Cap4 planimetría

Pontificia Universidad Católica de Chile.
Facultad de Ingeniería / Escuela de Construcción Civil.
Línea de Investigación: Tecnologías y Procedimientos Constructivos.
CAPITULO 4: PLANIMETRÍA
Topografía en los Proyectos de Construcción
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“CAPITULO 4: PLANIMETRÍA”
4.1.-Radiación. ................................................................................................................................................2
4.2.-Intersección. .............................................................................................................................................9
4.2.1.- Intersección directa. .........................................................................................................................9
4.2.2.- Intersección inversa o indirecta..................................................................................................... 13
4.3.-Poligonación.......................................................................................................................................... 17
4.3.1.- Poligonal Abierta. .......................................................................................................................... 19
4.3.2.-Poligonal Cerrada........................................................................................................................... 19
4.3.3.- Poligonal de Enlace....................................................................................................................... 20
4.4.- Triangulación........................................................................................................................................ 41
4.5.-Trilateración........................................................................................................................................... 50
4.6.-Cuantificación de superficies. ............................................................................................................... 52
4.7.-Ejercicios Propuestos............................................................................................................................ 57
4.7.1.-Radiación. ...................................................................................................................................... 57
4.7.2.-Inersección y Cuantificación de superficies. .................................................................................. 58
4.7.3.-Poligonación................................................................................................................................... 58
4.7.4.-Triangulación.................................................................................................................................. 60
4.7.5.-Cuantificación de superfícies. ........................................................................................................ 61
4.8.-Preguntas de contenidos. ..................................................................................................................... 62
4.8.1.- Responda si es Verdadera o Falsa, cada una de las siguientes aseveraciones. ........................ 62
4.8.2.- Preguntas de selección múltiple. .................................................................................................. 62

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Tal como se mencionó en el Capitulo 1, la planimetría es aquella parte de la topografía que estudia el
conjunto de métodos y procedimientos de medición necesarios para realizar la proyección de superficies y
accidentes del terreno sobre un plano horizontal de referencia, a una escala determinada, teniendo como
resultado las dimensiones en planta de lo medido en terreno y determinar (calcular) las coordenadas planas
de los puntos relevantes de éste terreno medido.
Es decir, la planimetría tiene como fin obtener una imagen reducida a escala y exacta del terreno estudiado,
representada en planta, para poder ser utilizada como antecedente de diversos proyectos de la construcción
e ingeniería, información catastral y deslindes, entre otras.
Las coordenadas pueden ser polares o rectangulares (explicado en Capitulo 1: Generalidades; punto 1.7),
dado que de una se puede deducir la otra fácil y rápidamente, indistintamente.
El conjunto de operaciones requeridas para los levantamientos planimétricos comprende mediciones,
procesamiento de datos y la confección de planos.
Esquema 4.1.1: “Operaciones de la planimetría”
Fuente: Elaborado por Camilo guerrero.
Los procedimientos topográficos requeridos para la realización de levantamientos planimétricos los podemos
clasificar, principalmente, en los siguientes 5 métodos:
4.1.-Radiación.
Es uno de los métodos más sencillos, consiste en posicionar en un punto estratégico del terreno (estación)
un Taquímetro, mediante el cual se puedan visualizar todos los puntos que requiera el proyecto y/o
características del terreno a medir. Son puntos significativos para el proyecto, vértices perimetrales del
predio, perímetro de construcciones existentes, postes, cámaras, instalaciones, árboles y vegetación
significativa, entre otros. De este modo se efectúa una nivelación trigonométrica desde una sola posición
instrumental.
Una característica de este procedimiento es que no tiene sistema de control, por lo tanto no puede
determinarse analíticamente un error angular y/o lineal en las mediciones ejecutadas. De todas formas se
debe implementar un sistema simple de control que permita asegurar que no se han cometidos errores
importantes en las mediciones.
Por ejemplo, como para iniciar las mediciones angulares horizontales a los puntos necesarios del terreno, es
necesario definir una dirección origen, a través de un punto de referencia planimétrico, (punto de
coordenadas conocidas, generalmente fuera del sector a medir; punto permanente destacado, dentro o fuera
del predio a medir, como un punto de una torre de alta tensión o la cruz de una iglesia; o la dirección del
norte magnético), se recomienda antes de levantar el instrumento (para guardarlo) desde la estación elegida,
volver a medir nuevamente el mismo punto de referencia (dirección origen) inicial. Al tratarse del mismo
punto, el valor angular horizontal en ambas situaciones debe ser el mismo, la diferencia producida entre
ambas mediciones, corresponderá al posible error angular producido durante la medición. Conocido este
valor, se podrá estimar si es aceptable o no es significativo para el proyecto en los cálculos que se llevarán a

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cabo con estos valores angulares, o si se debe repetir las mediciones por cuanto el error es apreciable y por
consiguiente existirá un gran riesgo por la incertidumbre de las mediciones.
Para las mediciones lineales, especialmente cuando se usa la estadimetría (la de menor precisión), una
manera de controlar estas mediciones es verificar que:
Como esta expresión se cumple cuando hay perpendicularidad entre la mira y el plano medio del retículo,
puede haber pequeñas variaciones por la des angulación producida en la mayoría de las mediciones en
estas situaciones.
Con las mediciones lineales y angulares se determinan la posición en planta de los puntos, en función de las
distancias y los ángulos horizontales (coordenadas polares), como también la cota de los puntos, en función
de las distancias y ángulos verticales, si se requiere (en este caso se convierte en un levantamiento
taquimétrico).
Imagen 4.1.1: “Método de radiación”
Fuente: http://www.cartesia.org/article.php?sid=223
Para poder realizar una radiación se debe cumplir con los siguientes requisitos principales:
a) Visualizar todos los puntos a medir desde la única estación o a través de mediciones directas
(triangulando) a puntos no visibles de la estación desde puntos que si se pueden medir de la estación.
b) El relieve del terreno no puede ser muy heterogéneo, para evitar que queden puntos sin medir por
visibilidad.
c) Cuando las distancias se medirán por el sistema estadimétrico (uso de miras), los puntos a medir no
pueden quedar a distancias importantes (menores a 80 o 100 m) de la estación. Por cuanto, a mayor
distancia menor es la posibilidad de leer al mm sobre la mira. Recordar que 1 mm de error en las
lecturas de mira (Ls y/o Li) representará 100 mm de error en el emplazamiento en planta de estos
puntos, o sea si consideramos un error de 1 cm en vertical éste representará un error horizontal de 1m
(100 cm).
Este procedimiento permite levantar predios de pequeña extensión de superficie (3 a 4 Há) y forma más o
menos regular, sin gran densidad de detalles planimétricos, limitado principalmente por la distancia máxima
de puntería del instrumento empleado, ya sea un taquímetro o taquímetro y distanciómetro o estación total, y
de la tolerancia o exigencia del proyecto.
Cuando se utiliza taquímetro electrónico y distanciómetro o estación total, las distancias a medir podrán ser
mayores (entre 300 y 700 m), dependiendo del alcance de éstos y por consiguiente la superficie del predio a
levantar por este procedimiento, podrá ser bastante superior, varias decenas de Há.

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Este método además de ser planimétrico puede ser también taquimétrico. Es el único procedimiento que
dispone la topografía para obtener la altimetría a través de las curvas de nivel, por medio de una radiación
típica radial o cuadriculada, ya analizada en la sección de curvas de nivel (Capitulo 3:Curvas de Nivel y
Perfiles, punto 3.1)
Generalmente, la radial para obtener los detalles planimétricos y la cuadriculada para obtener los puntos de
relleno, que son los altimétricos, o sea para trazar las curvas de nivel.
Imagen 4.1.2: “Radiación planimétrica (radial) y altimétrica (cuadriculada) de un predio”
Fuente: Elaborado por Camilo Guerrero.
Imagen 4.1.3: “Levantamiento taquimétrico de un predio (radiación planimétrica+ altimétrica)”

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Pro ejemplo, si se desea determinar as coordenadas de los vértices de un predio, se debe seguir el siguiente
procedimiento:
Se presenta la siguiente información:
Imagen 4.1.4: “Croquis en planta de la situación”
Estación Punto LLH [
g
] LLV [
g
] Ls [m] Li [m] Lm [m] k
Coordenada
Norte [m] Este [m]
E1 100
PR 0,00 0,00 2,345 1,897 2,121 100,000 100,000
A 199,99 0,00 1,978 1,684 1,831
B 103,02 0,00 2,105 1,732 1,9185
C 376,55 0,00 2,318 1,894 2,106
D 274,31 0,00 2,451 1,893 2,172
Lo primero que se debe realizar es determinar las distancias horizontales desde la estación y hacia cada uno
de los puntos que componen la radiación, lo cual se realiza de la siguiente manera:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

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Luego, en base a la coordenada del PR, se debe determinar las coordinadas de la estación, del siguiente
modo:
Imagen 4.1.5: “Coordenadas de Estación”
De esto se deduce que:
( )
( )
( )
( )
Por consiguiente, las coordenadas de los puntos A, B, C y D se determinaran de la siguiente manera:
Para poder tener un valor referencial, de la variación angular existente y de este modo determinar las
coordenadas de los vértices del predio, se trabaja utilizando como referencia la dirección del norte
magnético.
Coordenada de A:
Imagen 4.1.6: “Ubicación de A”
Luego:
( )
( )
( )
( )

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Coordenada de “B”:
Imagen 4.1.7: “Ubicación de B”
Donde:
( )
( )
( )
( )
Coordenada de “C”:
Imagen 4.1.8: “Ubicación de C”
Luego:
( )
( )
( )
( )

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Coordenada de “D”:
Imagen 4.1.9: “Ubicación de D”
Luego:
( )
( )
( )
( )
Por ejemplo, si se desea determinar la posición de las postaciones de una avenida en la comuna de
Santiago, para poder realizar un estudio para la remodelación de esta, se debe registrar la siguiente
información:
Estación Punto LLH [g] LLV [g] Ls [m] Li [m] Lm [m] k Dh [m]
Coordenada
Norte [m] Este [m]
E1 100 150,000 200,00
1 0,00 0,00 2,345 2,285 2,315 6,00
2 48,90 0,00 2,254 2,146 2,2 10,80
3 67,34 0,00 2,105 1,934 2,0195 17,10
4 70,22 0,00 2,318 2,084 2,201 23,40
Norte, en el sentido E1-1
Imagen 4.1.10: “Croquis de la medición”

