Cuaderno de tabajo matematicas ll 2013

CUADERNO DE TRABAJO
MATEMÁTICAS II
ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO
DE
NIVEL BACHILLERATO
COLEGIADO DE MATEMATICAS
NOMBRE DEL ALUMNO
NUMERO DE LISTA
_____________
GRUPO
PERIODO 2012-A
1

TEMARIO
PRIMER PARCIAL
BLOQUE I
TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
 Clasificación de ángulos
 Definición y clasificación de los triángulos por: la medida de sus lados y de sus ángulos
BLOQUE II
COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
 Criterios de congruencia
 Relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes
BLOQUE III
RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
 Características de triángulos semejantes
 Criterios de semejanza de triángulos
 Teorema de Thales
 Teorema de Pitágoras
 Relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre ésta
BLOQUE IV
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
 Clasificación de los polígonos
 Propiedades y elementos de los polígonos
 Relaciones y propiedades de los polígonos
SEGUNDO PARCIAL
BLOQUE V
EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
 Propiedades de los elementos asociados a una circunferencia
 Características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia
BLOQUE VI
DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
 Diferentes unidades de medida de ángulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas
 Funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos
BLOQUE VII
APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano
 Ángulo de referencia ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV
 Funciones trigonométricas en el círculo unitario

2
TERCER PARCIAL
BLOQUE VIII
APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS
 Leyes de los senos y cosenos así como los elementos necesarios para la aplicación de una u
otra
BLOQUE IX
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
 Medidas de tendencia central para datos no agrupados
 Características de las medidas de tendencia central
 Medidas de dispersión: rango, varianza y desviación típica para datos agrupados por clases
 Características de las medidas de tendencia central
BLOQUE X
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
 Eventos deterministas y aleatorios
 Espacio muestral de diversos tipos de eventos
 Probabilidad clásica de un evento aleatorio
 Probabilidad de eventos compuestos
MATERIALES
JUEGO DE GEOMETRÍA (PERMANENTE)
CALCULADORA CIENTIFICA
CUADERNOS DE TRABAJO
3

HOJA DE REPORTES DEL ALUMNO
NOMBRE DEL ALUMNO ________________________________________________________
FECHA MOTIVO FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE
REPORTES CON EL VISTO BUENO DE LA DIRECCIÓN DE LA ESCUELA
FECHA MOTIVO FIRMA DE LA DIRECTORA FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE

4
ANGULO
Un ángulo se define como:
La abertura entre dos rectas ó semirrectas con un mismo origen.
A las rectas se les llama lados y al origen vértice.
En conclusión los ángulos están formados por segmentos de recta, semirrectas y rectas que se intersectan
en un punto que es común.
Todos los ángulos tienen un lado fijo, donde inicia el ángulo y un lado móvil y pueden tener cualquier
posición.
Los símbolos de ángulo son:
 ó 
CLASIFICACIÓN DE ANGULOS
Los ángulos se clasifican de acuerdo a la medida de la abertura de las dos semirrectas.
Se les dan nombres específicos según su medida, en forma general se pueden trazar sin necesidad de
hacer mediciones pero teniendo en cuenta las definiciones de cada uno.
Se toman como referencia los ejes del plano cartesiano.
ANGULO AGUDO ANGULO RECTO ANGULO OBTUSO
Es menor de 90
0
Mide 90
0
Es mayor de 90
0
y menor de 180
0
C
B A
F
G D
M
N O
0° < ABC < 90
0
 DGF = 90
0
90
0
< ONM < 180
0
ANGULO LLANO ANGULO ENTRANTE ANGULO PERIGONAL
Es igual a 180
0
Es mayor de 180
0
y menor de 360
0
Mide 360
0
Q P R
Y X
Z
A
B C
 RPQ = 180
0
180
0
< XYZ < 360
0
 ABC = 360
0
Las definiciones en forma general se plantean:
El ángulo agudo mide más de 0° pero menos de 900
.
El ángulo recto mide exactamente 900
.
El ángulo obtuso mide más de 900
pero menos de 1800
.
El ángulo llano mide exactamente 1800
.
El ángulo entrante mide más de 1800
pero menos de 3600
.
El ángulo perigonal ó de vuelta completa mide exactamente 3600
.

Para dar respuesta a una pregunta sobre definición de ángulos se pueden tomar cualquiera de las
definiciones
5
TRAZAR LOS SIGUIENTES ANGULOS Y ESCRIBE SU NOMBRE
68° 123° 247°
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE
LLAMA
LLAMA
LLAMA
90° 360° 25°
LLAMA
LLAMA
LLAMA
162° 0° 180°
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE

LLAMA LLAMA LLAMA
6
ANGULOS ADYACENTES
Los ángulos adyacentes son:
Dos ángulos que tienen un lado coolineal y su vértice y un lado común.
Otra definición nos dice que:
Son los ángulos que comparten una recta y la otra que los forma es la misma para los dos ángulos
La suma de dos ángulos adyacentes es igual a 180°
C
D B A
Por lo tanto
ABC + CBD = 180°
Construye ángulos adyacentes, tomando como base el que se indica y construya su gráfica
RPQ = 73° (Horizontal) MNO = 123
0
(Oblicuo)
ABC = 110
0
(Vertical) DEF = 48
0
(Oblicuo)

7
ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los ángulos opuestos por el vértice son:
Dos ángulos iguales que se obtienen de dos rectas que se cortan y no son adyacentes.
Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son la prolongación de los lados del otro.
GRAFICA
A D
0
B C
En la figura los ángulos opuestos por el vértice son:
_______ y _______ ; _______ y _______
De las siguientes gráficas y de acuerdo a los datos que se indican obtener el valor de los ángulos
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
c
d b
a
d = 54°
 a =
 b =
 c =
e
f g
h
 e = 3a +12°  f = 2a – 5 °
a =
 g =
 h =
n
m p
q
x =
 p=

 m = x + 15°  n = 2x + 5°
 q =
8
ANGULOS ENTRE PARALELAS
Se definen como:
Son pares de ángulos iguales se forman entre unas líneas paralelas y una secante.
De acuerdo a la posición de los ángulos con respecto a las líneas paralelas y la secante reciben diferentes
nombres.
ANGULOS CORRESPONDIENTES
Son dos ángulos iguales pero uno dentro de las paralelas y otro fuera pero del mismo lado de la
secante.
ALTERNOS INTERNOS
Son dos ángulos iguales dentro de las paralelas a ambos lados de la secante.
ALTERNOS EXTERNOS
Son dos ángulos iguales fuera de las paralelas a ambos lados de la secante.
1800
.
CONJUGADOS O COLATERALES INTERNOS
Son dos ángulos que se encuentran dentro de las paralelas del mismo lado de la secante que
sumados son igual a 1800
.
CONJUGADOS O COLATERALES EXTERNOS
Son dos ángulos que se encuentran fuera de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados
son igual a 1800
.
De la siguiente figura contesta lo que se te pide y si son ángulos entre paralelas de acuerdo a las
definiciones.
1 2
3 4
5 6
7 8
AB   CD
EF es secante a las paralelas
Número de ángulos que se forman Ángulos que se forman Ángulos que se forman dentro de
las paralelas
Ángulos que se forman fuera de
las paralelas
Ángulos que se forman a la
derecha de la secante
Ángulos que se forman a la
izquierda de la secante
Ángulos Correspondientes Ángulos alternos internos

