En esta Guía Didáctica, encontraras desarrollado el contenido del primer objetivo del III momento pedagogico: Producto notable y factorizacion de Polinomios, así como la Guía de ejercicios que deberás elaborar.

1. Prof. Emily Osta emi.osta@gmail.com
Profesor: Emily Osta
Año 2do A-B-D
Área de formación:
Matemática
APRENDAMOS SOBRE
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN:
Gobierno Bolivariano de Venezuela
Ministerio del Poder Popular de la Educación
Liceo Bolivariano “Tamaca”
Tamaca Estado Lara
PRODUCTO NOTABLE
Se llama productos notables a ciertos productos que
cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de
factorización. Por ejemplo, la factorización de una
diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos
binomios conjugados
PRODUCTO DE LA FORMA
(x + a). (x + a) o (x + a)2
es decir,
(x + a)2
Es igual al cuadro de x:( 𝑥2
) más el doble del
producto del primer sumando por el segundo: 2 . x . a, más
el cuadro del segundo sumando: 𝑎2
(x + a)2
= 𝑥2
+ 2. 𝑎. 𝑥 + 𝑎2
EJEMPLO (𝐱 + 𝟑) 𝟐
(x + 3)2
= 𝑥2
+ 2. 3. 𝑥 + 32
(x + 3)2
= 𝑥2
+ 6𝑥 + 9

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PRODUCTO DE LA FORMA
(x - a). (x - a) o (x − a)2
es decir,
(x − a)2
Es igual al cuadro del primer sumando x:( 𝑥2
) menos el doble
del producto del primer sumando por el segundo: -2 . x . a, más el
cuadro del segundo sumando: 𝑎2
(x − a)2
= 𝑥2
− 2. 𝑎. 𝑥 + 𝑎2
EJEMPLO (𝐱 −
𝟏
𝟐
) 𝟐
(x −
1
2
)2
= 𝑥2
− 2.
1
2
. 𝑥 +
1
2
2
(x −
1
2
)2
= 𝑥2
− 𝑥 +
1
4
PRODUCTO DE LA FORMA
(x + a). (x - a)
Es igual al cuadrado de primer término de (x + a): 𝑥2
menos el cuadrado del segundo término: 𝑎2
(x + a). (x - a) = 𝑥2
−𝑎2
EJEMPLO
ቀ𝒚 +
𝟏
𝟐
ቁ . ቀ𝒚 −
𝟏
𝟐
ቁ = 𝒚 𝟐
− ቀ
𝟏
𝟐
ቁ
𝟐
= 𝒚 𝟐
−
𝟏
𝟒

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PRODUCTO DE LA FORMA
(x + a). (x + b)
Es igual al cuadrado de primer término de (x + a): 𝑥2
más la suma de a y b, multiplicada por
x: (a + b).x, más el producto de a por b: a.b
(x + a). (x + b) = 𝑥2
+ ( 𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎. 𝑏
EJEMPLO
(𝒙 + 𝟏). (𝒙 + 𝟐) = 𝒙 𝟐
+ (𝟏 + 𝟐)𝒙 + 𝟏. 𝟐 = 𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐
En Resumen tenemos:
(𝐱 + 𝐚) 𝟐
= 𝐱 𝟐
+ 𝟐𝐚𝐱 + 𝐚 𝟐
(𝐱 − 𝐚) 𝟐
= 𝐱 𝟐
− 𝟐𝐚𝐱 + 𝐚 𝟐
(x + a) . (x – a)=𝒙 𝟐
− 𝒂 𝟐
(x + a ). (x + b )= 𝑥2
+ ( 𝑎 + 𝑏 )𝑥 + 𝑎. 𝑏
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Ahora aprenderás una nueva técnica operatoria que recibe el nombre de
factorización, la cual consiste en determinar los factores de un polinomio y convertirlo
en un producto de dichos factores.
Se llama factorización de un polinomio a la transformación del polinomio dado en un
producto de polinomios de menor grado que se llaman factores.

