1. - 1 -
RESISTANCE DES MATERIAUX
1 OBJECTIF DE LA R.D.M.
La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation des éléments d’une
construction (arbres de transmission, axes, bâtiments, ponts,….) dans le but de déterminer ou
vérifier leurs dimensions afin qu’ils supportent les charges auxquelles ils sont soumis.
2 HYPOTHESES DE LA R.D.M.
La résistance des matériaux (R.D.M.) se base sur un certain nombre d’hypothèses
simplificatrices :
Le matériau est :
o homogène : on admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en
tous points (matériaux parfaits sans défauts)
o isotrope : on admet que les matériaux ont, en un même point, le même
comportement dans toutes les directions (valable uniquement pour les matériaux
non fibrés : hypothèse non valable pour le bois par exemple…)
Les pièces étudiées sont assimilables à des
poutres c’est à dire :
o grande longueur par rapport aux
autres dimensions
o forme droite (ou très faiblement
courbée)
o section constante (ou variant très
progressivement)
o existence d’un plan de symétrie dans
le sens de la longueur.
Les actions mécaniques sont comprises dans le plan de symétrie de la poutre ou sont
symétriques par rapport à celui-ci.
Les déformations sont faibles donc on suppose que les points d’application des A.M. ne
bougent pas après déformation.
A B A B
B’
Avant déformation Après déformation
F F
2. - 2 -
3 TORSEUR DE COHESION D’UNE POUTRE
Afin de déterminer les efforts à l’intérieur d’une poutre (efforts de cohésions), il est nécessaire de
réaliser sur cette poutre une coupure fictive par un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne. La
poutre est alors divisée en deux parties appelées « Tronçons ».
Le torseur de cohésion modélise l’action mécanique d’une partie de la poutre sur une autre
partie de la poutre, de part et d’autre d’une coupure fictive.
x
x
y
z
O
G
Coupure
fictive
y
z
(1)
(2)
y
z
O
G
z
(1)
y
x
Ty
Tz
N
Mt
Mfy
Mfz
1
2
cohésion
1
Ext
2
Ext
4 CONTRAINTES LOCALES DANS LE MATERIAU
L’A.M. de cohésion se traduit en différents points de la section étudiée par des contraintes
locales.
Ces contraintes peuvent être de 2 types :
contraintes normales , perpendiculaires à la section.
contraintes tangentielles , parallèles à la section.
section de
la poutre
élément de
surface de la
section
et s’expriment en pascal (Pa) ou
en méga-pascal (Mpa)
1 Pa = 1 N/m2
1 MPa = 1 N/mm2
3. - 3 -
5 CARACTERISTIQUES MECANIQUES D’UN MATERIAU
Suivant l’intensité des contraintes qu’on lui applique le matériau à des comportements
différents :
déformations élastiques : le matériau se déforme sous la contrainte puis revient en
position initiale lorsqu’on supprime les efforts.
déformations plastiques : le matériau se déforme sous la contrainte et reste déformé
lorsqu’on supprime les efforts.
rupture : sous la contrainte, le matériau se rompt.
Pour caractériser chaque matériau, on utilise alors les paramètres suivants :
E : module de Young (coefficient d’élasticité longitudinale)
G : module de Coulomb (coefficient d’élasticité transversale)
Re : résistance élastique du matériau
Rp : résistance plastique du matériau
Exemples de valeurs (approximatives, varient en fonction des alliages et traitements) :
Matériau Re (MPa) Rp (MPa) E (MPa) G (MPa)
Acier d’usage courant 235 340 200 000 80 000
Acier spéciaux 700 930 200 000 80 000
Fonte 200 100 000 40 000
Aluminium (Duralumin) 200 330 72 000 32 000
5.1 Recherche de caractéristiques d’un matériau
1 Essai de traction
On choisira comme exemple un essai de traction. Cet essai est une expérience qui permet de
mesurer le degré de résistance à la rupture d'un matériau quelconque, indépendamment de la
forme de l'objet sollicité, ou la performance d'un assemblage mécanique.
Cet essai consiste à placer une petite barre du matériau à étudier
entre les mâchoires d'une machine de traction qui tire sur la barre
jusqu'à sa rupture. On enregistre l'allongement et la force appliquée,
que l'on convertit ensuite en déformation et contrainte.
L'essai de traction donne plusieurs valeurs importantes, notamment :
le module de Young E, ou module d'élasticité longitudinale ;
la limite élastique Re ou σe, qui sert à caractériser un domaine
conventionnel de réversibilité ;
la limite à la rupture Rm ou σm.
2 Définition de la traction
Une poutre est sollicitée à la traction simple lorsqu’elle est
soumise à 2 efforts dits « normaux », directement opposés, qui
tendent à l’allonger.
,
0
0 0
0 0
Coh G
G R
N
T
4. - 4 -
3 Résultat de l’essai de traction
Cet essai est réalisé sur une machine
qui permet d’appliquer très
progressivement un effort de traction F
sur une éprouvette, afin d’étudier son
allongement l.
On enregistre sur un graphe la
contrainte normale en fonction de
l’allongement relatif.
