Teoría de los niveles de razonamiento de Van Hiele en geometría

Didáctica de la geometría
Tema 4.
Las aportaciones del matrimonio Van Hiele
al campo de la geometría
Ignacio Carlos Maestro Cano

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 2
Índice
► Contextualización del tema en la asignatura
► Esquema de contenidos
► Guía de estudio
► Introducción
► Breve síntesis de la Teoría de los niveles de razonamiento
► Diseño de actividades en Educación Infantil a partir de la teoría de los
van Hiele
► Diseño de actividades en Educación Primaria a partir de la teoría de
los van Hiele
► La evaluación de acuerdo con la teoría de van Hiele

Contextualización
Tema 1. Enseñanza y aprendizaje de la geometría
La geometría en la vida/en el mundo/en la realidad. Su importancia.
Consideraciones acerca de su enseñanza y aprendizaje (peculiaridades).
Tema 2. Desarrollo de la Geometría en el marco curricular
Currículo de infantil. Currículo de primaria. Estructura de los contenidos. Recomendaciones del NCTM.
Tema 3. Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría
Aplicación del conocimiento de la psicología de la infancia a la didáctica de la geometría. Geometrías topológica, proyectiva y euclídea o
métrica.
Tema 4. Las aportaciones del matrimonio Van Hiele al campo de la geometría
Teoría de los niveles de razonamiento (visualización o reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación, deducción formal y rigor).
Independientes de la edad, ¿cómo aplicar a infantil y primaria?
Tema 5. Teoría cognitiva de Duval para la enseñanza de la Geometría
Relación con la interpretación y utilización de dibujos, figuras y esquemas (visualización y razonamiento). Formas de aprehensión
(perceptiva, discursiva y operativa). Tipos de actividades geométricas (botanista, agrimensor geómetra, constructor e inventor).
Tema 6. Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos
Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio. Percepción del espacio. Tipos de espacio (micro, meso y macro).
Tema 7. Dificultades y obstáculos en enseñanza de la geometría
Importancia del uso de términos y expresiones precisas (vocabulario geométrico). Utilidad de la representación (para facilitar el acceso a
otro tipo de conocimientos no geométricos: simbolización, p. ej.).
Tema 8. Recursos y materiales
Recursos manipulativos y diseño de actividades. Uso de las TIC.

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Esquema de contenidos
4
van Hiele
a

Guía de estudio (1)

Guía de estudio (y 2)
Bibliografía
• Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Síntesis.
• Alsina, C., Fortuny, J. y Pérez, R. (1997). ¿Por qué geometría? Propuestas didácticas para ESO. Madrid: Síntesis.
• Alsina, C., Fortuny, J. y Pérez, R. (1997). ¿Por qué Geometría? Propuestas didácticas para la ESO. Madrid: Síntesis.
• Ausubel, D.P. (1968). Educational Psychology: A Cognitive View. New York: Holt, Rinehart and Winston.
• Bleeker, C. (2011). The relationship between teachers’ instructional practices and learners’ levels of geometry thinking. University of
Pretoria. Disponible en línea: https://repository.up.ac.za/bitstream/handle/2263/27312/Bleeker_Relationship_2011.pdf?sequence=1
• Corberán Salvador, R., Gutiérrez Rodríguez, A., Huerta Palau, M.P., Jaime Pastor, A., Margarit Garrigues, J.B., Peñas Pascual, A., Ruiz
Pérez, E. (1994). Diseño y evaluación de una propuesta curricular de aprendizaje de la Geometría en Enseñanza Secundaria basada
en el Modelo de Razonamiento de Van Hiele. Colección Investigación, 95. Madrid: CIDE/MEC.
• Corberán, R., Gutiérrez, A., Huerta, M., Jaime, A., Margarit, J., Peñas, A. y Ruiz, E. (1994). Diseño y evaluación de una propuesta
curricular de aprendizaje de la geometría en enseñanza secundaria basada en el Modelo de Razonamiento de Van Hiele. Madrid:
CIDE/MEC.
• Crowley, M.L. (1987). The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought. En M. Montgomery Lindquist (ed.), Learning and
Teaching Geometry K–12, 1987 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), pp. 1–16. Reston: NCTM.
• Fouz, F. (2005). Modelo de Van Hiele para la Didáctica de la Geometría. En: Un paseo por la Geometría (pp. 67-81).
• Godino, J. y Ruíz, F. (2002). Geometría y su didáctica para maestros. Granada:
• Proyecto EDUMAT-MAESTROS.
• Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). El Modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la
geometría. Un ejemplo: Los Giros. Educación Matemática 3(2), 49-65.
• Hiele, P.M. van, and D. van Hiele – Geldof (1957), Een fenomenologische inleiding tot de meetkunde. Euclides 33(2): 33-46. Disponible
en línea: http://vakbladeuclides.nl/archief/pdf/33_1957-58_02.pdf
• Jaime, A. (1993). Aportaciones a la interpretación y aplicación del Modelo de Van Hiele: La enseñanza de las isometrías en el plano. La
Evaluación del nivel de razonamiento (Tesis Doctoral). Universidad de Valencia.
• Mason, M. (1999). The van Hiele Levels of Geometric Understanding. En: Professional Handbook for Teachers. Geometry: Explorations
And Applications. McDougal. (en linea) Disponible en:
http://geometryforall.yolasite.com/resources/Mason,%20Marguerite.%20The%20van%20Hiele%20Levels%20of%20Geometric%20Unde
rstanding.%202002.pdf
• Unamuno y Jugo, M. de (1980) [1912]. Del sentimiento trágico de la vida en los hombres y en los pueblos. Madrid: Espasa-Calpe.
• Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry. University of Chicago. Disponible en línea:
http://ucsmp.uchicago.edu/ resources/van_hiele_levels.pdf
• van de Walle, J.A. (2007). Elementary and middle school Mathematics: Teaching developmentally. Boston: Pearson Education.
• Van Hiele, P. (1999). Developing geometric thinking through activities that begin with play. Teaching Children Mathematics, 5(6), 310-
316.
• van Hiele, P.M. (1957). De problematick van het inzicht gedmonstreed van het inzicht van schodkindren in meetkundeleerstof. [El
problema de la comprensión en conexión con la comprensión de los escolares en el campo de la geometría] (tesis doctoral no
publicada). University of Utrecht. Disponible en línea (en castellano) en: https://www.uv.es/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf
• van Hiele, P.M. (1986). Structure and insight. A theory of mathematics education. Londres: Academic Press.
• Vargas Vargas, G. y Gamboa Araya, R. (2013). El modelo de van Hiele y la enseñanza de la geometría. Uniciencia 27(1): 74-94.
Disponible en: https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4945319.pdf