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EJEMPLO
1) 𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥, se puede factorizar así:
𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 = 𝑥. (𝑥 + 1) (Usando prop. Distributiva)
2) 𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1, se puede factorizar así:
𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1). (𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2
(Usando prop.
Distributiva)
Investiga ¿qué
es factor
común?
Veamos algunos casos de factorización
CASO I EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN:
En este caso la factorización es sencilla pues se presenta, cuando los términos del
polinomio dado tienen el mismo factor.
Por ejemplo: 𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥
El factor común es: x
𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥, se puede factorizar así
𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥= 2 x.𝑥2
+ 5. 𝑥
=𝑥. (2. 𝑥2
+ 5)
Nota: hemos colocado las x por ser el factor común de p(x).

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CASO II FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
En este caso se presenta cuando no hay factor común en todos los términos de una
polinomio; sin embargo estos pueden agruparse de manera que se pueda extraer factor
común.
Ejemplo: P(x)= 2𝑦 + 𝑥𝑎 + 2𝑎 + 𝑥𝑦
= (2y + 2a) + ( xa + xy)
= 2(y + a) + x(a + y) (Factor común)
= (2 + x). (y + a)
CASO III FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS.
Un trinomio (polinomio de tres términos) es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado
de un binomio; es decir, cuando es el producto de dos binomios iguales.
Ejemplo:
𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
Es un trinomio cuadrado perfecto, ya que:
𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2
= (𝑥 + 1). (𝑥 + 1)
Formas de reconocer un trinomio cuadrado perfecto:
a) El primer y el tercer término son el cuadrado de una cantidad
b) El segundo es el doble producto de x por a. esto significa a que un término cuadrado
será de forma:
(𝑥 + 𝑎)2
𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2

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CASO IV FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS
Cuando el polinomio a factorizar es un binomio del tipo diferencia de dos
cuadrados. Ya sabes que es el resultado de un producto notable: el de una suma por su
diferencia, esto es, si el binomio es:
𝐱 𝟐
− 𝐚 𝟐
Entonces se factoriza: x2
− a2
= (𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎)
Ejemplo: 𝑝(𝑥) = 𝑥2
− 4
Como es una diferencia de cuadrados, donde a=2 tenemos:
𝑥2
− 4 = (𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
CASO V FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS
Cuando el polinomio a factorizar es un binomio del tipo diferencia de dos
cuadrados. Ya sabes que es el resultado de un producto notable: el de una suma por su
diferencia, esto es, si el binomio es:
𝐱 𝟐
− 𝐚 𝟐
Entonces se factoriza: x2
− a2
= (𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎)
Ejemplo: 𝑝(𝑥) = 𝑥2
− 4
Como es una diferencia de cuadrados, donde a=2 tenemos:
𝑥2
− 4 = (𝑥 + 2). (𝑥 − 2)

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CASO VI FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE FORMA 𝒙 𝟐
+ 𝒎. 𝒙 + 𝒑
Se puede factorizar como producto polinomios en Q(x) para ciertas condiciones
que cumplan m y p, entonces la forma posible de factorizarlo es como producto de
polinomios de 1er grado, el cual será:
𝑥2
+ 𝑚𝑥 + 𝑝 = (𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑏)
𝑥2
+ 𝑚𝑥 + 𝑝 = 𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Por lo tanto: m=a + b
p=ab
Estos son los valores de m y p para poder factorizar: 𝒙 𝟐
+ 𝒎. 𝒙 + 𝒑
Ejemplo
𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 + 6
En este caso m = 5; p = 6; es decir, a + b= 5y ab= 6
Por cuando nos preguntamos ¿qué pares de números a y b si los sumamos da de
resultado 5 y su producto da como resultado 6?
A= 2 y b = 3
Entonces:
𝑝(𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2). (𝑥 + 3)

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POLINOMIO FORMA FACTORIZACIÓN
TRINOMIO
CUADRADO
PERFECTO
𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2 (𝑥 + 𝑎)2
𝑥2
− 2𝑎𝑥 + 𝑎2 (𝑥 − 𝑎)2
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
𝑥2
− 𝑎2 (𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎)
TRINOMIO x2
+ m. x + p (𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑏)
m=a + b
p=ab

