เอกสารประกอบการบรรยาย วิชา Theory of Computation บทที่ 2 ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์

1. ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์
อ.อธิศ ปทุมวรรณ
มหาวิทยาลัยนเรศวร

2. เนื้อหา
 เซ็ต ฟังก์ชัน และ กราฟ
 ตัวอักษร สตริง และภาษา
 เทคนิคการพิสูจน์
 ไวยากรณ์และออโตมาตา
2
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

3. ความหมายของเซ็ต
เซ็ต (Set) คือ กลุ่มของวัตถุโดยไม่คานึงถึงการจัดเรียง
เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก
a เป็นสมาชิกของเซ็ต S จะเขียนอยู่ในรูป 𝑎 ∈ 𝑆
a ไม่เป็นสมาชิกของเซ็ต S จะเขียนอยู่ในรูป 𝑎 ∌ 𝑆
เซ็ต S ประกอบด้วยสมาชิกคือ a, b c จะเขียนในรูป 𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}
3
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

4. ลักษณะของเซ็ต
 เซ็ตจากัด (Finite Set ) ทราบจานวนสมาชิกที่แน่นอน
𝑆 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑧}
 เซ็ตไม่จากัด (Infinite Set) ไม่ทราบจานวนสมาชิกแน่นอน
𝑆 = { 1, 2, 3, … }
𝑆 = { 𝑛 | 𝑛 𝑚𝑜𝑑 3 = 0}
 เซ็ตว่าง (Empty Set) ไม่มีจานวนสมาชิกเลย
𝑆 = { } หรือ 𝑆 = 𝜙
4
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

5. เซตทีเท่ากัน (Equal Sets)
่
 เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน
 เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย
𝐴= 𝐵
 เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴 ≠ 𝐵
𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
𝐶 = {𝑐, 𝑏, 𝑎}
𝐴= 𝐵
𝐴= 𝐶
5
𝑋 = 0, 1, 3, 5
𝑌 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼 + , 𝑥 < 6}
𝑍 = {1, 3, 5, 7}
𝑋≠ 𝑌
𝑋≠ 𝑍
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

6. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)
 เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากัน และ สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดี
แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
 เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴 ↔ 𝐵
𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
𝐵 = 1, 2, 3, 4
𝐴↔ 𝐵
6
𝑋 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐼+
𝑌 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, … }
𝑋↔ 𝑌
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

7. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)
 ถ้า
𝐴 = 𝐵 แล้ว 𝐴 ↔ 𝐵
 ถ้า 𝐴 ↔ 𝐵 ไม่อาจสรุปได้ว่า 𝐴 = 𝐵
7
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

8. สับเซ็ต (Subset)
 การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต
A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B
 เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย 𝐴 ⊂ 𝐵
 เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต C แทนด้วย 𝐵 ⊄ 𝐶
A
8
B
C
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

9. สับเซ็ต (Subset)
 เซ็ตทุกเซ็ตเป็นสับเซ็ตของตนเอง
𝐴⊂ 𝐴
 เซ็ตว่างเป็นสับเซตของทุกเซ็ต ∅ ⊂ 𝐴
 ถ้าเซ็ต 𝐴 ⊂ ∅ แล้ว 𝐴 = ∅
 ถ้า 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐶 แล้ว 𝐴 ⊂ 𝐶
 𝐴 = 𝐵 ก็ต่อเมื่อ 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐴
9
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

10. เพาเวอร์เซ็ต (Power Set)
 ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับ
เซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)
𝐴=∅
𝑃(𝐴) = ∅
𝐵 = {𝑎}
𝑃(𝐵) = ∅, {𝑎}
C = {𝑎, 𝑏}
𝑃(𝐶) = ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}
10
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

11. การดาเนินการที่ทากับเซ็ต (Set Operation)

