Optimización

2.  Evaluación del curso
 Planificación del curso
 Conceptos teóricos
 Ejemplos
2

3. 3
Clases
Lunes, Martes (Virtual) y Miércoles
Lunes 18 al 27 de Enero.
Semana de 1 al 12 de Febrero.
Lunes 15 Febrero al 1 de Marzo
5 Semanas (Aprox 2 temas x semana)
Parcial: Lunes 15 de Febrero (*)
Proyecto Final: 1 de Marzo (+)
Semana Capítulos por semana
1 1,2
2 3,4
3
*5,6
4 7,8
5 9+
Evaluación
- Parcial 23
- Proyecto 34
- Asignación 43

4.  Introducción a la Optimización, Sensibilidad,
Optimalidad (primer y Segundo orden),
Programas convexos, Programación lineal,
Puntos extremos, Método Simplex.
4

5.  Un problema de optimización también se conoce como
un problema de programación matemática o problema
de minimización.
 En el caso más simple, un problema de optimización
consiste en maximizar o minimizar una función real
eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados
de un conjunto permitido) y computando el valor de la
función.
5

6.  En un problema típico en ingeniería se tiene un
proceso que puede ser representado por un
modelo matemático. Usted también tiene un
criterio de desempeño tales como el costo
mínimo. El objetivo de la optimización es
encontrar los valores de las variables del proceso
que producen el mejor valor del criterio de
desempeño .
6

7.  Siglo XVIII: En 1762, Lagrange resuelve problemas de
optimización con restricciones de igualdad.
 Siglo XIX: En 1820, Gauss resuelve sistemas de ecuaciones
lineales por el método conocido como “eliminación Gaussiana”.
En 1866 Wilhelm Jordan mejora esta técnica y elabora el
método conocido como “Gauss-Jordan“.
 Siglo XX:
◦ En 1945, aparece la computación digital
◦ En 1947, Dantzig inventa el método Simplex.
◦ En 1968, Fiacco and McCormick introducen los métodos de
Punto Interior.
◦ En 1984, Karmarkar aplica los métodos de Punto Interior para
resolver Programas Lineales aportanto un análisis innovador.
7

8.  Incluye un análisis conceptual básico en el cual es
necesario hacer suposiciones y simplificaciones. La
formulación requiere que el constructor del modelo
seleccione o aísle del ambiente total aquellos aspectos de
la realidad que son pertinentes para la situación en
cuestión.
 Las situaciones administrativas implican decisiones y
objetivos, los cuales deben ser identificados y definidos
de modo explícito. Puede haber varias formas de definir
las variables de decisión, y tal vez al principio no se
encuentre la definición más apropiada. También los
objetivos pueden resultar poco claros.
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9.  Modelo físico
◦ Tangible, Comprensión: fácil; Duplicación y posibilidad de
compartirlo: difícil; Modificación y manipulación: difícil;
Alcance de utilización: la más baja.
 Modelo análogo
◦ Intangible, Comprensión: más difícil; Duplicación y
posibilidad de compartirlo: más fácil; Modificación y
manipulación: más fácil; Alcance de su utilización: más
amplio.
 Modelo simbólico
◦ Intangible, Comprensión: la más difícil; Duplicación y
posibilidad de compartirlo: las más fáciles; Modificación y
manipulación: las más fáciles; Alcance de su utilización: el
más amplio.
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10.  Problemas de Optimización: son problemas de asignación
óptima de recursos limitados, para cumplir un objetivo
dado que representa la meta del decisor. Los recursos
pueden corresponder a personas, materiales, dinero, etc.
Entre todas las asignaciones de recursos admisibles, se
quiere encontrar la/s que maximiza/n o minimiza/n alguna
cantidad numérica tal como ganancias o costos, etc.
 Modelo de Optimización Matemática: es una
representación matemática de una cierta “realidad” y
consiste en una función objetivo y un conjunto de
restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o
inecuaciones.
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11.  Aplicaciones: Los problemas de optimización son muy
comunes en el modelado matemático de sistemas
reales en un amplio rango de aplicaciones: economía,
finanzas, química, astronomía, física, medicina,
computación, ...
 Proceso de optimización y modelado: requiere de
varios pasos: descripción del problema, elaboración de
un modelo y emisión de una solución, interpretación,
control e implementación de la solución. Actualización
si hay cambio de parámetros o de la estructura misma
del problema.
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12. 12
No
Problema de decisión
Etapa de análisis
Modelado matemático
Validado?
Emisión de una solución
a implementar
Verificado?
Etapa de diseño
Interpretación de la solución
Etapa de control
Implementación
Si
Si
No