Ángulos alternos externos Ángulos conjugados internos Ángulos conjugados externos
9
a b c d
e f g h
Ángulos que se forman Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos
m o
p s
t v
x y
Ángulos que se forman Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos
Si el ángulo a mide 54° ¿cuánto miden los demás ángulos
FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS
a b
c d
e f
g h
 a =
 b =
 c =
 d =
 e =
 f =
 g =
 h =

10
De la siguiente figura y de acuerdo a los datos obtener la medida del ángulos “ a “ y el ángulo “ z “
FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS
a b
y z
 a = 2 x + 8 °  = z = x + 6°
x =
 a =
 z =
ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Son dos ángulos que sumados dan como resultado un ángulo recto es decir, un ángulo de 90
0
.
De acuerdo a las características anteriores construir ángulos complementarios y encontrar en valor de los dos, en
algunos casos se darán valores desconocidos en los cuales se aplicaran ecuaciones de primer grado con una incógnita
y traza la gráfica.
MNO = (3x + 8)° ONP = (2x + 7)° GHI = (4x + 2)° IHJ = (3x + 4)°
MST mide 6° más que el triple de su complemento ABC = 3x° y el BD = (2x + 30)°

11
RPQ = 5y° ; QPS = 2y° CDE = 45 y es igual a su complemento
ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Son dos ángulos que sumados son igual a 180
0
.
También se definen como:
Dos ángulos que sumados son iguala a dos ángulos rectos.
Obtener el valor de los siguientes ángulos complementarios.
ABC = 111
0
Hallar su suplemento DEF = 67
0
24´ Hallar su suplemento
GHI = 67
0
35´ 17´´ Hallar su suplemento < JKL = 6x° ; < LKT = (2x + 10)°

12
TRIANGULOS
Existen diferentes definiciones de triángulo, entre las más usuales tenemos las siguientes:
Polígono de tres lados Es la porción de plano limitada por tres rectas que se cortan
de dos en dos
Se debe de tener en cuenta que el triángulo es la superficie o área que se encuentra dentro de los lados
NOTACIÓN DE TRIANGULO
Se traza un triángulo pequeño antes de las letras que lo identifican.

Los triángulos tienen nueve elementos,
a) Tres vértices
b) Tres lados
c) Tres ángulos
CLASIFICACION DE TRIANGULOS
Los triángulos se clasifican por la medida de sus lados ó la medida de sus ángulos, por lo que tenemos que:
POR LA MEDIDA DE SUS LADOS
TRIANGULO EQUILÁTERO
Tiene sus tres lados iguales
TRIANGULO ISÓSCELES
Tiene dos lados iguales y uno
desiguales
TRIANGULO ESCALENO
Tiene sus tres lados desiguales
POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
TRIANGULO ACUTANGULO
Tiene sus tres ángulos menores
de 90°
TRIANGULO RECTANGULO
Tiene un ángulo de 90°
TRIANGULO OBTUSANGULO
Tiene un ángulo mayor de 90°
De acuerdo a las definiciones traza los siguientes triángulos
EQUILATERO ACUTANGULO ISÓSCELES ACUTANGULO ESCALENO ACUTANGULO

13
EQUILATERO RECTANGULO ISOSCELES RECTANGULO ESCALENO RECTANGULO
EQUILATERO OBTUSANGULO ISOSCELES OBTSANGULO ESCALENO OBTUSANGULO
RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Una recta notable de un triángulo, es una recta con características especiales y se tiene cuatro
MEDIATRIZ
Es la reta perpendicular a un lado de un triángulo, que lo divide en dos segmentos iguales
MEDIANA
Es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
BISECTRIZ
Es la recta que divide a un ángulo en dos iguales
ALTURA
Es el segmento de recta perpendicular de un lado al vértice opuesto.
PUNTOS NOTABLES
Es el punto la intersección de las tres rectas de cada una de las anteriores y se llaman
CIRCUNCENTRO
Es el punto de intersección de las tres mediatrices de cualquier triángulo
El CIRCUNCENTRO, es el centro de una circunferencia circunscrita a un triángulo
BARICENTRO
Es el punto de intersección de las tres medianas de cualquier triángulo
El BARICENTRO, es el punto de equilibrio de un triángulo.

ORTOCENTRO
Es el punto de intersección de las tres alturas de cualquier triángulo
INCENTRO
Es el punto de intersección de las tres bisectrices de cualquier triángulo
El INCENTRO, es el centro de una circunferencia inscrita a un triángulo.
CIRCUNSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra fuera de una figura y toca todos sus vértices.
INSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra dentro de una figura y toca todos sus lados.
Se debe de tener en cuenta que algunos de los puntos de intersección se pueden localizar dentro o fuera de los
triángulos, según sus características.
14
Traza un triángulo equilátero y una mediana Traza un triángulo isósceles y una mediatriz
Traza un triángulo escaleno y una altura Traza un triángulo isósceles y una bisectriz
TRAZA LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS INDICACIONES
Un triángulo isósceles acutángulo, sus tres bisectrices,
el incentro y la circunferencia inscrita
Un triángulo equilátero sus tres medianas, y el
baricentro

15
Un triángulo escaleno obtusángulo sus tres alturas,
el ortocentro
Un triángulo isósceles rectángulo sus tres
medianas y el circuncentro
SUMA DE ANGULOS INTERIORES DEL TRIANGULO
Definición:
La suma de ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°
Las suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos
 A +  B +  C = 180°
Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente figura tenemos.
B
P 1 2 Q
A C
Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente grafica
Al  ABC

Se trazar una línea paralela que pasa por un vértice B del triángulo opuesta al lado AC, se forma un ángulo
llano que da origen a la siguiente demostración.
a.- PQ l l AC Por construcción
b.-  A =  1 Por ser alternos internos
c.-  C =  2 Por ser alternos internos
c.-  1 +  B +  2 = 180° Por formar un ángulo llano
d.-  A +  B +  C = 180° Sustituyendo (a) en (c)
16
Obtener el valor de los ángulos y trazar las figuras de acuerdo a los valores.
En el ∆ ABC el  A = 43° ; el  B = 64° ; el  C = ?
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el ∆ es: Por la medida de sus ángulos el ∆ es:
En el ∆ DEF el  D = 55° ; el  E = ? ; el  F = 61°
En el ∆ GHJ el  G = ? ; el  H = 60° ; el  J = 80°

17
En el ∆ KLM el  K = 82° 16 ´ ; el  L = 53° 47 ´ ; el  M = ?
ANGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO
Definiciones:
a. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores del triángulo
que no son adyacentes.
b. Un ángulo interior de un triangulo se forma por el lada del triángulo y la prolongación del otro.
c. La suma de un ángulo exterior y el ángulo interior adyacente es igual a 180°.
d. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos no adyacentes.
De acuerdo a la figura tenemos:
FIGURA
DE LAS SIGUIENTES FIGURAS OBTEN LOS ANGULOS FALTANTES
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
 k =

 t =
 j =
 J =
18
 Q =
 q =
 j =
 J =
 W =
En el ∆ ABC el  A = 3x ; el  B = 5x ; el  C = 4x
 A =
 B =
 C =
CONGRUENCIA
Congruencia, “Son dos figuras con igual forma y tamaño””, por lo que las propiedades de una figura
son válidas para la otra figura.

