Temas: Ecuación diferencial en variables separables, Ecuación diferencial homogéneas y Ecuación diferencial exactas

2. ECUACIONES DIFERENCIALES
(SOLUCION DE ECUACIONES)
PREVIO I

3. Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED con las ecuaciones más sencillas de resolver.
Este tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos integraciones.
ECUACIONES DIFERENCIALES: METODO DE VARIABLES SEPARABLES
Definición
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x,y) en la forma:

4. ESTRATEGIA PARA RESOLVER ED POR VARIABLES SEPARABLES
Una ED de variables separables puede resolverse usando la siguiente
estrategia:
• Procedimiento:
Variables Separables
- Entrada: Una ED ordinaria en la forma
- Salida: La solución de la ED.
Paso I: Factorizar el segundo miembro
Factorizar
si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables
separables y el procedimiento no continua.

5. Paso II: Separar las variables
Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes:
Paso III: Integrar
Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos:

6. ∫∫
atómicas.
Paso IV: Despejar “y” Opcional
Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es
determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la
forma:
y= Expresión en x
En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en
forma explícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y ) se dice
que la solución está dada en forma implícita.
EJEMPLO DE ED POR VARIABLES SEPARABLES….
https://www.youtube.com/watch?v=oVLapt6dlOU

7. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Una función se dice homogénea de grado n
si
para todo y todo .
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones
homogéneos del mismo grado.

8. :
SOLUCION DE UNA ED HOMOGENEA
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en
variables separadas.
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que
de donde
la cual es separable, como se quería.
EJEMPLO: http://www.youtube.com/watch?v=NBxpoeGPz2c&feature=youtu.be

9. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Sí para una función de dos variables F(y,t),
, entonces, la diferencial total es: dF(y,t)=
M dy + N dt Puesto que M y N son derivadas parciales, esto se
denomina ecuación diferencial parcial. Sí la diferencial se
hace igual a cero, de modo que M dy + N dt = 0,
recibe el nombre de ecuación diferencial exacta, porque el
lado izquierdo es exactamente igual a la diferencial de la
función primitiva F(y,t). Para una ecuación diferencial exacta,
t
F
Ny
y
F
M

10. .tan,
varint
teconsmantieneseotralaquemientrasvezlaa
iableunaarespectoconsucesivaegraciónla
exigeexactaldiferenciaecuaciónunaderesoluciónLa
y
N
t
M
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
(6yt + 9y2 ) dy + (3y2 + 8t ) dt = 0
Solución:

11. ctytytyFttZ
ttZtZytytieneseLuego
tyN
t
F
quePuestotZy
t
F
tZytytZyyyttyF
exactaesluego
y
N
y
t
M
2322
22
22
322
433),(4)(
8)(')('383:
83),('3
)(33)()96(),(
,6
EJEMPLO: http://www.youtube.com/watch?v=VUimYNGVlvM&feature=youtu.be

12. Gracias por su atención
Luis Arturo Saavedra Duarte
1150782
Andres Silvestre Ariza Torrado
1150694
Diego Armando Leal Castellanos
1150696
Cristian Fabian Buitrago Gomez
1150688
Johan Andres Carreño Parada
7 DE OCTUBRE DE 2013