PARABOLA DAN ELIPS

Disusun :
Markus Yuniarto, S.Si
Tahun Pelajaran
2017 – 2018
Kelas XI MIA Peminatan

SMA Santa Angela Bandung
2
Marcoes XI MIA Peminatan
Peta Konsep

3
Glosarium
Istilah Keterangan
Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu.
Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.
Jari jari
lingkaran
Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik
pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.
Ellips Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya.
Parabola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu
dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut
fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis
arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis
jika diketahui garis arah dan titik fokus yang
terletak pada suatu garis.
Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik
Fokus Hiperbola.

4
Irisan Kerucut
Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola
A. Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu.
 Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
 Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)
Luas lingkaran = π.r2
(r = jari-jari)
Ex. 1:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

5
Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r
Ex. 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan :
a. Berjari-jari 2
b. Melalui titik A(3, 4)

6
Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r
Ex. 3 :
Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P(3, 2) dan berjari-jari 4
b. Berpusat di titik Q(2, -1) dan melalui titik R(5, 3)

7
B.Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap
2 titik tertentu tetap.
 Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk
elips vertikal)
 Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2
adalah 2c
Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya
terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana
0 < e < 1
 Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
 Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips
disebut sumbu mayor
 Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2
 Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan
memotong elips disebut sumbu minor
Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)
Perhatikan unsur-unsur elips
a). Elips dengan titik pusat O(0, 0)

8
2b2
a
e 
c
6. Eksentrisitas
a
7. Persamaan direktris : d1 = x = p 
a
e
dan d2
 x  p 
a
e
b). Elips dengan titik pusat P(p, q)
1. Titik fokus : F1(p – c, q) dan F2(p + c, q)
2. Titik puncak : A1(p – a, q) dan A2(p + a, q)
3. Sumbu mayor : A1A2 dengan panjnag 2a
4. Sumbu minor : B1B2 dengan panjang 2b
2b2
5. Panjang latus rectum L1L2 =
6. TF1 + TF2 = 2a a
7. Eksentrisitas e 
c
a
8. Persamaan direktris : d1 = x = p 
a
e
dan d2
 x  p 
a
e
Ex. 4 :
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4),
(0, –4), fokus (3,0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

9
Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2),
(0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

10
 
B1(0,b)
T(x,y)
A1(a,0) A2 (a,0)
B2 (0,b)
(x  c)2
 y2
(x  c)2
 y2
(x  c)2
 y2
(x  c)2
 y2
Persamaan Elips
1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0, 0)
atau
x2
y2
a2
b2
1 , dengan a2
> b2
x2

y2
b2
a2
1, dengan a2
 b2

11
2
Ex. 5 :
Tentukan persamaan elips dengan titik puncak P(13, 0) dan fokus F1(-
12, 0) dan F2(12, 0)
Ex. 6 :
Diketahui persamaan elips
x

y2
25 16
 1 . Tentukan :
a. Titik titik puncaknya
b. Titik focusnya
c. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor

12
Ex. 7 :
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0, 0), dengan salah satu
focusnya (
grafiknya.
3, 0) dan panjang sumbu mayor 4 satuan. Kemudian lukis
2. Persamaan Elips yang Berpusat di P(h, k)
Persamaan :
(x  h)2
a2

(y  k)2


b2
atau
(x  h)2

(y  k)2



b2
a2
1
Ex. 8
Diketahui elips dengan persamaan
a. Pusat elips
(x 1)2
25

(y  4)2
9
 1 . Tentukan :
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
c. Koordinat titik fokus
d. Koordinat titik puncak
1

13
Ex. 9
Diketahui elips dengan persamaan 4x2
 9y2
 48x  72y 144  0.
Tentukan :
a. Pusat elips
Ex. 10
 y2
8x  6y  9  0 .
Tentukan :
a. Pusat elips
Ex. 11
9y2
16x 18y 11 0
Tentukan :
a. Pusat elips