Otra definición de congruencia nos dice que: “Es cuando dos figuras que coinciden exactamente”
El símbolo de congruencia es , que quiere decir;  igual tamaño y,  igual forma.
TRIANGULOS CONGRUENTES
Dos triángulos son congruentes cuando:
“Tiene la misma forma y el mismo tamaño”
Es decir que sus lados y ángulos correspondientes son iguales.
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
POSTULADO LAL
“Si dos triángulos tienen 2 lados y el ángulos comprendido entre ellos iguales, entonces los
triángulos son congruentes”
19
Construye triángulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ISOSCELES – OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS – RECTÁNGULOS JUSTIFICACION
POSTULADO ALA
“Si dos triángulos tienen 2 ángulos y el lado comprendido entre ellos iguales, entonces los triángulos son congruentes”
ISOSCELES – RECTÁNGULOS JUSTIFICACION
EQUILATEROS – ACUTANGULOS JUSTIFICACION

20
POSTULADO LLL
“Si dos triángulos tienen sus 3 lados iguales, entonces los triángulos son congruentes”
ISOSCELES – ACUTANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS – OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
SEMEJANZA
Se define como:
“ Son dos figuras con la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño
Otra definición indica que:
“ Las figuras tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales”
Es decir, que una puede ser mayor que otra, pero sus componentes guardan relación entre si.
El símbolo de semejanza es:


Que quiere decir:
Igual forma.
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Dos triángulos son semejantes, cuando:
“ Tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales”
Homólogo quiere decir:
Lados que se oponen a ángulos iguales.
POSTULADOS DE SEMEJANZA
POSTULADO AA
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguale
21
Construye triángulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ACUTANGULOS – ESCALENOS JUSTIFICACION
RECTANGULOS – ISÓSCELES JUSTIFICACION
POSTULADO LAL
Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y los lados adyacentes proporcionales
ISOSCELES – RECTÁNGULOS JUSTIFICACION

22
POSTULADO LLL
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados proporcionales
ISOSCELES – ACUTANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS – OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
TEOREMA DE THALES
Teorema básico de la proporcionalidad se define como:
Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero
C HIPOTESIS
En el  ABC
TESIS

D E  DEC   ABC
TRAZO AUXILIAR
A F B EF // AB
RAZONAMIENTO RAZÓN
1.- En el  ABC, DE // AB por hipótesis
2.-  C =  C Por identidad
3.-  A =  CDE,  B =  CDE Por se correspondientes entre paralelas
4.-
CD
CA
=
CE
CB
El  ABC   DCE por el postulado de semejanza (AA)
23
TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras solo es aplicable en triángulos rectángulos.
Con el podemos encontrar la medida de los lados o la medida de la hipotenusa.
Se define como:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa,
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
DEDUCCIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
En el triángulo ABC
AB = c (cateto)
BC = a (hipotenusa)
CA = b (cateto)
TEOREMA DE PITÁGORAS
(BC)2
= (AB)2
+ (CA)2
a2
= b2
+ c2
CONSTRUCCIÓN AUXILIAR
Se traza la altura AD = h,
desde el vértice A,
a la hipotenusa BC
SE FORMAN LOS
TRIANGULOS
SEMEJANTES
ABC  ABD  ADC
DEMOSTRACION
b
a
=
CD
b
y
c
a
=
DB
c
b2
= a . CD y c2
= a . DB
Sumando miembro a miembro
b2
+ c2
= (a . CD ) + (a . DB)
Factorizando ( a ) en el Segundo miembro
b2
+ c2
= a(CD + DB)
Pero
CD + DB = a
Por lo tanto
b2
+ c2
= a . a
b2
+ c2
= a2
Lo que se quería demostrar
El teorema de Pitágoras tiene dos corolarios, con los que se obtiene la hipotenusa o cualquiera de los
catetos.
COROLARIO 1
La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados de los catetos
COROLARIO 2
Un cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado
de la hipotenusa menos el cuadrado del otro
C
a
b D
A c B

cateto
De la igualdad
b2
+ c2
= a2
Despejando “ a ”
a2
= b2
+ c2
Transponiendo la potencia
a = 22
cb 
De la igualdad
b2
+ c2
= a2
Despejando un cateto
“b” “c”
b2
= a2
– c2
c2
= a2
– b2
Transponiendo la potencia
b = 22
ca  = 2
2 ba 
24
Aplicando los dos corolarios del teorema de Pitágoras obtén el lado faltante en los siguientes
triángulos rectángulos, tomando como base la figura anterior.
b = 10 cm ; c = 8 cm
DESARROLLO FIGURA
a = 12 mm; b = 8 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 20 mm ; c = 22 mm
DESARROLLO FIGURA

25
b = 32 cm ; c = 24 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 17 mm ; c = 4 mm
DESARROLLO FIGURA
b = 25 cm ; c = 19 cm
DESARROLLO FIGURA

26
a = 10 cm ; b = 6 cm
DESARROLLO FIGURA
b = 12 cm ; c = 14 cm
DESARROLLO FIGURA
a = 25 m ; b = 14 m
DESARROLLO FIGURA

27
b = 2 cm ; c = 12 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 5 m ; b = 34 cm
DESARROLLO FIGURA
Hallar la medida de los lados de un triángulo isósceles, de acuerdo a los datos
Base = 6 cm ; altura = 4 cm
DESARROLLO FIGURA

28
Base = 40 mm; altura = 45 mm
DESARROLLO FIGURA
Hallar la altura de un triángulo equilátero, cuando se conoce uno de sus lados
Lado = 12 cm
DESARROLLO FIGURA
Lado = 25 m
DESARROLLO FIGURA

29
Aplicando el teorema de Pitágoras resuelve los siguientes problemas.
¿Cuál es la altura de una persona que proyecta una sombra sobre el piso de 45 cm, y la distancia de su cabeza
al final de la sombra es de 95 cm?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
El tirante que sostiene a una antena es de 8.5 m, y la distancia del pie de la antena al tirante es de 4.5 m,
¿Cuánto mide la antena?
Un ciclista tiene que bajar una pendiente de 795m, en el sitio donde termina la pendiente al pie de la montaña
es de 215m ¿Qué altura tiene la montaña?

30
¿Cuál es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de
3.25 m?
Un ingeniero quiere saber cuántos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una
torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.
Se quieren colocar 6 tirantes desde una torre de 13 metros, la distancia sobre el piso desde la torre es de
7.75 m, ¿Cuánto alambre se debe de comprar?

31
POLIGONOS
DEFINICIÓN:
Un polígono es una figura formada por segmentos de recta unidos consecutivamente.
Los polígonos se clasificaciones por la medida de sus lados y la medida de sus ángulos:
POR LA MEDIDA DE SUS LADOS POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
a) Regulares
b) Irregulares
a) Convexos
b) Cóncavos
a).- Regulares, son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir que son
equiángulos y equiláteros.
Equiláteros, quiere decir que tiene todos sus lados iguales
Equiángulos quiere decir que todos sus ángulos son iguales.
Construye polígonos regulares de acuerdo al número de lados que se indica
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
b).- Irregulares, Son aquellos que tienen lados y ángulos desiguales.
En el caso de estos polígonos pueden tener sus lados iguales ó sus ángulos, pero no cumplen una
de las dos condiciones.
Construye polígonos irregulares de acuerdo al número de lados que se indica

32
Los polígonos también se clasifican en:
a).- Convexos, Son polígonos que tiene sus ángulos interiores menores de 180°
Construye tres polígonos cóncavos de acuerdo a las características
a).- Cóncavos, Son polígonos que tiene por lo menos un ángulo mayor de 180°
Construye tres polígonos convexos de acuerdo a las características
ELEMENTOS DE LOS POLIGONOS

Para poder obtener los elementos de un polígono es necesario auxiliarse de la circunferencia para fundamentar las
definiciones respectivas.
RADIO
Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al vértice del polígono.
FIGURA
33
APOTEMA
Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al punto medio de un polígono
FIGURA FORMULA
apotema =
2
2
2







lado
radio
DIAGONAL
Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
Existen dos formas de trazar las diagonales, las que se trazan desde un vértice y las diagonales totales del
polígono, para obtenerlas se utilizan las siguientes fórmulas.
Desde uno de los vértices.
d = n – 3
Diagonales totales.
D =
2
)3( nn
n representa el número de lados del polígono.
Calcular el número de diagonales desde un vértice y las diagonales totales de los siguientes polígonos
TRES LADOS CUATRO LADOS CINCO LADOS

UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES
34
CUADRILATERO CONCAVO CINCO LADOS CONVEXO SEIS LADOS CONCAVO
UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES
Las medida de las diagonales también se pueden utilizando ecuaciones de primer grado o sistemas de
ecuaciones de dos incógnitas.
ANGULOS EXTERIORES DE UN POLIGONO
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360°, por lo que para la obtención de la
medida de uno de los ángulos exteriores se utiliza la siguiente formula.