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Del registro se puede apreciar que las distancias horizontales fueron determinadas mediante estadimetría
(uso de Ls, Li y k), además, como el norte el paralelo al segmento E1-1, lo ángulos “azimutales” requeridos
para el calculo de las coordenadas son equivalentes a las mediciones realizadas, por lo tanto:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Finalmente se obtiene el siguiente registro:
Estación Punto LLH [g] LLV [g] Ls [m] Li [m] Lm [m] k Dh [m]
Coordenada
Norte [m] Este [m]
E1 100 150,000 200,00
1 0,00 0,00 2,345 2,285 2,315 6,00 156,000 200,000
2 48,90 0,00 2,254 2,146 2,2 10,80 157,763 207,504
3 67,34 0,00 2,105 1,934 2,0195 17,10 158,393 214,899
4 70,22 0,00 2,318 2,084 2,201 23,40 160,551 220,886
Norte, en el sentido E1-1
4.2.-Intersección.
4.2.1.- Intersección directa.
Corresponde a un sistema cuyo propósito es determinar la posición de puntos (Px), mediante la medición de
los ángulos horizontales (α, β) y la distancia horizontal entre los puntos A y B (base), que corresponden a su
vez a estaciones, vértices A y B desde done se efectúan las mediciones. Este método es utilizado tanto para
levantamiento como para replanteo de puntos.
Generalmente, este método se utiliza cuando los puntos a determinar sus coordenadas son de difícil acceso
o inaccesibles. Por ejemplo, en la batimetría donde los puntos están debajo del agua, por lo que se debe
efectuar mediciones a una embarcación y determinar previamente la altura de columna de agua, para
determinar la cota de terreno. O cuando se requiera determinar la posición de un faro desde la costa o la
posición de un punto ubicado en una orilla de un accidente geográfico o topográfico (quebrada o río) desde
la otra ribera, entre otras situaciones.
Otra característica de este procedimiento es que no dispone de método de control, al igual que la radiación,
por lo tanto es limitado y sólo recomendable de utilizar en las situaciones ya descritas. Como no se mide en
terreno los 3 ángulos, el ángulo en V se determina indirectamente, en base a la condición geométrica del
triángulo, sus 3 ángulos suman 200g, por lo tanto no se puede cuantificar un error angular.
Para disponer un control, es recomendable determinar las coordenadas del punto en base al vértice A y
también en base al vértice B. Si las mediciones fueran perfectas, situación imposible, ambas coordenadas
debieran ser iguales, como existirá diferencia, se cuantifica ésta y si es aceptable se promedia o si no es
aceptable, se debe repetir las mediciones.

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Imagen 4.2.1: “Metodología de Intersección”
Fuente: http://es.scribd.com/doc/60481060/89/TEMA-4-INTERSECCION-DIRECTA
El procedimiento a seguir para determinar la posición de puntos mediante la intersección directa, es el
siguiente:
a) Se debe elegir 2 estaciones instrumentales (vértices) “A” y “B”, idealmente de coordenadas conocidas.
Si no es posible, se recomienda efectuar mediciones complementarias para darle coordenadas al
menos a una de estos vértices (estaciones).
b) Luego se procede a determinar la distancia horizontal existente entre las estaciones, ya sea en forma
directa, a través de una medición con cinta o indirectamente, a través de las coordenadas de estos
vértices.
c) Se mide desde la estación “A” los LLV y LLH del punto “Px” y luego se realiza lo mismo desde la
estación “B”.
d) Se mide directamente las alturas instrumentales iA e iB.
e) Se determina la distancia horizontal entre el punto “Px” y cada estación (“A” y “B”) utilizando el teorema
del seno, para luego poder determinar la ubicación en planta del punto “Px” (coordenadas).
f) La coordenada del punto “Px” corresponderá al promedio entre las coordenadas de “Px” determinadas
desde la estación “A” y las coordenadas de “Px” determinadas desde la estación “B”.
g) Para finalizar se determina la cota de “Px” mediante una nivelación trigonométrica.
Por ejemplo, en el contexto de la ejecución de un puente sobre el Zanjón de la Aguada se necesita determinar la
coordenada del punto C correspondiente al centro geométrico del estribo norte. Debido a la dificultad de esta
determinación se utilizó como referencia dos postes de alumbrado público ubicados en la ladera opuesta y que
tienen coordenadas conocidas, en estos puntos se ubicaron las Estaciones A y B y se llevó a cabo una
intersección directa. La información que se posee es la siguiente:
Estación A (sentido
horario)
Estación B (sentido
anti-horario)
Distancias parciales
Coordenadas de estaciones
[m]
Punto LLH [
g
] Punto LLH [
g
] Tramo
Distancia
[m]
Estación Norte Este
C 0,00 A 0,00 AC 75,200 A 100,000 100,000
Norte 291,15 C 46,38 AB 109,520 B 148,236 198,323
B 362,11

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Imagen 4.2.2: “Croquis en planta de la situación”
Para comenzar se determinan los ángulos interiores de la figura formada:
Como se posee las distancias “AC” y “AB”, es requerido determinar la distancia “BC”, la cual se obtiene
mediante el teorema del seno, de la siguiente manera:
( ) ( )
( )
( )
Luego, se procede determinar la variación angular existente respecto del norte (ángulo azimutal) para cada
uno de los vértices del proyecto, de la siguiente manera:
No es requerido determinar el azimutal CA, ya que no se requiere para el calculo de la coordenada del punto
C, en cambio se requiere el azimutal AC, el cual si se ha determinado. Para continuar se determinan las
coordenadas parciales de C respecto de A y luego respecto de B.
C. parciales respecto de A:
( )
( )
C. Parciales respecto de B:
( )
( )
Luego las coordenadas de C corresponden a:
Respecto de A:
Respecto de B:

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Finalmente las coordenadas de C corresponden al promedio aritmético de los valores obtenidos respecto de
A y respecto de B.
Otro ejemplo podría ser, si la empresa en la cual usted se desempeña como profesional, evalúa la
posibilidad de agregar al sistema una nueva torre con aspas (las cuales proporcionan energía eólica que
luego se transforma en electricidad) ubicada en un punto T, pero no se conocen las coordenadas de ésta.
Por lo tanto se realiza un estudio topográfico en el lugar para poder determinar dichas coordenadas,
obteniéndose los siguientes resultados:
Imagen 4.2.3: “Ubicación Torre (T)”
Para comenzar se debe determinar el valor del ángulo interior en T( ) y la distancia horizontal entre R y S
para así poder determinar las distancias hacia T desde los puntos R y S.
√( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Luego se requiere determinar el valor del azimutal de R a S, para luego poder determinar los ángulos
direccionales (azimutales) de R a T y de S a T.
( ) ( )
Finalmente las coordenadas de T corresponden a:
Respecto de R:
( )
( )
Punto Coordenada Norte [m] Coordenada Este [m]
R 402,68 272,50
S 651,16 515,89
T - -

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Respecto de S:
( )
( )
.
4.2.2.- Intersección inversa o indirecta.
Consiste en la determinación de las coordenadas de puntos, mediante observaciones angulares desde estos
y dirigidas a una serie de otros puntos, los cuales poseen coordenadas conocidas, siendo necesario tener
posibilidad de medición hacia al menos 3 puntos con coordenadas conocidas.
Con este método se pretende determinar la coordenada de un punto “P”, en base a las coordenadas de a lo
menos 3 puntos de coordenada conocida (A, B y C), ya sea por métodos gráficos o analíticos. Una
desventaja del uso de este método es la complejidad que se tiene para poder determinar las coordenadas
del punto “P”, producto de la falta de información respecto de la posición del punto “P”.
Una manera de obtener la coordenada de un punto “P” mediante intersección inversa, es aplicando el
método de Pothenot, el cual se basa en lo siguiente:
1- De manera grafica se aprecia lo siguiente:
Imagen 4.2.4: “Intersección inversa: método gráfico”
Fuente: Presentación “Topografía: Intersección Inversa” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
Como en terreno solo se mide los ángulos “α” y “β”; debido a que se conoce de antemano la posición de los
puntos A, B y C , además se puede obtener las distancias “AB”= a y “BC”= b y el ángulo B1, con lo cual se
hace posible determinar los valores angulares “βA” y “βC”.
2- Luego de manera numérica:
Si se aplica el teorema del seno se obtiene:
)
( ) ( )
( )
( )
)
( ) ( )
( )
( )

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Si igualamos 1 y 2:
( )
( )
( )
( )
)
( )
( )
( )
( )
El primer miembro, siempre positivo y de valores conocidos, puede igualarse a la tangente de un ángulo
auxiliar “ ”, el cual es menor a 100
g
y se puede conocer mediante la siguiente expresión:
) ( )
( )
( )
Remplazando 4 en 3:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
) ( ) ( ) ( )
Por otro lado se tiene que:
( )
Si se sustituye en la expresión anterior, se puede deducir:
Obteniéndose en definitiva que:

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Una ves determinados los valores de los ángulos y , se deducen las coordenadas del punto “P”
utilizando el teorema del seno y las expresiones 1 y 2, debiendo coincidir exactamente los valores que se
obtengan permitiendo comprobar que el calculo ha sido correcto.
Como en terreno solo se efectúan las mediciones estrictamente necesarias para utilizar este método, no
existe medio de control. Es por esto, que generalmente se realiza una medición adicional, que permita dicha
comprobación, observándose un cuarto vértice o dirigiendo una visual directa al punto “P” desde uno de los
puntos conocidos, donde esto ultimo constituye un caso de intersección mixta (directa e inversa).
Otro medio de solución a los casos de intersección inversa el la solución de Hansen. La principal aplicación
del método de Hansen, consiste en trasladar una base AB, de longitud y acimut conocidos, a otra P1P2, que
sirva de apoyo a nuestro trabajo, por intersección inversa, o sea sin hacer más estaciones que las de P1 y
P2 donde mediremos los ángulos 1; 1 y 2; 2 respectivamente.
Imagen 4.2.5: “Solución de Hansen”
Fuente: Presentación “Topografía: Intersección Inversa” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
Si se trabaja con el triangulo A-P1-P2, haciendo que DhP1-P2=1, se tiene que:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )

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De igual modo se realiza el análisis del triangulo B-P1-P2, por lo que se tiene:
( )
( )
( )
( )
Luego se puede apreciar que se acaba de calcular 2 lados de cada uno de los triángulos P1-A-B y P2-A-B y
si se conoce el ángulo comprendido entre aquellos lados que se ha determinados, entonces se puede
determinar los ángulos que se requiere mediante las formulas:
En A-B-P1:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Luego se resuelve de manera análoga para A-B-P2:
( ) ( )
En los segundos miembros se debe verificar:
( )
( )
Sustituyendo dichos valores en las expresiones anteriores, deducimos:
Definitivamente:
Como los ángulos son iguales en el terreno y en la figura semejante determinada anteriormente, se podrá
determinar las coordenadas del punto P1 tomando como base el segmento “AB”, cuya longitud y acimut se
suponen conocidos.