La courbe fait apparaître 2 zones :
- Zone de déformation élastique
- Zone de déformation plastique
a) Zone OA : zone de déformation élastique
L’allongement est proportionnel à la charge. Si on supprime l’effort l’éprouvette reprend sa
longueur initiale. Le point A donne la résistance élastique du matériau.
Cette zone permet de déterminer le module d’élasticité longitudinal E (module de YOUNG). Il
caractérise l’aptitude du matériau à se déformer et correspond à la pente de la droite OA. La
relation entre la contrainte et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke
Remarque : On peut faire l’analogie avec un ressort (F = kx) où k serai la raideur du ressort.
b) Zone AC : zone de déformation permanente ou domaine plastique avec rupture en C
La partie (AB) est la partie plastique. La limite élastique est dépassée. Si l'expérience est
interrompue (point C), la barre ne reprend pas sa forme initiale. Le chemin de décharge est, de
manière simplifiée parallèle à la droite (OA).Lorsque l'effort appliqué s'annule, il persiste une
déformation résiduelle p qui ne disparaît plus.
O
5. - 5 -
6 TRACTION – COMPRESSION
6.1 Relation Sollicitation – Contrainte
Les contraintes normales dans une section droite (S) sont normales (perpendiculaires) à la
section et uniformément réparties. Elles ont pour valeur :
S
N N : effort normal en N
S : surface de la section en m2
: contrainte normale en Pa
La contrainte normale engendrée est identique dans toute la section :
traction compression
6.2 Loi de comportement élastique : LOI DE HOOKE
Dans la zone OA, la contrainte est proportionnelle à la déformation . D’après la loi de Hooke,
on a :
.
E
E : module de Young en Pa
: allongement relatif (sans unité)
avec
0
L
L
L : allongement absolu ou extension
L0 : longueur initiale de la poutre
7 CISAILLEMENT
7.1 Relation Sollicitation – Contrainte
Les contraintes tangentielles dans une section droite (S) sont tangentes à la section et
uniformément réparties. Elles ont pour valeur :
T
S
T : effort tranchant en N
S : surface de la section en m2
: contrainte tangentiel en Pa
La contrainte tangentielle engendrée est identique
dans toute la section.
7.2 Loi de comportement élastique
G : module de Coulomb en Pa
: glissement transversal relatif
6. - 6 -
8 TORSION
8.1 Quelques expressions de moments quadratiques polaires
6
4
a
IG
12
2
2
h
b
bh
IG
32
4
d
IG
32
4
4
d
D
IG
8.2 Relation Sollicitation – Contrainte
G
I
Mt Mt : moment de torsion en N·m
IG : moment quadratique polaire de la section en m4
: distance au centre de la section en m
La contrainte tangentielle engendrée est nulle au centre
de la section (fibre neutre) et est de plus en plus élevée
lorsqu’on s’en éloigne.
8.3 Loi de comportement élastique
G
I
G
Mt
G : module de Coulomb en Pa
x
: angle de torsion unitaire en rad·m-1
α : angle de torsion en rad
x : longueur de la poutre en m
IG : moment quadratique polaire de la section en m4
x
G
Fibre neutre
M
7. - 7 -
9 FLEXION
9.1 Quelques expressions de moments quadratiques axiaux par rapport à un axe
12
4
a
I
I Gy
Gx
12
12
3
3
hb
I
bh
I Gy
Gx
64
4
d
I
I Gy
Gx
64
4
4
d
D
I
I Gy
Gx
Remarque : Relation entre moment quadratique polaire et axial
IO = IOx + IOy
9.2 Relation Sollicitation – Contrainte
y
I
Mf
Gz
z
Mfz : moment de flexion en Nm
IGz : moment quadratique de la
section par rapport à l’axe (Gz) en m4
y : distance par rapport à l’axe (Gz)
en m
y
z
x
y
M
G
La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe
(Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en
éloigne.
9.3 Loi de comportement élastique
'
'
f
I
E
Mf Gz
z
Mfz : moment de flexion en N·m
E : module de Young en Pa
IGz : moment quadratique par rapport à l’axe z de la
section en m4
f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans
sollicitation) en m
f’’ : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse
x
Pour obtenir l’expression de la
flèche, on intègre 2 fois la formule
précédente. Les constantes qui
apparaissent lors des intégrations
sont déterminées grâce aux
conditions aux limites.
8. - 8 -
10CONDITION DE RESISTANCE
10.1 Poutres classiques
Il y a résistance de la pièce à la traction si :
Rpe : résistance pratique à l’extension (MPa)
Re : résistance élastique (MPa)
S : coefficient de sécurité.
Le coefficient de sécurité s permet de prendre en compte les défauts des matériaux utilisés qui
ont tendance à affaiblir les pièces. Ils sont donnés par le cahier des charges et sont souvent
spécifiques aux métiers (aéronautique, ponts, bâtiments, mécaniques…)
10.2 Poutres non conformes aux hypothèses
Pour les poutres comportant des variations brusques de
section (gorges, rainures, congés, perçages…), la
répartition de la contrainte n’est plus uniforme. Il y a
concentration de contrainte.