14
2
Persamaan Garis Singgung
a. Persamaan Garis singgung melalui titik (x1 , y1 ) pada elips
x1 x

y1y
 1atau (x1  m)(x  m)

(y1  n)(y  n)
a2
b2
Ex. 12
a2
b2
Tentukan PGS elips berikut :
a.
x

y
28 21
 1 pada titik A(4, 3)
(x 1)2
b.
18

(y 2)2
9
 1 pada titik B(5, -3)
2

15
2
2
2
b. Persamaan Garis singgung pada Elips dengan Gradien Tertentu
1). Untuk Elips dengan Pusat O(0,0)
Garis : y = mx + n dan elips
y  mx 
x

y2
a2
b2
 1 , sehingga PGS:
atau elips
x

y2
b2
a2
 1 , sehingga PGS : y  mx 

2). Untuk lips dengan Pusat P(h, k)
a. Untuk elips
(x h)2
a2

(y  k)2
b2
 1 dengan gradien m
PGS : y k  m(x h)


b. Untuk elips
(x h)2
b2

(y  k)2
a2
 1 dengan gradien m
PGS : y k  m(x h)



Ex. 13
Tentukan PGS pada elips :
a.
x

y
9 4
 1yang gradiennya
2
3
b. 3x2
 4y2
30x 8y  4  0 yang sejajar garis x – 2y + 3 =
a2
m2
 b2
b2
m2
 a2
a2
m2
 b2
b2
m2
 a2
2

16
2
2
2
2
2
Latihan 1
1. Tentukan kedudukan garis-garis berikut terhadap elips
a. 4y – 3x – 9 = 0
b. 7y – 8y – 56 = 0
c. x – 5 = 0
x

y2


25 9
2. Tentukan nilai k sehingga garis y + x + k = 0 menyinggung elips
x

y2
20 5
 1 .
3. Diketahui persamaan elips 16x2
 25y2
 32x  100y  284  0 .
Tentukan kedudukan garis 3y – 4x – 2 = 0 terhadap elips tersebut.
4. Tentukan PGS pada elips di bawah ini yang melalui titik yang
ditentukan.
a. 10x2
36y2
 360 di titik A(10, 0)
b.
x

y
16 9
 1 di titik B(0, 9)
(x 3)2
c.
9

(y  4)2
16
 1 di titik C(3, 4)
5. Tentukan PGS pada elips :
a.
x

y
9 8
b.
x

y
8 9
 1 dengan gradien – 2
 1 yang sejajar garis y = 3x – 7
c. 9x2
25y2
36x  50y 164  0 dengan gradien
1
2
d. 25x2
16y2
160y  0 yang sejajar dengan garis 2y – 3x + 1 = 0
1
2
2
2

17
B. Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.
 Titik itu disebut fokus/titik api (F)
 Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
 Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut
sumbu simetri parabola
 Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak
parabola
 Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum →
tegak lurus dengan sumbu simetri
Ex. 1:
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x =
–1
Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

18
Hiperbola
(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya
terhadap 2 titik tertentu tetap
 Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips
vertikal)
 Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2
adalah 2c
(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan
jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1
 Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)
 Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers
(sumbu utama)/ sumbu nyata
 Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)
 Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut
sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
 Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak
hiperbola

19
 Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan
memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua
titik tersebut = Latus Rectum
Ex. 2:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus
(√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x
Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0,
√6), (0, –√6), dan asimtot y = ± ½√2 x

20
Persamaan
Tips!
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:

21
 Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2
dan y2
sama
 Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya
kuadrat (x2
saja atau y2
saja)
 Pada persamaan Elips: koefisien x2
dan y2
bertanda sama (sama-
sama positif atau sama-sama negatif)
 Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2
dan y2
berbeda tanda
(salah satu positif, yang lain negatif)
Ex. 3 :
 3x2
+ 3y2
+ 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
 3x2
+ 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
 3x2
+ y2
+ 6x + y = 5 → Persamaan Elips
 3x2
– 3y2
+ 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola
Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:
1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:
→ Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut
→ Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut
tersebut
→ Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut
Ex. 4:
Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x2
+ y2
+ 6x + y = 5
Cara:

22
3x2
+ y2
+ 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.52
+ (–1)2
+ 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut
Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:
1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan
kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut
(Ingat! D = b2
– 4.a.c)
→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik
Ex. 5 :
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan
persamaan 3x2
+ 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)2
+ 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y2
) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y2
+ 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y2
– 57y + 67 = 0
D = b2
– 4.a.c = (–57)2
– 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut

23
Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung dengan gradien m
Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1)
→ selalu gunakan sistem bagi adil:
(…)2
menjadi (…).(…)
(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui
→ masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil
1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis singgung
2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis polar
Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik
potong
Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil
untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung

24
Ex. 6 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
+ 4x = 13
pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (22
+ 12
+ 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung
Ex. 7 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
+ 4x = 13
pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (42
+ 12
+ 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x2
+ (1 – 6x)2
+ 4x – 13 = 0
x2
+ 1 – 12x + 36x2
+ 4x – 13 = 0
37x2
– 8x – 12 = 0

25
Gunakan rumus abc:

26
Masukkan (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan hasil bagi adil

27
SOAL LATIHAN
1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari
....
A. x2
+ y2
=
B. x2
+ y2
= 6
C. x2
+ y2
= 3
D. x2
+ y2
= 9
E. x2
+ y2
=
adalah
2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2
+ y2
– 10 – 2y = 0
berturut – turut adalah ....
A. (10, 2) dan 10
B. (-5, -1) dan 6
C. (5, -1) dan 6
D. (5, 1) dan 6
E. (-5, 1) dan 6
3. Persamaan lingkaran yang berjari – jari 3 dan menyinggung sumbu x
di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah ....
A. (x – 3)2
+ (y – 3)2
= 3
B. (x – 3)2
+ (y + 3)2
= 9
C. (x + 3)2
+ (y – 3)2
= 3
D. (x – 3)2
+ (y – 3)2
= 9
3
3
6

28
E. (x + 3)2
+ (y – 3)2
= 9
4. PGS lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah ....
A. x + 2y =
B. 2x + y = 5
C. x + 2y = - 5
D. 2x + y = - 5
E. x + 2y – 5 = 0
5. Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
+ 5x – 6y - 33 = 0 yang
melalui titik (1, -3) adalah ....
A. 7x - 12y – 43 = 0
B. 6x - 7y + 34 = 0
C. 7x + 12y – 43 = 0
D. 12x + 7y – 24 = 0
E. -7x - 12y + 12 = 0
6. Koordinat titik focus parabola y2
= -12x adalah ....
A. (-12, 0)
B. (0, -3)
C. (-4, 0)
D. (0, -4)
E. (-3, 0)
7. Koordinat tititk puncak parabola y2
+ 2x – 6y + 11 = 0 adalah ....
5

29
A. (-1, 3)
B. (2, -3)
C. (1, -3)
D. (-2, 6)
E. (2, -6)
8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai
sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah .…
A. (y + 2)2
= 8(x – 4 )
B. (y + 2)2
= - 8(x + 2 )
C. (y - 2)2
= 8(x – 4 )
D. (y + 2)2
= - 8(x – 2 )
E. (y + 1)2
= 8(x + 4 )
9. PGS parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah ....
A. y = 32x + 64
B. y = 2x + 4
C. y = 16x + 2
D. y = x + 2
E. y = 8x + 16
10.Persamaan garis singgung parabola (y - 3)2
= 8(x + 5 ) yang tegak
lurus dengan garis x – 2y – 4 = 0 adalah ....
A. 2x + y – 4 = 0
B. 2x - y – 2 = 0