< e =
n
360
En donde n es el número de lados del polígono.
Obtener lo que se indica en cada recuadro.
POLIGONO REGULAR DE CUATRO LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO
INTERIOR
SUMA DE LOS ÁNGULOS
INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO
EXTERIOR
FIGURA
35
POLIGONO REGULAR DE CINCO LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO
INTERIOR
INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO
EXTERIOR
FIGURA
POLIGONO REGULAR DE SEIS LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO
INTERIOR
INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO
EXTERIOR
FIGURA
AREA Y PERIMETRO
El perímetro es el contorno de un polígono
El área es la superficie de un polígono limitada por el perímetro

Para calcular el área y perímetro de los polígonos se debe de tomar en cuenta, si es regular o irregular, en el
cado de los polígonos regulares se tienen fórmulas que permiten obtenerla directamente de los datos ó
realizar un proceso más complicado, en los irregulares también tienen formulas pero en algunos es necesario
realizar triangulaciones, se calcula el área de cada triángulo y sumarlas para obtener el área del polígono.
Los resultados de las áreas se dan en unidades al cuadrado
CUADRO DE FORMULAS
REGULARES IRREGULARES
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
TRIANGULO
EQUILATERO
P = 3l A =
2
bh TRIANGULO P = a + b + c A = ))()(( csbsasS PPPP 
CUADRADO P = 4l A = l
2 RECTANGULO P = 2(b + h) A = bh
POLIGONO
REGULAR DE DE
5 LADOS O MAS
P = nl A =
2
pa ROMBO P = 4L A =
2
Dd
ROMBOIDE O
PARALELOGRAMO
P = 2(b + h) A = bh
sp =
2
cba  TRAPECIO P = a + b +c + d A =
2
)( hbB 
36
AREA Y PERIMETRO DE UN TRIÁNGULO
Los resultados de las áreas se dan en unidades al cuadrado
OBTENER EL PERIMETRO Y AREA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS MEDIDAD QUE SE INDICAN
En caso de que las figuras sobresalgan de los espacios trazar una a escala
AB = 11 cm , BC = 16 cm , CA = 23 cm
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de
sus lados el
triángulo es
Por la medida de
sus ángulos el
triángulo es
DE = EF = FG = 15 m
Por la medida de
sus lados el
triángulo es
Por la medida de
sus ángulos el
triángulo es
MN = 22 cm ; NO = 15 cm ; OM = MN
Por la medida de
sus lados el

triángulo es
Por la medida de
sus ángulos el
triángulo es
Un rectángulo mide 42 m de ancho y 48 m de largo Un cuadrado mide 3.7 cm por lado
37
Un octágono que mide 5.2 cm por lado Un rombo, la diagonal mayor mide 5 cm y la diagonal
menor de 8 cm
FIGURA FIGURA
Calcular el lado de un cuadrado que mide 32.49 cm
2
Calcular el número de lados de un polígono regular que su
perímetro mide 25.3 cm y uno de sus lados mide 2.3 cm

FIGURA FIGURA
38
CALCULAR EL ÁREA DE LAS SIGUIENTES APLICANDO LA FORMULA DE HERON
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLÍGONO

39
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA. Es la línea curva cerrada en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un punto
fijo llamado centro.
CIRCULO, Es el conjunto de la circunferencia y los puntos interiores a la misma
GRAFICAS
CIRCUNFERENCIA CIRCULO
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
RECTAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA
RADIO
Es el segmento que une el centro a
cualquier punto de la circunferencia
DIAMETRO
Es la cuerda que pasa por el
centro de la circunferencia
CUERDA
Es un segmento de recta que une
dos puntos de la circunferencia

ARCO
Es una parte de la circunferencia
determinada por un ángulo
TANGENTE
Es la recta que toca a la circunferencia
en uno de sus puntos
SECANTE
Es la recta que corta a una
circunferencia en dos de sus puntos
40
ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
De acuerdo a la posición del vértice de un ángulo en la circunferencia se les da un nombre y para la obtención de su
medida se tienen formulas determinadas.
ANGULO CENTRAL
Tiene su vértice en el centro de la
circunferencia.
Están formados por dos radios.
El ángulo central es igual a su arco
FORMULA
 c = Arco
ANGULO INSCRITO
Es el que tiene su vértice en cualquier
punto de la circunferencia.
Están formados por dos secantes.
El ángulo inscrito es igual a la mitad del
ángulo central
FORMULA

 ins =
2
AB
ANGULO INTERIOR
Tiene su vértice en un punto dentro de la
circunferencia.
El ángulo interior es igual a la mitad de la
suma de los dos semiarcos
FORMULA
 i =
2
BDAC 
ANGULO EXTERIOR
Es aquel que tiene su vértice fuera de la
circunferencia y sus lados cortan a la
circunferencia
El ángulo interior es igual a la mitad de la
diferencia de los dos semiarcos
 e =
2
BDAC 
41
Resuelve los siguientes ejercicios de ángulos
Hallar la medida de “ x “ si el arco de un ángulo central
AC = 70° y el  ABC = 6x – 2°
Hallar la medida de “ x “ si el arco de un ángulo central
DF = 127° y el  DEF = 8x + 7°
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ángulo inscrito que su arco mide 105° Hallar la medida del arco de un ángulo inscrito si este mide
38° 22´

Hallar la medida de un ángulo interior que su arcos miden
46° y 122°
Hallar la medida de un arco de un ángulo interior si el ángulo
mide 44° y el otro arco 86°
Hallar la medida de un ángulo exterior que sus arcos miden
52° y 134°
Hallar la medida de un arco de un ángulo exterior si este mide
42° y el otro arco 130°
42
PERIMETRO Y AREA DE LA CIRCUNFERENCIA
El perímetro se encuentra a la circunferencia de acuerdo a la siguiente formula de acuerdo a los datos que se indiquen.
P = 2π r P = π d
Se debe de tomar en cuenta que el perímetro es la longitud de una circunferencia.
C = 2π r C = π d
El área es la superficie del círculo y la medida se obtiene de la siguiente formula
A = π r2
OBTEN LO QUE SE INDICA EN CADA RECUADRO
Una circunferencia de 3 cm de radio Una circunferencia de 8 cm de diámetro Una circunferencia de 5 cm de radio
GRAFICA GRAFICA GRAFICA
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA

Si la longitud de una circunferencia
es de 15.708 cm, ¿Cuál es la
medida de su radio
Si el área de un círculo 19.635 cm
2
¿Cuánto mide el diámetro?
Calcular el área de un circulo que su
circunferencia mide 11 π
¿Cuánto mide su diámetro? ¿Cuánto mide su radio? ¿cuánto mide su radio en cm?
43
APLICANDO LAS ÁREAS Y PERIMETROS DE LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA OBTEN
El diámetro de una circunferencia mide 7 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado inscrito en ella? Luego calcula el área
entre el cuadrado y la circunferencia.
FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL CUADRADO AREA DEL CIRCULO
AREA DEL CUADRADO AREA ENTRE LA
CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS
DE LAS FIGURAS
Traza una circunferencia de 3.2 cm, un pentágono inscrito y calcula lo que se indica en cada recuadro
FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL PENTAGONO AREA DEL CIRCULO

AREA DEL PENTAGONO AREA ENTRE LA
CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS
DE LAS FIGURAS
Un caballo está amarrado de una cuerda de 4 metros desde una estaca y se quiere saber cuál es el perimero
y área en que se puede desplazar el caballo
GRAFICA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA AREA DEL CIRCULO
44
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS AGUDOS
SISTEMA CIRCULAR
En el sistema circular la base para desarrollarlo es la circunferencia y la unidad de medida de! sistema se llama RADIAN.
El radián es el ángulo dentro de la circunferencia cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
GRAFICA
A
El arco AB , es igual a la medida del radio
Por lo tanto el < AOB es igual a un radian
Teniendo en cuenta que la longitud de una circunferencia es igual a 2 radianes que a su vez son iguales a 360" ,
entonces tenemos que;
r
O 57° 18´
r

Longitud de la circunferencia = 2  radianes
c = 2 
c = 2 (3.14) radianes
c = 6.28 radianes
UN RADIAN ES IGUAL A:
r =
28.6
3600
r = 57° 18'
RELACIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES y EL RADIAN
El grado sexagesimal tendrá corno símbolo (S) y el radián (R), por lo tanto:
0
360
S
=
2
R
0
180
S
=

R
Simplificando si  = 3.14
0
180
S
=
14.3
R
Aplicando la formula anterior obtener lo que se indica en los siguientes recuadros.
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGECIMALES LOS SIGUIENTES RADIANES
3.6 r 29 r 12 r
45
4.6 r 2.5 r 1.6 R
 2 3

EXPRESAR EN RADIANES LOS SIGUIENTES GRADOS SEXAGECIMALES
90° 216° 43° 18 ´
612° 527° 196° 42 ´
46
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Todo ángulo agudo es aquel que mide menos de 90
0
, las funciones trigonométricas son aplicables en triángulos
rectángulos, estos tiene seis elementos (tres ángulos y tres lados), que de acuerdo a su posición se llaman.
Angulo agudo
Hipotenusa
Cateto
Angulo recto Cateto Angulo agudo
De acuerdo a la gráfica contesta las siguientes preguntas.
Los catetos forman el : ______________________________
La hipotenusa es el lado ___________________ en cualquier triángulo rectángulo.
La medida del ángulo recto es igual a _____________ La medida del ángulo agudo es ______________
Las seis funciones trigonométricas son: _____________ , ______________ , ____ __________
_____________ , ______________ , ______________

Las tres primeras se llaman: ________________ Las tres segundas se llaman: ___________________
Plantea las seis funciones trigonométricas en forma general.
En el siguiente triángulo rectángulo plantea las seis funciones trigonométricas con las letras correspondientes a los
dos ángulos agudos.
FIGURA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA
EL ANGULO B
FUNCIONES TRIGONOMETICAS PARA
EL ANGULO C
C
b a
A c B
47
FUNCIONES RECIPROCAS
Las funciones reciprocas son aquellas que se aplican al mismo ángulo de un triángulo y que4 al multiplicarse dan como
resultado la unidad.
GRAFICA FUNCIONES RECIPROCAS PARA EL ANGULO B
C
a
b
A c B
sen B x csc B = 1 cos B x sec B = 1 tan B x ctg B = 1
de donde
sen B =
Bcsc
1
cos B =
Bsec
1
Tan B =
Bcot
1
o bien
csc B =
senB
1
sec B =
Bcos
1
cot B =
Btan
1
CALCULO DE VALORES DE 30°, 45° Y 60°
Traza un triángulo equilátero de lados iguales a dos unidades, traza una bisectriz al lado base, de uno de los triángulos
resultantes por la medida de los ángulos internos encontramos el ángulo de 30°, para encontrar su valor y aplicando el
teorema de Pitágoras obtén el valor del cateto faltante.
GRAFICA OBTENCION DEL CATETO FALTANTE
Sen 30° Cos 30°

Tan 30° Cot 30° Sec 30° Csc 30°
De acuerdo a la misma gráfica obtén los valores para el ángulo de 60°
sen 60° cos 60° tan 60°
48
cot 60° sec 60° csc 60°
Para la obtención de los valores del ángulo de 45° trazaremos un cuadrado de una unidad por lado, se traza una
bisectriz, se obtienen dos triángulos rectángulos, la bisectriz dividió el ángulo de 90° en dos iguales que miden 45°, para
determinar los valores del ángulo se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la hipotenusa.
GRAFICA OBTENCIÓN DEL CATETO FALTANTE

sen 45° cos 45° tan 45°
sen 45° cos 45° tan 45°
49
TABLA DE VALORES DE LOS ANGULOS DE 30° , 45° y 60°
ANGULO sen Cos Tan cot sec csc
30°
45°
60°
Empleando tu calculadora obtén los valores de las seis funciones trigonométricas de los siguientes grados expresados
en grados
sen x cos x tan x ctg x sec x csc x
20°
45°
70°
185°

275°
412°
Empleando la calculadora obtén los valores de las seis funciones trigonométricas de los siguientes ángulos expresados
en radianes
sen x cos x tan x ctg x sec x csc x
6

3

2


2
3
2
Obtén la medida de los ángulos en radianes y en grados, a partir de la razón trigonométrica que se proporciona
sen x cos x Tanx ctg x sec x csc x
0.8520 0.2425 3.2 0.3125 4.1237 1.1737
Grados
Radianes
50
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el a = 17 m y b = 24 m
OBTENER c  A  C FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el  A = 46° 25´ y c = 53 cm
OBTENER a OBTENER b  C FIGURA

Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo DEF, si el e = 36 cm y f = 29 cm
OBTENER d  D  F FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo DEF, si el  F = 64° y d = 7 m
OBTENER e OBTENER f  D FIGURA
51
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo RPQ, si el  R = 78° y r = 8 m
OBTENER p OBTENER q  Q FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el  A = 65° y a = 19 mm
OBTENER b OBTENER c  C FIGURA

Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ARP, si el a = 18 u y r = 24 u
OBTENER p  A  P FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo INM, si el i = 9 m y m = 9 cm
OBTENER n  I  M FIGURA
52
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el a = 34 u y b = 56 u
OBTENER c  A  C FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo DEF, si el  D = 48° 19 ´ y e = 63 m
OBTENER d OBTENER f  F FIGURA

Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo GHI, si el i = 225 u y h = 312 u
OBTENER g  G  I FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo JKL, si el  L = 65° y j = 33.78 m
OBTENER k OBTENER l  J FIGURA
53
APLICANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS OBTEN LO QUE SE INDICA EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
Una columna de 38 m de altura proyecta una sombra sobre el piso de 42 m, hallar el ángulo de inclinación de los rayos del sol
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
¿Cuál será la altura de una torre que su cúspide se observa desde 750 m, en línea recta desde su base con un ángulo de elevación de 15°
24 ´ ?