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4.3.-Poligonación.
Consiste en ubicar de manera estratégica una serie de puntos, que corresponderán a los vértices de un
polígono, en el terreno de estudio o fuera de él. Entre dichos puntos se efectuarán mediciones angulares (β)
y lineales (Dh), de modo de formar un polígono cerrado que sirva como esqueleto para el levantamiento. Es
cerrado para cuantificar errores angulares y lineales y de esta forma poder aceptar o rechazar las
mediciones en función de las exigencias del proyecto y/o de las características del terreno. En base a estos
ángulos (β) y distancias (Dh), se determinarán las coordenadas de los vértices de poligonal.
Una vez determinadas las coordenadas de los vértices del polígono, estos se pueden utilizar como puntos
de referencia, para posteriores mediciones a modo de obtener mayor detalle del terreno en estudio como
por ejemplo estaciones de futuras radiaciones o para realizar el replanteo de aquella parte del proyecto que
se encuentra en el entorno de cada uno de estos vértices.
Imagen 4.3.1: “Poligonación para radiación”
Fuente: Presentación “Topografía: Planimetría” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
Imagen 4.3.2: “Poligonación para un replanteo”

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En la imagen 4.3.2, se puede apreciar el uso de una poligonal para el replanteo del eje de un camino,
replanteando desde los vértices B y C los puntos 13, 14 y 15 y además, utilizando como medio de control un
replanteo desde el vértice G.
Para realizar el levantamiento, generalmente, se utilizan teodolitos y distanciómetros, pudiendo abarcar
superficies de mediana extensión (20-120 Há).
Los vértices adyacentes del polígono deben ser totalmente visibles entre ellos, para ejecutar las mediciones
angulares y lineales, y de esta manera descartar la probalidad de error por no poder observarlos
correctamente a la distancia. Desde el instrumento (retículo) debe verse exactamente el punto (cabeza del
clavo o fierro de la estaca o monolito) que materializa el vértice, para medir los ángulos y disponer total
visibilidad entre ellos para la medición lineal. Por tanto, el desnivel entre vértices también es necesario de
controlar, recomendándose un rango de valores angulares entre 5 [
g
] y 25 [
g
] de desnivel.
En general el polígono propiamente tal no constituye un sistema de levantamiento, sino un sistema de apoyo
a éste. Se recomienda trabajar con polígonos de máximo 25 a 15 vértices para no perder precisión. En
función de ésta, también es importante las distancias mínimas entre vértices, los rangos varían entre los 150
m y 600 m dependiendo de la poligonación requerida, ya sea de 3º (poligonales corrientes), 2º o 1º orden
(mayor precisión), en forma ascendente en cuanto a la precisión, respectivamente. O sea, a mayor precisión
mayor debe ser las distancias entre vértices (1º orden 600 m) y a menor requerimiento menor distancia (3º
orden 150 m).
En la situación que la magnitud del terreno obligue una mayor cantidad de vértices, a los recomendados, se
van agregando polígonos en el sentido longitudinal y/o transversal dependiendo de la forma de éste. Esto da
origen a la cadena o sucesión de poligonales y a la malla o red de poligonales, respectivamente.
Por lo anterior las poligonales se pueden clasificar según el número de “circuitos” que la componen,
pudiendo ser poligonales simples, cadena o sucesión de poligonales y red o malla de poligonales.
Las poligonales simples corresponden a aquellas en las que por las características del terreno: magnitud,
relieve y accidentes presentes en él y de las exigencias del proyecto, conformar un polígono que una todos
los puntos (vértices) que requiera el proyecto de manera correcta.
La cadena de poligonales corresponde a dos o más poligonales simple (eslabones) las cuales se unen o
enlazan, de ahí su nombre de cadena, en uno de sus tramos. El tramo de unión o enlace permite entregar
las coordenadas para determinar las coordenadas del siguiente eslabón y así sucesivamente, como en la
nivelación geométrica compuesta. También se puede ver como una gran poligonal simple, pero con un
número de vértices inferior al máximo recomendado, en la cual la el terreno permite unir dos o más puntos
no sucesivos, generando 2 poligonales simple de menor extensión y con un tramo coincidente o común.
La malla de poligonales corresponde a una serie de poligonales simple en sentido longitudinal y transversal
las cuales se enlazan en más de un tramo en ambos sentidos, formando de cierta manera, un reticulado de
poligonales simples.

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Imagen 4.3.3: “Poligonal Simple (1), Cadena de poligonales (2) y Malla de poligonales (3)”
Fuente: Punto 2.310.101.A, Manual de Carreteras de Chile: Volumen N°2, año 2012, editado por Camilo Guerrero.
Existen 3 tipos de poligonales, las poligonales abiertas, cerradas y de enlace.
4.3.1.- Poligonal Abierta.
Corresponden gráficamente a una línea quebrada de “n” lados en la cual sus extremos no son coincidentes y
se conoce, generalmente, solo la coordenada de un vértice. Este tipo no se justifica porque no tiene sistema
de control, por lo tanto de escaso uso en los proyectos de construcción
Imagen 4.3.4: “Poligonal Abierta”
4.3.2.-Poligonal Cerrada.
Aquella poligonal cuyo extremo inicial y final son coincidentes o sea retorna al mismo punto de partida,
formando un polígono cerrado de “n” lados o se parte de un vértice y se llega a otro vértice distinto pero
ambos de coordenadas conocidas, como la nivelación geométrica cerrada que parte y llega a distintos
puntos pero ambos de cota conocida. Por lo tanto se puede clasificar en:
- Poligonal Cerrada sobre sí misma
- Poligonal Cerrada sobre otro sistema de transporte de coordenadas
Puede referenciarse de manera independiente al sistema oficial de coordenadas (referencia propia o relativa
del proyecto) o al sistema oficial UTM (absoluta).

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Este tipo es la más utilizada, en la mayoría de las situaciones, por cuanto tiene sistemas de control que
verifica su correcta ejecución al determinar el error angular y lineal cometido en las mediciones.
Imagen 4.3.5: “Poligonal cerrada”
Fuente: Elaborado por Camilo guerrero
4.3.3.- Poligonal de Enlace.
La poligonal de enlace corresponde principalmente a una poligonal abierta, con la característica especial que
se conocen las coordenadas del punto de partida y de llegada, facilitando la comprobación de las
mediciones y cálculos realizados.
Normalmente los puntos o los vértices de coordenadas conocidas a los que se enlaza la poligonal
corresponden a estaciones de otros levantamientos previos de mayor amplitud como por ejemplo vértices de
triangulaciones o de poligonaciones diferentes.
Este tipo de poligonales generalmente se utiliza para generar puntos de relleno de coordenadas conocidas
(PRs), en zonas donde el polígono principal (perimetral) no ha generado vértices y que el proyecto requiere
Generalmente son constituyentes de trabajos controlados en los cuales sus coordenadas pueden quedar
ligadas al sistema oficial de coordenadas utilizado.
Imagen 4.3.5: “Poligonal de enlace”
Fuente: Presentación “Topografía: Poligonación” del Profesor José Francisco Benavides Núñez
En la imagen anterior se puede apreciar que la poligonal M1-M5 es una poligonal de enlace, la cual une los
puntos V-ii y V-vii.
Para realizar una poligonación se recomienda seguir los siguientes pasos y/u operatoria:
a) Materializar los vértices del polígono, a través de estacas o monolitos de manera que sean
permanentes a lo menos durante la etapa de antecedentes, diseño y ejecución del proyecto o como
mínimo aceptable durante el desarrollo del levantamiento.

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Imagen 4.3.6: “Estaca y monolitos”
Para los 3 tipo de señal, se debe fijar la visual al punto base donde intersecta el “Clavo” o Gancho” con
el hormigón o madera según corresponda, en el caso del monolito con placa, se debe solicitar al alarife
que ubique manualmente un clavo de punta sobre el centro de la placa para poder obtener la visual
necesaria.
b) Medir los ángulos horizontales (teodolito), generalmente interiores del polígono, que existen entre los
vértices adyacentes. Esta medición se recomienda que sea a través de un procedimiento que garantice
una baja probalidad de error, ya sea por el método de repetición o de reiteración. El número de
mediciones dependerá de la precisión exigida, normalmente 3, 5 o 10 mediciones, tanto en I y II
posición.
Estos pueden cuantificarse de los siguientes 3 modos diferentes:
 Medición simple (con transito): corresponde realizar la medición del ángulo con el instrumento en
primera posición, luego se realiza la misma medición en segunda posición y se resta 200
g
a la
medición, para luego promediar los 2 valores obtenidos y establecer el valor del ángulo medido:
( )
Donde
β= ángulo entre los segmentos X e Y.
βI = ángulo medido en primera posición.
βII = ángulo medido en segunda posición, pero corregido a primera.
Teóricamente la medición en primera posición, siempre que se mida correctamente y el instrumento
no posea algún tipo de “desperfecto”, debería ser igual a la medición en segunda posición menos
200
g
, para estos casos:
Este modo se recomienda implementarlo sólo cuando las exigencias del proyecto son las normales
por lo que su precisión es baja.

