1. CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES
1 Définition et représentation graphique
de la fonction logarithme népérien
1. Définition
1
La fonction inverse x -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet
-
x
donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ .
La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur
1
]0 ; + ∞ [ , de la fonction x -- qui s’annule en 1.
-
x
2. Conséquences
• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive
sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante.
Elle est continue et bijective.
1
• ln ′ ( x ) = -- ;
- x 0 1 +∞
x
ln 1 = 0.
1 + +
x --
-
• lim ln x = – ∞ x
x→0
0 +∞
lim ln x = + ∞ . ln 0
x → +∞ –∞
ln
1 A
1
0 B e
148

2. cours savoir-faire exercices corrigés
• On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1.
1
Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = -- x et au point
-
e
B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1.
exemple d’application
Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction :
x+3
f: x ln  ------------ .
 x – 1
corrigé commenté
Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f.
x+3
f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un tri-
x–1
nôme du second degré de racines 1 et – 3.
x+3
Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ .
x–1
Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ .
Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D.
1 + --
3
-  1 + 3 -- 
-
x+3 x  x
• ------------ = ------------ pour x ≠ 0 d’où
- lim  ------------  = 1 et lim ln X = 0 donc par
-
x–1 1 x → ∞ 1
1 – -- - 1 – --  - X→1
x  x
composition lim f ( x ) = 0.
x →∞
Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞.
x+3
• lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ .
x → –3 x – 1 X→0 x → –3
–3 0 –3
Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à .
x+3
• lim ( x – 1 ) = 0 + et lim ( x + 3 ) = 4 donc lim  ------------ = + ∞ et
x →1 x →1 x → 1 x – 1
1 1
lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ .
X → +∞ x→1
1
Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D.
En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives :
y = 0 ; x = – 3 et x = 1.
149

3. CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES
2 Propriétés et autres fonctions
1. Propriétés de la fonction logarithme népérien
Conditions Propriétés
a 0 ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des
b 0 fonctions logarithmes)
a 1
ln -- = ln a – ln b ; ln -- = – ln b
- -
b b
ln a α = α ln a avec α ∈
ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective)
ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement
croissante)
ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1
0 x 1 ln x 0
x 1 ln x 0
2. Dérivées et primitives
• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour
tout x de I, u ( x ) soit strictement positif :
u′ u′
( ln ◦ u )′ = ----
- . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ---- .
-
u u
• Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée
u′ est dérivable sur I.
u¢
Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ .
u
3. Fonction logarithme décimal
ln x
La fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------ .
-
ln 10
Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que
la fonction logarithme népérien.
1
log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ---------------- .
-
x ln 10
Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puis-
sances de 10.
150

4. cours savoir-faire exercices corrigés
4. Autres limites
ln ( 1 + x ) ln x
lim ----------------------- = 1 ;
- lim --------- = 0 ;
x→0 x x → +∞ x
lim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois).
x→0
ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro.
5. Résolution de l’équation ln x = a
Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans
]0 ; + ∞ [ .
Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a.
x2 + 3
exemple d’application
Soit la fonction f : x ln -------------- définie sur ]1 ; + ∞ [ .
-
x–1
Déterminer les variations de f.
corrigé commenté x2 + 3
La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = -------------- . -
x–1
u′ 2x ( x – 1 ) – ( x 2 + 3) x 2 – 2x – 3
D’où f ′ = ---- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = ---------------------------
- - -
u ( x – 1 )2 ( x – 1 )2
donc :
x 2 – 2x – 3
---------------------------
-
( x – 1 )2 ( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 )
f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------- .
- -
x 2+3 ( x – 1 )2 ( x2 + 3 )
---------------
x–1
Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même
signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3.
Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement
si, x ∈ ]1 ; 3 ] .
Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est
strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] .
Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df .
Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ .
151