13.  Para poder representar una situación por medio de un
modelo, es necesario “enmarcarla” o “contextualizarla”.
El planteamiento de un problema tiene que incluir las
posibles decisiones y un método para medir la eficacia de
cada una.
 El arte de pasar de un simple síntoma a un planteamiento
claro del problema se conoce como el proceso para
enmarcar la situación, y es una habilidad fundamental
para un gerente o administrador eficiente.
13

14.  En este contexto, la decisión óptima es la que ofrece la
mejor respuesta para el problema abstracto planteado en el
modelo; por ejemplo, una respuesta que maximice las
ganancias.
 También es importante valorar la sensibilidad de la
respuesta, es decir, hasta qué punto la respuesta
proporcionada por un modelo depende de los valores
numéricos particulares que fueron utilizados como datos de
entrada para el mismo.
14

15.  Los dos ingredientes fundamentales de un problema
de optimización son:
◦ Proceso o modelo del problema
◦ Criterio de desempeño
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16.  Máximo beneficio
 Costo mínimo
 El mínimo esfuerzo
 Error mínimo
 Mínimo desperdicio
 Rendimiento máximo
 Mejor calidad del producto
Es preciso mencionar que la mejora en el
rendimiento/desempeño se debe expresar en forma
matemática .
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17.  En base a su naturaleza, hay varias formas de clasificar un
problema de optimización.
◦ Optimización Continua: cuando todas las variables de
decisión pueden tomar cualquier valor de los reales.
 Optimización Convexa: minimizar una función convexa.
 Optimización Convexa Lineal o programación lineal:
Cuando tanto la función objetivo como las restricciones son
lineales
◦ Optimización Discreta: nos enfrentamos a un problema más
complicado de “Optimización Combinatoria”.
◦ Optimización Mixta: es los cuales algunas variables son
continuas y otras son discretas.
17

18.  Optimización estática
◦ Las variables tienen valores numéricos , fijo con
respecto al tiempo .
 Optimización dinámica
◦ Las variables son funciones del tiempo.
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19.  La clasificación de los métodos de resolución de
problemas de optimización se puede organizar de la
siguiente forma:
◦ Resolución mediante cálculo
◦ Resolución mediante técnicas de búsquedas.
◦ Resolución mediante técnicas de convergencia de
soluciones
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20.  Se utiliza el cálculo de derivadas para determinar para
qué valores del dominio la función presenta un máximo
o un mínimo.
 Son métodos de optimización muy robustos, pero no se
ajustan a las restricciones de continuidad y tienen
demasiadas variables como para que su tratamiento
pueda ser eficiente.
20

21.  En las técnicas de búsqueda podemos encontrar un gran
abanico, desde prueba y error hasta programación matemática.
En forma genérica, consisten en el siguiente algoritmo:
1. Hacer Mejor Solución = Solución Actual
2. Buscar n soluciones cercanas a la Solución Actual
3. Para cada una de las n soluciones cercanas hacer
 Si el valor de la función objetivo de la solución a verificar
es mayor (o menor) al valor generado por la solución
actual, hacer Mejor Solución = Solución Evaluada
 Si Mejor Solución = Solución Actual, Finalizar del
procedimiento, en caso contrario Hacer Solución Actual =
Mejor Solución y volver a 2)
21

22.  Dentro de estos métodos tenemos técnicas para abarcar
una gran variedad de problemas. Desde técnicas
exactas, como la “Programación Lineal” (que se limita
solo a problemas con un conjunto solución convexo y
función objetivo y restricciones lineales) hasta las
técnicas metaheurísticas de solución aproximada como
la “Búsqueda Tabú”.
22

