
Vértices
Los puntosA y A' sonlospuntosde intersecciónde lahipérbolaconel eje focal.
Los puntosB y B' se obtienencomointerseccióndeleje imaginariocon lacircunferenciaque tiene
por centrouno de losvérticesyde radio c.
Radios vectores
Son lossegmentosque vandesde unpuntode lahipérbolaalosfocos:PFy PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud2c.
Eje mayor

Es el segmento de longitud2a.
Eje menor
Es el segmento de longitud2b.
Ejesde simetría
Son lasrectas que contienenal eje real oal eje imaginario.
Asíntotas
Son lasrectas de ecuaciones:
Relaciónentre lossemiejes
Excentricidadde la hipérbola
La excentricidadmide laaberturamayoromenorde las ramas de la hipérbola.
Ecuación de la hipérbola

Se llamaecuaciónreducidaa laecuaciónde la hipérbolacuyosejescoincidenconlosejes
coordenadas,y,por tanto,el centrode hipérbolaconel origende coordenadas.
Si el eje real estáen el eje de abscisaslascoordenadasde losfocosson:
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquierpuntode lahipérbolacumple:
Esta expresióndalugara:
Realizandolasoperacionesysabiendoque ,llegamosa:
Ejemplos
Hallarla ecuaciónde la hipérbolade focoF(4,0),de vértice A(2,0) y de centroC(0, 0).
Hallarla ecuacióny laexcentricidadde lahipérbolaque tienecomofocoslospuntosF'(-5,0) y F(5,
0), y 6 comodiferenciade losradiosvectores.

Hallarlas coordenadasde losvérticesyde losfocos,lasecuacionesde lasasíntotasy la
excentricidadde lahipérbola9x2
- 16y2
= 144.
Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola
F'(0,-c) y F(0, c)
La ecuaciónserá:

Ejemplo
Hallarla ecuaciónde la hipérbolade focoF(0,5),de vértice A(0,3) y de centroC(0, 0).
Ecuación de la hipérbola
Si el centro de lahipérbolaes C(x0,y0) y el eje principal esparaleloaOX,los focos tienende
coordenadas F(X0+c,y0) y F'(X0-c,y0).Y la ecuaciónde lahipérbolaserá:
Ejemplos
Al quitardenominadoresydesarrollarlasecuacionesse obtiene,engeneral,unaecuaciónde la
forma:

Donde A y B tienensignosopuestos.
Hallarla ecuaciónde la hipérbolade focoF(7,2),de vértice A (5,2) y de centroC(3, 2).
Ecuación de la hipérbolade eje vertical
Si el centro de lahipérbolaC(x0,y0) yel eje principal esparaleloaOY,los focos tienende
coordenadas F(X0,y0+c) y F'(X0,y0-c).Y la ecuaciónde lahipérbolaserá:
Ejemplo

Al quitardenominadoresydesarrollarlasecuacionesse obtiene,engeneral,unaecuaciónde la
forma:
Donde A y B tienensignosopuestos.
Hallarla ecuaciónde la hipérbolade focoF(-2,5),de vértice A (-2,3) y de centro C(-2,-5).

Hipérbolaequilátera
Las hipérbolasenlas que los semiejessonigualesse llaman equiláteras,portanto a = b. Y su
ecuaciónes:
Las asíntotas tienenporecuación:
,
Es decir,las bisectricesde loscuadrantes.
La excentricidades:
Ecuación de la hipérbolaequiláterareferidaa sus asíntotas

Para pasar de los ejesOX,OYa losdeterminadosporlasasíntotas,bastará dar un giro de -45°
alrededordel origende coordenadas.Quedandolaecuacióncomo:
Si efectuamos ungiro de 45° enlosejes,lahipérbolaque quedaenel segundoycuartocuadrante y
su ecuaciónserá:
Ejemplos
La ecuación representaunahipérbolaequilátera,calcularvérticesysusfocos.

Comolas coordenadasde losvérticesse encuentranenlabisectrizdelprimerytercercuadrante,la
primeracomponente ylasegundacomponente coinciden,esdecir,x =y. Y como ademásel punto
A pertenece alacurva, tendremos:
Una hipérbolaequiláterapasaporel punto(4, 1/2). Haya su ecuaciónreferidaasusasíntotascomo
ejes,ylascoordenadasde losvérticesylosfocos.

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