Hallar la altura de un avión, si la sombra proyectada está a 156 m del píe de la vertical, cuando el sol esta a 67° sobre el horizonte
¿Cuál es la altura de una escalera que se apoya en el borde de una ventana que tiene una altura de 6.9 m desde el suelo y forma un ángulo
con la pared de 32° 67 ´ ?
54
Una antena de televisión está sostenida por tres cables del mismo tamaño, cada uno mide 10 m y están sujetados al piso a
una distancia de la base de la antena de 3.5
GRAFICA DESARROLLO
¿Cuánto mide la antena?
¿Qué ángulo forma una de los cables en relación con el piso?
Una escalera esta recargada en una pared, la distancia del extremo inferior de la escalera a la base de la pared es de 2.5 m y
el ángulo de elevación es de 68°
GRAFICA DESARROLLO

¿Cuánto mide la escalera?
¿Qué altura alcanza la escalera en la pared?
Seis cables sujetan una antena de 32 m, de dos secciones, tres cables de la primera sección están a una distancia de 4.3 m,
y los tres de la segunda sección a 5.6 de la base
GRAFICA DESARROLLO
¿Cuánto mide un cable de cada sección?
¿En total cuánto cable se necesita para sujetar la antena?
¿Qué ángulo forma los cables de cada sección con relación al piso?
55
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Las funciones trigonométricas se pueden aplicar a ángulos de cualquier medida o magnitud, en los cuales se consideran
los ejes del plano cartesiano para su ubicación en los cuadrantes que determinan el signo de los componentes del
ángulo del lado inicial y del lado terminal.
Angulo dirigido, es aquel que además de tomar en cuenta la amplitud, se toma en cuenta su sentido o dirección.
Angulo en posición normal, es todo ángulo que tiene como lado inicial el eje de abscisas positivo y el vértice coincide
con el origen del plano cartesiano.
Ángulos coterminales, son aquellos que están colocados en posición normal, pero son coincidentes con sus lados
terminal, es los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270°, 360° y sus ángulos coterminales se llaman ángulos cuadrangulares.
SIGNOS Y VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En el plano cartesiano se determina un punto cualquiera “ P “, el cual tiene como coordenadas la posición de los ejes,
abscisa para el eje de las “ x “ cateto adyacente y ordenada para el eje de las “ y “ cateto opuesto, el vector que se
obtiene al unir el origen y el punto se le llama hipotenusa con estos valores se pueden obtener las seis funciones
trigonométricas del ángulo en los cuatro cuadrantes.
Trazar las gráficas a cada cuadrante, obtén las seis funciones trigonométricas y determina los signos de cada una y al
final llena el cuadro que se indica.
PRIMER CUADRANTE
GRAFICA sen  Θ cos  Θ tan  Θ

cot  Θ sec  Θ csc  Θ
SEGUNDO CUADRANTE
56
TERCER CUADRANTE

CUARTO CUADRANTE
CUADRO DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES
seno coseno tangente Cotangente secante cosecante
CUADRANTE I
CUADRANTE II
CUADRANTE III
CUADRANTE IV
Tomando como base el cuadro de signos de funciones se pueden ubicar los cuadrantes a que pertenece una función
trigonométrica, se debe de tener en cuenta que la hipotenusa siempre es positiva , la abscisa es el lado inicial y la
ordenada el lado terminal de la función.
57
Obtén la gráfica o gráficas de las siguientes funciones trigonométricas y el lado faltante por el teorema de Pitágoras.
cos  Θ =
5
4
DESARROLLO sen  Θ tan  Θ
sen  Θ =
5
2
DESARROLLO Cos  Θ tan  Θ

tan  Θ =
7
4

DESARROLLO sen  Θ cos  Θ
cot  Θ =
8
3
DESARROLLO sen  Θ cos  Θ tan  Θ
sec  Θ csc  Θ
58
sec  Θ =
3
5
cot  Θ csc  Θ
csc  Θ =
4
7

cot  Θ sec  Θ
CIRCULO TRIGONOMETRICO
Representación de las funciones trigonométricas de un ángulo por medio de segmentos de recta .
Si se escoge una unidad de medida de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad, se toma el
círculo trigonométrico, en el cual el radio es la unidad de longitud r = 1.
GRAFICA
Se trazan dos diámetros AA´ y BB´ perpendiculares que coincidan con los ejes del plano cartesiano xx´ y yy´.
Sea OAP un ángulo Θ, siendo OA la posición inicial del ángulo y OP la posición terminal, se traza PM perpendicular a
AO y PQ perpendicular a OB.
En la gráfica se forma el triángulo MOP tiene como hipotenusa a OP = r = 1 y se obtiene seno y coseno.
59
seno Coseno
En A, se traza AT perpendicular al radio OA, hasta encontrarse con la prolongación de OP, para obtener la tangente se realizan las
igualdades PM = AT y OM = OA y para la secante OP = OT y OM = OA.
tangente Secante
Para obtener la cotangente y la cosecante se traza BS perpendicular a OB en B hasta encontrarse con la prolongación OP, el ángulo
BOS es complementario del ángulo Θ entonces la tangente del ángulo BOS es igual a la cotangente del ángulo Θ y la secante del
ángulo BOS es igual a la cotangente del ángulo Θ
cotangente Cosecante
Así las funciones del ángulo Θ quedan representados por los siguientes segmentos de recta en todos los cuadrantes y se toman en
cuentas los signos correspondientes, podemos determinar la posición del segmento en el plano cartesiano tomando como referencia
el origen.
sen Θ = PM, perpendicular bajada del punto terminal del arco al diámetro AA

cos Θ = OM,
tan Θ = AT,
cot Θ = BS,
sec Θ = OT,
cos Θ = OS,
distancia del centro al pie del seno
Perpendicular de AS al diámetro AA´, hasta encontrarse con la prolongación del radio que pasa por el punto P.
Perpendicular en B al diámetro BB´, hasta encontrarse con la prolongación del radio que pasa por el punto P
Distancia del centro a la extremidad de la tangente.
Distancia del centro a la extremidad de la cotangente
Las funciones trigonométricas del ángulo Θ en el primer cuadrante son positivas.
Para cualquier cuadrante en el que el lado terminal, la tangente se obtiene por medio de la perpendicular en el punto A y la
cotangente por medio de la perpendicular en el punto B. para su planteamiento se toman en cuenta los valores y signos de las
funciones.
GRAFICAS
SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE
+
SIGNOS DE LOS SEGMENTOS DE RECTA
2° cuadrante 3° cuadrante 4° cuadrante
60
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno
Coseno

Tangente Cotangente
61
Secante Cosecante

VARIACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
SENO
El valor varia de 1 a -1 y su valor absoluto siempre quedará comprendido entre 0 a 1
PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°
TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
COSENO
El valor varía de -1 a 1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre o y 1
PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°
TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
TANGENTE
El valor varía de + a -
PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°
TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
COTANGENTE
PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°
TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
SECANTE
PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°
TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°
TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
62
LEYES DE SENOS Y COSENOS
Estas leyes son aplicables a triángulos oblicuángulos.
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulos rectos o sea son todos aquellos triángulos acutángulos, que
son los que tienen sus tres ángulos agudos y oblicuángulos, que tiene dos ángulos agudos y un obtuso.
Para obtener los seis elementos de los triángulos oblicuángulos es necesario conocer tres de ellos y en lo general se
presentan cuatro casos que son:
a) Cuándo se conocen un lado y dos ángulos.
b) Cuándo se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
c) Cuándo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
d) Cuando se conocen sus tres lados.
Dependiendo de cual es el caso se aplican dos teoremas que se llaman:
a) Ley de los senos
b) Ley de los cosenos
El teorema de los senos nos dice que:
“EN TODO TRIANGULO, LOS LADOS SON PROPORCIONALES A LOS SENOS DE SUS ANGULOS OPUESTOS”
Se plantea:

Csen
c
Bsen
b
Asen
a





RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN Y OBTEN LAS MEDIDAS FALTANTES
EN LOS SIGUIENTES TRIANGULOS
a = 75.50 m < B = 70
0
59´ < C = 44
0
44´
b c < A GRAFICA
d = 23.58 m e = 19.35 m < D = 62
0
32´ 19´´
c < C < E GRAFICA
63
a = 27.3 u < B = 38
0
20´ < C = 77
0
10´
b c < A GRAFICA

b = 25.36 u < A = 54
0
8´ < C = 27
0
15´
a c < B GRAFICA
c = 18 cm < A = 750
59´ < C = 770
10´
a b < B GRAFICA
64
a = 12 cm < A = 430
59´ < C = 670
10´
b c < B GRAFICA

LEY DE LOS COSENOS
El teorema de los cosenos indica que:
“EN TODO TRIÁNGULO OBLICUANGULO, EL COSENO DE UN ANGULO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS
CUADRADOS DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN, MENOS EL CUADRADO DEL LADO OPUESTO,
DIVIDIDO ENTRE EL DOBLE PRODUCTO DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN”
Por lo que obtenemos las siguientes formulas:
Cos < A =
ab
acb
2
222

Cos < B =
ac
bca
2
222

Cos < C =
ab
cba
2
222

En el caso de conocer dos lados y un ángulo se define como:
“EN TODO TRIANGULO, EL CUADRADO DE UN LADO CUALQUIERA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS
OTROS DOS MENOS EL DOBLE PRODUCTO DE ESTOS LADOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO COMPRENDIDO”
Por lo que obtenemos las siguientes formulas.
a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos < A
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos < B
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cos < C
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN
En el triangulo ABC a = 31 m b = 42 m c = 53 m
< A < B < C GRAFICA
65
En el triangulo DEF d = 4 u e = 5 u f = 6 u
< D < E < F GRAFICA

En el triangulo MNO m = 48 u n = 35 u o = 26 u
< M < N < O GRAFICA
En el triangulo GHI g = 13 cm h = 14 cm i = 17 cm
< G < H < I GRAFICA
En el triangulo ABC a = 15 m b = 22 m c = 20 m
< A < B < C GRAFICA

71
En el triangulo MNB m = 48 u n = 33 u b = 24 u
< M < N < B GRAFICA
En el triangulo RPQ r = 26.64 cm p = 37.40 cm q = 50.22 cm
< A < B < C GRAFICA
67
ESTADISTICA ELEMENTAL
Definición de estadística.
Es la ciencia con base matemática encargada de recoger, analizar e interpretar los datos relativos a un
conjunto de elementos.
La estadística permite obtener conclusiones que deben ser validas y sirven para tomar decisiones razonables
de acuerdo a los datos que se están estudiando.
El estudio se realiza en una población, pero cuando ésta es grande se toma una muestra representativa.
Población es el conjunto de elementos sobre los cuales se realiza la investigación
Muestra, es una parte de la población a estudiar, pero ésta debe de ser representativa-
Ejemplo:
Se quiere saber cuáles son las causas por las cuales a los alumnos se les hace tarde para llegar a clases en
el plantel 06 del COBAT.

Población, todos los alumnos de los dos turnos del plantel 06, total 1150
Muestra representativa diez alumnos en forma aleatoria de cada grupo, total 120
En el ejercicio anterior se dio a conocer una variable de estudio a la que se llama variable estadística que no
es otra cosa que lo que se va estudiar.
En el ejemplo anterior la variable es causas por las que los alumnos llegan tarde a clase.
Las variables pueden ser cuantitativas, que son aquellas que se pueden medir y se representan con
números, como la edad, el peso, el salario, número de hijos de una familia, etc., estas pueden ser continuas
ó discretas.
 Variables continuas, son aquellas en las cuales se obtienen valores reales entre dos valores dados,
un ejemplo de éstas es la estatura de los alumnos de una grupo, el más alto es de 1.78 cm y el más
bajo 1.42 cm, estas se pueden dar con números enteros y decimales entre ellos.
 Variables discretas, solo toman números enteros, como ejemplo podemos citar el número de hijos
que tienen las familias de una comunidad, no se puede decir que tiene 1.5 hijos.
Variables cualitativas, son aquellas que representa un atributo y no son medibles como: el sexo,
nacionalidad, estado civil, etc.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son los valores que se ubican en la parte central de un conjunto de datos, y permite analizarlos de un valor
central.
Las medidas de tendencia central son:
a) Media aritmética, que también se conoce como promedio y se obtiene de dividir todos las datos entre
el número de casos
b) Moda, es el valor que más se repite en el estudio.
c) Mediana, es el valor central o punto de medio de los datos, este se obtiene de datos ordenados,
cuando son número impar se encuentra en el centro de los datos, cuando se trata de un número par
de elementos en el estudio es el promedio de los dos centrales.
Los datos de un estudio pueden ser
a) No agrupados, cuando se trata de estudios simples y se tienen pocos datos
b) Agrupados, cuando el estudio tienen demasiados datos
Los datos pueden representarse en una tabla de datos o tabla de frecuencias y los datos se pueden
representar con una grafica.
Teniendo como base las definiciones anteriores y el procedimiento de trabajo realiza el siguiente ejercicio.
68
El edades de los alumnos de un grupo de alumnos de una universidad son:
24, 18, 19, 22, 21, 20, 20, 19, 23, 23, 24, 25, 24, 19, 21, 23, 20, 22, 24, 19, 21, 22, 21, 23, 21, 24, 19, 21, 24,
23, 21, 21, 23, 20
Ordena los datos de menor a mayor
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
TABLA DE FRECUENCIAS
Edad
(en años)
Frecuencia
Absoluta
Edad por frecuencia
absoluta
19
20
21
22
23

24
Totales
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
En una tienda de mayoreo vendieron las siguientes prendas
TABLA DE FRECUENCIAS
Artículos Cantidad vendida
Pantalones 550
Camisas 710
Faldas 425
Blusas 815
Conjuntos 448
Trajes 510
69
Obtén las medidas de tendencia central de los promedios de los alumnos del 411
8.5 6.0 5.9 9.0 9.5 8.2 9.3 9.1 9.5 9.3 5.9 6.8 7.6 5.5 9.2 9.0 8.9 6.5 9.5 5.5
9.3 7.5 8.3 6.0 9.4 9.9 9.5 6.5 5.9 5.5 9.9 5.4 9.9 9.5 6.9 5.3 6.2 5.9 9.5 9.4
Ordena los datos
Tabla de frecuencias acumulada Gráfica de barras

También se tiene la tabla de frecuencia relativa.
La frecuencia relativa nos indica el porcentaje que representa la frecuencia absoluta de cada valor de la
variable con respecto del total de observaciones.
Otra columna que se agrega al cuadro es el de frecuencia relativa acumulada, que nos indica el porcentaje
de observaciones que hemos recorrido.
Con todos estos elementos la tabla va a constar de 5 columnas y se deben de obtener los resultados para
cada una de ellas.
70
Obtén lo que se indica en cada columna, utilizando tu calculadora.
Un estudio arrojo los siguientes datos
Número de hijos por pareja f1 n1 F1 N1
0 24
1 50
2 80
3 36
4 50
5 48
6 35
7 26