23.  Son técnicas metaheurísticas (resultados
aproximadamente óptimos). Se basan en generar una
gran cantidad de soluciones, a partir de ellas, generar
un nuevo conjunto de soluciones a analizar, repitiendo
el proceso hasta que las soluciones generadas
converjan en una (o sea, hasta la iteración en la cual
todas las soluciones generadas tengan un valor de
función objetivo muy parecido). Entre las técnicas más
conocidas de este grupo, tenemos a todas las versiones
de "Algoritmos Genéticos“.
23

24.  La Optimización Convexa es una rama de las técnicas de
Optimización que trata sobre técnicas de minimización de
funciones convexas sobre un dominio también convexo.
 El manejo de las funciones objetivo convexas resulta
cómodo en el contexto de la minimización. La
convexidad del conjunto de restricciones dota al modelo
de otras propiedades matemáticas atractivas. Una
característica muy importante de los modelos de
programación cóncavos (o convexos) es que para ese tipo
de problemas, cualquier punto óptimo restringido local es
también un óptimo restringido global.
24

25. Cada problema de optimización contiene tres categorías
esenciales.
1. Al menos una función objetivo a ser optimizada
2. Restricciones de igualdad
3. Restricciones de desigualdad
25

26. Maximice f(x) Función Objetivo
Sujeto a h(x) = 0 Restricción de igualdad
g(x) ≥ 0 Restricción de desigualdad
Donde x ∈ ℜn es un vector de n variables
como (x0,x1,x2,..xn)
h(x) es un vector de igualdades de
dimensión m1.
g(x) es un vector de desigualdades de
dimensión m2.
26

27. 27
 Por una solución factible nos referimos a un conjunto
de variables que satisfagan las categorías 2 y 3
(Restricciones de igualdad Restricciones de
desigualdad).
 La región de soluciones factibles se llama la región
factible.

28. 28

29.  Una solución óptima es un conjunto de valores de las
variables que se contienen en la región factible y
también proporcionan el mejor valor de la función
objetivo en la categoría 1.
29

30.  Analizar el proceso con el fin de hacer una lista de todas las
variables.
 Determinar el criterio de optimización y especificar la función
objetivo.
 Desarrollar el modelo matemático del proceso para definir las
restricciones de igualdad y desigualdad. Identificar las variables
dependientes e independientes.
 Si la formulación del problema es demasiado grande o compleja
simplificarlo si es posible.
 Aplicar una técnica de optimización adecuado.
 Compruebe el resultado y examinarlo de sensibilidad a los
cambios en los parámetros del modelo y las hipótesis.
30

31.  Los problemas de optimización se pueden dividir en
tipos según las propiedades de la función objetivo f(x)
como:
◦ Sola variable o multivariable
◦ Lineal o no lineal
◦ Suma de cuadrados
◦ Cuadrático
◦ Lisa o no lisa
31

32.  Los problemas de optimización se pueden dividir en
tipos según las propiedades de la funciones de
restricción h(x) g(x) como:
◦ Límites simples
◦ Lisa o no lisa
◦ Lineal o no lineal
◦ No hay restricciones
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33.  Variable en el tiempo o invariante
 Continua o discreta
 Utiliza sólo valores enteros
 Combinación
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34.  La función objetivo o las funciones de restricción
pueden tener discontinuidades finitas en los valores de
los parámetros continuos.
 La función objetivo o las funciones de restricción
puede ser funciones no lineales.
 La función objetivo o las funciones de restricción
pueden definirse en términos de interacciones
complicadas de las variables. Esto puede evitar que el
cálculo de valores únicos de las variables en el óptimo.
34

35.  La función objetivo o las funciones de restricción pueden
exhibir un comportamiento casi "plano" para algunos
rangos de variables o comportamiento exponencial para
otros rangos. Esto hace que el problema sea insensible, o
demasiado sensible.
 El problema puede exhibir muchos óptimos locales ,
mientras se busca el óptimo global. Una solución puede ser
obtenida que es menos satisfactoria que otra solución.
◦ La ausencia de una región factible.
◦ Modelo no ajustado a la realidad .
35

36.  Algunos ejemplos de optimización estática son los
siguientes:
◦ Diseño de la planta (el tamaño y el diseño) .
◦ Operación (mejores condiciones de funcionamiento de
estado estacionario ) .
◦ Estimación de parámetros ( ajuste del modelo ) .
◦ Asignación de recursos.
◦ Elección de los parámetros del controlador (por ejemplo,
las ganancias , constantes de tiempo ) para reducir al
mínimo el índice de rendimiento dado ( por ejemplo, el
exceso, el tiempo de establecimiento , integrante del error
al cuadrado) .
36

