1. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΓΓεεννιικκήή ΤΤοοπποολλοογγίίαα
ΤΤαα ΑΑξξιιώώμμαατταα ΔΔιιααχχωωρριισσιιμμόόττηηττααςς σσττηηνν
ΤΤοοπποολλοογγίίαα
Επίθετο: Παναγιωτόπουλος
Όνομα: Αθανάσιος
Α.Μ.: 00311
Ε-mail:
Υπευθ. Καθηγητής
Γεωργίου Δημήτρης
Ακαδ. Έτος 2010-11

2. 1. Εισαγωγή
Τα μαθηματικά αποτελούν την κορωνίδα της επιστήμης και της τεχνολογικής
προόδου, ένας από τους σημαντικότερους κλάδους των μαθηματικών είναι η
Τοπολογία. Η Τοπολογία είναι εκείνος ο κλάδος που μελέτα τις ιδιότητες των
γεωμετρικών σχηματισμών που παραμένουν αμετάβλητες όταν αυτοί υπόκεινται σε
ελαστικές παραμορφώσεις, όπως για παράδειγμα σε έκταση ή σε συστροφή
(ομοιομορφισμοί) αντικείμενο της τοπολογίας είναι οι τοπολογικοί χώροι.
Η τοπολογία, δηλαδή, ενδιαφέρεται για τις γενικές ιδιότητες ενός τοπολογικού
χώρου(όπως η συνέχεια) και όχι για τις ιδιότητες των ποικίλων διαμορφώσεων που
αυτός μπορεί να λάβει. Η έννοια του τοπολογικού χώρου είναι πολύ γενική εν γένει
ένας τοπολογικός χώρος μπορεί να έχει πολλές παθογένειες που δυσκολεύουν την
μελέτη του όπως π.χ ένα σημείο του να μην είναι κλειστό μια ακολουθία σημείων
να συγκλίνει σε δυο σημεία κ.τ.λ. Για να αποφύγουμε αυτές τις καταστάσεις
θεωρούμε εκείνους τους χώρους που έχουν μια συγκεκριμένη τοπολογική ιδιότητα
και τους μελετάμε ξεχωριστά αυτή την ιδιότητα τη θεωρούμε αξίωμα κάθε φορά
και έτσι διευκολύνετε η μελέτη τους.
Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετήσει και να αναδείξει τα πιο
σημαντικά από αυτά τα αξιώματα τα λεγόμενα αξιώματα διαχωρισιμότητας.
Εικόνα 1: η λωρίδα του mobius
2. Ιστορική Αναδρομή
Πριν από το σημερινό γενικό ορισμό του τοπολογικού χώρου υπήρχαν
πολλοί ορισμοί που διατυπωθήκαν ορισμένοι από τους οποίους προϋπέθεταν αυτά
που σήμερα ονομάζουμε αξιώματα διαχωρισμού. Για παράδειγμα ο ορισμός που
δίνεται από τον Felix Hausdorff το 1914 ισοδυναμεί με το σύγχρονο ορισμό συν το
αξίωμα διαχωρισμού Hausdorff .
Τα αξιώματα διαχωρισμού, ως ομάδα, έγιναν σημαντικά στη μελέτη της
μετρικοποιησης τοπολογικών χώρων το ζήτημα συμφώνα με το οποίο μελετάτε
πως μπορεί να δοθεί η δομή ενός μετρικού χώρου σε έναν τοπολογικό χώρο.
Οι μετρικοί χώροι ικανοποιούν όλα τα αξιώματα διαχωρισμού αλλά στην
πραγματικότητα μελετώντας τους χώρους που ικανοποιούν ορισμένα από τα