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Imagen 4.3.7: “Medición angular simple”
Fuente: Elaborado por Camilo Guerrero
 Medición compuesta por repetición: corresponde a medir sucesivas veces, a partir un único origen,
la variación angular existente entre vértices adyacentes, a un vértice de la poligonal, generalmente
un número de veces, en función de las exigencias del proyecto, por ejemplo 3, 5 o 10 veces, tanto
en primera como en segunda posición, para luego promediarlos.
El método específicamente consiste en fijar un origen, por ejemplo 0g en I posición o 200g en II
posición, en la señal de la izquierda. Luego girar el instrumento a la señal de la derecha, trabar el
limbo horizontal con el dispositivo trabador para llevar este mismo valor angular a la señal de la
derecha, estando el instrumento en esta dirección destrabarlo y llevar el anteojo a la señal de la
derecha, trabándolo nuevamente. Repetir el procedimiento las veces requeridas o especificadas en
el levantamiento.
En consecuencia el valor del ángulo será:
( )
( )
( )
( )
( )
La mayor precisión de este modo se logra evitando, en los instrumentos ópticos, el efectuar
mediciones en el limbo horizontal en cada repetición, por lo que aumenta la probalidad de error tanto
en la lectura como en el registro del valor del ángulo medido. Sólo se ejecuta una sóla medición al
final de cada serie (I y II posición)
Este método es recomendable cuando el proyecto requiera mayores exigencias, por lo que la
precisión es más alta y que el instrumento disponga de un adecuado trabador de limbo horizontal.
Imagen 4.3.8: “Medición por repetición”
Fuente: Presentación “Topografía: Planimetría” del Profesor José Francisco Benavides Núñez
 Medición compuesta por reiteración: es semejante al método por repetición, con la diferencia que
cada medición tiene un origen distinto en función del nº de veces a medir. Esta variación angular
corresponderá a dividir 200g (mitad del limbo) por el nº de veces necesarias a medir. En el caso que
se trabaje con “n” igual a 4 veces se tiene que el origen para I posición son 0g, 50g, 100g y 150g y

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para II posición, la otra mitad del limbo, se tiene los siguientes orígenes 200g, 250g ,300g y 350g
respectivamente.
En consecuencia el valor del ángulo será:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Imagen 4.3.9: “Medición por reiteración, con n=4”
( )
La mayor precisión de este modo se logra distribuyendo en todo el perímetro del limbo distintos
orígenes en la medición, en función del nº de veces a medir, evitando que un error puntual en la
graduación del limbo, no afecte la medición, por cuanto hay muchos orígenes distintos, no como es
en el caso de la repetición que tiene un origen común.
Este método es recomendable cuando el proyecto requiera mayores exigencias, por lo que la
precisión es más alta y que el instrumento a utilizar sea digital por cuanto el operador no aprecia las
lecturas solo las registras o las almacenas.
c) Determinar el error angular del polígono, para verificar si son aceptable en función de las exigencias del
proyecto y compensar angularmente o realizar de nuevo éstas, si corresponde.
Es posible que, una vez realizada la medición angular, los ángulos de poligonal no cumplan con la
condición geométrica, o sea la sumatoria de ángulos interiores ( ) o exteriores ( ) medidos debe
cumplir con un cierto valor en función del número de ángulos que componen el polígono, lo cual se
verifica de la siguiente manera:
∑ ( )
∑
( )

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El M.O.P. por medio del manual de carreteras, establece las siguientes tolerancias angulares trabajando
con valores angulares al segundo y según el nivel de precisión requerido:
Poligonal Tolerancia
angular [
cc
]
Tolerancia
angular [
g
]
Primaria √ √
Secundaria √ √
Terciaria √ √
Con “ ” equivalente al numero de
lado de la poligonal
Imagen 4.310: “Ángulos interiores y exteriores de una Poligonal”
Normalmente la compensación a realizar a cada ángulo es igual para todos, puesto que todos ellos
tienen la misma probabilidad de error, han sido medidos con el mismo instrumento, procedimiento y
operador y en condiciones atmosféricas similares, por lo tanto no se presentan condiciones diferentes
para atribuirle correcciones distintas. Generalmente el error angular se compensa, en partes iguales a
cada ángulo, en función de los siguientes dos criterios:
i. En función del N° de ángulos: todos los ángulos de poligonal tienen la misma compensación.
Para determinar la compensación a cada ángulo se divide el error con signo contrario por el
número de ángulos que conforman el polígono.
( )
Es importante tener presente la sensibilidad o graduación mínima que puede medir o precisión, del
instrumento utilizado, puesto que la compensación no puede tener un valor menor a ésta.
En la eventualidad que por esta exigencia no pueda compensarse todos los ángulos, en partes
iguales, porque la compensación no es divisible por la sensibilidad, se corrige el valor de la parte
entera de la compensación calculada a cada ángulo y la parte fraccionada se compensa al o los
ángulos mayores, de manera que siempre la compensación debe ser igual al error pero de signo
contrario. Por ejemplo, en el siguiente caso:

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Imagen 4.3.11: “Poligonal ABCD”
Primero Determinamos el error angular:
( ) ( )
√ √
Como el error es menor que la tolerancia, se procede a compensar
( )
( )
( )
( )
( )
ii. En función de la magnitud de los ángulos: cada ángulo tiene una compensación diferente, en
función de su magnitud, o sea a mayor ángulo mayor compensación.
Para determinar la compensación se debe calcular previamente un error unitario que corresponde
al error obtenido dividido por la sumatoria de los ángulos medidos. Luego la compensación de cada
ángulo será este error unitario con signo contrario multiplicado por el valor del ángulo que se está
compensando, o sea:
Error unitario ∑
( )
Es importante que la compensación ejecutada a cada ángulo deba ser múltiplo de la sensibilidad
del instrumento utilizado en las mediciones angulares. Nunca una compensación debe ser de un
valor menor o contener una fracción de la sensibilidad del instrumento usado en las mediciones.

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Para el mismo caso ejemplificado en la imagen 4.3.11:
Primero Determinamos el error angular:
( ) ( )
√ √
Como el error es menor que la tolerancia, se procede a compensar
( )
( )
( )
( )
( )
Por lo tanto se decide suprimir la compensación del ángulo de menor valor quedando:
d) Medir desde vértices, uno o más ángulos acimutales de uno o más lados del polígono, según
corresponda y determinar analíticamente el resto de los ángulos acimutales una vez compensado
angularmente el polígono ( i.).
Imagen 4.3.12: “Ángulo direccional”
El ángulo direccional “AB”, corresponde al ángulo medido en A, desde el Norte hacia la dirección de B.
Respecto de este ángulo direccional se calculan todos los restantes ángulos direccionales. Los cálculos
se pueden realizar recorriendo el polígono de dos formas:
i.- En sentido de los punteros del reloj (sentido horario).
II.-En contra de los punteros del reloj (sentido anti-horario).

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i.- En sentido contrario a los punteros del reloj.
Imagen 4.3.13: “Recorrido en contra de los punteros del reloj”
En este caso los cálculos a realizar son los siguientes:
De no cumplirse lo estipulado en el ultimo ángulo direccional se debe recalcular todos los ángulos
direcciones
ii.- A favor de los punteros del reloj:
Imagen 4.3.14: “Recorrido a favor de los punteros del reloj”
En este caso los cálculos a realizar son los siguientes:

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De no cumplirse lo estipulado en el último ángulo direccional se debe recalcular todos los ángulos
direcciones.
Si tomamos el caso de la imagen 4.3.11 con sus ángulos ya compensados y además consideramos un
=97,54
g
.
Imagen 4.3.15:”determinción acimutales Poligonal ABCD”
Si se determinan los ángulos direccionales en el sentido contrario a los punteros del reloj:
Ahora, si se determinan los ángulos direccionales en sentido horario:
e) Medir las distancias horizontales (normalmente distanciómetro) que existen entre los vértices
adyacentes del polígono en forma recíproca, o sea en un vértice el instrumento y en el otro el prisma y
luego viceversa. El número de mediciones dependerá de la precisión exigida, normalmente 3, 5 o 10
mediciones, tanto para la ida como para la vuelta. Este número de mediciones debe ser equivalente al
número de mediciones de los ángulos horizontales puesto que la precisión del polígono estará en
función de los ángulos y distancias simultáneamente.

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Imagen 4.3.16: “Medición de distancias, utilizando distanciómetro”
Este proceso se puede realizar mediante 3 métodos diferentes:
 Medición estadimétrica (indirecta): se utiliza en aquellos casos en que el proyecto requiera un nivel
de precisión corriente o bajo y/o las características del terreno imposibilitan el uso de cinta.
Obviamente para realizar este tipo de medición se requiere de un taquímetro o teodolito con
retículo estadimétrico y el uso de una mira.
Para obtener la distancia se requiere contar con los siguientes datos:
- Ls= lectura superior medida en la mira.
- Li= lectura inferior medida en la mira.
- K= constante estadimétrica del instrumento, generalmente corresponde a 100.
- α = lectura en el limbo vertical (LLV) de un instrumento de origen horizontal.
- z = lectura en el limbo vertical (LLV) de un instrumento de origen cenital.
Luego la distancia horizontal viene dada por la siguiente fórmula:
( ) ( )
( ) ( )
 Medición directa con cinta, donde la distancia horizontal se obtiene luego de realizar todas las
correcciones correspondientes a la longitud medida. Esto se explicó en el Capitulo 1 tema 1.3.
Medición Topográfica.
 Medición electrónica (indirecta): corresponde a aquella medición realizada utilizando
distanciómetro electrónicos de señal invisible o visible al ojo humano como los laser (explicado en
el Capitulo 1 tema 1.3. Medición Topográfica).
 Hoy en día también se está utilizando el GPS, como instrumento para la medición de distancias, a
partir de las coordenadas UTM de los vértices que entrega este instrumento.
El procedimiento de medición comprende determinar la distancia existente entre vértices, por ejemplo
del punto “A” al punto “B”, la misma cantidad de veces que se realiza la medición de los ángulos βi.
Luego se mide la distancia desde “B” hacia “A” también la misma cantidad de veces que se realiza la

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medición angular de βi. Finalmente se calcula el promedio de las distancias de A a B y luego de B a A
de la siguiente manera que:
( )
( ̅ ̅ )
Donde:
̅ Promedio de distancias medidas de A hacia B.
̅ Promedio de distancias medidas de B hacia A.
( ) Distancia Horizontal de A a B
f) Determinar las coordenadas parciales “∆Eij”. y “∆Nij” de cada vértice, o sea la coordenada de un vértice
respecto del vértice anterior.
Se denomina coordenadas parciales a los ∆ij de cada punto de la poligonal, donde ∆ij corresponde a la
coordenada del punto “j” en función del punto “i”. Cada coordenada parcial se encuentra compuesta por
una parcial en el sentido del Norte “∆Nij” y otra en el sentido del Este “∆Eij”.
Imagen 4.3.17: “Coordenadas parciales de una poligonal”
Las coordenadas parciales vienen dadas por la siguiente expresión:
( )
( )
El signo de cada delta dependerá del valor angular del ángulo direccional correspondiente, por ejemplo:
Imagen 4.3.18: “Coordenada parcial AB”
( )
( )
En este caso ambos valores son positivos.