Introducción
“When I began my career as a teacher of mathematics, I very soon realized that it was a difficult
profession. There were parts of the subject matter that I could explain and explain, and still the
pupils would not understand. I could see that they really tried, but they did not succeed. Especially
in the beginning of geometry, when very simple things had to be proved, I could see they did their
utmost, but the subject matter seemed to be too difficult. But because I was an inexperienced
teacher, I also had to consider the possibility that I was a poor teacher. And this last annoying
possibility was affirmed by what came next: Suddenly it appeared that they understood the subject
matter: They could talk of it very sensibly. But very often they said: «It isn’t so difficult, but why did
you explain it to us with so much difficulty?» In the years that followed I changed my explanation
many times, but the difficulties remained. It always seemed as though I were speaking a
different language. And by considering this idea I discovered the solution, the different levels of
thinking“ (Van Hiele, 1986: 39).
Un paralelogramo es un rombo si
posee: todos los lados iguales, las
diagonales respectivamente
perpendiculares, las diagonales son
bisectrices de los ángulos del
paralelogramo, la recta que une los
vértices opuestos es eje de simetría…

Introducción
Piaget abordó el análisis de los procesos de desarrollo cognitivo en el niño de
acuerdo con la edad del niño. El matrimonio Van Hiele se centra en el estudio de
aquellas características del aprendizaje que son independientes de la edad y,
sobre todo, en lo relativo al modo en que los niños aprenden a razonar en geometría
(específicamente).
Al conjunto de tales características “invariantes” en el tiempo es a las que se les ha
dado el nombre de niveles de van Hiele y constituyen el grueso de su Teoría de los
Niveles de Razonamiento. Estos niveles describen la forma en que los estudiantes
razonan acerca de las figuras y otras nociones geométricas.
Piaget Van Hiele
Percepción Razonamiento

Introducción
No se trata exclusivamente de lo que en ocasiones parece proponer Piaget
(el desarrollo natural del niño le hace llegar a determinados estadios a
determinadas edades), sino de que también se debe estimular a los niños
para que asciendan de un nivel al otro (sin mirar tanto la edad que
tengan).
El Piaget biólogo pasa “de puntillas” por el lenguaje (importancia de su
papel desempeñado en el desarrollo cognitivo). Por el contrario, van Hiele
nos recuerda la trascendencia del lenguaje en dicho proceso, destacando
que el estudiante desarrolla un lenguaje específico para cada nivel de
pensamiento por el que pasa.
Piaget Van Hiele
Biólogo Profesores Montessori
Cómo el niño llega a aprender
(llevado por la biología, la propia
naturaleza).
Cómo estimular para que el niño
llegue a aprender (llevado, no sólo
por la biología, sino por el profesor).