3. αξιώματα διαχωρισιμότητας βοηθά στο να κατανοήσει κάνεις την έννοια της
μετρικοποίησης .Τα αξιώματα διαχωρισμού που μελετήθηκαν για πρώτη φορά με
τον τρόπο αυτό οδήγησαν στην ταξινόμηση των τοπολογικών χώρων σε επιμέρους
κατηγορίες ανάλογα με το ποιό αξίωμα ικανοποιούν.
Πρόεκυψε δε και ένας τρόπος ονοματισμού-συμβολισμού των αξιωμάτων
αυτών σε T1, T2, T3, και T4 , ο οποίος στην πορεία επεκτάθηκε σε T0, T1, T2, T2½, T3,T3½,
T4 και T5. Αυτή η ακολουθία ονομάτων τελικά δεν τηρήθηκε από όλους τους
συγγραφείς έτσι λοιπόν οι χώροι T0 ,T1, T2 είναι κοινοί σε όλη τη βιβλιογραφία αλλά
οι υπόλοιποι άλλοτε παραλείπονται και άλλοτε ορίζονται διαφορετικά ανά
περίπτωση.
Αυτή η ακολουθία συμβολισμών εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τους
P.Alexandroff και H.Hopf το 1935 στην πραγματεία τους ‘’Topologie’’ .Το γράμμα Τ
που χρησιμοποιείται στα αξιώματα διαχωρισιμότητας αναφέρεται στη γερμανική
λέξη ‘’ trennungsaxiom’’ που σημαίνει αξίωμα διαχωρισμού.
3) Ορισμός Τοπολογικού Χώρου
Για τις ανάγκες της εργασίας απαιτείται να ορίσουμε τον τοπολογικό χώρο
και τα διαχωρίσιμα σύνολα.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω τ ένα σύνολο υποσυνόλων ενός συνόλου Χ. Το σύνολο τ καλείται
τοπολογία επί του Χ εάν ισχύουν τα εξής:
1) Τα σύνολα Χ και Ø ανήκουν στο τ.
2) Η ένωση οποιουδήποτε πλήθους στοιχείων του τ ανήκει στο τ.
3) Η τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του τ ανήκει στο τ.
Το ζεύγος (Χ,τ) καλείται τοπολογικός χώρος ,τα στοιχειά του Χ καλούνται
σημεία του χώρου και τα στοιχειά του συνόλου τ καλούνται ανοικτά σύνολα του
χώρου.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω (Χ,τ) τοπολογικός χώρος και Μ⊆Χ. Καλούμε σημείο επαφής του Μ
κάθε σημείο α που ανήκει στο Χ τέτοιο ώστε για κάθε ανοιχτή περιοχή U,Uєτ, του α
να ισχύει U ∩ Μ ≠ Ø. Το σύνολο όλων των σημείων επαφής του Μ καλείται κλειστή
θήκη του Μ και συμβολίζεται με CL(Μ).
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Πολλές φορές συμβολίζουμε όλα τα κλειστά σύνολα μιας
τοπολογίας τ με CL(τ).
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω (Χ,τ) τοπολογικός χώρος , έστω Α,Β⊆Χ, και ισχύει CL(A) ∩ B=A ∩ CL(B)= ∅
τότε τα Α,Β καλούνται διαχωρίσιμα.