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Luego si determinamos las coordenadas parciales del punto C respecto de B, se tiene:
Imagen 4.3.19: “Coordenada parcial BC”
( )
( )
Para este segundo caso, el valor de ∆EBC es negativo y el valor de ∆NBC es positivo.
A continuación se presenta un cuadro con un recordatorio de los signos de las funciones
trigonométricas en función de la magnitud de los ángulos direccionales:
Esquema 4.3.20: “recordatorio de signos”
g) Determinar el error lineal del polígono, para verificar si son aceptable las mediciones de los lados en
función de las exigencias del proyecto, y compensar linealmente o realizar de nuevo estas, si
corresponde.

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Al igual que en los valores angulares, para las coordenadas parciales se tiene que cumplir una
condición geométrica, que nos permitirá aceptar o rechazar las mediciones lineales efectuadas, a través
de la tolerancia exigida, que a su vez estará en función de las exigencias del proyecto.
Para el caso de un Polígono Cerrado sobre sí mismo se debe cumplir que:
∑ ∑ ( )
∑ ∑ ( )
√( )
Para el caso de un Polígono Cerrado que no llega al mismo punto o de Enlace, se debe cumplir que:
Imagen 4.3.21: “Condición geométrica polígono de enlace o que no llega la mismo punto”
∑ ( )
∑ ( ) ( )
∑ ( )
∑ ( ) ( )
El M.O.P. por medio del manual de carreteras, recomienda las siguientes tolerancias lineales el nivel de
precisión requerido:
Poligonal Tolerancia Lineal
Primaria
Secundaria
Terciaria
Compensación lineal: se puede realizar en función de dos criterios distintos, una es en función de los lados
del polígono, por lo cual la compensación depende de la longitud de cada lado de la poligonal, y la otra en
función de los delta, en este caso la compensación es proporcional al valor del delta correspondiente a cada
punto.

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i.- En función de los lados:
∑
∑
ii.- En función de los delta:
∑
∑
En ambos casos una vez compensado se debe cumplir que la sumatoria de los delta Este y
la sumatoria de los delta Norte deben ser igual a cero.
h) Determinar las coordenadas de los vértices del polígono en función de la referencia planimétrica del
levantamiento.
Calculo de las coordenadas de los vértices: Las coordenadas de cada vértice de la poligonal deben ser
calculadas en base a la coordenada conocida de uno de estos y las coordenadas parciales
determinadas anteriormente. Si en el ejemplo se conoce la coordenada del punto “A” se tiene lo
siguiente:
VERTICE COORD E COORD N
A EA NA
B EA+ E’AB NA+ N’AB
C EA+ E’AB+ E’BC NA+ N’AB + N’BC
D EA+ E’AB+ E’BC+ E’CD NA+ N’AB + N’BC + N’CD
A EA+ E’AB+ E’BC+ E’CD+ E’DA NA+ N’AB + N’BC + N’CD + N’DA
En cualquier caso, siempre se debe cumplir que la coordenada teórica de “A” (coordenada conocida de
partida) sea coincidente con la coordenada calculada de “A” (coordenada de llegada).
i) Determinar las cotas de los vértices del polígono, ya sea mediante una nivelación geométrica o
trigonométrica, en función de las exigencias del proyecto.

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Imagen 4.3.22: “Esquema de medición: Nivelación trigonométrica”
Fuente: Presentación “Topografía: Nivelación Trigonométrica” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
Imagen 4.3.23: “Obtención de desniveles y traslado de cotas: Nivelación geométrica”
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_topogr%C3%A1fico.
j) Efectuar desde cada vértice una radiación hacia los puntos singulares planimétricos y altimétricos de su
entorno, si se trata de un levantamiento taquimétrico.
Imagen 4.3.24: “Levantamiento taquimétrico de un predio (radiación planimétrica+ altimétrica)”

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k) Efectuar mediciones directas con cinta o huincha, para ubicar puntos que no han sido medidos por
visibilidad o como método de control.
Imagen 4.3.25: “Mediciones directas”
En la imagen anterior los segmentos de la “a” a la “h” corresponden a mediciones realizadas
directamente en el terreno. Además, si se considera el norte paralelo al tramo “h”, se pueden verificar
las coordenadas del punto “P1” en base a las del punto “P5” , sumando a este el valor “h” en la
coordenada Norte y restando el valor “g” en la coordenada Este, para luego comparar el resultado con
el valor de las coordenadas de “P1” determinado en base a la estación “E1”.
l) Efectuar mediciones a puntos de difícil acceso o inaccesible, si se presentan, por el método de la
intersección directa.
Imagen 4.3.26: “Mediciones Determinación de las coordenadas de
un punto ubicado al lado contrario de un canal (“C”)”
m) Trazar las curvas de nivel, en base a las cotas obtenidas, del terreno en estudio.
Una vez posicionados todos los vértices de la poligonal (y/o triangulación) en base a sus coordenadas
rectangulares, se procede a posicionar los puntos correspondientes a las radiaciones efectuadas de
todos los vértices de poligonal para trazar las curvas de nivel del terreno medido, quedando cada punto
planimétrico y altimétrico del levantamiento topográfico emplazado en planta.
Se debe indicar en cada punto la identificación y la cota que tiene asociada a modo de poder,
posteriormente, generar las curvas.
Para poder determinar las curvas de nivel se recomienda triangular los puntos ya materializados, o sea
unir puntos contiguos. Este triangulado se efectúa entre puntos adyacentes en que por sus cotas
fraccionadas pase una o más curvas de nivel de cota entera, con la equidistancia especificada para el
levantamiento, generalmente cada 0,50m o 1,00m.

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En este trazo geométrico se efectúa una interpolación o relación entre la distancia horizontal existente
entre puntos continuos adyacentes y la diferencia de cota entre éstos; y la distancia horizontal X entre
uno de estos puntos y la posición de la curva de nivel que estamos trazando y la diferencia de cota
entre el punto elegido y la curva de nivel que estamos trazando.
Imagen 4.3.27: “Determinación de curva en el cuadriculado”
Imagen 4.3.28: “Ubicación de Curva de nivel en planta:
Luego en la dirección de este trazo 1-2 desde 1, medimos la distancia X y en esta posición se
encontrará la curva de nivel que estamos trazando.
Al repetir este procedimiento en forma análoga, obtendremos los puntos que corresponderán a la
posición de las posibles curvas de nivel que pasan entre los numerosos trazos geométricos que se
obtienen de este triangulado.
Al unir todos los puntos de igual cota, producto de la interpolación explicada, se obtendrá la posición de
la curva de nivel encontrada. Al trazar todas las curvas de nivel posible de estar presente, en función de
las cotas de los puntos medidos, obtendremos las curvas de nivel que representarán el relieve del
terreno.
Imagen 4.3.29: “Curvas de nivel”
Fuente: http://a4.idata.over-blog.com/300x254/3/11/40/42/terminadoCnivel.png.

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Imagen 4.3.30: “Proceso de relleno de curvas de nivel”
n) Confeccionar el plano topográfico, planimétrico o taquimétrico, según objetivo del levantamiento.
Imagen 4.3.31: “Plano topográfico Planimétrico”
Fuente: http://www.aconstructoras.com/images/planopredial.jpg

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Luego, un ejemplo, podría ser si se tienen los puntos X, Y, Z, que corresponden a puntos del trazado del
ensanchamiento de la carretera que pasa por las afueras del nuevo Hospital de Cañete. La coordenada del
punto “X”, ha sido determinada con anterioridad por una triangulación hecha en el lugar. La empresa a cargo
del diseño de este ensanchamiento desea conocer las coordenadas de los puntos “Y” y “Z” y el ángulo φ
formado por los segmentos XZ y ZY, por lo que a Ud. lo contratan para dicha tarea y le proporcionan los
siguientes antecedentes:
Imagen 4.3.32: “Situación ensanche carretera”
Para determinar las coordenadas de cada punto, se requiere sumar el delta existente en el sentido norte y
en el sentido este a cada punto respecto del punto “X”, el cual es conocido y además es punto de referencia
para los valores dados, por lo tanto:
Luego el valor angular φ, se puede determinar en base al teorema del coseno, utilizando las distancias XY,
YZ y XZ, de la siguiente manera:
√( ) ( )
√( ) ( )
√( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Punto
Coordenada
Norte [m]
Coordenada
Este [m]
ΔN [m] ΔE [m]
X 502,86 909,74 - -
Y ΔNx-y= 10,54 ΔEx-y= 207,49
Z ΔNx-z= -57,99 ΔEx-z= 100,15