8 12
Total
Simbología f1= frecuencia; n1= Frecuencia relativa; F1= Frecuencia acumulada; N1= Frecuencia relativa acumulada
MEDIA MODA
MEDIANA
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión son valores que indican la variabilidad de un conjunto de datos con respecto a la
media.
Rango.
Se le llama rango o recorrido, a la diferencia del valor mayor y el valor menor de los datos.
La formula de trabajo es: R = Vmax – vmin
En una recaudería se venden diariamente los siguientes kilos de tomate.
21 19 18 20 21 22 20 18 22 21 19 22 18 22 21
18 21 22 20 21 18 19 21 20 22 22 20 21 20 19
Ordena los datos
Obtén lo que se pide en cada recuadro
Media Moda Rango
Mediana
71
DESVIACION MEDIA
Se define como la diferencia entre cada dato y la media e indica cómo se desvía cada dato respecto a la
media aritmética.
La fórmula para su obtención es
n
xx
DM
 

)(
Las estaturas de 10 estudiantes que están en el equipo de básquet bol son
1.75 1.68 1.73 1.75 1.82 1.79 1.72 1.76 1.74 1.77
Ordena los datos
Utilizando tu calculadora obtén los datos de la siguiente tabla

Estaturas f1 n1 F1 N1 (x - x)
Total
Media Moda Rango
Mediana Desviación media
Varianza
Es la medida que nos permite conocer la dispersión de los valores de una muestra respecto de su media
aritmética
La fórmula es:
n
xx
s
2
2
)( 

El número de hijos que tienen las familias de la colonia el llanito son
5 7 0 2 4 3 6 1 1 0 7 5 3 1 2
4 6 3 3 3 2 5 6 7 0 3 4 2 5 3
3 4 2 2 6 5 6 6 3 4 2 3 1 0 7
72
Ordena los datos
Tabla de frecuencias
Número de hijos f1 n1 F1 N1 ( x – x ) ( x – x )2

Total
MODA MEDIANA RANGO
MEDIA DESVIACION MEDIA VARIANZA
Desviación típica ó estándar
La desviación típica ó estándar es la raíz cuadrada de la varianza
La fórmula para su obtención es
n
xx
s
 

2
)(
De la siguiente serie de números realiza lo que se pide
10 12 2 9 15 6 7 8 12 9
Datos ordenados
73
Tabla de frecuencias
Serie de números f fa fr fra I x - x I ( x – x ) ( x – x )2
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
Total
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
Del siguiente cuadro obtén lo que se indica
x f fx Fa fr fra I x - x I ( x – x ) ( x – x )2
0 1
1 2
2 5
3 14
4 8
5 3
6 1
totales
74

MEDIANA
Del siguiente cuadro obtén lo que se indica
x f fx Fa fr fra I x - x I ( x – x ) ( x – x )2
0 2
1 3
2 5
3 7
4 9
5 4
totales
MEDIANA
75
PROBABILIDAD
Conceptos elementales de probabilidad
Definición:
Es la relación entre el número de resultados a favor de un suceso y el número total de
resultados posibles
Experimento
Es una acción bien definida que da un resultado bien definido
Ejemplos de experimentos
Meter la mano en agua caliente.
Lanzar una moneda al aire
Arrojar una piedra desde el quinto piso de un edificio
Lanzar un dado a una mesa

Tipos de experimentos
Determinista
El resultado se conoce desde antes de realizar el experimento
Ejemplos
Meter la mano en agua caliente
Arrojar una piedra desde el quinto piso de un edificio
Aleatorio
Se conocen los posibles resultados, pero no el que se obtiene al momento
Ejemplos
Lanzar una moneda al aire
Lanzar un dado en la mesa
Espacio muestral
Es el conjunto de posibles resultados en un experimente aleatorio
Ejemplos:
Al lanza al aire una moneda el espacio muestral es (águila ó sol)
Al lanza un dado a la mesa El espacio muestral es (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Obtener el espacio muestral al lanzar dos monedas al aire al mismo tiempo
_______________________________________________________________________________________
Obtener el espacio muestral al lanzar dos dados sobre una mesa
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Diagrama del árbol
Se consideran como un auxiliar para poder definir correctamente el espacio muestral
Por ejemplo al lanzar dos monedas al aire cuando caen al suelo determinan el siguiente espacio muestral.
Dibuja el diagrama del árbol que represente el lanzamiento de tres monedas al aire
76
Para obtener la probabilidad de un resultado en un experimento aleatorio utilizaremos la siguiente fórmula.
posiblesresultadosdetotalnúmero
leventodefavorableNúmero
AP
........
......
)( 
Realiza los siguientes ejercicios
Obtén la probabilidad de que salga 3 al lanzar
un dado
Obtén la posibilidad de que salga un número par al
lanzar un dado

Obtén la probabilidad de que al lanzar una moneda
caiga sol
Obtén la probabilidad de que al lanzar un dado
caiga un número impar
Diagramas de Venn
Son las representaciones gráficas del espacio muestral de un suceso.
Se representa mediante conjuntos.
Un conjunto es un número limitado de elementos que tienen ciertas características en común
El espacio muestral total se representa con un rectángulo, y los conjuntos particulares del espacio muestral
con círculos.
Espacio muestral
Conjunto
77
Considera el siguiente espacio muestral, obtén los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn
correspondiente
Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)
Conjunto de los múltiplos de 2
A (

B (
Del siguiente espacio muestral obtén los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn
correspondiente
Espacio muestral (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18))
D (
E (
Del siguiente espacio muestral, obtén los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn
correspondiente
Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)
F (
G (
H (
78
Existen operaciones que se realizan con los conjunto y permiten ver la probabilidad de que ocurra un evento,
en este curso solo nos limitaremos de obtener la unión y la intersección.
Unión, Es el conjunto de elementos que se obtienen de unir dos o más conjuntos.
Si nosotros queremos saber que existe esta operación en dos conjunto se deben de sombrear los dos.
En la intersección solo se sombrea la parte en la que están enlazados los conjuntos.
De los siguientes conjuntos obtener la unión e intersección de los conjuntos
A ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
B (0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
UNIÓN INTERSECCION

C (1, 2, 3, 4, 5)
D (4, 5, 6, 7, 8, 9)
UNIÓN INTERSECCION
E (a, b, c, d, e)
D (a, b, c, d, e, f, g)
UNIÓN INTERSECCION
79
Sean los conjuntos
A (20, 30, 40, 50)
B (40, 50, 60, 70)
C (20, 40, 60, 90, 120)
A unión B A unión C

B unión C A unión B unión C
A intersección B A intersección C
80
B intersección C A intersección B intersección C

LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD
Es la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos A ó B, es igual a la suma de las probabilidades de
que ocurra cada uno de ellos.
La formula que se utiliza es.
P = (A ó B) = P(A) + P(B)
Calcula la probabilidad de sacar un múltiplo de 2 o un 3 al lanzar un dado de seis caras
DATOS Y OPERACIONES GRAFICA
E (
A (
B (
Calcula la probabilidad de sacar un número múltiplo de de 2 o un número múltiplo de 3 al tirar un dado de 8
caras.
DATOS Y OPERACIONES GRAFICA
E (
A (
B (
81
LEY MULTUPLICATIVA DE LAS PROBABILIDADES
¿Cuál es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de
3.25 m?

Un ingeniero quiere saber cuántos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una
torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.
82

Cuaderno de tabajo matematicas ll 2013

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (18)

Semelhante a Cuaderno de tabajo matematicas ll 2013

Semelhante a Cuaderno de tabajo matematicas ll 2013 (20)

Mais de Antonio Flores Flores

Mais de Antonio Flores Flores (20)

Último

Último (20)

Cuaderno de tabajo matematicas ll 2013