Introducción
La comunicación (i.e., el lenguaje) maximiza el aprovechamiento de lo
estudiado, erigiéndose en herramienta fundamental para la adquisición y
comprensión de conceptos.
Una vez más, se aprecia cómo, siendo el lenguaje la forma en que quedan
simbolizados nuestros pensamientos, puede afirmarse que el lenguaje es
“el entendimiento vivo mismo” (Tönnies, 1887: 108).
“No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma;
sólo se aprende a razonar mediante la propia experiencia [incluida, por
supuesto, la comunicativa]” (Corberán et al., 1994: 14).
¿De qué dependen las habilidades cognitivas de un niño?
Piaget Van Hiele
Biólogo Profesores Montessori
“De la edad” (Piaget, 1999: 311). De cómo se le enseñe (del
método; del sistema; del profesor).

Introducción
“La razón, lo que llamamos tal, el conocimiento reflejo y reflexivo, el que distingue al
hombre, es un producto social. Debe su origen acaso al lenguaje. Pensamos
articulada, o sea reflexivamente, gracias al lenguaje articulado, y este lenguaje
brotó de la necesidad de transmitir nuestro pensamiento a nuestros prójimos.
Pensar es hablar consigo mismo, y hablamos cada uno consigo mismo gracias a
haber tenido que hablar los unos con los otros, y en la vida ordinaria acontece
con frecuencia que llega uno a encontrar una idea que buscaba, llega a darla forma,
de decir, a obtenerla, sacándola de la nebulosa de percepciones oscuras a que
representa, gracias a los esfuerzos que hace para presentarla a los demás. El
pensamiento es lenguaje interior, y el lenguaje interior brota del exterior” (Unamuno,
1980: 44-45).
Miguel de Unamuno.
Foto: José Suárez (1934).

Introducción
Las matemáticas como “la forma más acertada de pensamiento racional”
(van Hiele, 1957: 131).
En definitiva, podría decirse que unas de las principales preocupaciones de
(problemas abordados por) van Hiele es la respuesta a la pregunta:
¿Qué lugar ocupa la comprensión en el pensamiento racional?
(van Hiele, 1957: 129).
Debido a la evidente conexión con la comprensión, van Hiele centra su
análisis en el desarrollo del lenguaje. Por ello, el modelo van Hiele da gran
importancia a los contextos interactivos en el aula y al papel del profesor.
Toda barrera comunicativa entre profesor y alumno genera una sensación de
impotencia en el profesor y de frustración en el alumno.
https://www.youtube.com/watch?v=AiE2Hm4BRsI

Introducción
El modelo de Van Hiele aborda dos cuestiones fundamentales (Jaime, 1993):
 Descriptiva: identifica las distintas formas de razonamiento geométrico
en forma de niveles secuenciales, lo que permite valorar su progreso.
 Instructiva: establece pautas que permitan a los profesores facilitar
el progreso de los estudiantes estén en el nivel que estén.
El modelo van Hiele ha tenido una gran influencia en el desarrollo de los
currículos educativos, sea directa o indirectamente (a través de los
Standards del NCTM), especialmente en lo que se refiere al énfasis en el
análisis de las propiedades y la clasificación de las figuras geométricas.
Su adopción fue casi inmediata (60’s) en la Unión Soviética, tardando algo
más (70’s) en tener presencia significativa en otros países (70’s: Estados
Unidos, Reino Unido, etc.; España: 80’s).
“El planteamiento [weg] aquí dado para la geometría podría ser utilizado
también para otras áreas de conocimiento” (van Hiele, 1957: 45).
Debate: Lenguaje y aprendizaje ¿Qué te parece lo expuesto?

Breve síntesis de la teoría de los niveles de
razonamiento
El modelo van Hiele comparte con Piaget una estructura o “explicación”
del desarrollo cognitivo en base a “niveles” por los que todo sujeto ha de ir
pasando pero la particularidad del modelo van Hiele es que dichos niveles
no se están tan relacionados con la edad sino con la “calidad” del
proceso de construcción seguido que debe garantizar que el nivel
anterior (sus nociones y relaciones geométricas) haya sido “asegurado”,
antes de proceder a abordar el siguiente.