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Otro ejemplo podría ser que la empresa de áridos Santa María se encuentre ejecutando el camino de acceso
a su nueva cantera de extracción. Para la ejecución de un tramo del proyecto, se requiere enlazar el nuevo
acceso con un camino existente, donde se conoce las coordenadas del punto 1, correspondientes a
intersección de los ejes de ambos caminos. Para tal efecto se realizó un trazado preliminar del primer tramo,
donde se unen los puntos 2, 3, 4 y 5, obteniéndose los siguientes datos:
Imagen 4.3.XXDSC: “Proyecto áridos Santa María”
Fuente: Elaborado por Mauricio González P.
Su deber como profesional a cargo es determinar las coordenadas de los puntos 2 al 5.
En base a los ángulos acimutales y las distancias horizontales entre los puntos del proyecto, se procede a
determinar las coordenadas parciales de cada punto y su coordenada, según el punto de referencia
establecido:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Punto Acimutal [
g
] Dh [m]
1 α12=46,60 -
2 α23=157,11 352,300
3 α34=46,01 319,220
4 α45=163,72 342,280
5 α54=363,72 310,080
Punto Coord. N [m] Coord. E [m]
1 4.658,20 265,50

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Un último ejemplo puede ser, el caso en el cual la empresa Socovesa, se encuentra desarrollando un
proyecto de viviendas en extensión, en la comuna de San Bernardo. El proyecto, que tiene una duración de
10 años, contempla la urbanización de 15 loteos. Actualmente, se encuentran replanteando la urbanización
del lote 1F. Para tal efecto se realizó un trazado preliminar donde se obtuvieron los vértices relevantes del
lote, obteniéndose los siguientes datos:
Imagen 4.3.CDXSDC: “Urbanización lote F1”
Fuente: Elaborado por Mauricio González P.
Específicamente se requiere determinar los ángulos acimutales de los vértices del terreno, si sabe que el
punto A tiene coordenadas (N: 180,92 [m]; E: 68,99 [m]), el punto B tiene coordenadas (N: 168,64 [m]; E:
28,39 [m]) y que la poligonal fue recorrida en el sentido de los punteros del reloj.
Para poder determinar los azimutales, se debe determinar la dirección del Norte, en este caso se realiza en
base a los valores de las coordenadas de los puntos A y B, de la siguiente manera:
( ) ( )
A continuación se debe verificar la condición angular del polígono:
∑
∑ ( )
Luego los ángulos acimutales serán:
( )
Punto Dh (m) Ángulo Interior (
g
)
A - 102,36
B 44,19 81,72
C 28,43 267,79
D 25,03 97,73
E 23,13 113,25
F 17,30 237,15
G 29,35 100,00
A 59,91 -

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4.4.- Triangulación.
Este procedimiento es una forma de enlazar vértices (posibles PRs) mediante el uso de triángulos, sirve
básicamente de apoyo a las futuras o siguientes mediciones topográficas, ya sean replanteos o
levantamientos, con una alta precisión.
Es el método más exacto en topografía, ya que se basa fundamentalmente en mediciones angulares que
son de mayor precisión que las lineales. En la actualidad con los instrumentos tecnológicos disponibles se
puede medir al segundo pero aún no se puede medir al mm, al menos que se realice con un cinta, tomando
las precauciones y correcciones para llegar a esta unidad.
La triangulación es muy útil en proyectos de envergadura donde se emplazan en grandes extensiones de
superficie, levantamientos con muchos accidentes topográficos o accidentes muy abruptos, aquellas
superficies de forma irregular y con gran densidad de construcciones existentes.
Además, la triangulación facilita el apoyo en las mediciones de precisión requeridas para la construcción de
puentes, túneles y el control de desplazamientos o deformaciones.
Para realizar este tipo de levantamientos es necesario disponer de teodolitos para medir los ángulos y
generalmente distanciómetros para medir la o las bases que sean necesarias.
Básicamente consiste en la medición lineal de una base (lado) topográfica, luego la medición de los ángulos
horizontales desde los vértices de cada uno de los triángulos que conforman la triangulación para su
posterior control y compensación angular. Los lados se calculan trigonométricamente a partir de esta base
conocida. Una vez obtenidas las mediciones de terreno, se debe realizar una verificación con una o más
bases de control, para, posteriormente, compensar linealmente y poder determinar las coordenadas y cotas
de cada vértice de la triangulación.
Imagen 4.4.1: “Triangulación”
La figura formada por la triangulación no debe ser necesariamente un triángulo, pudiendo ser también
cuadriláteros, cadenas de triángulos y mallas de triángulos.
Se denomina cadena de triangulación a una serie de triángulos conectados entre sí, de los cuales se puede
calcular todos los lados, siempre que se cuente con los ángulos de cada triangulo y la longitud de la línea
“base”.

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Cuadriláteros para ampliación de bases Cuadriláteros de triangulación
Cadena de triángulos Malla de triángulos
El cuadrilátero de triangulación se utiliza principalmente para lograr una mayor precisión en una superficie no
muy extensa, como por ejemplo en los proyectos de puentes y túneles. Las cadenas de triángulos se utilizan
para proyectos cuya principal característica es la longitud como podría ser en los proyectos viales
(carreteras), hidráulicos (canales), tendidos eléctricos (torres de alta tensión) y proyectos ductales como por
ejemplo gasoductos, oleoductos, mineroductos o colectores y matrices de aguas . Finalmente, las mallas de
triángulos se utilizan para levantamientos en superficies de gran extensión como por ejemplo en las
centrales hidroeléctricas o mejoramiento de regadío.
Producto que generalmente se cometen errores en la medición de los ángulos interiores de una
triangulación, se hace necesario, siempre que el error existente sea menor al de la tolerancia establecida,
compensar dicho ángulos, lo cual se debe realizar de diferente manera según el “tipo” de triangulación que
se trate (según la figura formada):
1. Compensación de triangulaciones en cadena.
La compensación de triangulaciones en cadena debe cumplir con las siguientes condiciones:
a. Condición angular: se debe cumplir con que la suma de los ángulos interiores de cada triangulo
será igual a 200
g
y que los ángulos alrededor de un vértices cualquiera sumen 400
g
, en cualquier
caso el error debe ser menor a la tolerancia, siendo esta generalmente para las mediciones
topográficas alrededor de 1’’ a 5’’ por triangulo.

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Imagen 4.4.2: “Triangulación en cadena”
Se realiza le mismo procedimiento para cada triangulo de la cadena.
b. Condición de lado: cuando ya se ha realizado la compensación angular, se procede a determina
los lados desconocidos de la triangulación, en base al teorema del seno. Se parte desde la base
taquimétrica (lado conocido) y se termina en la base de comprobación, lado medido con
anterioridad para poder determinar si hay error, debiendo cumplirse que la diferencia entre el valor
medido y el calculado debe ser menor a la tolerancia establecida
Si se sabe conocido Dh A-F y Dh D-C de la imagen 4.4.2, se determina Dh E-B desde ambos
extremos de la triangulación
) ( )
) ( )
Si igualamos ambas expresiones, obtendremos que la relación entre los senos debe ser igual a la
relación existente entre Dh A-F y Dh D-C. Como lo más probable es que esto no ocurra se tendrá
que la relación existente entre senos es igual a la relación existente entre Dh A-F y Dh D-C mas un
error (Ɛ), es por esto que se modifican los valores angulares para poder tener la primera igualdad
mencionada.

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2. Compensación de triangulaciones en malla(figuras de punto central).
La compensación de triangulaciones en malla debe cumplir con las siguientes condiciones:
a. Condición angular: corresponde a la misma verificación utilizada para las triangulaciones en
cadena.
b. Condición de giro al horizonte: se debe cumplir que la sumatoria de los ángulos conformados
alrededor del punto central, ya compensados, sea igual a 400
g
.
Imagen 4.4.3: “Triangulación en malla”
Trabajando en base a la imagen anterior:
∑
∑
∑
Luego se deben corregir los α y β de cada triangulo, para cumplir con la condición de triangulo:
c. Condición de lado: se debe cumplir que la longitud calculada de los lados de la triangulación debe ser la
misma sin importar el camino recorrido para poder obtenerla.
Si se tiene como base conocida el tramo OA, calculamos el tramo OD de la siguiente forma:
)
)

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Si igualamos ambas expresiones se obtiene que:
Por lo tanto se deben modificar los valores angulares sin afectar las condiciones anteriores de la
siguiente forma:
∑ ∑
3. Compensación cuadrilátero de triangulación para ampliación de base.
a. Condición de ángulos: Se utiliza un método aproximado para verificar el cumplimiento de esta. Se
debe cumplir que en cada uno de los triángulos formados, se cumpla la condición angular de
triangulo, solo es necesario solucionar 3 triángulos y el cuarto cumplirá por si solo, sin embargo al
compensar los ángulos de uno de los triángulos, se modifica la sumatoria de los restantes,
producto de que existen ángulos comunes, cada ángulo forma parte de 3 triángulos a la vez.
Si se tiene la siguiente situación:
Imagen 4.4.4: “Ampliación de base”
De manera numérica:
i- Condición de cuadrilátero:
)
) ( ) ( )
) ( ) ( )
ii- Si la sumatoria de ángulos en diferente a 400
g

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Se debe compensar de la siguiente forma:
Luego, si:
( ) ( )
Se procede a compensar dichos ángulos de manera de no afectar la condición anterior cada
uno de dichos 4 ángulos:
En caso de no cumplirse con la condición 3) se procede de manera análoga a la explicada
anteriormente.
b. Condición de distancia: Se procede de igual manera que en el caso de malla, verificando el
cumplimiento de la condición:
Luego se compensa según lo explicado en el caso anterior (malla).
Para materializar una triangulación se recomienda seguir el siguiente procedimiento:
a) Materializar los vértices, de igual modo al recomendado en la sección 4.3.- Poligonación.
b) Determinar los 2 tramos(AB y FG) que se utilizaran de base y control para la triangulación, estos deben
ser aquellos puntos con coordenadas conocidas y por lo tanto la distancia entre estos también es
conocida.
c) Medir los ángulos horizontales (LLH) interiores de cada uno de los vértices, de cada triangulo, de la
triangulación, ya sea por el método de repetición o de reiteración (ver sección 4.3.- Poligonación).
d) Verificar la condición angular, es decir, determinar el error angular y compensarlo para cada triangulo
(ver sección 4.3.- Poligonación).
e) Verificar la condición de cierre lineal de la triangulación, determinando la longitud del tramo FG, en base
a la trigonometría y el segmento AB (verificar de condición de lado, según lo establecido anteriormente
para cada tipo de triangulación).
f) Realizar la compensación lineal, según lo establecido anteriormente para cada tipo de triangulación.
g) Determinar las coordenadas de los vértices de la triangulación, para esto se debe trabajar con la
triangulación de igual manera que si fuese una poligonación, para esto se omiten los tramos interiores
de la triangulación, dejando solo el perímetro de esta.