37.  Algunos ejemplos de optimización dinámica son los
siguientes:
◦ Determinación de una señal de control u(t) para
transferir un sistema dinámico de un estado inicial a
un estado final deseado y así satisfacer un índice de
rendimiento dado.
◦ Puesta en marcha y/o apagado de una planta.
◦ Problemas de tiempo mínimos
37

38.  Consideremos primero el caso con dos variables de
decisión, x1 y x2. Así, consideramos una función f(x1,x2).
Para el caso de dos variables de decisión (variables
independientes) se usan las derivadas parciales del
cálculo para describir óptimos locales o globales.
 Usaremos la notación fx1 para la primera derivada parcial,
para la segunda derivada parcial fx2. Cualquier punto (por
ejemplo, los valores de x1 y x2) en el que todas las
primeras derivadas parciales se anulen se conoce como
punto estacionario. Tenemos la siguiente condición
necesaria para la optimalidad.
38

39. 39
 Tenemos la siguiente condición necesaria para la
optimalidad.
◦ En un punto máximo o mínimo local, ambas derivadas
parciales deben ser iguales a cero (esto es, fx1=fx2=0 ). Es decir,
un punto máximo local o un punto mínimo local siempre es un
punto estacionario.
 Sin embargo, no todos los puntos estacionarios
proporcionan máximos y mínimos.

40.  Al igual que las funciones de una sola variable, se puede
aplicar una prueba de primer orden (primera derivada) y
de segundo orden (segunda derivada) para localizar
óptimos locales sin restricciones para funciones con más
de una variable.
 Estas pruebas se conocen como condiciones de
optimalidad de primer orden y condiciones de
optimalidad de segundo orden. Tome nota de que las
condiciones de primer orden son necesarias, mientras que
las condiciones de segundo orden son suficientes. (Las
condiciones de segundo orden incluyen a las de primer
orden, es decir suponen que es un punto estacionario).
40

41. Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo
global) en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en D donde D es el
dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f
en D.
De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si
f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina
valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo
de f se conocen como valores extremos de f.

42. La función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a. Si
sólo consideramos valores de x cercanos a b, entonces f(b) es el mas
grande de esos valores de f(x) y se conoce como máximo local de f.
x
y
a d
f(a)
f(d)
b c e

43.  Numerosas aplicaciones del cálculo dependen de
nuestra capacidad para deducir hechos relativos a la
función f a partir de información concerniente a sus
derivadas.
 Como f(x) representa la pendiente de la curva y = f(x)
en el punto (x; f(x)), nos dirá cuál es la dirección de
crecimiento de la curva. Entonces f(x) nos ayuda a
saber más de f(x).

44. x
y
a) Si f(x) > 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese
intervalo.
b) Si f(x) < 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese
intervalo.
A
B
C
D

45.  Si c es un número crítico de una función continua f.
◦ Si f(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene
un máximo local en c.
◦ Si f(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene
un mínimo local en c.
◦ Si f(x) no cambia de signo en c (esto es, f es positiva en
ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f
carece de extremo local en c.

46. x
y
0)(' xf 0)(' xf
c
Máximo local
x
y
c
0)(' xf 0)(' xf
Mínimo local

47.  Si f es continua en la vecindad de c:
◦ Si f (c) = 0 y f (c) > 0, f tiene un mínimo local en c.
◦ Si f (c) = 0 y f (c) < 0, f tiene un máximo local en c.

