1) Una variable puede asignarse múltiples valores durante un proceso de análisis. Las variables se designan con letras del final del alfabeto y las constantes conservan el mismo valor. 2) Podemos limitar el rango de valores de una variable entre a y b. 3) Una variable dependiente toma valores determinados por una variable independiente, formando una función.

2. Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de
análisis, un número ilimitado de valores.
Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto Una cantidad que durante
el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante. Constantes numéricas o absolutas son
las que conservan los mismos valores en todos los problemas.
Constantes arbitrarias, o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y
que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las
primeras letras del alfabeto

3. :
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo, podemos restringir
nuestra variable de manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b.
También puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos sean excluidos.
Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los números a y b y todos los números
comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra cosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a
b'.
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta
el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de s u s magnitudes; o cuando
x disminuye desde x = b hasta x = a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios. Esta idea se ilustra
geométricamente mediante el diagrama de la · figura 3. Tomando el punto O como origen, marquemos sobre la recta
los puntos A y B correspondientes a los números el y b.
Además, hagamos corresponder el punto P a un valor particular de la variable x . Evidentemente, el intervalo [a , b]
estará representado por el segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [ a, b], el punto P
engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA SI x disminuye.

4. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un
valor a la segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda . Casi todos los problemas
científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos
encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras.
Así, por ejemplo, el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras
circunstancias, de su fuerza.
Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede recorrer depende del tiempo. O
también podemos decir que el área de un cuadrado es una función de la longitud de su lado, y que el volumen
de una esfera es una función de su diámetro .
La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del
problema particular, se llama la variable .independiente o el argumento. La primera variable, cuyo valor queda
fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente o la función.

5. Notación de funciones. El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de
distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc. Durante todo el curso de
un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de dependencia entre una función y su
variable. Por consiguiente, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma operación, o
conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. Así, por ejemplo,
si f(x) = X2 - 9 x + 14,
entonces, f ( y) = y2 - 9 Y + 14
f(b+1)= (b+1) 2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G
f( O) = 02 - 9· 0 + 14 = 14
f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24
f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 .
La división por cero, excluida. El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente, con
esta definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = O , Y recordando que cero tomado cualquier
número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces
x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas
a/O , O/O
carecen de sentido por no ser posible la división por cero.

6. Gráfica de una función.- continuidad. Consideremos la función x2 y hagamos
(1) Y = x2
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y para todos los valores de la
variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola.
Y se llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente desde x = a hasta x = b, entonces y variará continuamente
desde y = a2 hasta y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 )
hasta (b, b2 ). Además, a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que , 'In. función X2 es continua para
todos los valores de x".
Consideremos ahora la función 1/x Hagamos
(2) Y = 1/X

7. La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometría elemental, al
establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área de un polígono regular
inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después, que n crece infinitamente.
El área variable tiende así hacía un limite, y este límite se define como área del círculo . En este caso, la
variable v (área) aumenta indefinidamente, y la diferencia a - v (siendo a el área del círculo) va
disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier número positivo escogido de
antemano, sin importar lo pequeño que éste se haya elegido.
El concepto de límite se precisa mediante la siguiente
Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son
tales que el valor numérico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo
predeterminado tan pequeño como se quiera.
La relación así definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos serviremos de la notación v -7 l, que se leerá "v
tiende hacia el límite l" o, más brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notación v -:"l . )

8. En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el
siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v
recibe valores tales que v -7 l.
Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar,
particularmente, si z tiende también a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal
que límite z = a, entonces se expresa esta relación escribiendo límite de z=a, V-71 y se leerá:
"el límite de z. cuando v tiende a l, es a.
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las
demostraciones se darán en el Artículo 20 . Supongamos que u, v y w sean funciones de una
variable x y que
lím u = A, lím v = B, lím w = c.
Entonces son ciertas las siguientes relaciones.
(1) lím (u + v- w) = A + B - C.
(2) lím (uvw) = ABC.
(3) Lím u/v = A/B -, SI no es cero.