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Ahora veamos algunos ejercicios
resueltos que te ayudaran:
EJERCICIO 1 HALLE EL CUADRADO DE LA
SUMA:
𝟏. (𝒙 + 𝟑) 𝟐
=(𝒙 + 𝟑). (𝒙 + 𝟑)=𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟗
2. (𝒙𝒚 + 𝟐) 𝟐
= (𝐱𝐲) 𝟐
+ 𝟐. (𝐱𝐲). 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝑥2
𝑦2
+ 4𝑥𝑦 + 4
EJERCICIO 2 HALLE EL CUADRADO DE
CADA DIFERENCIA:
𝟏. (𝒙 − 𝟏) 𝟐
=(𝒙 − 𝟏). (𝒙 − 𝟏)=𝒙 𝟐
− 𝒙 − 𝒙 + 𝟏
=𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏
EJERCICIO 3 HALLE CADA PRODUCTO:
𝟏. (𝒙 + 𝟏). (𝒙 + 𝟐) = 𝑥2
+ 𝑥 + 2𝑥 + 2
=𝑥2
+ 3𝑥 + 2

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EJERCICIO 4 FACTORIZA CADA
POLINOMIO
1. 5x+10y+4x-y= (𝟓𝒙 + 𝟒𝒙) + (𝟏𝟎𝒚 − 𝒚)
=x(𝟓 + 𝟒) + 𝒚(𝟏𝟎 − 𝟏)
=(𝟗𝒙 − 𝟗𝒚)
=9(𝒙 − 𝒚)
EJERCICIO 5 FACTORIZA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:
(𝒙 − 𝒚) 𝟐
− (𝒙 + 𝒚) 𝟐
= (𝒙 − 𝒚 + 𝒙 + 𝒚). (𝒙 − 𝒚 − 𝒙 − 𝒚)
=2x.(−𝟐𝒚)
=−𝟒𝒙𝒚
EJERCICIO 6 FACTORIZA LOS TRINOMIOS
𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟖 =
Dónde: a + b= -6 y ab= 8
Entonces = -4 y b= -2
Luego:
𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟖 = (𝒙 − 𝟒). (𝒙 − 𝟐)
𝒙 𝟐
+ 𝒎. 𝒙 + 𝒑

11. Prof. Emily Osta emi.osta@gmail.com
✓ La guía la puedes resolver a pc (se orienta al estudiante a utilizar las
ecuaciones) o simplemente en una hoja de papel.
✓ La fecha máxima de entrega es para 30/04/2020
✓ La deben enviar al correo emi.osta@gmail.com o al whatsApp 0412
0532559
✓ Se precavido y lee cuidadosamente la teoría y los ejemplos, antes de
resolver.
✓ Los criterios a evaluar son los siguientes:
❖ Puntualidad
❖ Creatividad
❖ Desarrollo del contenido
❖ Pulcritud
❖ Presentación
❖ Fluidez
Ahora de lo antes estudiado resuelve esta guía de
ejercicios, el cual tendrá una ponderación de 10%, y debes
realizar una grabación personal resolviendo en un pizarrón (si no
tienes un pizarrón a la mano lo puedes resolver en lamina) un
ejercicio el cual tú tienes la oportunidad de elegirlo, eso si
tendrás que resolverlo y explicarlo paso a paso, has el papel de
profesor. El video tendrá una ponderación de 10%

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Profesor: Emily Osta
Año 2do A-B-D
Área de formación:
Matemática
Guía de ejercicios 10%
Video 10%
1. verdadero y falso (2pts)
a. la única manera de obtener el resultado de un producto notable, es efectuando las
multiplicaciones indicadas………………………………………………………(__)
b. el producto notable (𝑥 + 𝑦)2
𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑥2
+ 𝑦2
……………………………(__)
c. por medio de la factorización de polinomios se transforma un polinomio dado en
un producto de polinomios de menor grado…………………………………….(__)
d. un trinomio perfecto es cuadrado perfecto, si él es el producto de dos binomios
diferentes………………………………………………………………………...(__)
2. Usa los casos de factorización para factorizar los siguientes polinomios (8
pts.)
a.(2𝑥 + 1)2
=
b. (𝑥 + 3)2
=
c. ቀ𝑥 +
1
3
ቁ
2
=
d. (3𝑥𝑦 − 1)2
=
e. (𝑥3
𝑦2
− 𝑥𝑦)2
=
f.ቀ𝑥 +
1
2
ቁ ቀ𝑥 −
1
ቁ =
g. 𝑥3+
𝑥2
+ 𝑥 =
h. 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 =
“La educación es el gran motor del desarrollo personal “
(Nelson Mandela)
Gobierno Bolivariano de Venezuela
Ministerio del Poder Popular de la Educación
Liceo Bolivariano “Tamaca”
Tamaca Estado Lara