Matemáticas para las ciencias y artes

1. MATRICES
Presentación
MATEMÁTICAS PARA LAS CIENCIAS Y ARTES
Prof. Daniel Hernández Ledesma
Andrea Díaz Morales
64223535
Arquitectura
17 de abril 2023

2. Matrices
DEFINICIÓN
¿PARA QUÉ SE UTILIZAN?
Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que
pueden sumarse y multiplicarse. La matriz es un conjunto de números o expresiones,
dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los
datos que dependen de varios parámetros.

3. Notación y dimensiones de
matrices
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la
columna j-ésima se le llama elemento ai,j o elemento (i,j)-iésimo de la
matriz.
Abreviadamente se puede expresar A = (aij)
“i”, indica la fila
“j”, indica la columna

4. MATRIZ CUADRADA cuando
tiene el mismo número de filas
que de columnas.
Tipos de matrices
MATRIZ NULA tiene
todos los elementos en
cero.
MATRIZ FILA solo tiene
una fila. Es decir: (1 x n)
MATRIZ COLUMNA sólo
consta de una columna. Es decir
será (mx1)
MATRIZ RECTANGULAR
tiene diferente número de
filas que de columnas.

5. DIAGONAL
PRINCIPAL
TRAZA DE LA
MATRIZ
Es la suma de los
elementos de la
diagonal.
DIAGONAL
SECUNDARIA
MATRIZ
IDENTIDAD
Si una matriz diagonal tiene
en su diagonal principal sólo
unos "1". Se representa por
In.
TRIANGULAR
SUPERIOR
Si todos los elementos por
debajo de la diagonal
principal son nulos.
MATRIZ
DIAGONAL
Si una matriz es a la vez
triangular superior e inferior,
sólo tiene elementos en la
diagonal principal.
TRIANGULAR
INFERIOR
Si son nulos todos los
elementos situados por
encima de dicha diagonal.
Dentro de las matrices cuadradas

6. Interpretación
geométrica de
matices

7. DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE
COFACTORES DE aij
PUEDE DEFINIRSE DE LA SIGUIENTE
FORMA:
Existen diferentes métodos para hallar el determinante de una matriz.
El determinante de una matriz, como resultado generará un escalar.
Dada la matriz “A“,su determinante está denotado por det (A) ó |A|.
APLICACIÓN DE LAS DETERMINANTES
Determinantes de una matriz

8. Los elementos de la diagonal principal.
(a11 · a22 ·a33).
Los elementos de la línea paralela
superior a la diagonal principal por el
elemento aislado de la esquina inferior
izquierda (a12 · a23 · a31)
Los elementos de la línea paralela
inferior a la diagonal principal por el
elemento aislado de la esquina
superior derecha (a21 · a32 · a13)
SUMANDOS POSITIVOS son los
obtenidos al multiplicar:
1.
2.
3.
REGLA DE SARRUS
Los elementos de la diagonal
secundaria (a13 · a22 · a31) .
Los elementos de la línea paralela
superior a la diagonal secundaria por el
elemento aislado de la esquina inferior
derecha (a12 · a21 · a33)
Los elementos de la línea paralela
inferior a la diagonal secundaria por el
elemento aislado de la esquina
superior izquierda (a32 · a23 · a11)
SUMANDOS NEGATIVOS son los
obtenidos al multiplicar:
1.
2.
3.
Y entonces det (A)= |A| = Sumandos positivos - Sumandos negativos.

9. Operaciones con matrices
La suma-resta no esta definida para matrices de diferentes tamaños.
Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se
encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.
a) Conmutativa:A+B=B+A
b) Asociativa:A+(B+C)=(A+B)+C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar
de signo a los elementos de A, por ejemplo:
PROPIEDADES

10. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los
elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño.
a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B.
b) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·A.
c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A
d) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A
PROPIEDADES

11. “No todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar
cuando cumplen...”
Para dos matrices A y B, en este orden, A·B, es condición
indispensable que el número de columnas de A sea igual al número
de filas de B.
La multiplicación matricial NO ES CONMUTATIVA. AxB≠BxA
Condición de los limites: Dadas Aab y Bcd donde a, b, c, d son sus
limites, las matrices A y B deben cumplir la siguiente restricción:
MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES

12. Transposición
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz
traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que
resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.
b) (A+B)t =At +Bt
c) (k・A)t =k・At
PROPIEDADES
Matriz simétrica
Es aquella para la que se cumple que At = A

13. Como un vector es solo una lista de números, podemos
representarlo como una matriz. Es por esto que podemos
escribir vectores con notación de matriz. Siempre podemos
escribir un vector dado como un vector renglón (1×n) o como un
vector columna (n×1). La única diferencia entre los vectores
renglón y columna es cómo funcionan en la multiplicación de
matrices.
Vectores y su relación con matrices

14. Vectores renglón vs. vectores columna
R = (r11 r12 r13… r1n)
Es una matriz que tiene un solo renglón. Un vector
renglón R con n elementos r1j tiene una dimensión
1x n y la forma general
c11
Es una matriz que tiene una columna solamente.
Un vector columna C que posea m elementos cj1
tiene la dimensión m x 1 y la forma general
c21
C .
.
.
cm1
Vector renglón Vector columna

15. El producto de una matriz por un vector es una imagen lineal. La multiplicación se explica si el número de
columnas de la matriz es igual al número de elementos del vector. El resultado es un vector cuyo número
de componentes es igual al número de filas de la matriz. Esto significa que una matriz con 2 filas siempre
mapea un vector a un vector con dos componentes.
Multiplicación de un vector y una matriz

16. Conclusión
Para finalizar, podemos concluir que las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y
sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones
lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices
desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

17. Referencias
https://www3.gobiernodecanarias.org
https://www.ferrovial.com
https://www.monografias.com
https://es.scribd.com