physics lecture about waves in Russian for univercity students. It covers SHM, damped and forced oscillations

1. Колебания и волны

2. Колебания и волны
Колебаниями называются движения или процессы,
обладающие той или иной степенью повторяемости во
времени.
Колебания называются периодическими, если система
через определенные равные промежутки времени прохо-
дит через одни и те же состояния.
x(t)=x(t+T)
Период - время совершения одного
полного колебания.
Гармонические - колебания, в
которых зависимость смещения от
времени описывается гар-
моническим законом

3. Колебания и волны
 
0 0
cos
x A t
   
 
0 0
sin
x A t
   
Уравнение гармонического колебания
Амплитуда колебаний - максимальное по модулю смещение
от положения равновесия
Циклическая частота колебаний численно равна числу
полных колебаний, совершаемых за время 2π секунд.
 - линейная частота равна числу полных колебаний,
совершаемых за 1 с.
1 герц (Гц) — частота такого колебательного движения, в
котором за 1 с совершается одно полное колебание
2
  
1
T
 
2
T

 

4. Фаза показывает, какая часть колебания выполнена к
данному моменту времени
 
0 0
sin
x A t
   
Начальная фаза определяет смещение в начальный
момент времени (t=0).

5.  
0 0
cos
x A t
   
 
0 0 0
sin
dx
v A t
dt
     
 
2
2 2
0 0 0 0
2
cos
d x
a A t x
dt
       
2
2
0
2
0
d x
x
dt
  
Дифференциальное уравнение
гармонических колебаний

6. упр
ma F

2
2
d x
m kx
dt
 
2
2
0
d x k
x
dt m
 
2
0 0
;
k k
m m
   
Квазиупругая сила пропор-
циональна смещению от поло-
жения равновесия и всегда
направлена к положению
равновесия.
Собственная частота колебаний
пружинного маятника
2
2
0
2
0
d x
x
dt
 
Дифференциальное уравнение
колебаний пружинного маятника
2
m
T
k
 
Период колебаний
пружинного маятника

7. Физический маятник - тело, совершающее под действием
силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси, не
проходящей через центр масс

α
l
h
mg
M

sin
M mgl
  
M I
 
2
2
d d
dt dt
 
  
2
2
d
I mgl
dt

  
mgl
  
2
2
0
mgl
d
dt I

  
Дифференциальное уравнение
колебаний физического маятника

8. 2
2
0
mgl
d
dt I

  
2
0
mgl
I
 
0
mgl
I
  Собственная частота колебаний
физического маятника
2
I
T
mgl
  Период колебаний физического
маятника

9. Математический маятник - материальная
точка, подвешенная на невесомой и
нерастяжимой нити
2
I
T
mgl
 
2
I ml

2
2 2
ml l
T
mgl g
   
2
l
T
g
 
Период колебаний
математического маятника

10. p k
W W W
 
2
2
k
mv
W  2 2 2
0
2
sin ( )
m
A t
    
2
2
p
kx
W  2 2 2
0
2
cos ( )
m
A t
    
2
0 0
;
k k
m m
   
2 2 2 2
0 0
2
(sin ( ) cos ( ))
m
W A t t
        
2 2
2
mA
W

 Полная энергия гармонических колебаний
не зависит от времени

11. 1 1 01
2 2 02
( ) cos( )
( ) cos( )
x t A t
x t A t
   
   
1 2
0
( ) ( ) ( )
( ) cos( )
x t x t x t
x t A t
 
   
2 2 2
1 2 1 2 02 01
1 01 2 02
0
1 01 2 02
2 cos( )
sin sin
cos cos
A A A A A
A A
tg
A A
     
  
 
  

12. 02 01
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1
3
2 2
, ...
cos
A A A A A A A A A
     
      
02 01
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1
0 2 4
2 0 2
, , ...
cos
A A A A A A A A A
     
     
Колебания находятся в фазе и амплитуда
результирующего колебания равна сумме
амплитуд складываемых колебаний
1 2
A A A
 
Колебания находятся в противофазе,
наблюдается гашение колебаний.
1 2
A A A
 

13. 2
cos
p
A A t


1
2
cos
cos( )
x A t
x A t
  

   
Пусть два колебания мало
отличаются по частоте
  
1 2 cos cos( )
x x x A t A t
      
2
2
2 2
cos cos
x A t t
    

2
2
cos cos
x A t t

 
Биения — явление, возникающее
при сложении двух колебаний,
близких по частоте, выражаю-
щееся в периодическом умень-
шении и увеличении амплитуды
суммарного сигнала.

15. Пусть материальная точка совершает колебания вдоль
взаимно перпендикулярных осей Оx и Оy.

16. 1 1
2 2
cos( )
cos( )
x A t
y A t
   
   
1
1 2
1
2
cos( )
cos( )
x
t
A
y
t
A
  
   
   
1 2
y
x
A A

2 1 2
    
1
2
cos( )
cos( )
x
t
A
y
t
A
   
    
1 2
y
x
A A
 

17. 2 2
1 2
1
y
x
A A
   
 
   
   
3 1 2
1
2
2
cos( )
sin( )
x
t
A
y
t
A

   
   
   
1 1
2 2
cos( )
cos( )
x A t
y A t
   
   
1 2
  

18. 2
2
0
2
2 0
d x dx
x
dt dt
    
упр сопр
F F F
 
kx

dx
rv r
dt
  
ma F

2
2
dv d x
dt dt

2
2
d x dx
m kx r
dt dt
  
2
2
0
d x r dx k
x
dt m dt m
  
2
r
m
 
Коэффициент затухания
2
0
k
m
 
Собственная
частота
колебаний
Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний

19. 0
0
2 2
0
( )cos( )
( ) t
x A t t
A t A e
   

   
 
 
ln
A t
A t T
 

 
 
W t
Q
W t