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Imagen 4.4.5: “Paso de triangulación a poligonal”
En base al polígono formado y las coordenadas de los punto conocidos utilizados para base y control de
la triangulación se debe determinar los ángulos acimutales y coordenadas parciales de cada uno de los
vértices del polígono (ver sección 4.3.-Poligonación).
h) Determinar las cotas de los vértices de la triangulación, ya sea mediante una nivelación geométrica o
trigonométrica, en función de las exigencias del proyecto (ver sección 4.3.-Poligonación).
i) Efectuar desde cada vértice una radiación hacia los puntos singulares planimétricos y altimétricos de su
entorno, si se trata de un levantamiento taquimétrico (ver sección 4.3.-Poligonación).
j) Trazar las curvas de nivel, en base a las cotas obtenidas, del terreno en estudio(ver sección 4.3.-
Poligonación).
k) Confeccionar el plano Topográfico.
Entre vértices sucesivos de la triangulación se realizan poligonales de enlace que permiten obtener en
terreno PRs adicionales (como lo son 1, 2 y 3 en la imagen 4.4.6) o estaciones para posteriores radiaciones
en el caso de utilizar la triangulación como esqueleto de un levantamiento taquimétrico.
Imagen 4.4.6: “Poligonal de enlace en triangulación”
Para realizar la poligonal de enlace, se recomienda seguir el siguiente procedimiento:
a) Medir los ángulos acimutales “ ” y “ ” (Ver sección 4.3.-Poligonación).

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b) Medir los ángulos de la poligonal “ ”, “ ” y “ ” (Ver sección 4.3.-Poligonación).
c) Medir las distancias horizontales entre cada uno de los vértices (Ver sección 4.3.-Poligonación).
d) Verificar condición geométrica angular (Ver sección 4.3.-Poligonación).
e) Ver condición de cierre lineal (Ver sección 4.3.-Poligonación).
f) Cuantificar error lineal y compensar (Ver sección 4.3.-Poligonación).
g) Determinar las coordenadas de los vértices 1, 2, y 3.
h) Determinar las cotas de los vértices 1, 2 y 3, mediante una nivelación geométrica o trigonométrica,
según sean las exigencias del proyecto.
i) Repetir el procedimiento para el resto de los tramos entre vértices sucesivos de la triangulación.
Por ejemplo, si se pretende realizar una piscina de captación de relaves provenientes de los procesos
químicos que se realizan para la obtención de minerales en la división “La Escondida”, de Anglo-American
Chile. Donde, los puntos A, B, C, D y E conforman una triangulación y corresponden a los vértices del futuro
tranque. La información que se tiene es la siguiente:
Imagen 4.4.7: “Piscina Captación”
Su deber es verificar la condición geométrica angular de la triangulación, cuantificar el error lineal y
determinar los ángulos acimutales de la triangulación considerando que el acimutal AB es 59,68
g
.
Para comenzar se debe verificar la condición angular por triangulo, de la siguiente manera:
∑
∑
∑
√
Ángulo [
g
]
<1 40,32
<2 63,11
<3 96,53
<4 31,50
<5 81,12
<6 87,40
<7 54,12
<8 64,32
<9 81,51
√
Tramo
Distancia
horizontal [m]
AB 812,30
DE 415,13

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Luego, el error lineal viene dado por:
Finalmente el calculo de acimutales responde a lo siguiente:
Imagen 4.4.8: “Ángulos acimutales de la triangulación2
Fuente Elaborado por Camilo Guerrero.
Angulo[
g
] Corrección [
g
] Corregido [
g
]
<1 40,32 0,01 40,33
<2 63,11 0,01 63,12
<3 96,53 0,02 96,55
<4 31,5 0 31,5
<5 81,12 -0,01 81,11
<6 87,4 -0,01 87,39
<7 54,12 0,01 54,13
<8 64,32 0,02 64,34
<9 81,51 0,02 81,53

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4.5.-Trilateración.
Corresponde a una triangulación, la cual, en vez de basarse en los ángulos interiores, se basa en la
medición de los lados de los triángulos. La longitud de los lados se determina mediante el uso de
distanciómetro. Este procedimiento es útil en superficies extensas.
Producto de basarse en los lados, el procedimiento de compensación lineal y angular es de mayor
complejidad (para la determinación de ángulos, se recurre al teorema del seno). Un aspecto fundamental y
por le cual se recurre mayormente a la triangulación que a la trilateración es que, además de ser mas
sencillo el método de calculo de una triangulación aun cuando se requiere extraer mayor información del
terreno, la precisión de la trilateración es mucho menor que en la triangulación.
Aun así, es conveniente el uso de trilateración, como red de transporte de coordenadas, cuando el terreno
presenta puntos altos o de buena visibilidad, distribuidos de forma que se pueda formar figuras geométricas
compuestas por triángulos y diagonales de comprobación.
Imagen 4.5.1: “Trilateración”
Una trilateración debe cumplir con una serie de condiciones básicas:
a) Los vértices se deben ubicar de forma tal, que la figura resulte completamente comprobada, es decir
no deben quedar puntos sin medidas para comprobar el trabajo. En general se recomienda tratar
con cuadriláteros o series de cuadriláteros, los cuales de trilateran.
b) Antes de materializar los vértices en terreno, se debe verificar que no hayan elementos que impidan
la visibilidad entre vértices, en el Volumen N°2 del Manual de Carreteras (M.O.P.) se recomienda
evitar que las visuales sean próximas al suelo.
c) Se debe materializar correctamente los vértices (ver sección 4.3.-Poligonación).
d) Se debe cumplir con las restricciones de desniveles entre vértices, distancias entre vértices y las
tolerancias prestablecidas. El M.O.P. por medio del Volumen N°2 Manual de Carreteras, para
trilateración de primer orden, recomienda lo siguiente:
1. Distancia entre vértices: entre 1.000[m] y 4.000[m]
2. Desnivel entre vértices: se recomienda trabajar en un plano horizontal con tolerancia de 5[
g
]±
50[
cc
] en el limbo vertical
3. Método medición distancia: Se realizarán a lo menos 5 mediciones a cada lado, con
instrumentos autorizados por la Dirección de Vialidad.
4. Tolerancia en medida de distancias: el erro del promedio de las medidas de un lado debe ser
menor a 1/40.000 de la longitud del lado.
A continuación se presenta el método de calculo y compensación de la forma básica de una trilateración, un
cuadrilátero aislado.

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Imagen 4.5.2: “Cuadrilátero de trilateración”
Fuente: Punto 2.309.101.A, Manual de Carreteras de Chile: Volumen N°2, año 2012.
Se debe resolver el cuadrilátero en base a una de las diagonales observadas, en este caso “e” y se calcula
la longitud que corresponderá a la otra diagonal “f”. La diagonal “f”, además, se mide en terreno, lo cual
permitirá determinar el error existente.
Si se sabe:
( )
√ ( )( )( )
De manera análoga:
( )
√ ( )( )( )
Como:
Se puede obtener f’ (correspondiente al valor teórico de “f”):
√ ( )
Luego el error máximo será:
A continuación para poder compensar, se deben comparar sumas de las superficies A1 y A2 con la suma de
las superficies de los triángulos a-b-f (A3) y c-d-f (A4):
( )
√ ( )( )( )
( )
√ ( )( )( )
En teoría:
( ) ( )

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Pero por tratarse de mediciones en terreno:
( ) ( )
Se debe compensar hasta que cada lado haga iguales las sumas de las superficies.
A modo de resumen de los distintos levantamientos planimétricos se presenta el siguiente cuadro:
INSTRUMENTO COORDENADAS UTILIDAD CONTROL
RADIACIÓN Taquímetro
Polares y
Rectangulares
En terrenos regulares de 20 a 25
Há
SIN
INTERSECCIÓN Taquímetro
Polares y
Rectangulares
Determinar puntos de difícil
acceso o inaccesible
SIN
POLIGONACIÓN
Teodolito y
distanciómetro
Rectangulares
En superficies de mediana
extensión (20-120 Há)
CON
TRIANGULACIÓN
Teodolito y
distanciómetro
Rectangulares
Grandes extensiones y/o de
gran exactitud
CON
TRILATERACIÓN Distanciómetro Rectangulares Grandes superficies CON
4.6.-Cuantificación de superficies.
Para realizar el cálculo de superficies existen principalmente 3 tipos de métodos:
1- Métodos analíticos: son los de mayor precisión, por lo cual es ideal usarlos siempre.
2- Métodos mecánicos: aquellos que se utilizan cuando no se cuenta con las coordenadas de los
puntos.
3- Métodos gráficos: Son los con menor precisión y solo se recomienda su uso en casos en los cuales
no es posible utilizar métodos analíticos o mecánicos.
Los métodos analíticos se dividen en 2 principalmente:
a) Uso de coordenadas rectangulares: Es de gran utilidad en la edificación, especialmente cuando los
terrenos son de alto valor comercial. Se debe contar con las coordenadas de los puntos
característicos perimetrales del predio a evaluar, o ser determinables mediante procedimientos
topográficos. Debido a la simplicidad de cálculo y la exactitud del método es utilizado en todas las
especialidades de la construcción.