4. Εικόνα 2: το μπουκάλι του Klein
Ένας τοπολογικός χώρος μπορεί να είναι χωρικά προικισμένος με ανοιχτά
σύνολα, κάποιοι χώροι έχουν μονό δυο ,το κενό σύνολο και τον εαυτό τους ,στο
διακριτικό χώρο όμως κάθε σύνολο είναι ανοιχτό. Οι πιο γνωστοί χώροι της
γεωμετρίας και της ανάλυσης βρίσκονται κάπου στο ενδιάμεσο των παραπάνω
περιπτώσεων. Τα αξιώματα διαχωρισμού είναι αυτά που μας επιτρέπουν να
θεωρήσουμε με ακρίβεια, πως ένας τοπολογικός χώρος είναι πλούσιος σε ανοιχτά
σύνολα και έτσι ανοίγει ο δρόμος για μια εμπεριστατωμένη μελέτη του.
Τα αξιώματα διαχωρισμού λοιπόν μας ενδιαφέρουν διότι μας εξασφαλίζουν
έναν ικανό αριθμό ανοικτών συνόλων μέσα σε ένα τοπολογικό χώρο ,που είναι
άρρηκτα συνδεδεμένος με τον αριθμό των συνεχών συναρτήσεων που μπορεί να
οριστούν μέσα του. Εφόσον οι συνεχείς συναρτήσεις βρίσκονται στο κέντρο της
μελέτης της τοπολογίας είναι λογικό να θέλουμε να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη
πολλών τέτοιων συναρτήσεων και έτσι να οδηγηθούμε σε αρκετά συμπεράσματα
από τη μελέτη του εκάστοτε τοπολογικού χώρου.
4) Αξιώματα Διαχωρισμού
Θα παρουσιάσουμε τώρα τα αξιώματα διαχωρισμού ,κάτω από κάθε ορισμό
ακολουθεί σχήμα(όπου αυτό είναι δυνατόν) ,με γκρι χρώμα συμβολίζουμε τα
ανοιχτό σύνολα ,με μαύρο χρώμα τα κλειστά σύνολα και με μαύρες τελείες τα
στοιχειά του χώρου.
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T0 – χώρος εάν για κάθε δυο σημεία
χ και y του Χ, διάφορα μεταξύ των, υπάρχει ανοικτό σύνολο U του Χ που
περιέχει το ένα από τα παραπάνω σημεία και δεν περιέχει το άλλο.
∀x,y∈X τέτοια ώστε x≠y, ισχύει:
∃U∈ϑ (x∈U και y∉U) ή ∃U∈ϑ (y∈U και x∉U)
Ο T0 – χώρος λέγεται και χώρος kolmogorov.

5. Εικόνα 3: Τ0 - χώρος
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T1 – χώρος εάν για κάθε δυο σημεία χ
και y του Χ, διάφορα μεταξύ των, υπάρχουν ανοικτά σύνολα U,V του Χ
τέτοια ώστε το χ να ανήκει στο U αλλά όχι στο V και το y να ανήκει στο V
αλλά όχι στο U.
∀x,y∈X τέτοια ώστε x≠y, ισχύει:
∃U∈ϑ (x∈U και y∉U) και ∃V∈ϑ (y∈V και x∉V)
Ο T1 –χώρος λέγεται και χώρος Frechet.
Εικόνα 4: T1 – χώρος
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T2 –χώρος ή χώρος Hausdorff εάν
κάθε δυο σημεία χ και y του Χ, διάφορα μεταξύ τους έχουν ανοιχτές ξένες
μεταξύ τους περιοχές U,V ,δηλαδή U∩V=∅.
∀x,y∈X τέτοια ώστε x≠y,ισχύει:
∃U,V∈ϑ (x∈U,y∈V) και U∩V=∅

6. Εικόνα 5: χώρος - T2
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T3 –χώρος(Vietoris) εάν για κάθε
σημείο χ του Χ και για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Χ που δεν περιέχει το
χ, υπάρχουν ανοιχτά σύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε χ∈V, F⊆U και U∩V=∅
∀F∈CL(ϑ), χ∉F:∃U,V∈ϑ:F⊆U,χ∈V:U∩V=∅
Εικόνα 6: χώρος – T3
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T3½ -χώρος εάν για κάθε σημείο χ
του Χ και για κάθε κλειστό σύνολο F που δεν περιέχει το χ, τα σύνολα {χ} και
F διαχωρίζονται με συνάρτηση, δηλαδή υπάρχει συνεχής συνάρτηση
f:X[0,1] του X τέτοια ώστε f(χ)=0
και f(y)=1 για κάθε y∈ F.
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T4 -χώρος εάν για κάθε ζεύγος Α και
Β ξένων μεταξύ τους κλειστών συνόλων του Χ υπάρχουν ανοικτά σύνολα U
και V τέτοια ώστε Α⊆ U,Β⊆ V και
U∩V=∅.
∀A,B∈CL(ϑ),A∩B=∅:∃U,V∈ϑ:A⊆U,B⊆V,U∩V=∅