razonamiento
Si tales niveles no dependen de la edad, ¿de qué dependen? ¿sobre qué
otros parámetros se apoya el modelo que propone van Hiele?
1. El lenguaje como parámetro de indicación del nivel de desarrollo
cognitivo geométrico. Cada nivel y su consiguiente dominio
geométrico se encuentra relacionado con un dominio adecuado y
preciso del lenguaje. “Wer schlampig spricht, denkt schlampig”.
2. La significatividad (real) de los contenidos: el aprendizaje sólo tiene
lugar cuando está en consonancia con el nivel de su razonamiento.
15
¿ ?
5, =,…

razonamiento
Los van Hiele (1957; 1986) proponen cinco niveles de conocimiento en
geometría (ojo a la notación “americana”, entre 1 y 5):
 Nivel 0: Visualización o reconocimiento.
 Nivel 1: Análisis.
 Nivel 2: Ordenación o clasificación.
 Nivel 3: Deducción formal.
 Nivel 4: Rigor.
Fuente: van de Walle (2007: 421).
16

razonamiento
Nivel 0. Visualización
Únicamente se maneja información visual. No puede hablarse de
razonamiento propiamente matemático.
Los objetos son percibidos como una unidad, sin capacidad de captar sus
propiedades o componentes (p. ej., los lados opuestos de un rombo o
rectángulo como paralelos).
No se dispone todavía de un lenguaje geométrico básico por lo que su
descripción requiere acudir a elementos familiares del entorno: “Es un
rectángulo porque parece/es como una puerta”.
No hay noción de generalidad (rasgos genéricos de todo triángulo), sólo del
objeto presente en concreto.
17

razonamiento
Nivel 0. Visualización
Dado que se apoyan sobre aproximaciones no distinguen figuras como:
18

razonamiento
Nivel 1. Análisis
Se empieza a reconocer la presencia de propiedades matemáticas de los objetos
(condiciones necesarias) y sus partes o componentes, pero el razonamiento todavía
se apoya mucho en la percepción física (p. ej., es preciso pintar los lados opuestos de
un rombo para, entonces sí, apreciar la propiedad de paralelismo).
Ello abre la puerta a una descripción en base a una lista (inconexa*) de propiedades,
a menudo cayendo en la redundancia (todavía no se es capaz de entender cuáles de
estas propiedades son necesarias y suficientes): “Es un rectángulo (porque) es un
polígono cerrado, tiene cuatro lados, dos lados más largos y dos más cortos, lados
opuestos paralelos, cuatro ángulos paralelos, cuatro ángulos rectos...”.
* No se relacionan unas propiedades con otras (“un cuadrado tiene los cuatro lados iguales” y “tiene
sus ángulos iguales” pero no se percibe vínculo alguno entre ambos atributos).
Esta descripción sigue siendo informal. No se dan auténticas definiciones.
Pese a este primer e incipiente contacto con los atributos, no les es posible realizar
clasificaciones de objetos y figuras.
Puede hablarse ya de un acercamiento al razonamiento matemático que permita
comenzar a pasar de lo concreto a lo general.
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razonamiento
Nivel 2. Ordenación o clasificación
Tiene lugar ya una descripción formal, esto es, indicando cuáles son las condiciones
necesarias y suficientes que han de cumplir. Se busca ya evitar la redundancia de
propiedades: “Es un rectángulo. Es un paralelogramo con ángulos rectos...”. Ello
permite llevar a cabo clasificaciones formales.
Se comprende por fin la importancia de las definiciones.
Son capaces de reconocer cómo de unas propiedades se derivan otras (establecen
relaciones entre propiedades y perciben las consecuencias de tales relaciones). Por
ejemplo, ahora puede entender que en un cuadrilátero la congruencia entre ángulos
opuestos implica el paralelismo de los lados opuestos.
En definitiva, resulta posible manejar los elementos más básicos de un sistema formal
(definiciones o implicaciones de un solo paso).
Comienza a desarrollarse cierta capacidad de razonamiento riguroso. Ello les permite
seguir pasos aislados de una demostración, pero nada más. Sigue las
demostraciones pero no es capaz de entenderlas en su globalidad, como parte de un
todo (de un sistema formal). Ello pone fuera de su alcance la comprensión de la
naturaleza axiomática de la geometría.
20

razonamiento
Nivel 3. Deducción formal
La consolidación e interiorización de la necesidad de condiciones necesarias y
suficientes para la definición, lleva a que el estudiante busque ya demostrar cualquier
hecho deductivamente: “Es un rectángulo puesto que puede probarse esta figura es
un paralelogramo y que uno de sus ángulos es recto”. De la descripción formal se
pasa a la deducción formal.
Se completa la formación del razonamiento matemático lógico-formal, resultando ya
posible construir (y no solo seguir) deducciones y demostraciones,
comprendiéndose además su necesidad, eso es, la naturaleza axiomática de la
geometría (y de las matemáticas en general), de ahí que van Hiele denomina a este
nivel el nivel la esencia de la matemática.
Se comprende la posibilidad de llegar a los mismos resultados partiendo de premisas
distintas, lo que permite comprender que sean posibles distintas demostraciones para
un mismo resultado.
“Una persona en este nivel puede construir, y no sólo memorizar las demostraciones,
se ve la posibilidad de desarrollar una demostración de varias formas” (Crowley, 1987).
21

