2. Introducción:
• A través de matrices y algoritmos podemos resolver
sistemas de ecuaciones de forma eficiente.
• Tenemos los métodos directos donde resolvemos el
problema inicial Ax= b, se ejecutan a través de un
numero finito de pasos y generan una solución X.
3. Métodos:
• Método de Eliminación de Gaussiana
• Método de Gauss-Jordán
• Factorización de Cholesky
• Descomposición de LU
• Factorización de QR, Householder
4. Método de Eliminación de
Gaussiana
• Este método consiste en la eliminación de variables
en el sistema de ecuaciones hasta tener solo una
ecuación con una incógnita y una vez conseguido se
resuelve por sustitución para obtener todas las
variables. Se realiza operaciones con filas o columnas.
5. Método de Gauss-Jordán
• Se realizan transformaciones en el sistema inicial para
transformarlo en un sistema diagonal y luego a través
de un proceso de eliminación en la matriz y la
resolución de un sistema con esta matriz. Al resolver
el sistema de llegada por remonte, el número de
operaciones de este método es menor al de Gauss
por lo tanto este es superior cuando hablamos
computacionalmente al resolver varios sistema con la
misma matriz A.
6. Factorización de Cholesky
• Se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica
y definida positiva, puede ser factorizada como el
producto de una matriz triangular inferior y la
traspuesta de la matriz triangular inferior. Es decir:
A= L. LT.
7. Descomposición de LU
• El producto de una matriz triangular inferior L con una
matriz triangular superior U, cuando llegamos a la parte de
eliminación solo involucramos operaciones con los
coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los
términos independientes. Si los valores de la diagonal de la
matriz L tienen números 1, se utiliza la Descomposición
de Dootlitle, pero si los valores de la diagonal de la matriz
U tienen números 1, usamos la Descomposición de Crout.
8. Factorización de QR,
Householder
• La factorización consiste en descomponer la matriz
Amxn en el producto de dos matrices:
• Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT. Q = INxN.
• Una matriz Triangular Superior: U = RNxN.
• Y para encontrar las matrices Q y R se utiliza un
método basado en transformaciones sucesivas de
Householder.
9. Métodos Iterativos o Indirectos
• Método de Gauss Seidel:
Se emplean los valores
iniciales y después itera para
obtener estimaciones refinadas
de la solución. La fórmula
utilizada para hallar los Xi viene
dada por el despeje de cada una
de las Xi en cada una de las
ecuaciones y se les da un valor
inicial a cada Xi de cero.
• Método de Jacobi:
Se transforma una matriz
simétrica en una matriz
diagonal al eliminar de forma
simétrica los elementos que
están fuera de la diagonal,
entonces la sucesión que resulta
de la iteración de Jacobi
converge a la solución de Ax =
b para cualquier vector inicial
Xo