48.  En ausencia de algunas propiedades adicionales de la
función, como la convexidad o la concavidad, un punto
óptimo local (a diferencia de uno global) es lo más que
podemos aspirar a encontrar en términos generales.
 La prueba de la primera derivada (la condición
necesaria) afirma que los óptimos locales están
incluidos entre los puntos estacionarios de la función.
La prueba de la segunda derivada (la condición
suficiente) nos permite distinguir entre máximos y
mínimos locales, y también los puntos que no son ni lo
uno ni lo otro.
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49.  La programación lineal es el campo de la optimización
matemática dedicado a maximizar o minimizar
(optimizar) una función lineal, denominada función
objetivo, de tal forma que las variables de dicha
función estén sujetas a una serie de restricciones
expresadas mediante un sistema de inecuaciones
también lineales.
 Los métodos más recurridos para resolver problemas de
programación lineal son algoritmos de pivote, en
particular los algoritmos simplex.
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50.  Cada modelo de programación lineal tiene dos
características importantes: una función
 objetivo por maximizar o minimizar y ciertas
restricciones. La programación lineal proporciona un
ejemplo de lo que se conoce de manera más general
como modelo de toma de decisiones con restriciones,
también llamado modelo de optimización con
restricciones. Una descripción común de dicho modelo
es: Un modelo de optimización restringido representa
el problema de la asignación de recursos escasos de tal
modo que se optimice un objetivo de interés.
50

51.  El algoritmo Símplex primal fue desarrollado por el
matemático norteamericano George Dantzig en 1947.
 Este método es, en esencia, un proceso equivalente al de
escalar una colina. Una vez que dicho algoritmo ha
encontrado una solución en un vértice, empieza a
examinar todos los vértices
 inmediatamente vecinos a aquél y plantea la pregunta:
“si me traslado ahora a uno de esos vértices, ¿mejorará
el valor de la función objetivo?” Si la respuesta es
afirmativa, el algoritmo se traslada a dicho vértice y allí
vuelve a preguntar si al desplazarse a otro vértice vecino
podrán mejorar aún más los resultados.
51

52.  La geometría en dos dimensiones puede usarse como
un sistema gráfico para ilustrar muchos elementos
importantes de los modelos de PL. Ésta es una forma
sencilla de resolver un modelo de PL que tenga sólo
dos variables de decisión.
 A pesar de que la mayoría de los modelos del mundo
real tienen más de dos variables de decisión, por lo cual
el método de resolución gráfica no puede aplicárseles.
52

53.  Para un modelo lineal es posible que haya otras
soluciones con el mismo valor de la función objetivo,
es decir, soluciones “óptimas alternativas”. En este
caso, matemáticamente, habrá una cantidad infinita de
soluciones alternativas óptimas, todas las cuales
producen el mismo valor óptimo de la celda de la
función objetivo y satisfacen las restricciones.
 El conjunto infinito de soluciones óptimas alternativas
involucrará combinaciones lineales de un conjunto
finito de soluciones óptimas alternativas de puntos
extremos (o vértices).
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55.  Una fábrica de quesos en Chiriquí desea producir un queso de
cabra Gourmet para una cadena de supermercados que lo pide
aun precio de 20.00 dólares por unidad. La empresa sabe que el
costo x de producir el queso por volumen está dado por la
función P(x)=x2/1000. El envío por unidad desde Chiriquí
hasta la capital es de un 1.00 dólar por unidad.
 La empresa tendrá una cita en Miami con el dueño de la cadena
de supermercados y desea saber: ¿Cuántas unidades debe
contratar para maximizar la utilidad?. De igual forma desean
saber: ¿Qué beneficio económico obtendrían con esa
maximización?.
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56.  Una empresa produce dos tipos de café (Geisha y Pacamara) para
exportación a ciertos países selectos. Cada kilo de café Geisha usa 2
horas en el horno de secado, ½ hora para el enfriado y embazado con
una utilidad de 60 dólares por kilo. El café Pacamara tarda 3 horas
en ser secado, ¼ de hora para enfriado y embazado con una utilidad
de 55 dólares por kilo.
 Por día se disponen de varios hornos trabajando simultáneamente
dando un total de 300 horas. Se tienen varias personas para enfriar y
embazar el café dando un total de 60 horas por día.
 La administración ha solicitado que entre
los dos tipos de café se produzcan
al menos 90 kilos de café al día.
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57.  La administración desea saber: ¿Qué cantidad de café
de cada tipo debe producirse para que el beneficio sea
el máximo ?.
57
Tipos de Café Tiempo de
secado
Tiempo de
enfriado y
embazado
Utilidad por kilo
de café
Geisha  x 2 1/2 60
Pacamara  y 3 1/4 55
Total: 90 300 60 B(x,y)