Diapositivas sobre las coordenadas polares realizado por Alwin Palacios

1. Estudiante: Alwin Palacios
C.I. 27067680
Universidad Fermín Toro

2. ¿Qué es un sistema de
coordenadas?
Es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un
punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que
confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina
sistema de referencia.

3. ¿Qué son las coordenadas polares?
Son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto
del plano se determina por una distancia y un ángulo.
De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un
punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta
dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar
(equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de
referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar
distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado (𝑟, 𝜃) donde r es la distancia de P al
origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP
que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en
sentido horario. La distancia r (𝑟 ≥ 0) se conoce como la «coordenada
radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada
angular» o «ángulo polar».

5. Ecuaciones polares
Es la ecuación que define una curva expresada en coordenadas
polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo
r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de
puntos en la forma (𝒓 (𝜃), 𝜃) y se puede representar como la gráfica de
una función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una
función polar r. Si 𝒓(−𝜃) = 𝒓 (𝜃) la curva será simétrica respecto al
eje horizontal (0°/180°), si 𝒓(180° − 𝜃) = r (θ) será simétrica respecto
al eje vertical (90°/ 270°), y si 𝒓 (𝜃 − 𝛼°) = 𝒓 (𝜃) será simétrico
rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar,
muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar,
mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado.

6. Circunferencia
La ecuación general para una circunferencia con centro en (r0, φ) y
radio a es
𝑟2 − 2𝑟𝑟0 cos 𝜃 − 𝜑 + 𝑟2
= 𝑎2
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar.
Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se
obtiene: 𝑟 𝜃 = 𝑎
Un círculo con
ecuación r(𝜃)=1

7. Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan
mediante la ecuación 𝜃 = 𝜑
Donde 𝜑 es el ángulo de elevación de la línea, esto es, 𝜑 = arctan𝓶
donde 𝓶 es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas
cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial 𝜃 = 𝜑
perpendicularmente al punto (𝑟0, 𝜑) tiene la ecuación
𝑟 0 = 𝑟0 sec(𝜃 − 𝜑)

8. Rosa polar
La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con
pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple, 𝑟 𝜃 =
𝑎 cos(𝑘𝜃 + 𝜙0), para cualquier constante 𝜙0 (incluyendo al 0). Si k es
un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de 𝑘 pétalos
cuando 𝑘 es impar, o 2𝑘 pétalos si 𝑘 es par. Si 𝑘 es racional pero no
entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados.
Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14,
etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la
rosa.
Si tomamos solo valores positivos para 𝑟 y valores en el intervalo
[0,2𝜋) para 𝜃, la gráfica de la ecuación: r(𝜃) = 𝑎 sin
𝑘
2
𝜃 + 𝜙0 , es una
rosa de k pétalos, para cualquier número natural k. Y si la gráfica k=0,
la grafica es una circunferencia de radio r= 𝑎 sin(𝜙0) .

9. Una rosa polar con ecuación
𝑟(𝜃) = 2 𝑠𝑖𝑛 4𝜃.

10. Espiral de Arquímedes
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por
Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación
polar simple. Se representa con la ecuación r 𝜃 = 𝑎 + 𝑏𝜃
Un cambio en el parámetro 𝑎 producirá un giro en la espiral, mientras
que 𝑏 controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para
una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para
𝜃 > 0 y otro para 𝜃 < 0. Los dos brazos están conectados en el polo.
La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro
brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las
secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además
es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma
más fácil con una ecuación polar.

11. Un brazo de la espiral de
Arquímedes con ecuación
𝑟(𝜃) = 𝜃 para 0 < 𝜃 < 6𝜋.

12. Conversión de coordenadas
 Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo 𝜃 sobre el eje x,
y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
𝒙 = 𝒓 cos 𝜽
𝒚 = 𝒓 sin 𝜽
 Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se
tiene que la coordenada polar r es:
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
 Para 𝑟 = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
 Para 𝑟 ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un
intervalo de tamaño 2𝜋. Por convención, los intervalos utilizados son
[0, 2𝜋) y (−𝜋, 𝜋].

13. Para obtener θ en el intervalo [0, 2𝜋), se deben usar las siguientes
fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
𝜃
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
𝜋
2
arctan
𝑦
𝑥
+ 𝜋
3𝜋
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
+ 2𝜋
Si 𝑥 > 0 y y ≥ 0
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 > 0
Si 𝑥 < 0
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 < 0
Si 𝑥 > 0 y 𝑦 < 0

14. Para obtener 𝜃 en el intervalo −𝜋, 𝜋 , se considera que arctan
𝑦
𝑥
∈
−
𝜋
2
,
𝜋
2
es una función creciente en su dominio:
𝜃
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
− 𝜋
−
𝜋
2
arctan
𝑦
𝑥
𝜋
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
+ 𝜋
Si 𝑥 < 0 y y < 0
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 < 0
Si 𝑥 > 0
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 > 0
Si 𝑥 < 0 y 𝑦 ≥ 0