razonamiento
Nivel 4. Rigor
Se adquieren los conocimientos y habilidades propias sólo de los matemáticos
profesionales.
Se puede trabajar la geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos
concretos. Sólo se desarrolla en estudiantes de universidad con una buena
capacidad y preparación en geometría. Por ello que, de acuerdo con diversos autores
(Alsina, Fortuny y Pérez, 1997; Gutiérrez y Jaime, 1991), debería ser considerado como un nivel aparte.
Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos, disponiéndose de
capacidad para analizarlos y compararlos. Es posible, por ejemplo, apreciar la
consistencia, independencia y completitud de los axiomas constitutivos de las
geometrías no euclídeas (Hilbert, Riemann, Minkowski, etc.).
Geometría esférica
http://www.mathcaptain.com/geometry/spherical-geometry.html
22

razonamiento
Características de los niveles van Hiele
Cada nivel demanda procesos de razonamiento más complejos o sofisticados que en
el nivel anterior (suponen una jerarquización), con una secuencia que va de lo
concreto a la abstracción (suponen una secuencialización).
Gran parte del peso del criterio de clasificación de estos niveles recae sobre el
lenguaje propio de cada nivel. Así, el progreso de un nivel a otro está muy ligado a la
mejora del lenguaje matemático requerido, esto es, a la capacidad de explicar
(expresar) aquello que saben y cómo lo saben.
De acuerdo con la notación dada por Usiskin (1982), encontramos en el modelo de van
Hiele las siguientes características básicas:
Secuencialidad: los niveles constituyen una secuencia fija y jerárquica. Un estudiante
no podrá “saltarse” ninguno de los niveles. De hecho, sobre tal idea reside la
importancia del modelo de van Hiele, al garantizar que no se enseñe a un alumno algo
para lo que todavía no está preparado.
23

razonamiento
Adyacencia: aquello que en el nivel precedente era intrínseco (propio o fundamental,
esto es, implícito), deviene extrínseco (secundario o explícito, esto es, no directamente
relacionado con él) en el actual.
Cuando el niño observa un cuadrado desde el nivel 0, éste posee unas propiedades
que lo definen y que constituyen el grueso de la dedicación en dicho nivel (lo
intrínseco). Sin embargo, al pasar al siguiente nivel (el 1) el verdadero objeto de todo
su esfuerzo pasan a ser las relaciones entre propiedades y, las propiedades en sí,
pasan (por así decir) a un segundo plano (a ser algo extrínseco).
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Elementos intrínsecos Elementos extrínsecos
Nivel 0
Componentes y propiedades de
figuras y objetos
Figuras y objetos
Nivel 1
Relaciones (implicaciones) entre
propiedades de figuras y objetos
Componentes y propiedades de figuras
y objetos
Nivel 2 Deducción formal de teoremas
Relaciones (implicaciones) entre
propiedades de figuras y objetos
Nivel 3
Relación entre teoremas (sistemas
axiomáticos)
Deducción formal de teoremas
A alcanzar Ya alcanzado

razonamiento
Distinción: cada nivel posee sus propios símbolos lingüísticos (experiencias que el
“narrador” asocia a un símbolo determinado) y su propia red de relaciones. Lo que
resulta correcto en determinado nivel puede no serlo en otro.
Separación: el docente que razona en un determinado nivel está hablando en un
“idioma” distinto al del alumno que se encuentre en otro nivel, impidiendo de facto el
entendimiento. No es que el alumno no “sepa” qué es un cuadrado, es que no
comprende lo que el profesor entiende por cuadrado.
Logro: Propiedad referida más bien a la transición de un nivel a otro. La consecución
de cada nuevo nivel viene determinada por una estructura bien definida, pausada y
continua (sin “saltos”). Dada la importancia del paso de un nivel al siguiente, esto se
tratará en el siguiente apartado.
25

razonamiento
El paso de un nivel al siguiente
Aquí resulta importante recordar que para van Hiele el progreso del aprendizaje no es
tanto una cuestión de edad sino de “madurar” conceptos a través de la experiencia
(propia o inducida).
En este sentido, para garantizar este paso de un nivel al siguiente, los van Hiele
destacan las siguientes fases que describirían el proceso de evolución dentro de cada
uno de los niveles (van Hiele, 1986: 53):
▪ Fase 1: Preguntas/información
▪ Fase 2: Orientación dirigida
▪ Fase 3: Explicación (explicitación)
▪ Fase 4: Orientación libre
▪ Fase 5: Integración
Se trata por tanto de fases internas a cada nivel, esto es, fases que se repetirán en
cada uno de los niveles. Si el nivel 0 se inicia por una fase 1, una vez superada la fase
5 podrá pasarse al siguiente nivel (nivel 1), repitiéndose en él todo proceso (desde la
fase 1 a la 5).
26

razonamiento
27
La relación entre niveles y fases en el modelo van Hiele.
Fuente: Corberán et al. (1994: 28).