30
C. 2x + y + 2 = 0
D. 2x - 8y – 5 = 0
E. 2x + y + 8 = 0
11.Panjang sumbu mayor persamaan elips 20x2
+ 36y2
= 720 adalah .…
A. 2
B. 20
C. 6
D. 36
E. 12
12.Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x2
+ 25y2
+ 18x – 100y =
116 adalah ....
A. (5, 2) dan (-3, 2)
B. (-1, 6) dan (5, 3)
C. (-3, -2) dan (1, 3)
D. (5, 2) dan (-3, 5)
E. (3, 2) dan (5, 2)
13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0)
serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah .…
A. 10x2
+ 6y2
= 60
B. 9x2
+ 16y2
= 144
C. 36x2
+ 16y2
= 400
D. 9x2
+ 25y2
= 225
5

31
2
E. 16x2
+ 9y2
= 400
14. Persamaan garis singgung elips 5x2
+ 20y2
=100 pada titik (4, 1)
adalah ....
A. x - y + 5 = 0
B. x + y = -5
C. x + y + 5 = 0
D. -x - y = 5
E. x + y = 5
15.Persamaan garis singgung elips
) adalah ....
x

y2
3 9
 1 yang melalui titik (1, -
A. 3x -
B. 6x -
C. 3x -
D. x -
E. 3x - 3
y = 9
y = 1
y = 3
y = 1
y = 11
16. PGS elips 5x2
+ y2
= 5 yang melalui titik A(-2, 1) adalah .…
A. 2x + 3y + 7 = 0
B. 2x - y - 3 = 0
C. 2x - 3y + 5 = 0
D. 2x - y - 5 = 0
E. 3x + 2y + 9 = 0
6
6
6
6
6
6

32
17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2
+ 16y2
- 54x – 64y - 127 = 0
adalah ....
A. 4x - 3y - 18 = 0
B. 3x - 4y 17 = 0
C. 4x - 3y - 6 = 0
D. 3x - 4y – 1 = 0
E. 4x - 3y - 1 = 0
18. Koordinat titik puncak hiperbola x2
- 4y2
- 2x + 24y - 39 = 0 adalah :
A. (1, 2) dan (-1, 2)
B. (1, 0) dan (1, 4)
C. (3, 2) dan (-1, 2)
D. (1, -2) dan (1, -4)
E. (1, 3) dan (-1, 3)
19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2
- y2
- 40x - 4y + 48 = 0 di
titik (9, 2) adalah ....
A. 4x - y + 21 = 0
B. 9x - 2y - 34 = 0
C. 4x - y - 34 = 0
D. 9x - 2y + 21 = 0
E. 4x - y - 28 = 0
20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2
- y2
+ 12 = 0 di titik (1, 4)
adalah ....
A. 19x + 11y = 63 dan x – y = -3
B. 19x + 11y = -63 dan x – y = 3

33
C. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3
D. 19x - 11y = -126 dan x + y = 3
E. -19x + 11y = 126 dan -x + y = -3
21. Persamaan parabola yang berpuncak di dan fokusnya
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
22. Koordinat titik fokus parabola dengan persamaan
adalah . . .
A.
B.
C.
D.
E.
23. Persamaan elips dengan titik puncak di dan panjang
latus rectum , berbentuk . . . .
A.

34
B.
C.
D.
E.
24. Koordinat titik pusat elips dengan persamaan
adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.
25. Panjang sumbu minor elips dengan persamaan
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.

35
DAFTAR PUSTAKA
Bahri, Samsul dan Mustain. 2009. Terampil Matematika untuk
SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega
Mauludin, Ujang. 2007. Matematika untuk SMK kelas XII Program
Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama
Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA untuk kelas XII program
Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga
Teguh, Mega. 2004. Modul Irisan Kerucut. Departemen
Pendidikan Nasional

36

PARABOLA DAN ELIPS

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a PARABOLA DAN ELIPS

Semelhante a PARABOLA DAN ELIPS (20)

PARABOLA DAN ELIPS