9. Funciones continuas y discontinuas. En el ejemplo 1 del Artículo 16 , donde se demostró que
lím (X2 + 4 x) 12
observamos que la solución es el valor de la función para x = 2 ; es decir, el valor límite de la función cuando x tiende a 2 es
igual al valor de la función para x = 2. En este caso decimas que la función es continua para x = 2. La definición general es la
siguiente: DEFINICIÓN. Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a a, es
igual al valor de la función para x = a. En símbolos, si
lím f(x) = f(a),
entonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta condición.
Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente.
CASO l. Como ejemplo sencillo de una función que es continua para un valor particular de la variable, consideremos la.
función
f(x) =
𝑥2−4
𝑥−2
CASO ll. La definición de función continua supone que la función está definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso,
a veces es posible asignar a la función tal valor para x = a que la condición de continuidad se satisfaga. En estos casos se
aplica el siguiente teorema: Teorema. Si f (x)
no está definida para
x = a, pero lím f(x) = B,
no está definida para x = 2 (puesto que entonces habría división por cero ) . Pero para todo otro valor de x
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= 𝑥 + 2

10. INFINITO:
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado
de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve infinita .
Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma valores negativos, se
hace infinita negativamente. La notación que se emplea para los tres casos es
lím v = ∞, Iím v = + ∞, lím v = - ∞
En general, si f (x) tiende al valor constante A como límite cuando x-,) 00 , empleamos la notación del Artículo 17
y escribimos
lím f(x) = A .
Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La constante e
no es cero.
Escrito en forma de límites Forma abreviada. frecuentemente usada
(1) lím
𝑐
𝑣
=∞
𝑐
0
=∞
(2) lím 𝑐𝑣=∞ ∞=∞
(3) lím
𝑣
𝑐
=∞
∞
𝑐
=∞
(4) lím
𝑐
𝑣
= 0
𝑐
∞
= 0

11. Si u y v son funciones de x, y
lím u = A, "'-7a lím v = O
y A no es igual a cero, entonces
lím
𝑢
𝑣
=∞
Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16 I cuando B = O Y A no es cero. Véase
también el Artículo 20.
Infinitésimos. Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo. Simbólicamente se escribe
lím v = O o v ---7 O ,
Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, menor que cualquier número
positivo asignado de antemano, por pequeño que sea. Si
lím v = l, entonces lím (v - l) = O
es decir, la diferencia entre una variable y su límite es un infinitésimo . Recíprocamente, si la diferencia
entre una variable y una constante es un infinitésimo, entonces la constante es el limite de la variable .

12. En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen funciones de la misma variable
independiente, y, además, que tienden a sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a
la constante E es un número positivo asignado de antemano, tan pequeño como se quiera, pero no cero.
En primer lugar demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos.
l. La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número finito, es otro infinitésimo. En efecto, el valor
numérico de la suma llegará a ser, y permanecerá, menor que E cuando el valor numérico de cada infinitésimo
llega
a ser, y permanece, menor que
𝐸
𝑛
II . El producto de una constante c por un infinitésimo es otro infinitésimo.
En efecto , el valor numérico del producto será menor que E cuando el valor numérico del infinitésimo sea menor
que
𝐸
𝑐
III . El producto de un número finito n de infinitésimos es otro infinitésimo.
En efecto, el valor numérico del producto llegará a ser, y permanecerá, menor que E cuando el valor numérico de
cada infinitésimo llega a ser, y permanece, menor qué la raíz n de E .
IV. Si lím de v = l Y l no es cero, entonces el cociente de un 1:nfinitésimo i dividido por v es también un
infinitésimo.

13. (1 ) u-A=i, v-B=j, w-C=k.
Entonces i, j, k son funciones de x, y cada una tiende a cero cuando x -7 a; es decir, son infinitésimos (Art. 19). De las
igualdades (1) obtenemos
(2) u + v - w - (A + B - C) = i + j - k .
El segundo miembro es un infinitésimo según el teorema l. Luego, según el Artículo 19,
(3 ) lím (u + v - w) = A + B – c
Según (1) tenemos u = A + i, v = B + j. Multiplicando y transponiendo AB resulta:
(4) uv - AB = Aj + Bi + ij.
Según los teoremas I a III que hemos demostrado, el segundo miembro es un infinitésimo . Luego,
(5 ) lím uv = AB.
La demostración se extiende fácilmente al producto uvw. En fin, podemos escribir,
u v A A+ i A Bi - Aj B = B + j - B = B (B + j)
𝒖
𝒗
−
𝑨
𝑩
=
𝐀+𝐢
𝐁+𝐣
−
𝐀
𝐁
=
𝐁𝐢−𝐀𝐣
𝐁(𝐁+𝐣)
El numerador es un infinitésimo según los teoremas I y II. Según (3) Y (4), lím B (B + j) = B2 Según el teorema IV, el
segundo miembro de (6) es un infinitésimo y, por lo tanto,
(7 ) lím =
𝒖
𝒗
=
𝑨
𝑩
Luego las proposiciones del Artículo 16 están demostradas.