7. Εικόνα 7: χώρος – T4 και χώρος T5
 Ένας τοπολογικός χώρος (Χ,ϑ) καλείται T5 -χώρος εάν για κάθε ζεύγος Α,Β
διαχωρίσιμων συνόλων του Χ υπάρχουν ανοιχτά σύνολα U και V τέτοια
ώστε Α⊆ U,Β⊆ V και U∩V=∅.
∀A,B⊆X, CL(A)∩B=A∩CL(B)=∅:∃U,V∈ϑ:A⊆U,B⊆V,U∩V=∅
 Ένας τοπολογικός χώρος Χ που είναι ταυτόχρονα T1 -χώρος και
T3-χώρος καλείται κανονικός (regular)χώρος.
 Ένας τοπολογικός χώρος Χ που είναι ταυτόχρονα T1 -χώρος και
T3½-χώρος καλείται πλήρως κανονικός ή χώρος Tychonoff.
 Ένας τοπολογικός χώρος Χ που είναι ταυτόχρονα T1 -χώρος και
T4-χώρος καλείται καλείται φυσικός(normal) χώρος
 Ένας τοπολογικός χώρος Χ που είναι ταυτόχρονα T1 -χώρος και
T5-χώρος καλείται πλήρως φυσικός( completely normal) χώρος.
Παραθέτουμε τώρα κάποιες βασικές προτάσεις και κάποιες παρατηρήσεις
που προκύπτουν από τα αξιώματα διαχωρισμού (χωρίς τις αποδείξεις τους):
1. Ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι T1 –χώρος αν και μόνο αν για κάθε σημείο
χ∈Χ το μονοσύνολο {χ} είναι κλειστό σύνολο.
2. Κάθε κανονικός χώρος είναι χώρος Hausdorff.(το αντίστροφο δεν ισχύει).
3. Κάθε χώρος Tychonoff είναι κανονικός χώρος.
4. (Λήμμα του Urysohn)Έστω Χ φυσικός χώρος και Α,Β δυο ξένα μεταξύ τους
κλειστά σύνολα. Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση f του Χ τέτοια ώστε f(χ)=0
για κάθε χ∈Α και f(χ)=1 για κάθε χ∈Β.
5. Κάθε μετρικός χώρος είναι χώρος Hausdorff

8. 6. Κάθε χώρος με τη διακριτική τοπολογία είναι χώρος Hausdorff.
7. Κάθε φυσικός χώρος είναι χώρος Tychonoff.
5. Σχέσεις μεταξύ των Τi - χώρων
Τέλος θα μελετήσουμε πως σχετίζονται οι χώροι που προκύπτουν από τα
αξιώματα διαχωρισμού.
Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι σχέσεις που διέπουν τους Ti –χώρους,
είναι φανερό πως υπάρχουν Ti-1 χώροι που δεν είναι απαραίτητα Ti ,επίσης οι
ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ
T0 - χώροι
T1 – χώροι
χώροι Hausdorff(T2 )
T3 – χώροι(κανονικοί T1-χώροι)
χώροιTychonoff
T4 –χώροι(φυσικοί T1 -χώροι)
T5 -χώροι Μετρικοί χώροι
Andrey Tychonoff Felix Hausdorff