ปฏิบัติการระหว่างเซต คือ การนาเซตต่าง ๆ มากระทากันเพื่อให้เกิด
เป็นเซตใหม่ได้ ซึ่งทาได้ 4 วิธี คือ




11
ยูเนียน (Union) ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก
ของเซต A หรือ B
อินเตอร์เซคชัน (Intersection) อินเตอร์เซคชันของเซต A และ B คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และ B
คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ
A
ผลต่างของเซต (Difference) ผลต่างของเซต A และ B คือเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

12. ยูเนียน (Union)
𝑆1 ∪ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝑆2 }
𝕌=
𝐴=
𝐵=
𝐴∪
12
1, 2, 3, … , 20
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 4, 6, 8, 10
𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
𝕌
A
B
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

13. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
𝑆1 ∩ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑎𝑛𝑑 𝑎 ∈ 𝑆2 }
𝕌=
𝐴=
𝐵=
𝐴∩
13
1, 2, 3, … , 20
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 4, 6, 8, 10
𝐵 = {2, 4, 6}
𝕌
A
B
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

14. ฟังก์ชัน
 ฟังก์ชัน (Function) ทาหน้าที่ในการเชื่อมโยงระหว่างอินพุทไปยัง
เอาท์พุท โดยอินพุทหนึ่งค่าจะให้ค่าเอาท์พุทเพียงค่าเดียวเท่านั้น
 𝑓 𝑥 = 𝑦 โดยที่ 𝑥 เป็นอินพุท และ 𝑦 เป็นเอาท์พุท
input
𝑥
14
output
𝑓 𝑥
𝑦
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

15. ความสัมพันธ์ (Relation)
 ความสัมพันธ์ (Relation) ทาหน้าที่ในการเชื่อมโยงความสัมพันธ์
ระหว่างเซตของอินพุท ที่เรียกว่าโดเมน (Domain) ไปยังเซ็ตของ
เอาท์พุท ที่เรียกว่าเรนจ์ (Range)
𝑋 = 1, 2, 4
𝑌 = 4, 5, 6
ถ้ าให้ 𝑅 เป็ นความสัมพันธ์น้อยกว่า หรื อเรี ยกว่า
𝑅 เป็ นความสัมพันธ์ จาก 𝑋 ไปยัง 𝑌 โดยที่ 𝑥 < 𝑦 เมื่อ 𝑥 ∈ 𝑋 และ 𝑦 ∈ 𝑌
𝑥𝑅𝑦 = { 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 4,5 , (4,6)}
15
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

16. ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน (Equivalence Relation)
 ความสัมพันธ์แบบสะท้อน (Reflexive)
 ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive)
 ความสัมพันธ์แบบสมมาตร (Symmetric)
16
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

17. ความสัมพันธ์แบบสะท้อน (Reflexive)
𝑎𝑅𝑎 สาหรับทุก 𝑎 ที่อยูในเซต 𝑆 นันคือ 𝑎, 𝑎 เป็ นสมาชิกในเซ็ตของความสัมพันธ์
่
้
เช่น 𝑎𝑅𝑎 = 1,1 , 2,2 , (3,3)
17
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

18. ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive)
ถ้ า 𝑎𝑅𝑏 และ 𝑏𝑅𝑐 แล้ ว 𝑎𝑅𝑐 นันคือ ถ้ ามีความสัมพันธ์ 𝑎, 𝑏 และ 𝑏, 𝑐 แล้ ว
้
จะต้ องมี ความสัมพันธ์ 𝑎, 𝑐 เช่น 1,2 , 2,3 , (1,3)
18
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

19. ความสัมพันธ์แบบสมมาตร (Symmetric)
ถ้ า 𝑎𝑅𝑏 แล้ ว 𝑏𝑅𝑎 นันคือ ถ้ ามีความสัมพันธ์ 𝑎, 𝑏 แล้ ว จะต้ องมี ความสัมพันธ์
้
𝑏, 𝑎 เช่น 1,2 , 2,1
19
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