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Matemáticamente, el cálculo a realizar corresponde al siguiente:
Imagen 4.6.1: “Superficie por coordenadas rectangulares”
Fuente: Presentación “Topografía: Cuantificación de Superficies” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
∑ ( )
Donde “S” corresponde a la superficie comprendida entre las coordenadas utilizadas.
Un sistema para verificar que le calculo a sido realizado correctamente es utilizar la misma ecuación,
pero de la siguiente manera:
∑ ( )
Se verifica que los cálculos se han realizado correctamente si:
b) Descomposición en figuras geométricas de áreas conocidas: Se utiliza cuando no se poseen las
coordenadas rectangulares del perímetro del predio a evaluar y es posible conocer o determinar
distintas distancias y ángulos de los puntos característicos del predio, para luego poder
descomponer el terreno en varias figuras geométricas de áreas conocidas.
Cuando los parámetros de las áreas se determinan utilizando planos, en vez de hacerlo a través de
mediciones en terreno, se pierde la precisión del método.
Imagen 4.6.2: “Figuras básicas para calculo de áreas”
Editado por Camilo Guerrero

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Por ejemplo, si la empresa en la cual usted trabaja decide evaluar la construcción de una serie de bodegas
industriales por la alta demanda que presenta el mercado. El proyecto se emplazara en un terreno ubicado
por el acceso norte de Santiago, su deber es determinar la superficie del terreno en base a la siguiente
información obtenida en terreno.
Imagen 4.6.3: “Croquis del terreno”
Utilizando el método de las coordenadas la superficie corresponderá a:
∑ ( )
( ) ( ) ( )
( )
Ahora para verificar:
∑ ( )
( ) ( ) ( )
( )
Por lo tanto la superficie del terreno es 3.107,55[m
2
].
Punto
Coordenada [m]
Norte Este
V1 153,310 288,888
V2 189,002 368,415
V3 221,545 354,073
V4 185,853 274,323
Tramo Distancia [m]
V1-V2 87,169
V2-V3 35,563
V3-V4 87,373
V4-V1 35,654
V2-V4 92,145

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Luego si realizamos el mismo calculo en base a la descomposición en figuras de áreas conocidas:
Imagen 4.6.4: “Croquis del terreno”
Se divide la figura en dos triángulos, en base a las distancias medidas en terreno de la tabla adjunta, luego
la superficie de cada triangulo corresponde a:
Primero se debe calcular el semi-perímetro de cada triangulo, siendo S1, semi-perímetro del triangulo “V1-
V2-V4” y S2 el semi-perímetro del triangulo “V2-V3-V4”:
Luego el área de cada triangulo, dada por la formula de Herón:
√ ( )( )( )
Por lo tanto:
√ ( )( )( )
√ ( )( )( )
Se puede apreciar que no hay gran diferencia entre utilizar uno u otro método, pero siempre será más
preciso, el método del uso de coordenadas.
Los métodos mecánicos corresponden a aquellos que se realizan en aquellos casos que no es posible
utilizar los métodos analíticos, debido a la falta de información en terreno, por lo cual basan su
funcionamiento en las representaciones graficar que se posee.
a) Planímetro Polar: Se utiliza sobre una representación gráfica, generalmente a predios de forma
irregular (lagunas, tranques, otros) y donde la precisión requerida no sea alta.
El planímetro polar corresponde a un integrador mecánico, es decir mide el área de una figura
recorriendo el perímetro de esta, tratando de determinar la superficie mediante el “brazo trazador”,
desde un punto fijo o “brazo fijador” (polo) sobre el cual gira el resto del equipo.
El instrumento cuenta con un mecanismo contador, el cual entrega la medición de la superficie en
función del número de vueltas que realiza un tambor cilíndrico rodante conectado al dispositivo.

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Imagen 4.6.4: “Funcionamiento planímetro polar”
Fuente: http://www.slideshare.net/arielmagne/disertacionplanimetro
b) Balanza Digital de precisión: se utiliza solo en casos especiales, en los cuales se hace imposible
utilizar los métodos anteriores.
El método consiste en lo siguiente:
i- Se recorta la figura cuya área se desea determinar, ejecutando una serie de medidas.
ii- Se pesa en la balanza.
iii- Se dibuja un máximo rectángulo dentro de la figura y se determina el área de este en base a
sus dimensiones y la escala del plano.
iv- Se rectora dicho rectángulo y se pesa, ejecutando una serie de medidas.
v- Para determinar la superficie de la figura se efectúa una relación entre el peso del área del
rectángulo (conocido) y el peso de la figura de área desconocida.
Luego, los métodos gráficos, son los menos exactos, debido a la inseguridad grafica o error grafico, solo se
recomiendan como última opción después de los métodos analíticos y mecánicos. El principal método
grafico corresponde al uso de papel milimetrado o del cuadriculado.
Mediante el uso de papel milimetrado transparente, se superpone sobre la figura en el plano y se cuenta el
numero de cuadriculas enteras y parciales. En función del numero de cuadriculas y el área que representan,
en relación a la escala del plano), se determina la superficie de la figura.
En el caso del cuadriculado, el procedimiento es el mismo que con papel milimetrado, pero, en este caso, se
dibuja un cuadriculado sobre un papel transparente.
Imagen 4.6.5: “Cuantificación con papel milimetrado”

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4.7.-Ejercicios Propuestos.
4.7.1.-Radiación.
Se ejecutará una radiación para determinar las coordenadas de los puntos que delimitan el predio en el cual
se ejecutará la construcción un conjunto habitacional. Para esto se le entrega la siguiente información:
a. O corresponde al punto donde se ubica la Estación de medición.
b. Las coordenadas de la Estación son 100m Norte y 100m Este.
c. La medición angular se inició desde el punto E hacia la derecha.
d. El norte esta indicado por la recta ON.
Se le solicita especificamente determinar las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E, en base a la
siguiente información obtenido en terreno.
Imagen 4.7.1: Vertices del predio”
Respuesta:
Punto
Coordenadas [m]
Norte Este
A 160,763 117,992
B 144,91 151,59
C 71,025 132,843
D 79,75 70,93
E 181,474 57,696
Punto
Distancia a
estación “O” [m]
Punto LLH (g)
A 63,371 A 48,816
B 68,399 B 84,889
C 43,797 C 176,511
D 35,428 D 291,755
E 91,802 E 0
Norte 30,489

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4.7.2.-Inersección y Cuantificación de superficies.
Los puntos X, Y, Z corresponden a torres de alta tensión del sistema interconectado central (SIC), que
abastece de electricidad a la zona central de nuestro país, sus coordenadas han sido determinadas con
anterioridad por una triangulación hecha en el lugar. La empresa a cargo de la mantención de estas torres
desea conocer la superficie que éstas forman, por lo que a Ud. lo contratan para dicha tarea y le
proporcionan los siguientes antecedentes:
Imagen 4.7.2: “Ubicación torres de alta tensión”
Además, la empresa de electricidad evalúa la posibilidad de agregar al sistema una nueva torre ubicada en
el punto P de la figura anterior, pero desconoce las coordenadas de éste. Del estudio topográfico realizado
en el lugar se rescataron los ángulos β1 = 52,43[
g
] y β2 = 72,56[
g
] (que se muestran en la figura). A Ud. Se le
pide determinar la coordenada del punto P.
Respuesta:
-Superficie: 40.495,467[m
2
]
-Coordenadas:
.
4.7.3.-Poligonación.
4.7.3.1.-Para la construcción de la vía del Metro S.A., entre Av. San Pablo y calle San Jorge en Maipú, le
han encargado presentar un informe que contenga las coordenadas de uno de los tramos en ejecución. Para
tal efecto se realizó un trazado preliminar (puntos 2, 3 y 4) que une los puntos 1 y 5 ya definidos en el
proyecto, obteniéndose la siguiente información:
Especificamente el informe debe precisar las coordenadas de los puntos 2, 3 y 4, si la tolerancia lineal es,
t =±∑Dhij /5000 [m].
Punto
Coordenada
Norte [m] Este [m]
X 456,01 139,64
Y 509,00 557,09
Z 672,46 316,77
Punto Acimutales Dist. H [m]
1 α12 = 58,72
g
2 α 23 = 140,13
g
434,08
3 α 34 = 52,01
g
423,21
4 α 45=153,96
g
375,57
5 α 54 = 353.96
g
348,10
Punto Coordenada
Norte[m]
Coordenada
Este[m]
1 6298,43 3383,84
5 6307,31 4575,92

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Respuesta:
Coordenada N ΔN [m]
Corrección
[m]
ΔN corregido
[m]
Coordenada
Norte [m]
Punto 2 262,15 +0,03 262,18 6560,61
Punto 3 -249,46 +0,03 -249,43 6311,18
Punto 4 257,05 +0,03 257,08 6568,26
Punto 5 -260,97 +0,02 -260,95 6307,31
Coordenada E ΔE [m]
Corrección
[m]
ΔE corregido
[m]
Coordenada
Este [m]
Punto 2 345,98 0 345,98 3729,82
Punto 3 341,88 0 341,88 4071,7
Punto 4 273,82 0 273,82 4345,52
Punto 5 230,37 0 230,37 4575,89
4.7.3.2.- Constructora Cypco se encuentra estudiando un proyecto de viviendas en extensión en la comuna
de Quilicura denominado Valle Central. Los puntos que conforman los vértices de un sitio fueron
determinados por una poligonal efectuada previamente en el lugar de emplazamiento. Los datos de los
vértices obtenidos en terreno son los siguientes:
Puntos Δ Norte [m] Δ Este [m]
Coordenadas
Norte [m]
Coordenadas Este
[m]
1 ΔN1-2 = -5,76 ΔE1-2 = -15,05 35,29 125,37
2 ΔN2-3 = 38,68 ΔE2-3 = 2,93
3 ΔN3-4 = -14,45 ΔE3-4 = 10,61
4 ΔN4-1 = -18,47 ΔE4-1 = 1,52
**Nota: Considere el error tolerable.
A Usted como profesional del área de la construcción se le pide determinar:
a) Las coordenadas de los vértices del terreno.
b) La superficie del terreno utilizando en método de las coordenadas.
Respuestas:
a)
Coordenadas Norte: Coordenadas Este:
b)

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