razonamiento
Fase 1: Información o indagación (preguntas)
El profesor simplemente presenta un nuevo concepto (qué campo de estudio se va a
abordar, clase de problemas que se van a resolver, métodos y materiales, etc.).
Se inicia así una mera toma de contacto con la nueva materia de estudio. El alumno
debe tan sólo familiarizarse con él y comenzar a descubrir su estructura antes de
comenzar cualquier diálogo (con sentido) al respecto.
Resulta fundamental que el profesor conozca cuáles son sus conocimientos de partida
sobre el tema: “el factor individual más importante que influye en el aprendizaje es lo
que el alumno sabe ya. Averígüese [ascertain] esto y enséñesele en consecuencia
[accordingly]” (Ausubel, 1968: vi).
28
Debate: ¿Cómo averiguar lo que sabe el alumno?
Fuente: monoo (Shutterstock)

razonamiento
Fase 2: Orientación dirigida
Partiendo de su experiencia, el docente debe intervenir proponiendo actividades de
exploración cuidadosamente diseñadas (ponderadas): “las actividades [de esta fase],
si se seleccionan cuidadosamente, constituyen la base adecuada del pensamiento de
nivel superior” (van Hiele, 1986: 97). Estas actividades han de ser:
• Concretas (no demasiado largas), que lleven de manera lo más directa posible a
aquellos resultados y propiedades que los estudiantes han de entender y aprender,
permitiendo un acceso relativamente fácil a pequeños “logros”, que potencien su
autoestima así como una actitud positiva hacia las matemáticas.
• Bien secuenciadas
• Aplicadas y que faciliten el acceso (descubrimiento) a los conceptos, propiedades y
relaciones objeto de aprendizaje: plegado, construcción, medida, observación de
simetrías, etc.
Se trata de guiar, de orientar, esto es, de indicar el camino, pero que sean ellos
quienes lo recorran. Ejemplo: “Qué sucedería si cortásemos un rombo por su diagonal
y lo doblásemos? ¿Y si tomáramos la otra diagonal?”, iniciando así un debate al
respecto (Corberán et al., 1994: 36).
29

razonamiento
Fase 3: Explicación (explicitación)
Si hasta aquí se trataba tan sólo de familiarizarse con un concepto nuevo, ahora se
trata de consolidarlo (explicitarlo) a través del uso de un lenguaje adecuado. En
este sentido, en esta fase no se produce un aprendizaje de conocimientos nuevos.
Se trata ahora de una fase de intercambio de ideas y experiencias entre los
alumnos y en la que el profesor queda relegado a un segundo plano, limitándose a
corregir el lenguaje (central en van Hiele) utilizado por los alumnos.
Esta interacción obliga a los alumnos a ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas
de modo comprensible para los demás (ergo para uno mismo; Unamuno, 1980: 44-45).
Esta “conversación didáctica (…) les hace ver claramente que la tarea asignada está
a su alcance y que por lo tanto vale la pena esforzarse” (van Hiele, 1957: 22).
30

razonamiento
Fase 4: Orientación libre
El alumno ya conoce las propiedades estudiadas pero precisa adquirir cierta fluidez y
desenvolverse a través de la red relaciones que existe entre unas propiedades y otras.
Para ello, han de proponerse actividades de mayor complejidad y en contextos nuevos
que requieran aplicar lo ya adquirido (contenidos y lenguaje). Recordando las leyes de la
Gestalt (el insight learning de W. Köhler), van Hiele señala: “La comprensión, una vez que ha
aparecido, puede aplicarse en nuevas situaciones” (van Hiele, 1957: 14).
El profesor debe reducir al mínimo imprescindible su ayuda a los estudiantes durante la
resolución de tareas (Van Hiele, 1986: 54). De ahí lo de orientación “libre”.
La eficacia de tales tareas será mayor cuanto más “abiertas” sean, esto es, cuando
ofrezcan distintas maneras de ser resueltas. Ello obliga a los alumnos a justificar sus
respuestas frente a las alternativas de los demás, debiendo hacer gala de un mayor dominio
del razonamiento y el lenguaje (si acaso no son lo mismo).
31
Fuente: YuryImaging (Shutterstock)

razonamiento
Fase 5: Integración
Ya no se debe trabajar con ningún contenido nuevo, sólo se trata de organizar los ya
adquiridos, de consolidarlos y sintetizarlos.
Se adquiere así una visión de conjunto sobre lo aprendido.
Para ello, ayudará mucho la elaboración de un esquema de los contenidos vistos.
32
La importancia de una visión de conjunto. Bosque de Oma de Agustín Ibarrola.
Fuente: http://viajerosblog.com