20. กลุ่มของความเท่าเทียมกัน (Equivalence Class)
สาหรับความสัมพันธ์ 𝑅 ที่ เท่าเทียมกัน (Equivalence Relation)
กลุมของความเท่าเทียมกัน (Equivalence Class) ถูกนิยามโดย
่
Equivalence Class of 𝑥 = 𝑦 𝑥𝑅𝑦
เช่น
𝑅 = 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 1,2 , 2,1 , (3,4 , (4,3)}
Equivalence Class of 1 = {1,2}
Equivalence Class of 2 = {1,2}
Equivalence Class of 3 = {3,4}
Equivalence Class of 4 = {3,4}
20
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

21. กราฟ (Graph)
 กราฟ (Graph) คือโครงสร้างข้อมูลที่ประกอบด้วยสองส่วนคือ
โหนด (Nodes หรือ Vertices)
 กิ่ง (Edges)

B
D
A
 แบ่งออกเป็นสองประเภทใหญ่คือ
C
Undirected Graph
กราฟที่ไม่มีทิศทาง (Undirected Graph)
 กราฟที่มีทิศทาง (Directed Graph)

B
A
D
C
Directed Graph
21
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

22. การอธิบายกราฟโดยไม่ใช้แผนภาพ
ใช้ สญลักษณ์กราฟ 𝐺 = (𝑉, 𝐸)
ั
โดยที่
𝑉 คือเซตของโหนดที่อยูในกราฟ
่
𝐸 คือคูลาดับของโหนดเพื่อใช้ อธิบายว่าโหนดไหนเชื่อมต่อกันบ้ าง
่
𝐺 = ( 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ,
𝐴, 𝐵 , 𝐵, 𝐷 , 𝐵, 𝐶 , 𝐶, 𝐷 )
B
D
A
C
22
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

23. คาที่ต้องรู้จักเกี่ยวกับกราฟ
 ดีกรี (Degree) จานวนกิ่งของโหนดหนึ่งๆ
 กราฟย่อย (Sub graph) A จะเป็นกราฟย่อยของ B ก็ต่อเมื่อ เซต
ของโหนดในกราฟ A เป็นเซ็ตย่อยของเซตของโหนดในกราฟ B
และเซตของกิ่งภายในกราฟ A ต้องเป็นเซตย่อยของกิ่งในกราฟ B
ด้วย
 การเดิน (Walk) ลาดับของกิ่งที่เชื่อมต่อกัน
 ทาง (Path) การเดินโดยไม่มีกิ่งใดถูกผ่านซ้า
 ทางแบบง่าย (Simple Path) การเดินโดยไม่มีโหนดใดถูกผ่านซ้า
23
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

24. คาที่ต้องรู้จักเกี่ยวกับกราฟ
 ไซเคิล (Cycle) กราฟที่ทาง (Path) ใดๆ มีจุดเริ่มต้นและสิ้นสุด
เป็นจุดเดียวกัน
 ออยเลอร์ทัวร์ (Euler Tour) ไซเคิลผ่านทุกกิ่ง โดยแต่ละกิ่งจะผ่าน
ครั้งเดียวเท่านั้น
 ฮามิลโทเนียนไซเคิล (Hamiltonian Cycle) ไซเคิลเกิดจากการ
ผ่านโหนดทุกโหนดของกราฟและจะผ่านแค่ครั้งเดียวเท่านั้น
24
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ

25. ต้นไม้ (Tree)
 ต้นไม้ (Tree) กราฟที่ไม่มีทิศทาง และไม่มี ไซเคิล
 มีจุดที่ทาหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นบนสุดเรียกว่า ราก (Root)
A
C
B
โหนดพ่อแม่ (Parent)
โหนดลูก (Child)
25
E
G
D
F
ความลึก (Depth) = 3
โหนดใบ (Leaf) ={B, G, F, D}
ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