حلول التمارين والامثلة الاثرائية والاسئلة الوزارية

1. ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫أحمد‬ :
07704516937
‫المرسل‬‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬
‫المنصور‬–‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
07703458937
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫االدبي‬ ‫السادس‬
2017-2016
‫مفصل‬ ‫شرح‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬
‫الوزارية‬ ‫االسئلة‬ ‫حلول‬
‫اثرائية‬ ‫امثلة‬

2. / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169372/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
:)‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫االول(مبرهنة‬ ‫الفصل‬
1-‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬.......................................................................................................5
2-‫التمارين‬ ‫حلول‬1-1....................................................................................................7
3-‫العدد‬ ‫مضروب‬:.......................................................................................................8
4-‫التباديل‬:.................................................................................................................9
5-‫التمارين‬ ‫حلول‬2-1....................................................................................................10
6-‫التوافيق‬:................................................................................................................12
7-‫التمارين‬ ‫حلول‬3-1....................................................................................................14
8-:‫الحدين‬ ‫ذو‬ ‫مبرهنة‬....................................................................................................71
9-‫التمارين‬ ‫حلول‬4-1....................................................................................................20
‫الثاني‬ ‫الفصل‬:)‫(الغاية‬
1-:‫الغايات‬.................................................................................................................25
2-‫التمارين‬ ‫حلول‬1-2....................................................................................................30
3-:‫االستمرارية‬...........................................................................................................33
4-‫التمارين‬ ‫حلول‬2-2....................................................................................................35
‫ال‬:)‫(المشتقة‬ ‫الثالث‬ ‫فصل‬
1-‫المشتقة‬...................................................................................................................41
2-‫تمارين‬ ‫حلول‬1-3......................................................................................................44
3-‫االشتقاق‬ ‫مبادئ‬..........................................................................................................74
4-‫تمارين‬ ‫حلول‬2-3......................................................................................................84
5-:‫للمشتقة‬ ‫والفيزياوية‬ ‫الهندسية‬ ‫التطبيقات‬..............................................................................50
6-:‫االقتصاد‬ ‫في‬ ‫المشتقة‬ ‫تطبيقات‬ ‫بعض‬.................................................................................35
7-‫تمارين‬ ‫حلول‬3-3......................................................................................................35
8-‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬............................................................................................65
9-‫تمارين‬ ‫حلول‬4-3......................................................................................................95
10-:‫االنقالب‬ ‫ونقاط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬....................................................................................26
11-‫تمارين‬ ‫حلول‬5-3....................................................................................................26
12-:‫الدوال‬ ‫رسم‬..........................................................................................................56
13-‫تمارين‬ ‫حلول‬6-3....................................................................................................76
14-:‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫على‬ ‫تطبيقات‬........................................................................71
15-‫تمارين‬ ‫حلول‬7-3....................................................................................................47
:)‫(التكامل‬ ‫الرابع‬ ‫الفصل‬
1-:‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬....................................................................................................83
2-‫حل‬‫و‬‫تمارين‬ ‫ل‬1-4.......................................................................................................58
3-‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫للتكامل‬ ‫الهندسية‬ ‫التطبيقات‬................................................................................88
4-:‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫للتكامل‬ ‫االقتصادية‬ ‫التطبيقات‬............................................................................19
5-‫تمارين‬ ‫حلول‬2-4.......................................................................................................29
6-:‫المحدد‬ ‫التكامل‬..........................................................................................................59
7-‫تمارين‬ ‫حلول‬3-4.......................................................................................................69
8-‫السينات‬ ‫ومحور‬ ‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المساحة‬..................................................................................001
9-‫المساحة‬‫دالتين‬ ‫منحني‬ ‫بين‬...............................................................................................021
10-‫تمارين‬ ‫حلول‬4-4....................................................................................................031
‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬:..............................................................................................................061

3. / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169373/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫أحمد‬ :
07704516937
‫والنشر‬ ‫للطباعة‬ ‫المرسل‬
‫المنصور‬–‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
07703458937
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫االدبي‬ ‫السادس‬
2017-2016
‫الفصل‬‫االول‬
‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬

4. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169374/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937

5. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169375/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
:)‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫االول(مبرهنة‬ ‫الفصل‬
1-‫(مبد‬‫أ‬:)‫االساسي‬ ‫العد‬‫به‬ ‫ويقصد‬‫اساليب‬ ‫اتباع‬‫المعادالت‬ ‫استخدام‬ ‫بدون‬ ‫الحساب‬ ‫عمليات‬ ‫اجراء‬ ‫في‬ ‫االساسية‬ ‫العد‬:
‫مثال‬1/‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫زرقاء‬ ‫صناديق‬ ‫اربع‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بداخل‬ ‫بيضاء‬ ‫صناديق‬ ‫ثالثة‬ ‫لدينا‬‫؟‬
/‫الحل‬‫خالل‬ ‫من‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدء‬‫ن‬‫قوم‬‫ب‬‫ابيض‬ ‫صندوق‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫بعدد‬ ‫البيضاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عدد‬ ‫ضرب‬‫و‬‫يساوي‬ ‫الناتج‬‫عدد‬
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫الكلي‬ ‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬
‫البيضاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عدد‬=3
‫ابيض‬ ‫صندوق‬ ‫لكل‬ ‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عد‬=4
‫عدد‬‫الكلي‬ ‫الصناديق‬=3.4=12‫صندوق‬
‫مثال‬2/‫للدر‬ ‫محل‬ ‫صاحب‬ ‫اعلن‬‫الدر‬ ‫من‬ ‫انواع‬ ‫خمسة‬ ‫لديه‬ ‫يوجد‬ ‫ان‬ ‫الهوائية‬ ‫اجات‬‫ثالثة‬ ‫يوجد‬ ‫نوع‬ ‫كل‬ ‫ومن‬ ‫اجات‬‫احجام‬
‫در‬ ‫ست‬ ‫يوجد‬ ‫حجم‬ ‫كل‬ ‫ومن‬‫الدر‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫اجات‬.‫المحل‬ ‫في‬ ‫اجات‬
/‫الحل‬‫نوع‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫د‬‫ر‬‫در‬ ‫ستة‬ ‫يحوي‬ ‫حجم‬ ‫وكل‬ ‫احجام‬ ‫ثالثة‬ ‫يحوي‬ ‫اجات‬:‫فان‬ ‫اجات‬
‫الدر‬ ‫انواع‬ ‫عدد‬‫اجات‬=5
‫االحجام‬ ‫عدد‬‫نوع‬ ‫لكل‬=3‫الدر‬ ‫عدد‬‫الكلي‬ ‫اجات‬=5.3.6=90.‫اجة‬‫در‬
‫حجم‬ ‫لكل‬ ‫الدراجات‬ ‫عدد‬=6
‫مثال‬3/‫يحوي‬ ‫للمالبس‬ ‫محل‬5‫يوجد‬ ‫موديل‬ ‫كل‬ ‫وفي‬ ‫الرجالية‬ ‫البدالت‬ ‫من‬ ‫مختلفة‬ ‫موديالت‬10‫الوان‬ ‫سبعة‬ ‫ولديه‬ ‫قياسات‬
.‫الكلي‬ ‫الرجالية‬ ‫البدالت‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫قياس‬ ‫كل‬ ‫في‬
/‫الحل‬‫الموديالت‬ ‫عدد‬=5
‫موديل‬ ‫لكل‬ ‫القياسات‬ ‫عدد‬=10‫الكلي‬ ‫البدالت‬ ‫عدد‬=5.10.7=350.‫بدلة‬
‫قياس‬ ‫لكل‬ ‫االلوان‬ ‫عدد‬=7
‫مثال‬4/‫لديه‬ ‫ساعات‬ ‫محل‬ ‫صاحب‬10‫فيها‬ ‫ماركة‬ ‫وكل‬ ‫مختلفة‬ ‫ماركات‬5‫فيه‬ ‫حجم‬ ‫وكل‬ ‫احجام‬7‫في‬ ‫ساعة‬ ‫فكم‬ ‫الوان‬
‫المحل‬‫(وزاري‬2012)‫اول‬ ‫دور‬
/‫الحل‬‫عدد‬‫الماركات‬=10
‫لكل‬ ‫االحجام‬ ‫عدد‬‫ماركة‬=5‫الكلي‬ ‫الساعات‬ ‫عدد‬=10.5.7=350‫ساعة‬
‫عدد‬‫االلوان‬‫حجم‬ ‫لكل‬=7
: )‫(الطرق‬ ‫االختيارات‬‫مبد‬ ‫باستخدام‬‫أ‬‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكننا‬ ‫االساسي‬ ‫العد‬‫لتوزيع‬ ‫اتباعها‬ ‫الممكن‬‫العناصر‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬
‫الخانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬.
‫مثال‬5/‫الرقمين‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬3‫و‬5.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬
/‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2
‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=2.2=4‫طرق‬[
‫مثال‬6/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬
.‫نفسه‬
/‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.3=9‫طرق‬
‫مثال‬7/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4‫و‬5‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬
.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬
/‫الحل‬‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=5.5.5=125‫طريقة‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
‫تكرا‬ ‫عدم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫منا‬ ‫طلب‬ ‫واذا‬ ‫خانة‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫نسمح‬ ‫كنا‬ ‫السابقة‬ ‫االمثلة‬ ‫في‬ ‫الحظ‬‫فاننا‬ ‫رقم‬ ‫اي‬ ‫ر‬‫واهم‬ ‫مختلف‬ ‫اسلوب‬ ‫نتبع‬
‫االحرف‬ ‫عدد‬ ‫ليكون‬ ‫الدال‬ ‫حرف‬ ‫نحذف‬ ‫(بغداد‬ ‫المكررة‬ ‫العناصر‬ ‫حذف‬ ‫خطوة‬4‫االحرف‬ ‫عدد‬ ‫ليكون‬ ‫الزاء‬ ‫حرف‬ ‫نحذف‬ ‫زيزفون‬ ,5‫سلسبيل‬ ,
‫االحرف‬ ‫عدد‬ ‫ليكون‬ ‫والالم‬ ‫السين‬ ‫محذف‬4)

6. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169376/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬8/‫الرقمين‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬3‫و‬5.‫رقم‬ ‫اي‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬
/‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=1
‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=2.1=2‫طريقة‬
‫مثال‬9/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3.‫رقم‬ ‫اي‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬
/‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2
‫الكلي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.2=6‫طرق‬
‫مثال‬10/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4‫و‬5‫اي‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬
.‫رقم‬
/‫الحل‬‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4‫االختيارات‬ ‫عدد‬=5.4.3=60‫طريقة‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫مثال‬11/‫الحروف‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬(‫ز‬ , ‫هـ‬ , ‫د‬ , ‫ج‬ , ‫ب‬ , ‫أ‬)‫تتكون‬ ‫بحيث‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكننا‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫كلمة‬ ‫فكم‬
.‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫حروف‬ ‫اربعة‬ ‫من‬
/‫الحل‬‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6
‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الثاني‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=6.5.4.3=360‫كلمة‬
‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الثالث‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الرابع‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫مثال‬12/‫فتاة‬ ‫لدى‬ ‫كان‬ ‫اذا‬6‫و‬ ‫االلوان‬ ‫مختلفة‬ ‫قمصان‬7‫و‬ ‫االلوان‬ ‫مختلفة‬ ‫تنورات‬4‫مكون‬ ‫زي‬ ‫فبكم‬ ‫مختلفة‬ ‫احذية‬ ‫ازواج‬
.‫تستخدم‬ ‫ان‬ ‫للفتاة‬ ‫يمكن‬ ‫وحذاء‬ ‫وتنورة‬ ‫قميص‬ ‫من‬
‫واحد‬ ‫خانة‬ ‫على‬ ‫عناصر‬ ‫مجموعة‬ ‫توزيع‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ : ‫توضيح‬.‫المجموعة‬ ‫في‬ ‫العناصر‬ ‫عدد‬ ‫يساوي‬ ‫ة‬
/‫الحل‬‫القميص‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6
‫التنورة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=6.7.4=168‫زي‬
‫الحذاء‬ ‫زوج‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫مثال‬13/‫بفرض‬ ‫يستخدم‬ ‫ان‬ ‫يمكنه‬ ‫زي‬ ‫فكم‬ ‫احذية‬ ‫واربعة‬ ‫بنطلونات‬ ‫وخمسة‬ ‫تيشيرتات‬ ‫وثالثة‬ ‫قمصان‬ ‫اربعة‬ ‫لشاب‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
.‫شيرت‬ ‫تي‬ ‫او‬ ‫قميص‬ ‫اما‬ ‫يرتدي‬ ‫انه‬
/‫الحل‬‫تيشيرتات‬ ‫ومجموعة‬ ‫قمصان‬ ‫مجموعة‬ ‫لدينا‬ ‫المثال‬ ‫هذا‬ ‫في‬‫عدد‬ ‫مجموع‬ ‫يساوي‬ ‫الخانة‬ ‫هذه‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫لذلك‬ ‫الخانة‬ ‫نفس‬ ‫في‬ ‫تندرج‬
‫والتيشيرتات‬ ‫القمصان‬ ‫عناصر‬:
‫والتيشيرتات‬ ‫القمصان‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3+4=7
‫البنطلونات‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=7.5.4=140‫زي‬
‫االحذية‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫مثال‬14/‫من‬ ‫اقل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫عددا‬ ‫تكوين‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬500‫االرقام‬ ‫باستخدام‬(1,2,3,4,
5,6,7):‫كان‬ ‫اذا‬
1–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬
2–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬
‫السؤال‬ : ‫توضيح‬‫يشترط‬‫من‬ ‫اقل‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬500‫و‬‫االرقام‬ ‫وضع‬ ‫نستطيع‬ ‫ال‬ ‫اننا‬ ‫يعني‬ ‫هذا‬7‫و‬6‫و‬5‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫وبذلك‬ ‫المئات‬ ‫خانة‬ ‫في‬
‫وهي‬ ‫فقط‬ ‫ارقام‬ ‫اربعة‬ ‫هي‬ ‫المئات‬ ‫لخانة‬ ‫الممكنة‬ ‫االرقام‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4.
/‫الحل‬‫أ‬–:‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬
‫في‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬‫مرتبة‬‫المئات‬=4
‫في‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬‫مرتبة‬‫العشرات‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.7.7=196‫طريقة‬
‫في‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬‫مرتبة‬‫االحاد‬=7
‫ب‬–:‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬
‫المئات‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫العشرات‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.5.6=120‫طريقة‬
‫االحاد‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5

7. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169377/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬15/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫رمزه‬ ‫مكون‬ ‫عددا‬ ‫كم‬(1,2,3,4,5,6,7):‫بحيث‬
a)‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫وتكرار‬ ‫زوجيا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬‫غير‬.‫به‬ ‫مسموح‬(‫تمهيدي‬2014)
b).‫به‬ ‫مسموح‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫وتكرار‬ ‫فرديا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬‫(وزاري‬2013)‫ثاني‬ ‫دور‬
/‫الحل‬a)‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.6.5=90‫طريقة‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
/ ‫مالحظة‬( ‫االرقام‬ ‫احد‬ ‫تحوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬2‫و‬4‫و‬6‫يساوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ )3.
b)‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.7.7=196‫طريقة‬
/ ‫مالحظة‬(‫االرقام‬ ‫احد‬ ‫تحوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬1‫و‬3‫و‬5‫و‬7‫يساوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ )4.
‫تمارين‬ ‫حلول‬1-1
1-‫احمد‬ ‫لدى‬5‫و‬ ‫مختلفة‬ ‫سترات‬6‫و‬ ‫مختلفة‬ ‫بنطلونات‬8‫سترة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫احمد‬ ‫به‬ ‫يظهر‬ ‫مختلف‬ ‫زي‬ ‫فبكم‬ ‫مختلفة‬ ‫قمصان‬
.‫وقميص‬ ‫وبنطلون‬(‫تمهيدي‬2013,‫وزاري‬2011)‫اول‬ ‫دور‬
/‫ج‬‫السترات‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
‫البنطلونات‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الزي‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5.6.8=240‫ز‬‫ي‬
‫القمصان‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=8
2-‫الحروف‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬(‫أ‬–‫ل‬–‫ع‬–‫ق‬–‫ك‬–) ‫ب‬‫هذه‬ ‫من‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫احرف‬ ‫اربعة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬
‫الحروف‬‫ع‬.‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬ ‫ان‬ ‫لى‬
/‫ج‬‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6
‫الثاني‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلمات‬ ‫عدد‬=6.5.4.3=360‫كلمة‬
‫الثالث‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫الرابع‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
3-‫وظائف‬ ‫ثالثة‬ ‫لشغل‬ ‫اشخاص‬ ‫عشرة‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫اشخاص‬ ‫ثالث‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬‫معينة‬‫مختلفة‬.
/‫ج‬‫االولى‬ ‫الوظيفة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=10
‫الثانية‬ ‫الوظيفة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=9‫الوظائف‬ ‫شغل‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=10.9.8=720‫طريقة‬
‫الثالثة‬ ‫الوظيفة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=8
4-‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫ارقام‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫رمزه‬ ‫مكون‬ ‫عددا‬ ‫كم‬9,8,7,6,5,4,3
‫أ‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫والتكرار‬ ‫فرديا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬
‫ب‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫والتكرار‬ ‫زوجيا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬
/‫ج‬‫أ‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.6.5=120‫طريقة‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
‫ب‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.7.7=147‫طريقة‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
5-‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫مراتب‬ ‫ثالث‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫رمزه‬ ‫يكون‬ ‫عددا‬ ‫كم‬1,2,3,4,5,6,7
‫أ‬–‫اكبر‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬‫من‬500.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫والتكرار‬
‫ب‬–‫من‬ ‫اصغر‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬400.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫والتكرار‬
/‫الحل‬
‫أ‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.7.7=147‫عدد‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫ب‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.6.5=90‫عدد‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3

8. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169378/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
2-)‫(المفكوك‬ ‫العدد‬ ‫مضروب‬:‫او‬ ! ‫بـ‬ ‫اما‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫تسبقه‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫في‬ ‫العدد‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫هو‬L‫ان‬ ‫فرضنا‬ ‫واذا‬
n‫مفكوك‬ ‫فان‬ ‫طبيعي‬ ‫عدد‬n‫هو‬n!: ‫حيث‬ ‫او‬
n! = n . (n-1) . (n-2) . ……. . 1
‫مثال‬1/‫العدد‬ ‫مفكوك‬ ‫جد‬4‫؟‬
/‫ج‬4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
‫مثال‬2/‫االعداد‬ ‫مفكوك‬ ‫جد‬5,3‫؟‬
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
3! = 3 . 2 . 1 = 6
‫مثال‬3/‫التالية‬ ‫المعادلة‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
9!
7!
‫؟‬
9!
7!
=
9 . 8 . 7!
7!
= 𝟗 . 𝟖 = 𝟕𝟐
‫مثال‬4/‫المعادلة‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
100!
99!
‫؟‬
100!
99!
=
100 .99!
99!
= 𝟏𝟎𝟎
‫مثال‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬
n!
(n−2)!
= 6.‫(وزاري‬2011)‫اول‬ ‫دور‬
/‫الحل‬:‫فان‬ ‫العدد‬ ‫مفكوك‬ ‫تعريف‬ ‫من‬
n! = n . (n-1) . (n-2)!
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نستعيض‬ ‫ان‬ ‫يمكننا‬ ‫بذلك‬n!:‫مبين‬ ‫كما‬
n . (n−1) . (n−2)!
(n−2)!
= 6
n(n-1)-6 = 0 ⟹ n2
– n - 6 = 0 ⟹ (n+2)(n-3) = 0
n = -2 ‫مفكوك‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫السالب‬ ‫العدد‬ ‫الن‬ ‫دائما‬ ‫تهمل‬
∴ n = 3
‫مثال‬6/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬(n+1)! = 24
/‫الحل‬‫هو‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫احد‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫وليس‬ ‫عدد‬‫الرقم‬ ‫يساوي‬ ‫مفكوكه‬ ‫يكون‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫فاننا‬ ‫مفكوك‬24‫الضرب‬ ‫خالل‬ ‫من‬
:‫العكسي‬
1 . 2 = 2
2 . 3 = 6
6 . 4 = 24 ∴ 4! = 24
: ‫اذا‬(n+1)! = 4!
n+1 = 4 ≫ ∴ n = 3
‫قوانين‬:‫المفكوك‬
1) 0! = 1 ‫يساوي‬ ‫الصفر‬ ‫مفكوك‬1
2) 1! = 1 ‫يساوي‬ ‫الواحد‬ ‫مفكوك‬1
3) 2! = 2 ‫يساوي‬ ‫االثنين‬ ‫مفكوك‬2
4) n! = n . (n-1)! = n . (n-1) . (n-2)!
:‫ان‬ ‫اي‬
6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4! = 6 . 5 . 4 . 3! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2!
: ‫التساوي‬ ‫قانون‬‫كان‬ ‫اذا‬n! = k!‫فان‬n‫تساوي‬k
n

9. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169379/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
3-:‫التباديل‬‫بشرط‬ ‫عناصر‬ ‫لمجموعة‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫التباديل‬ ‫معادلة‬ ‫تستخدم‬‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬‫و‬‫الترتيب‬
‫بنظر‬ ‫مأخوذ‬‫االعتبار‬:
‫التباديل‬ ‫قانون‬:𝐏𝐫
𝐧
=
𝐧!
( 𝐧−𝐫)!
‫تباديل‬ ‫وتقرأ‬n‫مأخوذة‬r‫مرة‬ ‫كل‬ ‫في‬:‫حيث‬
Pr
n
= ‫الكلي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ (rPn
)
n = ‫عدد‬‫ال‬‫اكبر‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫عناصر‬
r = ‫عدد‬‫ال‬‫اقل‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫عناصر‬
‫مثال‬1/‫النشاء‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫جد‬( ‫االرقام‬ ‫مجموعة‬ ‫باستخدام‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫رقم‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4‫و‬5‫تكرار‬ ‫عدم‬ ‫بشرط‬ )
.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬
/‫الحل‬n=5&r=3
𝐏𝟑
𝟓
=
𝟓!
(𝟓−𝟑)!
=
𝟓!
𝟐!
=
𝟓.𝟒.𝟑.𝟐!
𝟐!
= 60 ‫طريقة‬ ‫طريقة‬ 60 ‫يساوي‬ ‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫اذا‬
‫مثال‬2/‫تكرار‬ ‫عدم‬ ‫بشرط‬ )‫هـ‬ , ‫د‬ , ‫ج‬ , ‫ب‬ , ‫(أ‬ ‫االحرف‬ ‫مجموعة‬ ‫باستخدام‬ ‫حروف‬ ‫اربعة‬ ‫من‬ ‫كلمة‬ ‫النشاء‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫جد‬
.‫نفسها‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬
P4
5
=
5!
(5−4)!
=
5!
1!
= 5.4.3.2 = 120 ‫كلمة‬
‫مثال‬3/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫احسب‬P0
10
,P4
4
,P3
4
a) P0
10
=
10!
(10−0)!
=
10!
10!
= 1
b) P4
4
=
4!
(4−4)!
=
4!
0!
=
4!
1
= 4.3.2 = 24
c) P3
4
=
4!
(4−3)!
=
4!
1!
=
4.3.2
1
= 24
d) P1
4
=
4!
(4−1)!
=
4!
3!
=
4.3!
3!
= 4
‫مثال‬4/‫توزيع‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫ما‬5‫وظائف‬ ‫خمسة‬ ‫على‬ ‫اشخاص‬‫مختلفة‬.‫واحدة‬ ‫وظيفة‬ ‫شخص‬ ‫لكل‬ ‫بحيث‬
P5
5
=
𝟓!
( 𝟓−𝟓)!
= 5! = 5.4.3.2 = 120 ‫طريقة‬
.‫مهم‬ ‫الترتيب‬ ‫فان‬ ‫مختلفون‬ ‫واالشخاص‬ ‫مختلفة‬ ‫الوظائف‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
‫مثال‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫عندما‬P2
n
= 42
/‫ج‬42𝐏𝟐
𝐧
=
𝐧!
(𝐧−𝟐)!
=
𝐧.(𝐧−𝟏).(𝐧−𝟐)!
(𝐧−𝟐)!
=
n.(n-1) = 42 ⟹ n2
– n – 42 = 0 ⟹ (n +6) (n – 7) = 0
n = -6 ‫تهمل‬ ⟹ ∴ n = 7
‫مثال‬6/‫قيمة‬ ‫جد‬r:‫عندما‬
a) P3
6
= P𝑟
6
b) P4
5
= P𝑟
5
/‫ج‬a)P3
6
= P𝑟
6
6!
(6−3)!
=
6!
(6−r)!
⟹ (6 − 3)! = (6 − r)! ⟹ 6-3 = 6 – r ⟹ ∴ r = 3
b)P4
5
= P𝑟
5
5!
(5−4)!
=
5!
(5−r)!
⟹ (5 − 4)! = (5 − r)! ⟹ 5 - 4 = 5 – r ⟹ ∴ r = 4

10. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693710/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬7/‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬P3
6
,P5
8
,P7
15
a) P3
6
=
6!
(6−3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120
b) P5
8
=
8!
(8−5)!
=
8!
3!
=
8.76.5.4.3!
3!
= 6720
c) P7
15
=
15!
(15−7)!
=
15.14.13.12.11.10.9.8!
8!
= 32432400
‫مثال‬8/‫االرقام‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫مأخوذة‬ ‫ارقام‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫رمز‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫عدد‬ ‫ما‬3,4,5,6,7,8:‫بشرط‬
‫أ‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫دون‬
‫ب‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫يمكن‬
/‫الحل‬‫أ‬–
P3
6
=
6!
(6−3)!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 ‫عدد‬
‫ب‬-
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=6.6.6=216‫طريقة‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6
‫التمارين‬ ‫حلول‬2-1
1-: ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫احسب‬
‫أ‬–
7!
5!
=
7.6.5!
5!
= 42
‫ب‬-
=
10!
6!
−
9!
5!
=
10.9.8.7.6!
6!
−
9.8.7.6.5!
5!
= 5040 − 3024 = 2016
2-‫ج‬‫قيمة‬ ‫د‬n: ‫كان‬ ‫اذا‬
‫أ‬-n! = 5040
1 1
2 2
6 3
24 4
120 5
720 6
5040 7
‫ب‬-P2
n
= 72
P2
n
=
n!
(n−2)!
=
n.(n−1).(n−2)!
(n−2)!
= n.(n-1) = n2 – n = 72
n2 – n – 72 = 0 ⟹ (n + 8)(n-9) = 0 ⟹ n = -8 ‫تهمل‬ , ∴ n = 9
7=n∴
‫ق‬‫ان‬‫و‬:‫المساواة‬ ‫ن‬‫كان‬ ‫اذا‬Pr
n
=Pk
n
‫فان‬r = K
10 9
56

11. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693711/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫ج‬-P5
n
= 8 . P4
n
‫(وزاري‬2013)‫اول‬ ‫دور‬(‫تمهيدي‬2014)
P5
n
= 8 . P4
n
⟹
n!
(n−5)!
= 8 .
n!
(n−4)!
⟹ (n – 4)! = 8 . (n - 5)!
(n – 4) . (n - 5)! = 8 . (n - 5)! ⟹ n - 4 = 8 ⟹ ∴ n = 12
‫د‬-= 30
(n+1)!
(n−1)!
‫(وزاري‬2013‫دور‬‫ثاني‬)
(n+1)!
(n−1)!
=
(n+1) . (n+1−1) .(n+1−2)!
(n−1)!
=
(n+1) . (n) .(n−1)!
(n−1)!
= n (n + 1) = 30
n2 + n - 30 = 0 ⟹ (n - 5)(n + 6) = 0 ⟹ n = -6 ‫تهمل‬
, ∴ n = 5
3-‫المجموعة‬ ‫لدينا‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(7,6,5,4,3,2,1)=x‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫رمزه‬ ‫عددا‬ ‫فكم‬
:‫كان‬ ‫اذا‬
a)‫بدون‬‫الرقم‬ ‫تكرار‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬‫عدد‬210=
7.6.5.4!
4!
=
7!
(7−3)!
P3
7
=
b)‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬‫العدد‬ ‫في‬‫نفسه‬‫؟‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=343‫عدد‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
c)‫من‬ ‫اصغر‬400‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=90‫عدد‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
d)‫من‬ ‫اكبر‬200‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=294‫عدد‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
e)‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬ ‫زوجيا‬ ‫عددا‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=90‫عدد‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
f)‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬ ‫فرديا‬ ‫عددا‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬
‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4
‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=196‫عدد‬
‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7
4-‫يجر‬‫ى‬‫انتخاب‬ ‫الصفوف‬ ‫احد‬ ‫في‬‫ا‬‫في‬ ‫مراكز‬ ‫ثالثة‬ ‫على‬‫الرئيس‬ ‫ونائب‬ ‫الرئيس‬ ‫هي‬ ‫الصف‬ ‫لجان‬ ‫احدى‬‫ما‬ ‫السر‬ ‫وامين‬
‫اذا‬ ‫االنتخابات‬ ‫عنها‬ ‫تسفر‬ ‫التي‬ ‫النتائج‬ ‫عدد‬‫االنتخابات‬ ‫في‬ ‫المشاركين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫علم‬‫طالب؟‬ ‫عشرة‬
/‫ج‬‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫والتكرار‬ ‫مهم‬ ‫الترتيب‬:
P3
10
=
10!
(10−3)!
=
10.9.8.7!
7!
= 720 ‫نتيجة‬
5-‫كلمة‬ ‫كم‬‫الحروف‬ ‫مختلفة‬‫قار؟‬ ‫ذي‬ ‫كلمة‬ ‫حروف‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬
/‫ج‬
P3
5
=
5!
(5−3)!
=
5.4.3.2!
2!
= 60 ‫كلمة‬
6-‫صف‬ ‫في‬ ‫طالب‬ ‫خمسة‬ ‫يجلس‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬‫من‬‫ثمانية‬‫كراسي‬‫؟‬
/‫ج‬‫وكذلك‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬‫ال‬‫ترتيب‬‫مهم‬:
P5
8
=
8!
(8−5)!
=
8.7.6.5.4.3!
3!
= 6720 ‫طريقة‬

12. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693712/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
4-: ‫التوافيق‬‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫التوافيق‬ ‫معادلة‬ ‫تستخدم‬‫ترتيب‬:‫بشرط‬ ‫عناصر‬ ‫مجموعة‬
1-.‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬
2-.‫االعتبار‬ ‫بنظر‬ ‫مأخوذ‬ ‫غير‬ ‫الترتيب‬
‫التوافيق‬ ‫قانون‬𝐂 𝐫
𝐧
=
𝐧!
𝐫! . (𝐧−𝐫)!
‫توافيق‬ ‫وتقرأ‬n‫مأخوذة‬r‫مرة‬ ‫كل‬ ‫في‬
Cr
n
‫الكلي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=
n = ‫عدد‬ ‫او‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬‫اكبر‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬
r = ‫اقل‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫التوافيق‬ ‫رمز‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬
(
n
r
) ‫أو‬ C(n, r)
‫مثال‬1/‫االمتحانية‬ ‫الورقة‬ ‫في‬ ‫االسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫اذا‬8‫عن‬ ‫االجابة‬ ‫والمطلوب‬6‫االسئلة؟‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫فقط‬ ‫اسئلة‬
/‫ج‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫التوافيق‬ ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ ‫فاننا‬ ‫االمتحاني‬ ‫الدفتر‬ ‫في‬ ‫سؤال‬ ‫اي‬ ‫حل‬ ‫تكرار‬ ‫يمكن‬ ‫وال‬ ‫مهم‬ ‫غير‬ ‫االسئلة‬ ‫حل‬ ‫ترتيب‬ ‫ان‬ ‫بما‬
n = 8 & r = 6
C6
8
=
8!
6! . (8−6)!
=
8.7.6!
6! . 2!
= 28‫طريقة‬
‫مثال‬2/‫فيها‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫بنقطتين‬ ‫تحديدها‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫المستقيم‬ ‫قطع‬ ‫عدد‬ ‫كم‬6‫استقامة‬ ‫على‬ ‫نقاط‬ ‫ثالث‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫نقاط‬
‫واحدة؟‬‫(تمهيدي‬2005)
/‫ج‬
C2
6
=
6!
2! . (6−2)!
=
6.5.4!
2 . 4!
= 15
‫مثال‬3/‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬C12
15
,C3
15
,C0
8
,C4
5
,C5
5
a) C12
15
=
15!
12! . (15−12)!
=
15.14.13.12!
12! . 3!
=
15.14.13
3.2
= 5.7.13 = 455
b) C3
15
=
15!
3! . (15−3)!
=
15.14.13.12!
3! . 12!
=
15.14.13
3.2
= 5.7.13 = 455
c)C0
8
=
8!
0! . (8−0)!
=
8!
1 . 8!
= 1
d) C4
5
=
5!
4! . (5−4)!
=
5 .4!
4! . 1!
= 5
e) C5
5
=
5!
5! . (5−5)!
=
5!
5! . 0!
=
5!
5! . 1
= 1
‫مثال‬4/‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫احسب‬C5
13
,C0
10
,C20
20
/‫ج‬
a) C5
13
=
13!
5! . (13−5)!
=
13.12.11.10.9.8!
5! . 8!
=
13.12.11.10.9
5.4.3.2
= 13.11.9 = 1287
b) C0
10
=
10!
0! . (10−0)!
= 1
c) C20
20
=
20!
20! . (20−20)!
= 1
‫قانو‬:‫التوافيق‬ ‫ن‬𝐂 𝐧−𝐫
𝐧
=𝐂 𝐫
𝐧

13. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693713/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬(n+1
3
)=2(n
2
)‫؟‬(‫وزاري‬2012‫اول‬ ‫دور‬)
2(n
2
) = (n+1
3
) ⟹ 2.
n!
2! . (n−2)!
=
(n+1)!
3! . ((n+1)−3)!
2.
n!
2! . (n−2)!
=
(n+1).(n+1−1)!
3! . (n−2)!
⟹ 1 =
(n+1)
3.2
⟹ (n + 1) = 6
n = 6 - 1 ⟹ ∴ n = 5
‫مثال‬6/‫من‬ ‫مكونة‬ ‫لجنة‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬5‫و‬ ‫طالبات‬7‫من‬ ‫مكونة‬ ‫مجموعة‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫طالب‬8‫و‬ ‫طالبات‬10‫طالب؟‬
/‫ج‬‫خمس‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫طالبات‬‫ثمانية‬ ‫من‬=C5
8
‫سبع‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫طالب‬‫عشرة‬ ‫من‬=C7
10
C5
8
. C7
10
=
8!
5! . (8−5)!
.
10!
7! . (10−7)!
=
8.7.6.5!
5! . (3)!
.
10.9.8.7!
7! . (3)!
=
8.7.6.5!
5! . (3)!
.
10.9.8.7!
7! . 3 .2
= 8.7.10.3.4 = 6720‫طريقة‬
‫مثال‬7/‫يحوي‬ ‫صندوق‬6‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬4)‫(اختيار‬ ‫سحب‬ ‫يراد‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬5‫تكون‬ ‫ان‬ ‫بشرط‬ ‫كرات‬3‫كرات‬‫منها‬
‫فقط‬ ‫حمراء‬,‫السحب؟‬ ‫اجراء‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬‫(تمهيدي‬2013)
/‫ج‬‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬3‫من‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬6‫كرات‬=C3
6
‫ا‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫كرتين‬ ‫ختيار‬4‫كرات‬=C2
4
C3
6
. C2
4
=
6!
3! . (6−3)!
.
4!
2! . (4−2)!
=
6.5.4.3!
3! . 3.2
.
4.3.2!
2! . 2!
= 5 . 4 . 2 . 3 = 120
‫مثال‬8/‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬ , ‫سكر‬ ‫اكياس‬ ‫وخمسة‬ ‫الشاي‬ ‫من‬ ‫علب‬ ‫واربع‬ ‫الحليب‬ ‫مادة‬ ‫من‬ ‫علب‬ ‫ستة‬ ‫يوجد‬ ‫المخازن‬ ‫احد‬ ‫في‬
‫سكر‬ ‫اكياس‬ ‫واربعة‬ ‫شاي‬ ‫علب‬ ‫وثالث‬ ‫حليب‬ ‫علبتي‬ ‫تحوي‬ ‫طلبية‬ ‫تجهيز‬‫؟‬
/‫الحل‬‫ستة‬ ‫من‬ ‫حليب‬ ‫علبتي‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=C2
6
‫اربع‬ ‫من‬ ‫شاي‬ ‫علب‬ ‫ثالث‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=C3
4
‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫خمسة‬ ‫من‬ ‫سكر‬ ‫اكياس‬ ‫اربع‬=C4
5
C2
6
. C3
4
. C4
5
=
6!
2! . (6−2)!
.
4!
3! . (4−3)!
.
5!
4! . (5−4)!
= 15 . 4 . 5 = 300 ‫طريقة‬
‫مثال‬9/‫يحوي‬ ‫صندوق‬6‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬4)‫(اختيار‬ ‫سحب‬ ‫يراد‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬5‫ت‬ ‫ان‬ ‫بشرط‬ ‫كرات‬‫ح‬‫و‬‫ي‬‫االقل‬ ‫على‬3
‫فقط‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬,‫السحب؟‬ ‫اجراء‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬
/‫ج‬‫األقل‬ ‫على‬3‫من‬ ‫(نبدء‬ ‫حمراء‬3‫ونزيد‬)
1)]‫من‬ ‫حمراء‬ ‫ثالث‬‫ستة‬[‫و‬]‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫اثنان‬‫اربعة‬[=. 𝐂 𝟑
𝟔
𝐂 𝟐
𝟒
2)]‫من‬ ‫حمراء‬ ‫اربع‬‫ستة‬[‫و‬]‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫واحدة‬‫اربعة‬[=. 𝐂 𝟒
𝟔
𝐂 𝟏
𝟒
3)]‫من‬ ‫حمراء‬ ‫خمسة‬‫ستة‬[‫و‬]‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫صفر‬‫اربعة‬[=. 𝐂 𝟓
𝟔
𝐂 𝟎
𝟒
C3
6
. C2
4
+ C4
6
. C1
4
+ C5
6
. C0
4
=
6!
3! . (6−3)!
.
4!
2! . (4−2)!
+
6!
4! . (6−4)!
.
4!
1! . (4−1)!
+
6!
5! . (6−5)!
.
4!
0! . (4−0)!
=
6.5.4.3!
3! . 3.2
.
4.3.2
2 .2
+
6.5.4!
4! . 2
.
4.3!
3!
+
6.5!
5!
.
4!
4!
= 20 . 6 + 15 . 4+ 6*1 = 120 + 60+6 = 186 ‫طريقة‬
‫المجموع‬=5( ‫البيضاء‬4)( ‫الحمراء‬6)
523
514
505
2

14. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693714/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬10/‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫تحوي‬ ‫مجموعة‬‫ثالث‬‫و‬ ‫سيارات‬‫تحوي‬ ‫مجموعة‬‫خمسة‬‫دراجات‬‫كم‬ ,‫مجموعة‬‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫رباعية‬
‫المجموعتين‬ ‫عناصر‬ ‫من‬‫ان‬ ‫بشرط‬‫االكثر‬ ‫على‬ ‫تحوي‬‫دراجتين‬‫؟‬
/‫الحل‬‫االكثر‬ ‫على‬2‫دراجة‬‫من‬ ‫(نبدء‬2)‫وننزل‬
1)]‫من‬ ‫سيارتين‬3[‫و‬]‫من‬ ‫دراجتين‬5[=. C2
3
C2
5
2)]‫ثال‬‫ث‬‫سيار‬‫ات‬‫من‬3[‫و‬]‫دراجة‬‫من‬5[=. C3
3
C1
5
3)‫فقط‬ ‫ثالثة‬ ‫عددها‬ ‫الن‬ ‫سيارات‬ ‫ثالث‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬
C2
5
. C2
3
+ C1
5
. C3
3
=
5!
2! . (5−2)!
.
3!
2! . (3−2)!
+
5!
1! . (5−1)!
.
3!
3! . (3−3)!
=
5.4.3!
2 . 3!
.
3.2
2
+
5.4!
4!
.
3!
3!
= 10 . 3 + 5 . 1 = 30 + 5 = 35 ‫مجموعة‬
‫ح‬‫تمارين‬ ‫لول‬3-1
1-: ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
a) C5
11
=
11!
5! . (11−5)!
=
11.10.9.8.7.6!
5.4.3.2! . 6!
=11.3.2.7=462
b) C(18,18) =
18!
18! . (18−18)!
= 1
c) (7
0
) =
7!
0! . (7−0)!
= 1
d)
1
210
[P3
7
+ P4
7
] =
1
210
[
7!
(7−3)!
+
7!
(7−4)!
] =
1
210
[
7.6.5.4!
4!
+
7.6.5.4.3!
3!
]
=
1
210
[210 + 840] =
1050
210
= 5
2-‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬C20
n
= C35
n
(2012‫دور‬3)
/‫ج‬‫ان‬ ‫بما‬Cr
n
= Cn−r
n
:‫اذا‬
∵ r = 20 , n – r = 35 , n – 20 = 35
∴ n = 35 + 20 = 55
3-:‫خاطئة‬ ‫منها‬ ‫واي‬ ‫صائبة‬ ‫االتية‬ ‫العبارات‬ ‫اي‬
a) C6
16
= C4
10
C6
16
=
16!
6! . (16−6)!
=
16.15.14.13.12.11.10!
6.5.4.3.2 . 10!
= 8.7.13.11 = 8008
C4
10
=
10!
4! . 6!
=
10.9.8.7.6!
4.3.2 . 6!
= 10.3.7 = 210 ⟹ ∴ C6
16
≠ C4
10
‫خاطئة‬ ‫العبارة‬
b) C23
25
=
P2
25
2!
(‫تمهيدي‬2005)
𝟐𝟓!
𝟐𝟑! .(𝟐𝟓−𝟐𝟑)!
=
𝟐𝟓!
(𝟐𝟓−𝟐)!
.
𝟏
𝟐!
⟹ 𝟐𝟓!
𝟐𝟑! . 𝟐!
=
𝟐𝟓!
𝟐𝟑!
.
𝟏
𝟐!
‫صائبة‬ ‫العبارة‬
c) (n
4
) = (n
6
) ∴ n = 10
‫ان‬ ‫بما‬Cr
n
= Cn−r
n
:‫اذا‬
∵ r = 4 , n - 6 = 4 , n = 4+ 6
∴ n = 10 ‫صائبة‬ ‫العبارة‬
‫المجموع‬=4‫سيارات‬(3)‫دراجات‬(5)
422
431
4‫تهمل‬0‫تهمل‬

15. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693715/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
d)‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫والتي‬ ‫عناصر‬ ‫ثالثة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫التي‬ ‫الجزئية‬ ‫المجموعات‬ ‫عدد‬‫عناصرها‬ ‫عدد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬10‫هو‬C3
10
‫صائبة‬ ‫العبارة‬
e)‫هو‬ ‫منهم‬ ‫ثالثة‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫متمايزين‬ ‫غير‬ ‫اشخاص‬ ‫سبعة‬P3
7
‫خاطئة‬ ‫العبارة‬
: ‫مالحظة‬‫متمايزين‬ ‫غير‬ ‫اشخاص‬ ‫تحوي‬ ‫الفرعية‬ ‫المجموعة‬ ‫الن‬)‫(متشابهين‬‫غير‬ ‫الترتيب‬ ‫اذا‬‫ض‬.‫بالتوافيق‬ ‫والحل‬ ‫روري‬
f)‫بين‬ ‫من‬ ‫شخصين‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫يساوي‬ ‫االختيار‬ ‫عند‬ ‫الترتيب‬ ‫مراعاة‬ ‫دون‬ ‫اشخاص‬ ‫ستة‬15.‫طريقة‬
C2
6
=
6!
2! . (6−2)!
=
6.5.4!
2! . 4!
= 15
‫صائبة‬ ‫العبارة‬
g) P0
3
− 2 = -1
R.H.S = P0
3
− 2 =
𝟑!
(𝟑−𝟎)!
- 2 . 0! =
𝟑!
𝟑!
– 2 . 1 = 1-2 = -1 = L.H.S ‫صائبة‬ ‫العبارة‬
h)‫لكل‬Nn , r ∈‫كان‬ ‫اذا‬Pr
5
= Pn
5
‫فان‬n = r
Pr
5
= Pn
5
𝟓!
( 𝟓−𝐫)!
=
𝟓!
( 𝟓−𝐧)!
( 𝟓 − 𝐫)! = ( 𝟓 − 𝐧)! ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
( 𝟓 − 𝐫) = ( 𝟓 − 𝐧) ⟹ 𝟓 − r = 5 − n ∴ r = n‫صائبة‬ ‫العبارة‬
4-:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الصحيحة‬ ‫االجابة‬ ‫اختر‬
a)‫عشرة‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫ثالثية‬ ‫لجنة‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫يساوي‬ ‫اشخاص‬
‫الصحيح‬ ‫الجواب‬𝐂 𝟑
𝟏𝟎
‫اي‬‫رقم‬2
b)‫كان‬ ‫اذا‬n‫عناصرها‬ ‫عدد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫الثنائية‬ ‫الجزئية‬ ‫المجموعات‬ ‫عدد‬6‫فان‬n: ‫يساوي‬
𝐂 𝟐
𝟔
=
𝟔!
𝟐! . (𝟔−𝟐)!
=
𝟔.𝟓.𝟒!
𝟐! . 𝟒!
= 15 1 ‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬
c)‫يساوي‬ ‫سداسي‬ ‫مضلع‬ ‫رؤوس‬ ‫من‬ ‫رأسين‬ ‫بين‬ ‫تصل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬
‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬2𝐂 𝟐
𝟔
d) ( 𝟔𝟖
𝟖
) ÷ 𝐂 𝟔𝟎
𝟔𝟖
= 𝐂 𝟖
𝟔𝟖
÷ 𝐂 𝟔𝟎
𝟔𝟖
= 𝟏
‫ان‬ ‫بما‬Cr
n
= Cn−r
n
‫فان‬C8
68
= C60
68
‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬3
e)‫االرقام‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬1,2,3,4,5,6,7,8,9‫فان‬‫من‬ ‫رمزها‬ ‫المكون‬ ‫االعداد‬ ‫عدد‬‫اربعة‬‫ارقام‬‫مختلفة‬‫هذه‬ ‫بين‬ ‫من‬
: ‫هو‬ ‫االرقام‬
P4
9
=
9!
(9−4)!
=
9.8.7.6.5!
5!
= 9.8.7.6 = 3024 ‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫4الجواب‬
5-‫بين‬ ‫من‬ ‫اعضاء‬ ‫ستة‬ ‫من‬ ‫لجنة‬ ‫تشكيل‬ ‫يراد‬5‫و‬ ‫طالب‬8‫على‬ ‫محتوية‬ ‫اللجنة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ‫مدرسين‬
‫اثنين‬ ‫مدرسين‬‫فقط‬‫؟‬(2013‫اول‬ ‫دور‬)
C2
8
. C4
5
=
8!
2! . (8−2)!
. 5 =
8.7.6!
2! . 6!
. 5 =
8.7
2
. 5 = 4 . 7 . 5 = 140‫يقة‬‫طر‬
4
0
0

16. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693716/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
6-‫يحوي‬ ‫صندوق‬4‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬8‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫سحبت‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬‫معا‬‫سحب‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫جد‬:(2012)‫اول‬ ‫دور‬
1).‫بيضاء‬ ‫وواحدة‬ ‫حمراء‬ ‫اثنتان‬
2).‫حمراء‬ ‫اثنتان‬ ‫االقل‬ ‫على‬
/‫ج‬1)‫بيضاء‬ ‫وواحدة‬ ‫حمراء‬ ‫اثنتان‬:‫والحمراء‬ ‫البيضاء‬ ‫بين‬ ‫مهم‬ ‫غير‬ ‫الترتيب‬ ‫اي‬ ‫معا‬ ‫تسحب‬ ‫الكرات‬ ‫ان‬ ‫بما‬
1) 𝐂 𝟐
𝟒
. 𝐂 𝟏
𝟖
=
𝟒!
𝟐! . (𝟒−𝟐)!
. 𝟖 =
𝟒.𝟑.𝟐!
𝟐! . 𝟐!
. 8 = 2.3.8 = 48
2)‫حمراء‬ ‫اثنتان‬ ‫االقل‬ ‫على‬
‫ا‬: ‫بيضاء‬ ‫وواحدة‬ ‫حمراء‬ ‫ثنتان‬C2
4
. C1
8
‫بيضاء‬ ‫كرات‬ ‫بدون‬ ‫فقط‬ ‫حمراء‬ ‫ثالثة‬:C3
4
. C0
8
C2
4
. C1
8
+ C3
4
. C0
8
= 6 . 8 + 4 . 1 = 48 + 4 = 52 ‫طريقة‬
7-‫هو‬ ‫ما‬ ‫مادة‬ ‫امتحان‬ ‫اسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫اذا‬10‫حل‬ ‫المطلوب‬ ‫وكان‬ ‫اسئلة‬7‫نختار‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫منها‬ ‫اسئلة‬4‫االولى‬ ‫الخمسة‬ ‫من‬
‫االجابة؟‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ,
/‫ج‬
C4
5
. C3
5
= 5 .
5!
3! . (5−3)!
= 5 .
5.4.3!
3! . 2!
= 50‫طريقة‬
2

17. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693717/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
3-‫ذ‬ ‫مبرهنة‬‫ات‬:‫الحدين‬‫تح‬ ‫في‬ ‫المبرهنة‬ ‫هذه‬ ‫تستخدم‬‫من‬ ‫تتكون‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬ ‫ليل‬‫طرح‬ ‫او‬ ‫جمع‬‫الي‬ ‫مرفوعين‬ ‫حدين‬
‫قوة‬n
y)±(x‫وقانونها‬:‫هو‬
(x + y)n
= ∑ Ci
n
. x(n−i)
. y(i)n
i=0
‫مثال‬1/‫مفكوك‬ ‫جد‬2
)x+y(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
(x+y)2
= C0
2
. x(2−0)
. y(0)
+ C1
2
. x(2−1)
. y(1)
+ C2
2
. x(2−2)
. y(2)
(x+y)2
= x2
+2 x . y + y2
‫مثال‬2/‫مفكوك‬ ‫جد‬2
)y-x(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
(x-y)2
= (𝐱 + (−𝐲))
𝟐
= 𝐂 𝟎
𝟐
. 𝐱(𝟐−𝟎)
. (−𝐲)(𝟎)
+ 𝐂 𝟏
𝟐
. 𝐱(𝟐−𝟏)
. (−𝐲)(𝟏)
+ 𝐂 𝟐
𝟐
. 𝐱(𝟐−𝟐)
. (−𝐲)(𝟐)
(x-y)2
= 𝐱 𝟐
- 𝟐 𝐱 . 𝐲 + 𝐲 𝟐
‫اذا‬ / ‫مالحظة‬.‫وهكذا‬ ‫سالب‬ ‫حد‬ ‫ويليه‬ ‫موجب‬ ‫حد‬ ‫اول‬ ‫فان‬ ‫طرح‬ ‫االقواس‬ ‫داخل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬ ‫موجبة‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫فكل‬ ‫جمع‬ ‫االقواس‬ ‫داخل‬ ‫كان‬
‫مثال‬3/‫مفكوك‬ ‫جد‬4
)x+y(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
(x+y)4
= C0
4
. x4
+ C1
4
. x3
. y + C2
4
. x2
. y2
+ C3
4
. x . y3
+ C4
4
. y4
(x+y)4
= x4
+ 4 . x3
. y +6 . x2
. y2
+ 4 . x . y3
+ y4
‫مثال‬4/‫مفكوك‬ ‫جد‬4
)y-x(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
(x-y)4
= C0
4
. x4
- C1
4
. x3
. y + C2
4
. x2
. y2
− C3
4
. x . y3
+ C4
4
. y4
(x-y)4
= x4
- 4 . x3
. y +6 . x2
. y2
− 4 . x . y3
+ y4
‫مثال‬5/‫مفكوك‬ ‫جد‬3
)y-x(‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
(x-y)3
= C0
3
. x3
- C1
3
. x2
. y + C2
3
. x . y2
− C3
3
. y3
(x-y)3
= x3
- 3 . x2
. y + 3 . x . y2
− y3
:‫مالحظات‬‫الخطوات‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ‫نختصر‬ ‫ان‬ ‫يمكننا‬ ‫التالية‬ ‫المالحظات‬ ‫خالل‬ ‫من‬:
1-‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬n+1.
2-‫اسس‬ ‫مجموع‬x‫و‬y‫يساوي‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫في‬n.
3-‫االول‬ ‫المتغير‬ ‫اس‬ ‫يكون‬ ‫حد‬ ‫اول‬ ‫في‬x‫يساوي‬n.‫حد‬ ‫اخر‬ ‫في‬ ‫صفر‬ ‫اسه‬ ‫ليصبح‬ ‫التالية‬ ‫الحدود‬ ‫في‬ ‫تدريجيا‬ ‫ويتناقص‬
4-‫المتغير‬ ‫اس‬ ‫يكون‬ ‫حد‬ ‫اول‬ ‫في‬y‫يساوي‬ ‫اسه‬ ‫ليصبح‬ ‫تدريجيا‬ ‫ويتزايد‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬n.‫حد‬ ‫اخر‬ ‫في‬
5-‫والح‬ ‫موجبة‬ ‫دائما‬ ‫الفردية‬ ‫الحدود‬ ‫فان‬ ‫طرح‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬.‫سالبة‬ ‫دوما‬ ‫الزوجية‬ ‫دود‬
6-‫التوافقيات‬ ‫قيم‬‫الحد‬ ‫حول‬‫ود‬‫الوسطي‬‫ة‬.‫متساوية‬
7-‫توافقية‬ ‫واخر‬ ‫توافقية‬ ‫اول‬=1
8-‫االخير‬ ‫قبل‬ ‫وما‬ ‫الثاني‬ ‫الحد‬ ‫توافقية‬ ‫قيمة‬=n
:‫مبين‬ ‫كما‬
(x+y)4
= C0
4
. x4
+ C1
4
. x3
. y + C2
4
. x2
. y2
+ C3
4
. x . y3
+ C4
4
. y4
‫مثال‬6/‫مفكوك‬ ‫جد‬5
)y-x(.
(x - y)5
= C0
5
. x5
- C1
5
. x4
. y + C2
5
. x3
. y2
− C3
5
. x2
. y3
+ C4
5
. x . y4
- C5
5
. y5
= x5
- 5 . x4
. y + 10 . x3
. y2
− 10 . x2
. y3
+ 5 . x . y4
- y5
‫مثال‬7/‫مفكوك‬ ‫جد‬4
)3a + b(.
(3a + b)4
= C0
4
. (3a)4
+ C1
4
. (3a)3
. b+ C2
4
. (3a)2
. b2
+ C3
4
. 3a . b3
+ C4
4
. b4
= 81 a4
+ 4 . 27 a3
. b+ 6 . 9 a2
. b2
+ 4 . 3a . b3
+ b4
= 81 a4
+ 108 a3
. b + 54 . a2
. b2
+ 12 . a . b3
+ b4
‫اس‬x‫يساوي‬n‫واس‬y
‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫اس‬x‫واحد‬ ‫ينقص‬
‫واس‬y‫واحد‬ ‫يزداد‬ ‫اس‬x‫يساوي‬0‫واس‬y
‫يساوي‬n

18. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693718/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬8/‫قيمة‬ ‫جد‬3
)101(
/‫ج‬:‫ليصبح‬ ‫المقدار‬ ‫بتبسيط‬ ‫نقوم‬
(101)3
= (100 + 1)3
= C0
3
. 1003
+ C1
3
. 1002
. 1 + C2
3
. 100 . 12
+ C3
3
. 13
= 1003
+ 3 . 1002
+ 3 . 100 + 1= 1000000 + 30000 + 300 + 1= 1030301
‫مثال‬9/‫قيمة‬ ‫جد‬5
)0.99(
(0.99)5
= (
99
100
)5
=
995
1005 =
(100−1)5
1005
‫مفكوك‬ ‫ايجاد‬:‫البسط‬
(100 − 1)5
= 1005
- 5.1004
+ 10.1003
- 10.1002
+ 5.100-1 = 9509900499
∴ (0.99)5
=
9509900499
1005 = 0. 9509900499
:‫العام‬ ‫الحد‬ ‫قانون‬‫المفكوك‬ ‫في‬ ‫معين‬ ‫حد‬ ‫اليجاد‬ ‫يستخدم‬ ‫قانون‬ ‫وهو‬‫و‬‫اذا‬‫فرضنا‬‫هو‬ ‫الحد‬ ‫تسلسل‬ ‫ان‬r‫فيرمز‬‫الحد‬ ‫لذلك‬
‫بالرمز‬𝐏𝐫:‫هي‬ ‫ومعادلته‬
𝐏𝐫 = 𝐂 𝐫−𝟏
𝐧
. 𝐱(𝐧−𝐫+𝟏)
. 𝐲(𝐫−𝟏)
‫حيث‬r‫و‬ ‫المفكوك‬ ‫في‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬ ‫تسلسل‬ ‫تمثل‬n‫المفكوك‬ ‫اس‬ ‫تمثل‬‫تسلسله‬ ‫حد‬ ‫اول‬ (1‫تسلسله‬ ‫حد‬ ‫واخر‬n+1)
‫مثال‬10/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫جد‬5
)2x +(
P3 = C3−1
5
. x(5−3+1)
. 2(3−1)
= C2
5
. x3
. 22
= 10 . x3
. 4 = 40 x3
‫مثال‬11/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الثاني‬ ‫الحد‬ ‫جد‬4
)3-a(
P2 = C2−1
4
. a(4−2+1)
. (−3)(2−1)
C1
4
. a3
. (−3)1
= 4 . a3
. (−3) = -12 a3
‫مثال‬12/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الخامس‬ ‫الحد‬ ‫جد‬8
)x-2(
P5 = C5−1
8
. 2(8−5+1)
. (−x)(5−1)
= C4
8
. 24
. (−x)4
=
8.7.6.5.4!
4.3.2! . 4!
. 16 . x4
= 70 . 16 . x4
= 1120 x4
‫مثال‬13/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬6
)x+3(
/ ‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫بما‬n+1‫اي‬7‫الرابع‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫فان‬:
P4 = C4−1
6
. x(6−4+1)
. (3)(4−1)
= C3
6
. x3
. 27 = 20 . 27 . x3
= 540 x3
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬n‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫تسلسل‬ ‫فان‬ ‫زوجي‬ ‫عدد‬
𝐧+𝟏
𝟐
‫مثال‬14/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬6
)3-x(
/ ‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫بما‬n+1‫اي‬7‫الرابع‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫فان‬:
P4 = C4−1
6
. x(6−4+1)
. (−3)(4−1)
= C3
6
. x3
. (−27) = − 20 . 27 . x3
= - 540 x3
‫مثال‬15/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬7
)3x+(
/ ‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫بما‬n+1‫اي‬8‫والخامس‬ ‫الرابع‬ ‫الحدين‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫فان‬:
P4 = C4−1
7
. x(7−4+1)
. (3)(4−1)
= C3
7
. x4
. (27) =
7.6.5.4!
3.2! . 4!
. 27 . x4
= 35 . 27 . x4
= 945 x4
P5 = C5−1
7
. x(7−5+1)
. (3)(5−1)
= C4
7
. x3
. (81) =
7!
4! . 3!
. 81. x3
=
7.6.5.4!
4! . 3!
.81. x3
= 35 . 81 . x3
= 2835x3
‫مثال‬16/‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬4
x‫مفكوك‬ ‫في‬6
)3x+(
/ ‫ج‬‫ان‬ ‫نفرض‬‫تسلسل‬‫تسلسله‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬=r:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫المعادلة‬ ‫ونكتب‬
Pr = Cr−1
6
. x(6−r+1)
. (3)(r−1)

19. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693719/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫المتغير‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬4
x: ‫فان‬
x(6−r+1)
= x4
6 − r + 1 = 4 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫كميتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬
∴ r = 6 + 1 - 4 = 3
‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫اذا‬4x‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫هو‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫الحد‬ ‫هذا‬ ‫بايجاد‬ ‫االن‬ ‫ونقوم‬
P3 = C3−1
6
. x(6−3+1)
. (3)(3−1)
= C2
6
. x4
. (3)2)
= 15 . x4
. 9 = 135 x4
‫مثال‬17/‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬8
a‫مفكوك‬ ‫في‬8
)2
a+3(.‫معامله‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫(وزاري‬2012)‫ثالث‬ ‫دور‬
/ ‫ج‬
Pr = Cr−1
8
. 3(8−r+1)
. (a2
)(r−1)
‫المتغير‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬8
a: ‫فان‬
(a2
)(r−1)
= a8
⟹ (a)2(r−1)
= a8
2(r − 1) = 8 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫كميتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬
r − 1 = 4 ⟹ ∴ r = 5
‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫اذا‬8
a‫الخامس‬ ‫الحد‬ ‫هو‬‫هو‬ ‫ومعامله‬Cr−1
8
. 3(8−r+1)
C5−1
8
. 3(8−5+1)
= C4
8
. 34
=
8.7.6.5.4!
4.3.2! . 4!
. 81 = 70 . 81 = 5670 ‫الخامس‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬
‫مثال‬18/‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬x‫مفكوك‬ ‫في‬15
)x2
−
1
x
(.‫(وزاري‬2013‫دور‬)‫ثاني‬
/ ‫ج‬
Pr = Cr−1
15
. (x2
)(15−r+1)
. (−
1
x
)(r−1)
= Cr−1
15
(x)2(16−r)
.(−1)(r−1)
(x)−(r−1)
= Cr−1
15
. x(32−2r)−(r−1)
. (−1)(r−1)
= Cr−1
15
. x(33−3r)
. (−1)(r−1)
‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫اس‬ ‫فان‬x:‫ان‬ ‫اي‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬
x(33−3r)
= x0
33 - 3r = 0 ‫تساوت‬ ‫اذا‬‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫قيمتان‬‫االسس‬ ‫تساوت‬
∴ r = 11
‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫اذا‬x‫عشر‬ ‫الحادي‬ ‫الحد‬ ‫هو‬
𝐏𝟏𝟏 = 𝐂 𝟏𝟏−𝟏
𝟏𝟓
. (𝐱 𝟐
)(𝟏𝟓−𝟏𝟏+𝟏)
.(−
𝟏
𝐱
)(𝟏𝟏−𝟏)
= C10
15
.(x2)
5
. (−
1
x
)10
P11 =
15.14.13.12.11.10!
10! . 5.4.3.2
. x10
. (
1
x10) =
15.14.13.12.11
5.4.3.2
= 3003 ‫عشر‬ ‫الحادي‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬
‫مثال‬19/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬8
)3-x(‫(وزاري‬2011‫دور‬‫اول‬)
/‫ج‬‫الخامس‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬
P5 = C4
8
. x4
. (−3)4
=
8.7.6.5.4!
4.3.2! . 4!
.81. x4
= 70. 81. x4
= 5670 x4
‫مثال‬20/‫المقدار‬ ‫بسط‬4
a)-+ (24
(2+a)‫عندما‬ ‫المقدار‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫الى‬a = √3.
/‫ج‬‫قوسين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫المقدار‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫مترافقين‬2 + a‫و‬2 - a‫االس‬ ‫لنفس‬ ‫مرفوعين‬‫قوس‬ ‫كل‬ ‫حدود‬ ‫فان‬ ‫باالشارة‬ ‫ويختلفان‬
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االشارات‬ ‫تختلف‬ ‫ولكن‬ ‫االخر‬ ‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫تساوي‬
(2+a)4
= P1 + P2 + P3 + P4 + P5
(2-a)4
= P1 - P2 + P3 - P4 + P5
‫بالجمع‬:5P2+3P2+1P2=4
a)-2+ (4
+a)2(
= 2(P1 + P3 + P5)
‫والخامس‬ ‫والثالث‬ ‫االول‬ ‫الحدود‬ ‫قيمة‬ ‫بايجاد‬ ‫نقوم‬ ‫االن‬‫فقط‬‫ال‬ ‫من‬‫مقدار‬4)a+2(:‫مبين‬ ‫كما‬

20. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693720/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
P1 = C1−1
4
. 2(4−1+1)
. a(1−1)
= C0
4
. 24
. a0
= 16
P3 = C3−1
4
. 2(4−3+1)
. a(3−1)
= C2
4
. 22
. a2
= 24 a2
P5 = C5−1
4
. 2(4−5+1)
. a(5−1)
= C4
4
. 20
. a4
= a4
∴ (2+a)4
+ (2-a)4
= 2(16 + 24 a2
+ a4
)
‫عندما‬a = √3:‫تساوي‬ ‫المقدار‬ ‫قيمة‬ ‫فان‬
2(16 + 24 (√3)2
+ (√3)4
) = 2(16 + 24 . 3 + 9) = 2(97) = 194
‫فردي‬ ‫الزوجية(الجمع‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫وناتج‬ ‫الفردية‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الجمع‬ ‫ناتج‬ /‫مالحظة‬.)‫زوجي‬ ‫والطرح‬
‫مثال‬21/‫المقدار‬ ‫بسط‬5
)
1
a
-a(-5
)
1
a
+a(‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫الى‬.
/‫ج‬:‫الزوجية‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫ناتج‬
(a +
1
a
)5
- (a -
1
a
)5
= 2(P2+P4+P6)
P2 = 𝐂 𝟐−𝟏
𝟓
. a(𝟓−𝟐+𝟏)
. (
1
a
)(𝟐−𝟏)
= C1
5
. a4
. a−1
= 5 a3
P4 = C4−1
5
. a(5−4+1)
. (
1
a
)(4−1)
= C3
5
. a2
. a−3
= 10 a-1
=
10
a
P6 = C6−1
5
. a(5−6+1)
. (
1
a
)(6−1)
= C5
5
. a−5
= a-5
=
1
a5
(a +
1
a
)5
- (a -
1
a
)5
= 2 (5 a3
+
10
a
+
1
a5)
1 – 4 ‫تمارين‬ ‫حلول‬
1-‫جد‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫مفكوك‬
a) (3a –b)4
= C0
4
. (3a)4
- C1
4
. (3a)3
. b + C2
4
. (3a)2
. b2
− C3
4
. (3a). b3
+ C4
4
. b4
= 1 . 81a4
- 4 . 27 a3
. b + 6 . 9a2
. b2
− 4 . 3a . b3
+ 1 . b4
= 81a4
- 108 a3
. b + 54 a2
. b2
− 12a . b3
+ b4
b) (3x2
+ 2y)3
= C0
3
. (3x2
)3
+ C1
3
. (3x2
)2
. 2y + C2
3
. (3x2). (2y)2
+ C3
3
. (2y)3
= 27 x6
+ 3 . 9x4
. 2y + 3 . 3x2
. 4y2
+ 8y3
= 𝟐𝟕 𝐱 𝟔
+ 𝟓𝟒𝐱 𝟒
. 𝐲 + 𝟑𝟔𝐱 𝟐
. 𝐲 𝟐
+ 𝟖𝐲 𝟑
c) (2x –
1
2x
)
6
= C0
6
. (2x)6
- C1
6
. (2x)5
. (
1
2x
) + C2
6
. (2x)4
. (
1
2x
)2
− C3
6
. (2x)3
. (
1
2x
)3
+
C4
6
. (2x)2
. (
1
2x
)4
- C5
6
. 2x. (
1
2x
)5
+ C6
6
. (
1
2x
)6
= 64x6
– 6. 32x5
. (
1
2x
) + 15 . 16x4
.
1
4x2 − 20 . 8x3
.
1
8x3 + 15 . 4x2
.
1
16x4 -
6 . 2x.
1
32x5 +
1
64x6
= 64x6
–96 x4
+60 x2
− 20 +
15
4x2 -
6
16x4 +
1
64x6
2-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫جد‬7
)2
3y-x(.‫(تمهيدي‬2013)(‫تمهيدي‬4201)
/‫ج‬
P3 = C2
7
. x5
. (−3y2
)2
= 21 .x5 . 9y4
= 189 . x5
. y4
16x4

21. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693721/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
3-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫السادس‬ ‫الحد‬ ‫جد‬(
x2
2
−
x
3
)8
/‫ج‬
P6 = C5
8
. (
x2
2
)3
. (−
x
3
)5
= 56 .
x6
8
.
−x5
243
=
−7
243
. x11
4-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬( a −
2
a
)12
.‫(وزاري‬2012‫دور‬2)
/‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬13‫الحد‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫ان‬ ‫اي‬‫السابع‬:
P7 = C6
12
. a6
. (−
2
a
)6
=
12.11.10.9.8.7.6!
6.5.4.3.2 .6!
. a6
.
64
a6 = 11.2.3.2.7 . 64 = 59136
5-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسطين‬ ‫الحدين‬ ‫جد‬(2a − 1)7
‫(وزاري‬2015)‫اول‬ ‫دور‬
/‫ج‬‫االول‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫ثمانية‬ ‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬4‫والثاني‬5:
P4 = C3
7
. (2a)4
. (−1)3
= 35 . 16 a 4
. (−1) = -560 . a4
P5 = C4
7
. (2a)3
. (−1)4
= 35 . 8 a 3
. (+1) = 280 . a3
6-‫على‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬4
x‫مفكوك‬ ‫في‬(1 + x2
)6
.‫معامله‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫(وزاري‬2012)‫ثاني‬ ‫دور‬
/‫ج‬
Pr = Cr−1
6
. 1(6−r+1)
. (x2
)(r−1)
= Cr−1
6
. 1(6−r+1)
. (x)2(r−1)
(x)2(r−1)
= x4
‫اذا‬.‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫تساوت‬
2(r − 1) = 4 ⟹ r − 1 = 2 ⟹ ∴ r = 3
:‫المعامل‬ ‫ايجاد‬
P3 = C2
6
. 14
. x4
= 15 x4
7-‫معامل‬ ‫جد‬2
x‫مفكوك‬ ‫في‬( x3
+
2
x2)9
.‫(وزاري‬2013)‫اول‬ ‫دور‬‫(وزاري‬5201)‫اول‬ ‫دور‬
/‫ج‬
Pr = Cr−1
9
. (x3
)(9−r+1)
. (
2
x2)(r−1)
= Cr−1
9
. (x)3(10−r)
.
2(r−1)
x2(r−1)
= Cr−1
9
. (x)(30−3r)
.(2)(r−1)
. x(2−2r)
= Cr−1
9
. (x)(30−3r)+(2−2r)
. 2(r−1)
(x)(30−3r)+(2−2r)
= x2
x2
‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(30 − 3r) + (2 − 2r) = 2 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫قيمتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬
32 – 5r = 2 ⟹ 5r = 30 ⟹ ∴ r = 6
:‫المعامل‬ ‫ايجاد‬
P6 = C5
9
. (x3
)4
. (
2
x2)5
=
9.8.7.6.5!
5! . 4.3.2
. x12
.
32
x10 = 3.7.6 . x2
. (32) = 4032 . x2
‫المعامل‬=4032

22. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693722/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
8-‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬x‫مفكوك‬ ‫في‬( x2
+
2
x3)10
/‫ج‬
Pr = Cr−1
10
. (x2
)(10−r+1)
. (
2
x3)(r−1)
= Cr−1
10
. (x)2(11−r)
.
2(r−1)
x3(r−1)
Pr = Cr−1
10
. (x)2(11−r)
. x−3(r−1)
. (2)(r−1)
= Cr−1
10
. (x)(22−2r)
. x(3−3r).(2)(r−1)
Pr = Cr−1
10
. (x)
(22−2r)+(3−3r)
. (2)(r−1)
(x)(22−2r)+(3−3r)
= x0
x0
‫اي‬ x ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬
(22 − 2r) + (3 − 3r) = 0 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫قيمتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬
25 – 5r = 0 ⟹ 5r = 25 ⟹ ∴ r = 5
P5 = C5−1
10
. (x)2(11−5)
.
2(5−1)
x3(5−1) = C4
10
. (x)12
.
24
x12 =
10.9.8.7.6!
4.3.2 . 6!
. 16
= 10.3.7 . 16 = 3360
9-‫قيمة‬ ‫جد‬4
)99(.‫الحدين‬ ‫ذي‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
/‫ج‬
(99)4
= (100 -1)4
= C0
4
. 1004
+ C1
4
. 1003
. (−1)+ C2
4
. 1002
. (−1)2
+ C3
4
. 100 . (−1)3
+C4
4
. (−1)4
= 1004
- 4 . 1003
+ 6 . 1002
− 4 . 100 + 1 = 100000000 – 4000000 + 60000 − 400 +1
∴ (99)4
= 96059601
10-‫قيمة‬ ‫جد‬4
)98(–4
)102(
/‫ج‬
(102)4
– (98)4
= (100+2)4
– (100-2)4
(100+2)4
– (100-2)4
= 2P4 + 2P2 ‫الزوجية‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫ناتج‬
P2 = C1
4
. 1003
. 2 = 4 . 1003
. 2 = 8000000
P4 = C3
4
. 100 . 23
= 4 . 100 . 8 = 3200
(102)4
– (98)4
= 2(8000000+3200) = 2(8003200) = 16006400
11-‫قيمة‬ ‫جد‬+ (2 − √3)7
(2 + √3)7
/‫ج‬‫الفردية‬ ‫الحدود‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الجمع‬ ‫ناتج‬
(2 + √3)7
+ (2 − √3)7
= 2(P1+P3+P5+P7)
P1 = C0
7
. 27
. (√3)0
= 128
P3 = C2
7
. 25
. (√3)
2
= 21 .32 .3 = 2016
P5 = C4
7
. 23
. (√3)
4
=
7.6.5.4!
4! . 3.2
. 8 .9 = 35 . 72 = 2520
P7 = C6
7
. 2 . (√3)
6
= 7.2 .27 = 378
(2 + √3)7
+ (2 − √3)7
= 2(128 + 2016 + 2520 + 378) = 10084

23. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693723/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫الوزارية‬ ‫االسئلة‬
1)‫يجلس‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬10.‫فقط‬ ‫مقاعد‬ ‫اربع‬ ‫في‬ ‫طالب‬2012-2
2)‫بتكرار‬ ‫السماح‬ ‫دون‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫زيزفون‬ ‫كلمة‬ ‫احرف‬ ‫من‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬
.‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحروف‬2013-3
3)‫بدون‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫بغداد‬ ‫كلمة‬ ‫حروف‬ ‫من‬ ‫انشائها‬ ‫يمكن‬ ‫والتي‬ ‫احرف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫الكلمات‬ ‫عدد‬ ‫كم‬
.‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ ‫تكرار‬
4)‫يجلس‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬10.‫فقط‬ ‫مقاعد‬ ‫اربع‬ ‫في‬ ‫طالب‬2012-2
5)‫االمتحان‬ ‫ورقة‬ ‫في‬ ‫االسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫اذا‬6‫خم‬ ‫عن‬ ‫االجابة‬ ‫والمطلوب‬ ‫اسئلة‬‫ذلك؟‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ‫اسئلة‬ ‫سة‬2012-3
6)‫يحوي‬ ‫صندوق‬10‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬5‫سحب‬ ‫يراد‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬ ‫وثالث‬ ‫خضراء‬ ‫كرات‬5‫ضمن‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫كرات‬
‫لذلك؟‬ ‫طريقة‬ ‫فكم‬ ‫خضراء‬ ‫واحدة‬ ‫وكرة‬ ‫حمراء‬ ‫كرتين‬ ‫السحبة‬2012-2
7)‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬( 𝐧+𝟏
𝟒
)=6( 𝐧
𝟑
)‫؟‬2012-2
8)‫اذا‬‫االمتحان‬ ‫ورقة‬ ‫في‬ ‫االسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬6‫ذلك؟‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ‫اسئلة‬ ‫خمسة‬ ‫عن‬ ‫االجابة‬ ‫والمطلوب‬ ‫اسئلة‬2012-3
9)‫ك‬‫م‬‫كلمة‬‫يمكن‬‫تكوينها‬‫مكونة‬‫من‬‫اربعة‬‫حروف‬‫مختلفة‬‫من‬‫كلمة‬)‫سنكفيكهم‬(2014-‫ت‬
10)‫كم‬‫كلمة‬‫بمعنى‬‫او‬‫بدون‬‫معنى‬‫يمكن‬‫تكوينها‬‫من‬‫كلمة‬)‫سنكفيكهم‬(‫مكونة‬‫من‬‫اربع‬‫أحرف‬‫على‬‫ان‬‫ال‬‫يسمح‬‫بتكرار‬
‫الحرف‬‫في‬‫الكلمة‬‫نفسها؟‬2015-2
11)‫بكم‬‫طريقة‬‫يمكن‬‫اختيار‬‫اربعة‬‫اشخاص‬‫من‬‫بين‬‫عشرة‬‫اشخاص‬‫لشغل‬‫اربعة‬‫وظائف‬‫معينة‬‫مختلفة‬2014-1
12)‫كم‬‫قطعة‬‫مستقيم‬‫يمكن‬‫تحديدها‬‫بنقطتين‬‫من‬‫مجموعة‬‫فيها‬7‫نقاط‬‫وال‬‫توجد‬‫ثالث‬‫نقاط‬‫على‬‫استقامة‬‫واحدة‬2014-1
13)‫اذا‬‫كان‬‫لدى‬‫فتاة‬7‫قمصان‬‫مختلفة‬‫االلوان‬‫و‬5‫تنورات‬‫مختلفة‬‫االلوان‬‫و‬3‫احذية‬‫مختلفة‬‫فبكم‬‫زي‬‫مكون‬‫من‬‫قميص‬
‫وتنورة‬‫وحذاء‬‫يمكن‬‫تظهر‬‫به‬‫الفتاة‬.2014-2
14)‫كيس‬‫فيه‬10‫كرات‬‫حمراء‬‫و‬6‫بيضاء‬‫سحبت‬‫منه‬4‫كرات‬‫معا‬‫دون‬‫ارجاع‬,‫ما‬‫عدد‬‫الطرق‬‫التي‬‫تكون‬‫فيها‬‫الكرات‬
‫المسحوبة‬‫من‬‫نفس‬‫اللون‬2015-1
15)‫كم‬‫عدد‬‫رمزه‬‫مكون‬‫من‬3‫ارقام‬‫يمكن‬‫تكوينه‬‫باستخدام‬‫االرقام‬2,3,4,5,6,7,8,9‫على‬‫ان‬‫يكون‬‫العدد‬‫فرديا‬
‫والتكرار‬‫غير‬‫مسموح‬‫فيه‬‫للرقم‬2015-1
16)‫بكم‬‫طريقة‬‫يمكن‬‫اختيار‬‫لجنة‬‫مكونة‬‫من‬3‫موظفين‬‫وموظفتين‬‫من‬‫بين‬10‫موظفين‬‫وخمسة‬‫موظفات‬2015-2
17)‫كم‬‫عدد‬‫ا‬‫زوجيا‬‫مكون‬‫من‬4‫مراتب‬‫يمكن‬‫تكوينه‬‫من‬‫االرقام‬( 0,1,2,3,4,5,6,7)‫مع‬‫عدم‬‫السماح‬‫بتكرار‬‫الرقم‬.
18)‫اذا‬‫كان‬3(n!) = 360‫جد‬‫قيمة‬n‫؟‬2015-3
19)‫ما‬‫عدد‬‫طرق‬‫اختيار‬‫وفد‬‫من‬4‫اشخاص‬‫نختارهم‬‫من‬‫بين‬6‫رجال‬‫و‬7‫نساء‬‫علما‬‫ان‬‫الوفد‬‫مناصفة‬‫من‬‫كل‬‫جنس‬
2015-3
20)‫جد‬‫قيمة‬n‫اذا‬‫كان‬n! = 6(n-2)!2014-1
21)‫جد‬‫قيمة‬n‫اذا‬‫علمت‬‫ان‬2P2
n
=C3
𝑛+1
2015-3
22)‫ج‬‫د‬‫قيمة‬n‫اذا‬‫علمت‬‫ان‬= 2P2
3
n!
(n−2)!
2015-1
23)‫جد‬‫قيمة‬[P2
8
+ P3
8
]
1
56
2014-2
24)‫جد‬‫مفكوك‬8
)2y–2
3x(2014-1
25)‫هل‬‫يوجد‬‫حد‬‫خالي‬‫من‬x‫في‬‫مفكوك‬15)−
1
x2
2x(‫بين‬‫ذلك‬.2014-2‫الحل‬‫مثال‬18‫صفحة‬19
26)‫جد‬‫الحدين‬‫االوسطين‬‫في‬‫مفكوك‬(2 −
x
2
)
9
2015-3
27)‫من‬ ‫مكونة‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬10‫و‬ ‫طالب‬8‫من‬ ‫مؤلفة‬ ‫لجنة‬ ‫تشكيل‬ ‫يراد‬ ‫طالبات‬7‫االنشطة‬ ‫الدارة‬ ‫اعضاء‬
‫من‬ ‫تكونت‬ ‫اذا‬ ‫اللجنة‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬ , ‫الطالبية‬4‫و‬ ‫طالب‬3.‫طالبات‬2016-1
28)‫من‬ ‫مكون‬ ‫رمزه‬ ‫عدد‬ ‫كم‬3‫واكبر‬ ‫مراتب‬‫من‬600‫االرقام‬ ‫من‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬4,5,6,7,8:‫كان‬ ‫اذا‬
‫به‬ ‫مسموح‬ ‫التكرار‬‫به‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬2016-1
29)‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬x‫مفكوك‬ ‫في‬( x +
2
x2)6
.2016-1

24. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬
/ ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693724/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
30)( ‫لجنة‬ ‫فيها‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫ما‬4‫بين‬ ‫من‬ ‫نختارهم‬ )‫اشخاص‬10‫و‬ ‫رجال‬6‫من‬ ‫اللجنة‬ ‫تتكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫نساء‬
‫واحد؟‬ ‫جنس‬2016-‫ت‬
31)‫كان‬ ‫اذا‬2C2
n+1
= C3
n+2
‫قيمة‬ ‫فجد‬n.2016-‫ت‬
32)‫(ستنتصرون)؟‬ ‫كلمة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫مختلفة‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬2016-2
33)‫اذا‬( ‫هنالك‬ ‫كان‬7( ‫سوى‬ ‫يجدوا‬ ‫ولم‬ ‫يتوظفوا‬ ‫ان‬ ‫يريدون‬ ‫خريجين‬ )3‫الوظائف؟‬ ‫اشغال‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ،‫وظائف‬ )
2016-2
34)‫قيمة‬ ‫جد‬n:‫حيث‬P3
n+1
=7 P2
n
2016-2
35)‫الحروف‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ )‫(فأسقيناكموه‬ ‫كلمة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫بمعنى‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬
‫مختلفة؟‬2016-3
36)‫جد‬‫الحد‬‫االوسط‬‫من‬‫مفكوك‬(m −
1
m
)
14
2016-3
37)‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬( 𝐧+𝟏
𝟒
)=3( 𝐧
𝟑
)‫؟‬2016-3

25. 1
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫أحمد‬ :
07704516937
‫المرسل‬‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬
‫المنصور‬–‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
07703458937
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫االدبي‬ ‫السادس‬
2017-2016
‫الثاني‬ ‫الفصل‬
‫واالستمرارية‬ ‫الغايات‬

26. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬
26

27. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬
27
:)‫واالستمرارية‬ ‫الثاني(الغايات‬ ‫الفصل‬
(‫الغاية‬:)‫الغاية‬‫الدالة‬ ‫ناتج‬ ‫قيمة‬ ‫يمثل‬ ‫رياضي‬ ‫تعبير‬f(x)‫متغيرها‬ ‫يقترب‬ ‫عندما‬‫المستقل‬x‫معين‬ ‫مقدار‬ ‫من‬a‫وتكتب‬
:‫التالية‬ ‫بالصيغة‬
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
f(x)
‫غاية‬ ‫وتقرأ‬f(x)‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬a
‫مثال‬1/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬2x + 1–2
x‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬1.
/‫ج‬‫قيمة‬ ‫نعوض‬x‫بواحد‬:‫مبين‬ ‫كما‬lim
x→1
(x2
− 2x + 1) = 1 − 2 + 1 = 0
‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫ان‬ ‫اي‬x‫من‬ ‫تقترب‬1‫قيمة‬ ‫وهي‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬
‫عندما‬ ‫للغاية‬ ‫اخرى‬ ‫قيمة‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اي‬ ‫وحيدة‬x → 1:‫مبين‬ ‫كما‬
‫مثال‬2/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬
1
x2+ 1
‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1.
/‫الحل‬‫المتغير‬ ‫على‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫عندما‬ ‫للدالة‬ ‫فحص‬ ‫عمل‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫فاننا‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1
lim
x→−1
1
x2 + 1
=
1
(−1)2 + 1
=
1
2
‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫ان‬ ‫نقول‬ ‫اذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1‫وتساوي‬ ‫موجودة‬
𝟏
𝟐
.
‫مثال‬3/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬
x2−x
x
‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬0.
/‫الحل‬‫عندما‬x‫الى‬ ‫ننتقل‬ ‫لذلك‬ ‫معرف‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬‫التبسيط‬‫مبين‬ ‫كما‬:
lim
x→0
x2−x
x
=
x(x−1)
x
= lim
x→0
(x − 1) = 0 − 1 = −1
‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫اذا‬x → 0‫وتساوي‬-1:‫مبين‬ ‫كما‬
‫مثال‬4/‫قيمة‬ ‫جد‬(x3
+ 2x + 3)lim
x→−2
.‫(وزاري‬2012)‫اول‬ ‫دور‬
/‫الحل‬
lim
x→−2
(x3
+ 2x + 3) = (-2)3
+ 2 . (-2) + 3 = -8 – 4 + 3 = -9
:‫معرفة‬ ‫الغير‬ ‫القيم‬
1–‫مثل‬ ‫صفر‬ ‫على‬ ‫القسمة‬
𝐱
𝟎
‫و‬
𝟎
𝟎
.
2–‫سالبة‬ ‫لقيمة‬ ‫الزوجي‬ ‫الجذر‬√−5
4
.
‫ناتج‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ : ‫الغاية‬ ‫وحدانية‬‫معين‬ ‫عدد‬ ‫عند‬ ‫الغاية‬ ‫لقيمة‬ ‫واحد‬

28. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬
28
‫مثال‬5/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬
x−1
x2− 1
‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬1.
/‫الحل‬‫المتغير‬ ‫على‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫عندما‬ ‫للدالة‬ ‫فحص‬ ‫عمل‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫فاننا‬x‫من‬ ‫تقترب‬1
lim
x→1
x − 1
x2 − 1
=
0
1 − 1
=
0
0
‫الدالة‬ ‫تحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ ‫فاننا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يمثل‬ ‫ال‬ ‫المقدار‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫على‬ ‫قسمة‬ ‫يحوي‬ ‫الناتج‬ ‫ان‬ ‫بما‬:
lim
x→1
x−1
(x− 1)(x+ 1)
=
1
x+ 1
=
1
2
‫مثال‬6/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬
x2−4
x− 2
‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬2.‫(وزاري‬2014)‫اول‬ ‫دور‬
/‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬2:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬
lim
x→2
x2−4
x− 2
=
(x−2)(x+2)
x− 2
= lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
‫منها‬ ‫تقترب‬ ‫قيمة‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الثابتة‬ ‫القيمة‬ ‫غاية‬ /‫مالحظة‬x:‫الثابتة‬ ‫القيمة‬ ‫تساوي‬
lim
x→a
c = c a , c ∈ R
lim
x→0
5 = 5
lim
x→2
1 = 1
‫مثال‬7/‫جد‬‫قيمة‬lim
x→2
x3− 8
x2−4
:‫(تمهيدي‬2013)
/‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬2:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬
lim
x→2
x3− 8
x2−4
= lim
x→2
x3− 23
x2−22 = lim
x→2
(x−2)(x2+2x+4)
(x−2)(x+2)
= lim
x→2
x2+2x+4
x+2
=
4+4+4
4
= 3
‫مثال‬8/‫قيمة‬ ‫جد‬lim
x→0
√x+2 −√2
x
:
/‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬0:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬
:‫البسط‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
lim
x→0
√x+2 −√2
x
.
√x+2 +√2
√x+2 +√2
lim
x→0
(x+2)−2
x .(√x+2 +√2)
= lim
x→0
x
x .(√x+2 +√2 )
= lim
x→0
1
√x+2 +√2
=
1
√2 +√2
=
1
2√2
‫مثال‬9/‫جد‬‫قيمة‬lim
x→3
√x+1 −2
x−3
:‫(وزاري‬2013‫ثاني‬ ‫دور‬2012)‫ثالث‬ ‫دور‬
/‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬3:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬
:‫البسط‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
lim
x→3
√x + 1 − 2
x − 3
.
√x + 1 + 2
√x + 1 + 2
= lim
x→3
(x + 1) − 4
(x − 3). (√x + 1 + 2)
= lim
x→3
x−3
(x−3).(√x+1 +2)
= lim
x→3
1
√x+1 +2
=
1
√4 +2
=
1
4

29. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬
29
‫مثال‬10/‫قيمة‬ ‫جد‬lim
x→3
x3 −27
x2+2x−15
.‫(وزاري‬2011)‫اول‬ ‫دور‬
/‫الحل‬‫مكعبين‬ ‫بين‬ ‫فرق‬ ‫البسط‬ ‫نحلل‬
lim
x→3
x3 −27
x2+2x−15
= lim
x→3
(x −3)(x2 + 3x+9)
(x−3)(x+5)
= lim
x→3
x2 + 3x+9
x+5
=
9+ 9+9
3+5
=
27
8
‫مثال‬11/‫قيمة‬ ‫جد‬lim
x→1
x − 1
√x − 1
.(2005)
/‫الحل‬:‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫فرق‬ ‫البسط‬ ‫نحلل‬
lim
x→1
x − 1
√x − 1
= lim
x→1
(√x – 1)(√x + 1)
√x − 1
= lim
x→1
√x + 1 = 1 + 1 = 2
‫مثال‬12/‫كانت‬ ‫اذا‬lim
x→1
(x2
− 2x + a)‫تساوي‬4‫جد‬‫قيمة‬a.
/‫الحل‬
lim
x→1
(x2
− 2x + a) = 4
1-2+a = 4 ⟹ -1 + a = 4 ⟹ a = 5
‫مثال‬13/‫كانت‬ ‫اذا‬lim
x→1
a(x−1)
x2− 1
‫تساوي‬1‫جد‬‫قيمة‬a‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬x‫من‬ ‫تقترب‬2.
/‫الحل‬
lim
x→1
a(x−1)
x2− 1
= lim
x→1
a(x−1)
(x−1)(x+1)
= lim
x→1
a
x+1
= 1
a
(1+1)
= 1 ⟹ a = 2
‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬x‫من‬ ‫يقترب‬2:‫هي‬
lim
x→2
2
x+1
=
2
2+1
=
2
3
‫مثال‬14/‫كانت‬ ‫اذا‬f(x) =
ax2 + bx
x
‫وكانت‬lim
x→0
f(x) = 4‫و‬lim
x→1
f(x) = 5‫قيمتي‬ ‫جد‬a‫و‬b
.‫الحقيقيتين‬
/‫الحل‬
lim
x→0
ax2 + bx
x
= 4 ⟹ lim
x→0
x(ax + b)
x
= 4 ⟹ lim
x→0
(ax+b) = 4
a(0) + b = 4 ⟹ ∴ b = 4
lim
x→1
ax2 + bx
x
= 5 ⟹ lim
x→1
(ax+b) = 5 ⟹ a(1) + b = 5 ⟹ a + 4 = 5
∴ a = 1
‫مثال‬15/‫كانت‬ ‫اذا‬= 2a + 3lim
x→1
x2+3x−1
x+2
‫جد‬‫قيمة‬a.‫(وزاري‬2013)‫اول‬ ‫دور‬
/‫الحل‬
lim
x→1
x2+3x−1
x+2
=
1+3−1
1+2
= 1
2a +3 = 1 ⟹ 2a = 1 -3 = -2 ⟹ a =
−2
2
= -1

30. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬
30
‫مثال‬16/‫كانت‬ ‫اذا‬f(x) = 6x2
+ ax + b‫وكانت‬lim
x→1
f(x) = 6‫و‬lim
x→2
f(x) = 29‫جد‬‫قيمة‬a‫و‬b.
/‫الحل‬‫(تمهيدي‬2005)
lim
x→1
(6x2
+ ax + b) = 6 ⟹ 6 + a + b = 6 ⟹ b + a = 0 ……
lim
x→2
(6x2
+ ax + b) = 29 ⟹ 24 + 2a + b = 29 ⟹ 2a + b = 5 ……
‫معادلة‬ ‫نطرح‬‫من‬
2a + b = 5
a + b = 0
a = 5 ‫بالطرح‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫المعادلة‬ ‫في‬:
b + a= 0 ⟹ b + 5 = 0 ⟹ b = -5
:‫المركبة‬ ‫الدوال‬‫باقي‬ ‫عن‬ ‫مستقل‬ ‫مجال‬ ‫يملك‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫اقسام‬ ‫عدة‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫التي‬ ‫الدوال‬ ‫وهي‬:‫االخرى‬ ‫الدوال‬ ‫مجاالت‬
‫مثال‬17/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬f(x) = { x2
x ≤ 1
x x > 1
‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬3,0,1-.
1-‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬3‫نستخدم‬:‫الثانية‬ ‫الدالة‬lim
x→3
f(x) = lim
x→3
x = 3
2-‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬0‫نستخدم‬:‫االولى‬ ‫الدالة‬lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x2
= 0
3-‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1‫نستخدم‬:‫االولى‬ ‫الدالة‬lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
x2
= 1
‫اليسار‬ ‫وغاية‬ ‫اليمين‬ ‫غاية‬:‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫من‬ ‫مركبة‬ ‫دالة‬‫تكون‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫فان‬ ‫دالتين‬
‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫فان‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫وفي‬ ‫متساويتين‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫الدالتين‬ ‫غاية‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫موجودة‬x‫غاية‬ ‫تسمى‬
‫الدالة‬ ‫وغاية‬ ‫اليمين‬2
x‫هي‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫ونقطة‬ ‫اليسار‬ ‫غاية‬ ‫تسمى‬0:
L1 = lim
x→0+
x = 0 ‫اليمين‬ ‫غاية‬
L2 = lim
x→0− x2 = 0 = L1 ‫اليسار‬ ‫غاية‬
‫ان‬ ‫بما‬1L=2L‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫فان‬x.‫موجودة‬ ‫الغاية‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫تقترب‬
‫مثال‬2/‫لتكن‬f(x) = { x2
+ 1 x ≥ 1
2x − 1 x < 1
‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬1.
/‫الحل‬‫عند‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫نقطة‬1‫لذا‬.‫اليسار‬ ‫ودالة‬ ‫اليمين‬ ‫دالة‬ ‫نحسب‬
L1 = lim
x→1+
(x2
+ 1) = 1 +1 = 2
L2 = lim
x→1− (2x − 1) = 2 - 1 = 1 ≠ L1
‫من‬ ‫يقترب‬1 x ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬
‫مثال‬3/‫للدالة‬ ‫هل‬f(x) = { x2
+ 1 x ≥ 1
2x x < 1
‫عندما‬ ‫غاية‬x → 1:
/‫الحل‬
L1 = lim
x→1+
( x2
+ 1) = 1 +1 = 2
L2 = lim
x→1− 2x = 2 = L1 x → 1 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫تملك‬ ‫الدالة‬

31. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬
31
‫مثال‬4/‫لتكن‬f(x) = { x2
+ 2 x > 1
2x + a x ≤ 1
‫وان‬lim
x→1
f(x)‫موجودة‬‫قيمة‬ ‫جد‬a‫حيث‬R∈a.
/‫الحل‬‫موجودة‬ ‫الغاية‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫عندما‬x = 1‫فان‬:‫ان‬ ‫اي‬ ‫اليسار‬ ‫غاية‬ ‫تساوي‬ ‫اليمين‬ ‫غاية‬
lim
x→1+
( x2
+ 2) = lim
x→1− (2x + a)
12
+ 2 = 2 . 1 + a ⟹ 3 = 2 + a ⟹ a = 3 -2 = 1
‫مثال‬5/‫لتكن‬f(x) = { x2
+ a x > 1
b − 2x x ≤ 1
‫وكانت‬lim
x→1
f(x)‫وان‬ ‫موجودة‬lim
x→−1
f(x) = 5‫قيمتي‬ ‫جد‬
R∈a‫و‬b.
/‫الحل‬
lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
(b − 2x) = 5
‫قيمة‬ ‫نعوض‬x = -1‫لـ‬ ‫جذر‬ ‫او‬ ‫قسمة‬ ‫تحوي‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫كون‬x
(b − 2 . (−1)) = 5 ⟹ b + 2 = 5 ⟹ b = 3
lim
x→1+
(x2
+ a) = lim
x→1− (3 − 2x) ⟹ 1 + a = 3 − 2 ⟹ a = 1 – 1 = 0
‫مثال‬6/‫لتكن‬f(x) = {
6 − x x < 1
x 2
x ≥ 1
‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬1.‫(تمهيدي‬2005)
/‫الحل‬
L1 = lim
x→1+
(6 − x) = 6 – 1 = 5
L2 = lim
x→1− x 2
= 1 ≠ L1 1 ‫من‬ ‫يقترب‬ x ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫ليس‬
‫مثال‬7/‫لتكن‬f(x) = {
x − 2 x < 3
x 2
− 8 x ≥ 3
‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬0,3,5.
/‫الحل‬
‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬0:
lim
x→0
(x − 2) = -2 ‫للدالة‬ ‫غاية‬ ‫يوجد‬
‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬3:
L1 = lim
x→3+
(x 2
− 8) = 9 - 8 = 1
L2 = lim
x→3− (x − 2) = 3 − 2 =1 = L1 3 ‫من‬ ‫يقترب‬ x ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬
‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬5:
lim
x→5
(x 2
− 8) = 25 – 8 = 17
‫مثال‬8/‫لتكن‬f(x) = {
1 − x x < 2
x + 1 x ≥ 2
‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬2‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ ‫ثم‬x → −1
‫عند‬ ‫و‬x→4
.
/‫الحل‬‫أ‬-
L1 = lim
x→2+
(1 − x) = 1 - 2 = -1
L2 = lim
x→2− (x + 1) = 2 + 1 = 3 ≠ L1 ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫ليس‬∴
‫ب‬-‫عندما‬ ‫الغاية‬x→−1
:lim
x→−1
(1 − x) = 1 + 1 = 2
‫ج‬-‫عندما‬ ‫الغاية‬x→4
:lim
x→4
(x + 1) = 4 + 1 = 5