Diseño de actividades en Educación Infantil a partir
de la teoría de los van Hiele
De los cinco niveles establecidos por los van Hiele, sólo los tres primeros pueden
trabajarse a lo largo de Educación Infantil (el resto quedan algo lejos debido al grado
de abstracción que los caracteriza).
Por otro lado, el propio van Hiele ha admitido un mayor interés por los tres primeros
niveles de su teoría (Crowley, 1987: 3), llegando incluso a sugerir (van Hiele, 1986) que sólo
estos tres primeros niveles intervendrían en la realidad de la enseñanza en las
escuelas. Esta reinterpretación de su propia teoría reuniría en un único y último nivel los
niveles 3 y 4 originales.
Al revisar las actividades que vamos a proponer para cada nivel, ha de tenerse en
cuenta que los de niveles superiores siempre incluirán las destrezas de los niveles
anteriores (Bleeker, 2011: 28-30).
33
Fuente: http://www.littlefamilyfun.com/2013/09/build-dinosaur.html

Actividades para el nivel 0
Reconocimiento de figuras individuales, distinguidas por su forma global (sin diferenciar
atributos, propiedades ni componentes).
No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su nombre correcto.
Proporcionar a los alumnos figuras de goma EVA que deben encajar en la plantilla
adecuada. Esta actividad puede ampliarse al trabajo con cuerpos (3D).
Construir con varillas, pajitas o plastilina figuras abiertas o cerradas (trabajar g. topológica).
Proporcionar un dibujo y pedir a los alumnos que identifiquen dónde se encuentra en ese
dibujo (que marquen con una “X”) una determinada figura o cuerpo o que cumpla una
determinada propiedad (paralelo, cruzado, discontinuo, curvo, etc.). Es preferible recurrir a
contextos de la vida cotidiana (una habitación, una cocina,…).
Lo mismo pero que señalen aquel objeto (uno) que se encuentre en una determinada
posición u orientación (trabajar g. proyectiva).
Que cada alumno represente la figura pedida (cuadrado, triángulo, pentágono, polígono
convexo o cóncavo) en un geoplano, con varillas, cuerdas, etc.
Construir series de figuras y que las continúen de acuerdo al patrón (lección magistral 2).
Identificar figuras mediante mostrado gradual (sacándolas de un sobre o bolsa). Se
dibujan varias figuras en la pizarra y, según se va sacando poco a poco la figura, que
tengan que ir discriminando (primer contacto con la captación de propiedades del nivel 1).
34

35
Fuente: https://www.pinterest.es/pin/475340935655276839/
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36
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37
https://www.education.com
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Fuente: http://store.rightstartmath.com/geoboards/
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Fuente: https://www.myteachingstation.com/what-coloful-shape-comes-next
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Análisis de propiedades y componentes de las figuras.
Reconocimiento de clases o “familias” de formas (una figura puede pertenecer a más de una,
por ejemplo, un cuadrado es también un rectángulo y un cuadrilátero).
Uso de un vocabulario geométrico correcto.
Proporcionar bloques lógicos mezclados y que los agrupen a partir del reconocimiento de
elementos en común (a través de visualización y tacto).
Proporcionar un dibujo y que indiquen dónde aparece una figura/cuerpo, coloreándola de
determinado color allá donde aparezca.
Proporcionar una ficha con distintas figuras/cuerpos y que señalen los que pertenezcan a la
misma clase.
Lo mismo pero que señalen aquellos objetos (varios) que se encuentren en una determinada
posición u orientación (trabajar g. proyectiva).
Proporcionar un cuadrado, un rectángulo o un triángulo y dos figuras triangulares de modo
que puedan componer ciertos polígonos dados.
Dadas varias superficies, clasificarlas en función de su superficie calculada por
pavimentación (piezas cuadradas) o por conteo de cuadrícula.
Describir una clase de figuras a partir de sus propiedades: ¿Tiene esquinas? ¿Son todos los
lados iguales?...Y, al revés, identificar una figura a partir de la descripción de sus propiedades.
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4 lados: Lados paralelos:

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VolverFuente: https://www.educapeques.con

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Fuente: http://www.cpalms.org/Public/PreviewResourceLesson/Preview/74147
Jugando a las familias con Tangram.
Fuente: https://www.tangram-channel.com

