1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
ASIGNATURA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Profesor: Realizado por:
Domingo Mendez Brian León (43)
C.I:27.650.679
Sección: IngenieríaEléctrica
4”A”
Porlamar, 08 de Diciembre de 2017
2. Introducción
- Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente
variedad diferenciable. En física se usan normalmente sistemas de coordenadas
ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y
una base vectorial orto normal, quedando así definidos los ejes coordenados. La latitud es
la distancia angular entre el ecuador y un punto determinado del planeta medida a lo
largo del meridiano desde ese mismo punto angular. La longitud es la distancia que se
encuentra entre dos puntos.
-En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números
(coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto
geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las
identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con
letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es
objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma
"numérica".
-Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar
coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el
espacio recibe el nombre de sistema de referencia.
3. Desarrollo
1.- ¿Qué es el Sistema de coordenadas?
- Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir
inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo (o más
generalmente variedad diferenciable). En física clásica se usan normalmente sistemas de
coordenadas ortogonales, caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto
de ejes perpendiculares que constituyen lo que se denomina sistema de referencia
Podemos llamarla torrente
2. Ejemplos de sistemas de coordenadas
Sistema de coordenadas cartesianas
-Sistema de coordenadas cartesianas se pueden definir sistemas n-dimensionales). El
valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal
del vector de posición de dicho punto sobre un eje determinado:
-Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas.
Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector ( ) tal que:
, cuyo módulo es
-El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de
posición de dicho punto sobre el eje x.
4. -Sistema de coordenadas polares
-El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual
cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.
-Sistema de coordenadas cilíndricas
-El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar
los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas
con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de
coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia
ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y
el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos
puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro.
Significado de las coordenadas cilíndricas.
5. - Sistema de coordenadas esféricas
-Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en
espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado
por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la
distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar
para alcanzar la posición del punto.
-Coordenadas geográficas
-Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para
definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas.
El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden
mostrase en los siguientes formatos:
DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00
-También se puede definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra,
utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas
proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.
6. -Coordenadas curvilíneas generales
-Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o
etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad diferenciable
(globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un
espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de
coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier
difeomorfismo que cumpla:
-Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:
-Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden
clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas en sistema de coordenadas
ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas
cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas
ortogonales sobre el espacio euclídeo .
Coordenadas curvilíneas ortogonales
- Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor métrico
expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de
las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente
simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo
simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas
curvilíneas ortogonales.
-Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas
ortogonales.
3.- Cambios de coordenadas
-En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de
coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las
que a depender el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema
puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución
con mayor facilidad.
-Más formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un difeomorfismo
o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también diferenciable) entre dos
conjuntos de , aquí llamados y :
7. -Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:
-Dónde:
Representa la función que pretende integrarse expresada en las
viejas y las nuevas coordenadas.
Es el jacobiano del cambio de coordenadas.
Es el dominio de integración expresado en las viejas y las nuevas
coordenadas.
-Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas
coordenadas se usan las leyes de transformación tensorial:
4.- Origen de coordenadas
-El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En
este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Sin embargo, en algunos
sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por
ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo
, siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.
-En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del
sistema se separan.
Origen de un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas.
8. Conclusión
-En conclusión un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que
permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o
más generalmente variedad diferenciable.
-En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de
referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En
mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto
denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.
-Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales
igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional. El
valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal
del vector de posición de dicho punto () sobre un eje determinado.
-Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas.
Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector unitario ().
calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, entre otras cosas.
