1. USAHA
dan
ENERGI

3. USAHA OLEH GAYA KONSTAN
F F
F cos θ
θ
s
Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya didefinisikan
sebagai hasil kali komponen gaya pada arah pergeseran
dengan panjang pergeseran benda.
sFW )cos( θ≡ (5.1)
sF⋅=W (5.2)

4. F
θ
mg
N
f
fsWf −= 1)180cos( 0
−=
Usaha oleh gaya F : θcosFsW =
Usaha oleh gaya gesek f :
Usaha oleh gaya normal N : 0=NW
Usaha oleh gaya berat mg : 0=mgW
Mengapa ?
Usaha total : fsFsW −= θcos (5.3)

5. Usaha oleh Gaya yang Berubah
Fx
x∆x
Fx
x
Fx
Luas = ∆A =Fx∆x
∆W = Fx∆x
∑ ∆≅
f
i
x
x
x xFW
xi
xf
xi xf
Usaha
∫=
f
i
x
x xdxFW
∑ ∆=
→∆
f
i
x
x
x
x
xFW lim
0
(5.4)

6. Usaha dan Energi Kinetik
sFW x= Untuk massa tetap :
Fx = max tvvs fi )(2
1 +=
t
vv
a
if
x
−
=
Untuk percepatan tetap :
tvv
t
vv
m fi
if
)(2
1 +




 −
=
2
2
12
2
1
if mvmvW −=
2
2
1
mvK ≡
Energi kinetik adalah energi yang
terkait dengan gerak benda.
Teorema Usaha-Energi
KKKW if ∆=−=
Usaha yang dilakukan oleh suatu gaya untuk menggeser benda
adalah sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut.
(5.5)
(5.6)
(5.7)

7. ∫ ⋅=
f
i
dW sF
Bagaimana jika gaya berubah terhadap posisi ?
∫ ∑=
f
i
x
x
xnet dxFW )( ∫=
f
i
x
x
dxma
dt
dv
a =
dt
dx
dx
dv
=
dx
dv
v=
∫=
f
i
x
x
dx
dx
dv
mv ∫=
f
i
x
x
dvmv
2
2
12
2
1
if mvmv −= (5.4)∫=
f
i
x
x xdxFW
(5.8)
kjiF zyx FFF ++=
kjis dzdydxd ++= ∫ ++=
fff
iii
zyx
zyx
zyx dzFdyFdxFW
,,
,,
)( (5.9)
Satuan :
SI m)(Nmeternewton ⋅⋅ joule (J)
cgs cm)(dynecentimeterdyne ⋅⋅ erg
1 J = 107
erg
Dimensi : [ ]22
TML −

8. sF ddW ⋅=
DAYA
Energi yang ditransfer oleh suatu sistem per satuan waktu
t
W
P ratarata
∆
∆
≡−
dt
dW
t
W
P
t
=
∆
∆
≡
→∆
lim0
dt
d
dt
dW
P
s
F ⋅== vF ⋅=
(5.10)
(5.10)
Satuan : watt (W)
1 W = 1 J/s 32
/mkg1 s⋅=
s)3600)(W(10kWh1 3
= J103.6 6
×=

9. Gaya Konservatip
P
Q
1
2
Gaya disebut konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah
partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain
tidak bergantung pada lintasannya.
WPQ(lintasan 1) = WPQ(lintasan 2)
P
Q
1
2
WPQ(lintasan 1)
P
= - WQP(lintasan 2)
WPQ(lintasan 1) + WQP(lintasan 2) = 0
Usaha total yang dilakukan oleh gaya
konservatip adalah nol apabila partikel
bergerak sepanjang lintasan tertutup
dan kembali lagi ke posisinya semula
Contoh : Wg= - mg(yf - yi)
2
2
12
2
1
fis kxkxW −=
Usaha oleh gaya gravitasi
Usaha oleh gaya pegas

10. Gaya Tak-Konservatip
Gaya disebut tak-konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah
partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain
bergantung pada lintasannya.
A
d
B
s
WAB(sepanjang d) ≠ WAB(sepanjang s)
Usaha oleh gaya gesek :
fsfd −<−
∫ −=∆−==
f
i
x
x fixc UUUdxFW
Untuk F konservatip :
Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatip sama dengan
minus perubahan energi potensial yang terkait denga gaya tersebut.
∫−=−=∆
f
i
x
x xif dxFUUU
Energi Potensial

11. Hukum Kekekalan Energi Mekanik
F Gaya konservatip
KWc ∆=
Usaha oleh gaya konservatip :
UWc ∆−=
UK ∆−=∆
0)( =+∆=∆+∆ UKUK Hukum kekekalan energi mekanik
ffii UKUK +=+
Ei = Ef
UKE +=
Energi mekanik suatu sistem akan selalau konstanjika gaya
yang melakukan usaha padanya adalah gaya konservatip
Perambahan (pengurangan) energi kinetik suatu sistem konservatip
adalah sama dengan pengurangan (penambahan) energi potensialnya
∑+=∑+ ffii UKUK Untuk sistem dengan lebih dari satu gaya konservatip

12. Potensial Gravitasi di Dekat Permukaan Bumi
B
A Qyf
Pyi
y
x
mg h
mgh−=
BQPBPBQ WWW +=
AQPAPAQ WWW +=
mgh−=
∑∆−=
n
ng ymgW mgh−=
if yyh −=
fig mgymgyW −=
Usaha oleh medan gaya
gravitasi adalah konservatip
Energi Potensial Gravitasi : mgyUg ≡ Ug = 0 pada y = 0
gfig UUUW ∆−=−=
Hukum Kekekalan Energi Mekanik : ffii mgymvmgymv +=+ 2
2
12
2
1

13. vp m≡(9-1)
xx mvp =
yy mvp =
zz mvp =
(9-2)
Hukum Newton II : dt
dp
F = (9-3)
Laju perubahan momentum
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada
gaya yang bekerja pada benda tersebut ?
dtd Fp =(9-4) Impuls
Momentum Linear :
∫=−=∆
f
i
t
t
if dtFppp(9-5)

14. Impuls :
pFI ∆=≡ ∫
f
i
t
t
dt(9-6)
Impuls suatu gaya F sama dengan
perubahan momentum benda.
Teorema Impuls-Momentum
F
tti tf
∫∆
≡
f
i
t
t
dt
t
FF
1
(9-7)
Gaya rata-rata :
Untuk F konstan :
t∆=∆= FpI (9-9)
t∆=∆= FpI (9-8)

15. KEKEKALAN MOMENTUM LINIER
UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL
m1
p1 = m1v1
m2 p2 = m2v2
p1
p2
F21
F12
dt
d 1
12
p
F =
dt
d 2
21
p
F =
02112 =+ FF
2112 FF −=
Hukum Newton III
021
=+
dt
d
dt
d pp
0)( 21 =+ pp
dt
d
konstan21 =+= ppP (9-10)
fxix PP = fyiy PP = fziz PP =
21 ppP +=
Momentum partikel di dalam
suatu sistem tertutup selalu tetap
Hukum kekekalan momentum
ffii mmmm 22112211 vvvv +=+ (9-11)
(9-12)ffii 2121 pppp +=+

16. TUMBUKAN
+
++
F12
F21
p
He4
F12 F21
m1 m2
Interaksi antar partikel yang berlangsung
dalam selang waktu yang sangat singkat
Gaya impulsiv
Diasumsikan jauh lebih besar
dari gaya luar yang ada
Kontak langsung
Proses hamburan
F
t
F12
F21
∫=∆ 2
1
212
t
t dtFp
dt
dp
F = (9-3)
∫=∆ 2
1
121
t
t dtFp
2112 FF −=
Hukum Newton III
21 pp ∆−=∆
021 =∆+∆ pp
0)( 21 =+∆ pp konstan21 =+= ppP
Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem
sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan
jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan

17. Klasifikasi Tumbukan
Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum
dan kekekalan energi
Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang
(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)
Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu
v1iv2i
m1m2
Sebelum tumbukan
vf
m1 + m2
Setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum :
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi
fii vmmvmvm )( 212211 +=+ (9-13)
21
2211
mm
vmvm
v ii
f
+
+
= (9-14)

18. Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi
v1iv2i
m1m2
Sebelum tumbukan
v1f
m1
Setelah tumbukan
m2
v2f
Hukum kekekalan momentum :
ffii vmvmvmvm 22112211 +=+ (9-15)
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm +=+ (9-16)
)()( 2
2
2
22
2
1
2
11 iffi vvmvvm −=−
))(())(( 2222211111 ififfifi vvvvmvvvvm +−=+− (9-17)
)()( 222111 iffi vvmvvm −=− (9-18)
iffi vvvv 2211 +=+
)( 2121 ffii vvvv −−=− (9-19)






+
−
+





+
=
21
12
1
21
1
2
2
mm
mm
v
mm
m
v if
(9-21)






+
+





+
−
=
21
2
1
21
21
1
2
mm
m
v
mm
mm
v if (9-20)

19. TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
v1i
m1
m2
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan
v1f
v2f
m1
m2
θ
φ
v1f sin θ
v1f cos θ
v2f cos φ
-v2f sin φ
Komponen ke arah x : φθ coscos 221111 ffi vmvmvm += (9-24a)
φθ sinsin0 2211 ff vmvm −= (9-24b)
Jika tumbukan lenting sempurna : 2
222
12
112
12
112
1
ffi vmvmvm += (9-24a)

20. v
M+∆m
vp )( mMi ∆+=
M
v+∆v
∆m
ve
Kecepatan bahan bakar
relatip terhadap roket
v - ve
)()()( emMmM vvvvv −∆+∆+=∆+
mM e∆=∆ vv
Untuk interval waktu yang sangat pendek :
dmvMdv e=
dMdm −=
Massa bahan bakar
yang terbakar
Pengurangan
massa roketdMMd evv −=
∫ ∫−=
f
i
f
i
M
M
e
M
dM
d
v
v
vv








=−
f
i
eif
M
M
lnvvv