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Fuente: http://www.kindergartenkindergarten.com

Se relacionan y clasifican las figuras de un modo lógico y se reconoce cómo unas propiedades
derivan de otras.
Proporcionar una ficha con distintas figuras/cuerpos y que señalen aquellos que cumplan una
determinada propiedad (número de lados, número de ángulos, número de caras, abierto,
cerrado, continuo, o discontinuo, etc.) o que no la cumplan.
Por parejas, se proporciona a uno una determinada figura/cuerpo y tiene que describirla a partir
de sus propiedades geométricas para que el compañero reproduzca el cuerpo/figura.
Identificar propiedades que pueden servir para clasificar formas/cuerpos, por ejemplo, se pide
completar la frase “el cuerpo que tiene seis caras cuadradas es un…”.
Dados distintos triángulos, los alumnos deberán agruparlos o describirlos en función de la
longitud de sus lados (sin explicar todavía su clasificación) pero sí trabajándola de forma
“experimental”. Del mismo modo se puede trabajar la clasificación de cuadriláteros (en cuadrados,
rectángulos, rombos y trapecios).
A partir de una representación artística (pintura, escultura o similar), un grupo de alumnos
tendrá que hacer una descripción de la misma a partir de sus características y propiedades
geométricas y los demás alumnos identificar la obra entre un conjunto.
“¿Quién soy?”: cada alumno se pone sobre la frente una determinada carta con una figura,
cuerpo o elemento geométrico (se buscará trabajar propiedades topológicas, proyectivas o
métricas) y dispondrá de diez preguntas para averiguar qué carta tiene. Las preguntas sólo se
pueden responder con un “Sí”, “No” o “Quizás” por parte de los compañeros.
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Guitarra y frutero. Juan Gris (1918) Naturaleza muerta con guitarra. Juan Gris (1913)
Jarra, botella y copa. Juan Gris (1911) Volver

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¿Quién soy?
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Debate: ¿Qué ilustraciones podríamos utilizar?

Diseño de actividades en Educación Primaria a partir
Se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, entendiéndose su necesidad.
Se comprenden las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.
Proporcionar una figura que se pueda pavimentar con piezas cuadradas para calcular su
área por conteo. Ha de procurarse que resulte tedioso (forma compleja o gran
dimensión) para favorecer el descubrimiento de que el conteo de base y altura resulta más
rápido/sencillo (que deduzcan la fórmula del área del rectángulo).
Proporcionar un rectángulo de área conocida y que a partir de él intenten deducir la
fórmula del área del triángulo. Se busca que a través de la descomposición del
rectángulo en dos triángulos lleguen a la fórmula pedida.
Proporcionar a los alumnos un rombo y pedir que a partir de la construcción del
rectángulo que inscribe a dicho rombo deduzcan la fórmula para calcular su área.
Proporcionar a los alumnos un trapecio y pedir que a partir de su descomposición y
reconfiguración lleguen a la fórmula que permite calcular su área.
Proporcionar a los alumnos un triángulo y pedir que, sin medir, deduzcan cuánto es el
valor de la suma de los tres ángulos.
Proporcionar a los alumnos un triángulo rectángulo y pedir que mediante
cuadraditos, teselas, caramelos “sugus” o material similar construyan cuadrados sobre
cada uno de los lados e intente buscar una relación entre ellos. De esta manera
llegarán a la construcción geométrica del teorema de Pitágoras.
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La evaluación de acuerdo con la teoría de van Hiele
Consecuencia de la centralidad de la expresión (del lenguaje) en el modelo
van Hiele, es que el punto clave en su aplicación reside en la evaluación
(Fouz, 2005) y, en concreto, “tomando en cuenta las razones por las que dio
determinada respuesta” (Vargas y Gamboa, 2013: 87).
Diagnóstico: ¿Cómo saber en qué nivel van Hiele está un alumno?
Observando el lenguaje que emplea en sus respuestas y explicaciones.
Podrían destacarse los siguientes aspectos:
 El nivel de razonamiento de un alumno dependerá del área matemática
trabajada. En unos contenidos puede estarse en un nivel y, en otros, en
un nivel distinto.
 Ha de procurarse evaluar no tanto qué responden los alumnos
(bien/mal) sino cómo lo hacen (y por qué).
 No son las preguntas las que determinan el nivel del alumno sino sus
respuestas.
 Lógicamente, durante los periodos de transición de nivel resultará difícil
determinar la situación real del alumno.
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Jean W. F. Piaget (1896 ̵ 1980) Pierre van Hiele (1909-2010)

Teoría de los niveles de razonamiento de Van Hiele en geometría

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