2. Conjuntos
Ejemplo:
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí
misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes:
personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento pertenece
al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes,
miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde,
violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
3. Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento
Union de conjuntos
1.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por
todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo
que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de
Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma
uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
4. Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
Ejemplo 2:
5. Interseccion de conjuntos:
Ejemplo 1:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean
comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
6. Diferencias de conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos
los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B=
{4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la diferencia de estos conjuntos será B-A={6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente
7. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es
el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos
A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El
símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y
B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia
simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol
y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
Diferencia simetrica de los conjuntos
8. Numeros Reales
El conjunto de los números reales consta de números naturales, enteros, racionales e irracionales. El
conjunto de los números naturales La suma de números enteros, es el conjunto de los números que sirven
para contar, se denota con N y es N = {1,2,3,4,5,...}. Se pueden clasificar de la siguiente manera:
Numeros naturales:
El conjunto de los números reales consta de
números naturales, enteros, racionales e
irracionales. El conjunto de los números naturales
La suma de números enteros, es el conjunto de los
números que sirven para contar, se denota con N y
es
Ejemplo: N = {1,2,3,4,5, 6, 7, 8,...}.
Numeros naturales:
los números enteros son aquellos números
positivos y negativos, incluido el cero, que no tienen
parte decimal dentro de su estructura (3,28, por
ejemplo, no es un número entero). El término
entero se deriva del número latino y se representa
con la letra Z.
Ejemplo: Z: {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1,2,3,4,5,...}.
9. Numeros racionales:
Los números racionales son aquellos números
que pueden ser expresados como una relación
entre dos enteros.
Ejemplo:
Numeros irracionales:
Los números irracionales comprenden los números
que no pueden expresarse como la división de
enteros en el que el denominador es distinto de
cero. Se representa por la letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en
forma entera o como fracción son también
irracionales.
Propiedades de numeros reales
La suma de dos números reales tiene como resultado otro
número real, a esto se le conoce como ser cerrada, es decir, si a y
b ∈ℜ, entonces a+b ∈ℜ.
La suma de dos números reales es conmutativa, entonces
a+b=b+a.
La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que
su suma es igual a 0: a+(-a)=0
1.
2.
3.
4.
5.
10. Empezamos escribiendo el problema original:
Para despejar la variable, sumamos 5 a mbos lados de la desigualdad:
Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que el 2 no está incluido
en la solución. La solución es todos los números hacia la derecha del 2:
3x−5>13x−5>1
3x−5+5>1+53x−5+5>1+5
3x>63x>6
33x>63 33
x>36
x>2x>2
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos
valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por
desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual.
11. Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Valor absoluto de un numero real
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero,
y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) ∪(2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
12. Desigualdades de un Valor absoluto (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Resolver Desigualdades con Valor Absoluto
Para cualquier valor positivo de a:
es equivalente a (esta regla también aplica a )
es equivalente a x −a o xa (esta regla también aplica a )
x puede ser una variable o una expresión algebraica.
.
Resolver la desigualdad:
A) p ≤ −5 o p ≥ 5
B) −5 ≤ p ≤ 5
C) p ≤ −5
D) No hay solución
13. Plano numerico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La distancia es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia
corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.
Graficas de ecuaciones de cónicas:
Lugar de puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto fijo llamado foco F = (a,
b) exterior a dicha recta.
Elementos geométricos Eje: Recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Punto de corte del
eje con la parábola. Recordemos que el vértice es el punto medio del foco y su proyección ortogonal sobre la
directriz. Propiedades: Simetría: La parábola es simétrica con respecto a su eje. Reflectora: Sea P un punto de la
parábola. La recta tangente a la parábola en el punto P forma ángulos iguales con: 1. La recta que pasa por P y
el foco F. 2. La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola. Ecuación de la parábola Directriz
horizontal r ≡y = d y = 1 2(b − d) (x − a) 2 + b + d 2 Directriz vertical r ≡x = d x = 1 2(a − d) (y − b) 2 + a +
