10. กรอบที่ 1
ลิมิตของฟังก์ชัน
ถ้า a และ L เป็ นจานวนจริ ง โดยที่ y = f(x) ซึ่งมีโดเมน
และเรนจ์เป็ นสับเซตของจานวนจริ งมีค่าเข้าใกล้หรื อเท่ากับ L ในขณะ
ที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ใด ๆ แล้วจะกล่าวว่า f(x) มีลิมิตเท่ากับ L ในขณะที่
x เข้าใกล้ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f ( x) L
x a
การพิจารณาว่า x เข้าใกล้ a ใด ๆ จะพิจารณา 2 กรณี คือ เมื่อ
x เข้าใกล้ a โดยที่ x < a ซึ่ งจะเรี ยกว่า x เข้าใกล้ a ทางซ้าย เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ xa- และพิจารณาเมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x > a ซึ่งจะ
เรี ยกว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา เขียนแทนด้วย xa+
น้อง ๆ ครับ ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชน f(x) เมื่อ xa จะหาค่าได้เมื่อ
ั
1. lim f ( x) หาค่าได้
x a
2. lim f ( x) หาค่าได้
x a
3. lim f ( x) = lim f ( x)
x a x a
12. แบบฝึ กหัด
ให้นกเรี ยนพิจารณาฟังก์ชน f(x) = 2x – 1 ขณะที่ x เข้าใกล้ 3 โดยเติมค่า f(x) ลงในตาราง
ั ั
x<3 x>3
x f(x) x f(x)
2.5 3.5
2.9 3.1
2.95 3.05
2.99 3.01
2.995 3.005
2.999 3.001
lim f ( x)
x 2
= ……………..
lim f ( x)
x 2
= ……………..
lim f ( x)
x2
= ……………..
13. เฉลยแบบฝึ กหัด
x<3 x>3
x f(x) x f(x)
2.5 4 3.5 6
2.9 4.8 3.1 5.2
2.95 4.9 3.05 5.1
2.99 4.98 3.01 5.02
2.995 4.99 3.005 5.01
2.999 4.998 3.001 5.002
lim f ( x)
x 3
= 3
lim f ( x)
x 3
= 3
lim f ( x)
x3
= 3
14. ่
เป็ นอย่างไรบ้างครับน้อง ๆ วิธีการหาลิมิตดังกล่าวค่อนข้างที่จะยุงยากใช่ไหม
ละ คราวนี้พี่ตนหอม มีวธีการง่ายกว่าเดิมโดยการใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
้ ิ
ช่วยในการหาคาตอบ
ทฤษฎีบท เมื่อ a, L และ M เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ถ้า f และ g เป็ นฟังก์ชนที่มีโดเมน
ั
และเรนจ์เป็ นสับเซตของเซตของจานวนจริ ง โดยที่ lim f ( x) L และ lim g ( x) M
x a x a
แล้ว
1. lim c c
x a
เมื่อ c เป็ นค่าคงตัวใด ๆ
2. lim x a
x a
3. lim x n a n , n I
x a
4. lim cf ( x) c lim f ( x) cL, c เป็ นค่าคงตัวใด ๆ
x a x a
5. lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) L M
x a x a x a
6. lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) L M
x a x a x a
7. lim[ f ( x).g ( x)] lim f ( x). lim g ( x) L.M
x a x a x a
lim f ( x)
8. lim f ( x)
x a
x a
L
,M 0
g ( x) lim g ( x)
x a
M
9. lim[ f ( x)]
x a
n
[lim f ( x)]n Ln , n I
x a
10. lim n
x a
f ( x) n lim f ( x) n L , n I {1} และ n
L R
x a
15. ตัวอย่างที่ 1 จงหา lim ( x 2 2 x 4)
x 3
วิธีทา โดยทฤษฎีบท จะได้
lim ( x 2 2 x 4)
x 3
= lim x 2 lim 2 x lim 4
x 3 x 3 x 3
2
= 3 + 2( lim x) 4
x 3
= 9 + (2)(3) – 4
= 11
x 2 9x 8
ตัวอย่างที่ 2 จงหา lim
x 3 x8
วิธีทา โดยทฤษฎีบท จะได้
x 2 9x 8 lim ( x 2 9 x 8)
lim = x 3
x 3 x8 lim ( x 8)
x 3
lim x 9 lim x lim 8
2
= x 3 x 3 x 3
lim x lim 8
x 3 x 3
3 (9)(3) 8
2
=
38
44
=
11
= 4
x 2 25
ตัวอย่างที่ 3 จงหา lim
x 5 x 5
x 2 25 ( x 5)( x 5)
วิธีทา เนื่องจาก =
x5 ( x 5)
= x 5
x 25
2
ดังนั้น lim = lim ( x 5)
x 5 x5 x 5
= -5 + 5
= 0
x 2 25
ข้ อสั งเกต การหาลิมิตของฟังก์ชน f(x) =
ั ที่ x = -5 ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท โดยตรง
x5
ได้เพราะ จะอยูในรู ป 0 ดังนั้นเมื่อต้องการหาลิมิตของฟังก์ชน f(x) = x 25 ที่ x = -5 จึงหาลิมิต
2
่ ั
0 x5
ของฟังก์ชน f(x) = x + 5 ที่ –5 แทน
ั
16. x4 2
ตัวอย่างที่ 4 จงหาลิมิต lim
x 0 x
วิธีทา จากฟังก์ชนที่กาหนดให้จะเห็นว่าไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท หาค่าลิมิตของฟังก์ชน
ั ั
ได้โดยตรง จึงจะจัดรู ปของฟังก์ชนใหม่ดงนี้
ั ั
x4 2 x4 2 x42
เนื่องจาก =
x x x42
( x 4) 2
2 2
=
x( x 4 2)
x44
=
x( x 4 2)
1
= เมื่อ x0
x42
x4 2 1
จะได้ lim = lim
x 0 x x 0
x42
1
=
4
น้องดูตวอย่างแล้วเป็ นอย่างไรกัน
ั
บ้าง เพื่อความเข้าใจให้ดียงขึ้นนะ
ิ่
ครับ อย่าลืมทาแบบฝึ กหัดทดสอบ
ความเข้าใจของตนเองนะครับ
17. แบบฝึ กหัดที่ 2
จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้
1. lim
x 4
x2 x 5
2. lim( x 2 2 x 9)
x 3
x 2 25
3. lim
x 5 x 5
x4
4. lim
x 4 x 2 16
t 9
5. lim
t 9
t 3
5x 9 3
6. lim
x 0 x