9. μετρικοί χώροι ικανοποιούν όλα τα αξιώματα διαχωρισμού, παραδείγματα
μετρικών χώρων είναι ο Rn και ο διακριτικός χώρος. Παραδείγματα Ti-1 χώρων που
δεν είναι απαραίτητα Ti είναι τα εξής:
1) Ο χώρος Sierpinski είναι T0 -χώρος αλλά όχι T1
2) Ο χώρος με τετριμμένη τοπολογία που περιέχει τουλάχιστον δυο σημεία δεν
είναι ούτε T0.
3) Ο χώρος εφοδιασμένος με την τοπολογία Zariski είναι T0 αλλά όχι πάντα T1.
6. Συμπεράσματα
Όπως είπαμε και πιο πάνω ο Rn είναι μετρικός χώρος, ως εκ τούτου πολλά
από τα προβλήματα που απασχολούν την επιστημονική κοινότητα αλλά και την
καθημερινότητα μας βρίσκουν τη λύση τους στα πλαίσια αυτού του χώρου,
άλλωστε μελετούσαμε τον Rn και πολύ πριν ορίσουμε την έννοια του μετρικού
χώρου. Η επιστήμη όμως προχωρεί ακάθεκτη και μαζί και η τεχνολογική ανάπτυξη
έτσι εμφανίστηκε η μελέτη του χάους που σχετίζεται με τον χώρο Sierpinski η
μελέτη των πολυωνυμικών εξισώσεων όπου ο χώρος με τοπολογία Zariski επίσης
βρίσκει εφαρμογή.
Κάθε μετρικός χώρος είναι χώρος Hausdorff και γι’αυτό το αξίωμα T2 είναι
ίσως το ποιο σημαντικό, άλλωστε οι περισσότεροι χώροι που μελετά η Ανάλυση και
η Άλγεβρα είναι χώροι Hausdorff από τα παραπάνω παραδείγματα όμως έπεται
πόσο σημαντικά είναι και τα υπόλοιπα αξιώματα διαχωρισμού όχι μόνο σαν
ποιοτικές τοπολογικές ιδιότητες ενός χώρου αλλά και ως εργαλεία που
χρησιμεύουν στους μαθηματικούς που ασχολούνται με τοπολογικούς χώρους που
δεν είναι μετρικοποιήσιμοι.
Όλα τα αξιώματα διαχωρισμού τελικά βοηθούν στην ταξινόμηση των
τοπολογικών χώρων ανάλογα με την ποιότητα τους και στρέφουν την προσοχή των
μαθηματικών στη μελέτη κλάσεων τοπολογικών χώρων με το μέγιστο ενδιαφέρον
για την μαθηματική αλλά και την ευρύτερη επιστημονική κοινότητα.Η
ονοματολογία που έχει δοθεί στα αξιώματα διαχωρισμού αποτελεί ίσως τροχοπέδη
για την περαιτέρω μελέτη καθότι δεν είναι κοινή σε όλη τη βιβλιογραφία, ίσως θα
έπρεπε όλοι οι μαθηματικοί να συμφωνήσουν σε μια και μοναδική ονοματολογία
που θα συμφωνεί με έναν και μοναδικό ορισμό του κάθε αξιώματος κάθε φορά
ίσως όμως και όχι, άλλωστε μέσα από διαφωνίες και αμφισβητήσεις έχουν φτάσει
τα μαθηματικά τόσο μακριά και ο δρόμος φαίνεται πως είναι μακρύς ακόμα.

10. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1]ΓΕΝΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ,ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Δημήτρης Γεωργίου,
Σταύρος Ηλιάδης
[2] Introduction to topology and modern analysis,G.Simmons McGraw-Hill Book
Company
[3] GENERAL TOPOLOGY, jesper m. møller
[4] ELEMENTARY CONCEPTS OF TOPOLOGY BY PAUL ALEXANDROFF with a preface by
DAVID HILBERT translated by ALAN E.PARLEY, DOVER PUBLICATIONS, INC, New York
[5] GENERAL TOPOLOGY , James Munkres
[6] Topology Course Lecture Notes, Aisling McCluskey and Brian McMaster
[7] Lecture Notes On Elementary Topology And Geometry - Singer,Thorpe
[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom
[9] http://mathworld.wolfram.com/SeparationAxioms.html
[10] http://www.cmi.ac.in/~vipul/mathjourneys/contytopologysep.pdf