2. La Interpolación:
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina
interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento
de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número
de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender
construir una función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la
aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos
una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto
número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función
más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores
evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien
dependiendo de las características del problema y del método de
interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error
cometido.
3. La Interpolación Lineal:
Uno de los métodos de interpolación más sencillos es el lineal. En general, en
la interpolación lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener
un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula:
La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.
4. La Interpolación Bilineal:
La interpolación bilineal es una extensión de la interpolación lineal para
interpolar funciones de dos variables (por ejemplo, x e y) en una malla regular
de dos dimensiones.
La idea principal es realizar una interpolación lineal en una dirección, y
después en la otra. Aunque cada uno de estos pasos es lineal, la interpolación
en su conjunto no es lineal sino cuadrática.
Los cuatro puntos rojos muestran los datos conocidos y el punto verde
representa el punto que queremos interpolar
5. Polinomio Interpolante de Newton-Gregory:
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le
puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados,
es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y
retroceso).
Polinomio Interpolante de Gauss :
El Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de
partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y
así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma
de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia
arriba, y así sucesivamente.
6. Interpolación De Hermite:
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada
subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x)
queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La
desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la
disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas
aplicaciones.
Interpolación Usando Splines:
Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de
detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función,
haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luzcan uniformes.
Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por
pedazos con las siguientes propiedades:
•
•
•
•
s(x) es polinomio cúbico en .
existen y son continuas en .
s(x) interpola a la función f en los datos .
s(x) es continua en el intervalo.
7. Polinomio Interpolante De Lagrange :
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los
n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la
tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del
polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se
propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado,
se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se
cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.
8. Nunca consideres el estudio como una obligación,
sino como una oportunidad para acceder en el bello
y maravilloso mundo del saber.
Albert Einstein
