Optimizacion métodos lagrange, jacobiano, tucher

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
“EXTENSIÓN PORLAMAR”
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMA Y DE
FUNCIONES.
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
Porlamar, Noviembre2014
Autor:
Carlos E Pérez. !8112733

2. MÉTODO DE LAGRANGE
Método creado por Joseph Louis Lagrange un matemático, físico y
astrónomo Italiano. Lagrange demostró el teorema del valor
medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante
contribución en astronomía.
Los Multiplicadores de Lagrange, son un método para
trabajar con funciones de varias variables que se interesa
maximizar o minimizar, y está sujeta a cierta restricciones.

3. MÉTODO DE LAGRANGE
Así las ecuaciones de Lagrange son:
Ejemplo 1:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4?
Solución:
Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
:Condición a cumplir:
De una manera más fácil:
4 y
2 2 4  x  y
2 2 16  x  y
Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.
A  Ax, Ay  y, x
g  gx, gy  2x,2y
Así las ecuaciones de Lagrange son

4. MÉTODO DE LAGRANGE
…(3)
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
2 2 4 x  y 
 2  xy   2x
(2 ) 2 yx   y
 2   2   2x   2y 2 2 y x x y 
2  2  16  x  x
2 16  2x
x   8
8
8 8 8
…. (4)
….. (5)
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
Al simplificar queda: ; Queda:
Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).
•Si y = x
Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos,
así que se tiene un único punto que es para x=
, la altura y también vale. Así se concluye que las dimensiones del rectángulo
corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A=
*
* =8

5. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Albert William Tucker (1905 – 1955), fue un matemático
Estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes
contribuciones a la Topologías, Teorías de juegos y a la
Programación no Lineal.
En programación matemática, las condiciones de
Karush-Kuhn-Tucker
son condiciones necesarias y suficientes para que la
solución de un problema de programación
matemática sea optima.
Es una generalización del método de los
Multiplicadores de Lagrange.

6. • Problema General de Optimización
Consideremos el siguiente problema general:
min f(x)
Sujeto a
Gi(x)≤0, i = 1,…,m
Hj(x)= 0, j= 1,…,l
Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, Gi(x) son las
restricciones de desigualdad y Hi(x) son la restricciones de
igualdad, con m y l el numero de restricciones de desigualdad e
igualdad, respectivamente.
MÉTODO DE KUHN TUCKER

7. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Considere el problema de optimización
Sujeto a:

8. MÉTODO DE KUHN TUCKER
El método de solución procede de la siguiente manera.
Cambiemos cada restricción de desigualdad gi ≤0a una
restricción de igualdad
introduciendo una variable si de la siguiente manera:
gi ≤0→gi +s2i = 0
De acuerdo a la técnica de los
multiplicadores de Lagrange se construye la
función:

9. MÉTODO DE KUHN TUCKER
Los puntos que minimizan a f sujeta a
las restricciones gi ≤0(1≤i≤m) están
dentro de los puntos críticos de F:
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables xj(j= 1, . . .
, n):
• Que hacen cero las parciales con respecto a las variables λi(i= 1, . .
. , m):

10. Es una matriz de todos los derivados
parciales de primer orden de una función
vectorial o con valores escalares con
respectos a otro vector .
Esta matriz lleva su nombre gracias a Carl
Gustav Jacob Jacobi, fue un
matemático alemán, que hizo
contribuciones fundamentales a las
funciones elípticas, dinámica, ecuaciones
diferenciales, y la teoría de números.
Su nombre es a veces escrito como Carolus
Gustavus Iacobus Iacobi en sus libros latinos, y
su nombre se da a veces como Karl.
Jacobi fue el primer matemático judío para ser
nombrado profesor en una universidad
alemana.
MATRIZ JACOBIANA

11. (a)

12. EJEMPLO: Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1,1) de la función f
siguiente: