Metode numerik galat

1. LOGO
GALAT
(error)
Oleh:
Swasti Maharani

2. Galat
 Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan
matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang
mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian
analitis.
 Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan
terhadap nilai eksak
 Galat (kesalahan) didefinisikan sebagai selisih antara
nilai exact (sebenarnya) dan dan nilai perkiraan atau
pendekatan

3. Dalam metode numerik, galat berarti selisih antara nilai
hasil perhitungan analitik (nilai eksak = a) dengan nilai
hasil perhitungan numerik (nilai hampiran/perkiraan = â)
Galat
ε= a - â
Galat mutlak
εm= |a - â|
Galat relatif
εR = (εm/ a) x 100 %
Galat relatif
hampiran
εRA = (εm/ â) x 100 %

4. Contoh:
Misalkan nilai sebenarnya (a) = 10,45 dan
nilai hampiran (â) = 10,5,
maka galat mutlaknya adalah:
εm = |a - â|
= |10,45 – 10,5|
= 0,05
Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat
(teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai
eksak nya, jadi galat mutlak tidak menunjukkan besarnya
tingkat kesalahan

5. Contoh 2:
Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cm
Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm
Jika nilai pengukuran sebenarnya berturut-turut adalah
10.000 cm dan 10 cm,
Hitung galat mutlak dan galat relatif (persen ) dari kedua
hasil pengukuran di atas.
Manakah yg memberikan hasil pengukuran yang lebih
baik?

6. Jawab:
Galat Mutlak:
Jembatan : εm = | 10.000 – 9.999 | = 1 cm
Paku : εm = | 10 – 9 | = 1 cm
Galat relatif:
Jembatan : εR = 1/10.000 * 100%= 0,01%
Paku : εR = 1/10 * 100% = 10%
Kesimpulan :
“Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil
pengukuran paku”

7. Diketahui : a= 10/3; â = 3,333
Hitung : (a). Galat mutlak !
(b). Galat relatif !
(c). Galat relatif hampiran !

8. Di dalam metode numerik sering dilakukan pendekatan
secara iteratif. Pada pendekatan tsb perkiraan sekarang
dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini,
galat adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan
perkiraan sekarang dan galat relatif diberikan oleh bentuk
berikut:
dimana :
: nilai perkiraan pada iterasi ke n
: nilai perkiraan pada iterasi ke n+1
%100
ˆ
ˆˆ
1
1
x
a
aa
n
nn
RA

 

naˆ
1
ˆ na

9. Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai dengan
x = 0,5, apabila hanya diperhitungkan 6 suku pertama.
Nilai sebenarnya dari = 1,648721271
x
e
x
e
...
!4
4
!3
3
!2
2
1  xxxxxe
Diperhitungkan satu suku pertama
1xe %35,39%100*
648721271,1
1648721271,1 
R

Jawab:
Diperhitungkan dua suku pertama
xxe 1
5,15,015,0 e
%02,9%100*
648721271,1
5,1648721271,1 
R

%33,33%100*
5,1
15,1 
RA


10. Perhitungan sampai suku ke enam dilanjutkan sendiri!!!
Suku Hasil εR(%) εRA(%)
1 1 39,3 -
2 1,5 9,02 33,3
3 1,625 1,44 7,69
4 1,645833333 0,175 1,27
5 1,648437500 0,0172 0,158
6 1,648697917 0,00142 0,0158
Hasil perhitungan galat

11. Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai cos(x) dengan
x =1 apabila hanya diperhitungkan 5 suku pertama. Nilai
sebenarnya dari cos (1) = 0,540302306.
...
!8
8
!6
6
!4
4
!2
2
1)cos(  xxxxx
SOAL

12. Definisi :
Andai f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… di dalam selang
[a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo
dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret
Taylor :
...)(
!
)(
....)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()( )(''
2
0
'






 o
m
m
o
o
oo
o xf
m
xx
xf
xx
xf
xx
xfxf
Deret Taylor
Jika (x-xo)=h, maka :
...)(
!
....)(
!2
)(
!1
)()( )(''
2
0
'
 o
m
m
oo xf
m
h
xf
h
xf
h
xfxf

13. Contoh :
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar
xo=1.
Penyelesaian :
f(x) = sin(x) f ’’’(x) = - cos(x)
f ’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)
f ’’(x) = - sin(x) dst.
maka :
...)1sin(
24
)1cos(
6
)1sin(
2
)1cos()1sin()sin()(
432

hhh
hxxf
...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432
 hhhhxf

14. Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0,
maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang
merupakan deret Taylor baku.
Contoh:
Hampiri fungsi f(x)= sin(x) ke dalam deret Maclaurin disekitar xo = 0
...)0sin(
!4
)0cos(
!3
)0sin(
!2
)0cos()0sin()sin()(
432

xxx
xxxf
...
!5!3
)sin()(
53

xx
xxxf
Penyelesaian:
Deret Maclaurin

15. SOAL
Gunakan deret Maclaurin orde 6 untuk mendekati nilai-nilai
berikut. Bandingkan hasilnya dengan hasil kalkulator.
1. ln(1,12)
2. Cos(0,12)
3. Sin(3)
4. 1/0,88
5. e0,24
6. . 12,1

16. Angka Signifikan (AS)
Untuk mengetahui besar galat suatu hampiran untuk suatu nilai
eksak dapat digunakan banyaknya angka signifikan.
Angka signifikan (banyaknya) dihitung dari angka pertama yang
bukan nol, lalu ke kanan
Misalkan suatu hampiran untuk nilai eksak a dinyatakan Sebagai
â =

17. Contoh:
1. Hampiran â = 0,0320 mempunyai 3 angka signifikan
2. Hampiran â = 0,032 mempunyai 2 angka signifikan
Note: kalau sbg nilai eksak 0,0320 dgn 0,032 sama, tetapi
kalau sebagai hampiran itu berbeda
3. Hampiran â=130,0320 mempunyai 7 angka signifikan

18. Latihan
Carilah banyaknya angka signifikan
dari hampiran berikut ini!
1. 0,000123
2. 0,00123
3. 1,23 x 10-2
4. 1,230 x 103
5. 1,2300 x 104

19. Nilai â dikatakan menghampiri nilai eksak a sampai k
angka signifikan apabila galat relatifnya tidak melebihi
dengan k adalah bilangan bulat positif terbesar
yang memenuhi εRA ≤
2
10
ˆ
ˆ k
RA
a
aa 




20. Contoh:
1. a = 3,141592; â = 3,142
2
10
0001299,0
142,3
142,3141592,3 3


RA
â mendekati a teliti sampai tiga angka signifikan

21. Secara umum terdapat tiga sumber utama penyebab
galat dlm perhitungan numerik, yaitu :
1. Galat bawaan (Inheren)
2. Galat pemotongan (truncation error)
3. Galat pembulatan (round-off error)

22. Galat Bawaan
Galat bawaan merupakan galat dari nilai data
• Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca
skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai
hukum-hukum fisik dari data yang diukur.
Contoh :
 Misal dalam pengukuran seharusnya panjangnya 4.05 ditulis
dengan 4

23. Galat Pembulatan
Galat pembulatan: galat yang timbul akibat keterbatasan
komputer atau pada kalkulator dalam merepresentasikan
bilangan riil.
Contoh:
Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan
1/3 = 0.3333…yang tidak pernah tepat 1/3.
• Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333
Terdapat galat pembulatan = 0.000333…
• Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333
Terdapat galat pembulatan = 0.000000333…

24. Galat Pembulatan
Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung
(misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya
terbatas
Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka
tertentu misal; 5 angka :
Penjumlahan 9,2654 + 7,1625 =
hasilnya 16,4279 ini terdiri 6 angka signifikan maka
pembulatannya menjadi 16,428

25. Galat Pemotongan
Galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang
disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang
rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini
berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit
dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga
suku).

26. Galat Pemotongan
Salah satu contoh fungsi dalam matematika yang dapat
direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga
yaitu:
..........
!4!3!2
1
432

xxx
xex
Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari
deret tersebut diperhitungkan. Apabila hanya
diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka
hasilnya tidak sama dengan nilai eksak.
x
e

27. Contoh:
......
!10!8!6!4!2
1)cos()(
108642

xxxxx
xxf
Nilai hampiran Galat pemotongan
Galat Pemotongan

28. Galat Pemotongan pada Deret Taylor
dimana :
= fungsi di titik x
= fungsi di titik x i + 1
= turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi
= jarak antara xi dan xi + 1
= kesalahan pemotongan
! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2
n
n
i
n
iiiii R
n
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfxfxf 








!
)(.....
!3
)("'
!2
)("
!1
)(')()(
32
1
)x(f i
)x(f 1i
n
f.....,"f,'f
x
nR

29. Kesalahan pemotongan Rn :
1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama)
Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan
2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama)
Berupa garis lurus ( naik/turun )
.....
)!2n(
x
)x(f
)!1n(
x
)x(fR
2n
i
2n
1n
i
1n
n 










)x(f)x(f i1i 
!1
x
)x('f)x(f)x(f ii1i


Galat Pemotongan pada Deret Taylor

30. Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor.
!2
x
)x("f
!1
x
)x('f)x(f)x(f
2
iii1i




f(x)
Order 2
Order 1
Order 0
xxi+1i
y
3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama)
Galat Pemotongan pada Deret Taylor

31. Contoh:
Cos x = 1 – x2/2! + x4 /4! + …  X(2n) /(2n)! + Rn(x)
= 1 – x2/2! +R3(x)
= 1 – x2/2! + x4 /4! + R5(x)
= 1 – x2/2! + x4 /4! – x6/6! + R7(x)
= 1 – ½! x2 + ¼! x4 – x6/6! + x8/8! + R9(x)
R3(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3
R5(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -5
R7(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -7
R9(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -9

32. 1. Diketahui suatu fungsi f(x) = 0,25x3 + 0,5x2 + 0,25x + 0,5.
Perkirakan fungsi tersebut dengan menggunakan deret Taylor
order nol, satu, dua dan tiga pada titik xi+1=1, berdasar nilai fungsi
pada titik xi=0. Titik xi+1 berada pada jarak Δx =1 dari titik xi=0.
2. Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 - 20x + 8,5. Dengan
menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan
fungsi tersebut pada titik xi+1=0,5, berdasar nilai fungsi pada titik
xi=0.
3. Diketahui suatu fungsi f(x) = -0,2x3 + 1,2x2 – 0,21x + 1,5. Dengan
menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan
fungsi tersebut pada titik xi+1=1, berdasar nilai fungsi pada titik
xi=0.
LATIHAN

33. LOGO