La contrainte maximale est alors :
max : Contrainte maximale (MPa)
Kt = coefficient de concentration de contrainte (1< Kt <3)
Condition de résistance :
Rpe
avec Rpe =
Re
s
max = Kt.
max Rpe
9. - 9 -
TD RESISTANCE DES MATERIAUX
1 LA POTENCE A TIRANT
1.1 Présentation
La potence à tirant proposé est utilisée en manutention pour lever et déplacer des charges. Elle
se compose d’un palan 4, d’une poutre-rail 3 et du tirant 2. Le tirant 2 est soumis à une
sollicitation de traction : il est soumis à l’action de deux forces 1 2
D
et 3 2
B
égales et opposées, de
direction BD et d’intensité maximale de 6200 daN (cas où le palan est à l’extrême droite).
Le tirant est cylindrique, de diamètre d = 20 mm, de longueur L = 2,8 mètre et est réalisé en acier
E 330. Cet acier a pour caractéristiques : Re = 330 MPa, R = 600 MPa et E = 200 000 MPa.
1.2 Travail demandé
Pour rechercher les contraintes dans le tirant 2, on commence par l’isoler puis on fait une
coupure fictive sur celui-ci. (c.f. figure 1)
figure 1
Q.1 Quelle est la valeur de l’effort normal N
?
N = D3/2 = 6200 daN
Q.2 Calculez la contrainte normale .
N
S
avec ²
314 ²
4
d
S mm
6
62000
197.5
314 10
N
MPa
S
Q.3 Conclure sur la résistance du tirant avec un coefficient de sécurité s = 2.
Re 100
50
2
Rpe MPa
s
Rpe , le tirant ne résiste donc pas à la charge, il subira une déformation
plastique.
10. - 10 -
Q.4 Déterminez le diamètre minimal du tirant.
Rpe avec N
S
Re 100
50
2
Rpe MPa
s
soit 50
N
S
. On obtient donc
50
N
S
²
50 4
N
d soit
4
50
N
d
d doit donc être supérieur ou égal à 11,3 mm.
Q.5 Calculez l’allongement du tirant sous cette charge (vous prendrez la nouvelle valeur de diamètre d)
E
6
6
5000
250 10
0.0113² 200000 10
4
N
E S E
0
l
l
soit 6
0 250 10 2000 0.5
l l mm
2 LE CROCHET D’ATTELAGE
2.1 Problème posé
On se propose de calculer la contrainte de traction dans les vis de fixation de l’attache lors du
remorquage d’un véhicule.
2.2 Hypothèse
Les contraintes dûes à l’effort de traction lors du remorquage sont les seules à être considérées
dans cet exercice.
Lors de variations brusques de vitesses la remorque exerce un effort de traction maximum de
3150 daN sur l’attache.
Cet effort se répartit à égalité sur chaque vis de fixation repérée 4.
2.3 Données
Diamètre sollicité d’une vis : 14mm ( d’âme des vis rep 4)
Matière : 42 Cr Mo 4
Coefficient de sécurité : s = 8
2.4 Activités
Q.1 Recherchez dans l'extrait du ‘Guide du Dessinateur Industriel » la valeur de la résistance élastique de
la matière constituant les vis.
Re = 850 MPa
4 2
1
3
11. - 11 -
Q.2 En lisant le problème posé, donnez la valeur de la force de traction Ft appliquée à chaque vis,
exprimez cette valeur en Newton.
Ft = 15 750 N
Rq : l’effort de traction se réparti de façon égale entre les deux vis.
Q.3 Calculez l'aire de la section d’une vis soumise à la traction.
² 154 ²
4
S D mm
Q.4 Calculez la contrainte dans une vis.
6
15750
102.3
154 10
N
Mpa
S
Q.5 Calculez Rpe, la résistance pratique à l’extension de la matière des vis.
Re 850
106.25
8
Rpe MPa
s
Q.6 A partir du cours, donnez la condition de résistance à la traction d’une vis.
Il y a résistance si Rpe
Q.7 Conclusion.
Dans notre cas, on a bien Rpe.
Les vis résistent donc à la force de traction
2.5 Extrait du Guide du Dessinateur
Industriel
* R min = résistance minimale à la rupture par
extension (Mpa).
* Re min = limite minimale apparente d’élasticité
(Mpa).
12. - 12 -
3 L’ETRAVE DE CHASSE NEIGE
3.1 Mise en situation
L’étrave de déneigement CGM10 est utilisée pour dégager les
routes aprés de fortes chutes de neige. Elle est composée de deux
volets disposés en « V » qui permettent d’évacuer sur les côtés une
épaisseur importante de neige.
Les deux volets sont articulés de façon indépendante sur la pointe
de l’étrave et ont une ouverture variable contrôlée par le conducteur.
Ceci permet d’éviter les obstacles et d’adapter l’ensemble à la largeur
de la route.
Lors de l’utilisation, l’étrave repose sur le sol sous l’action de son
propre poids. Pour limiter l’usure des volets et la détérioration des
routes elle peut être munie de patins de frottements en matière
composite. En fin d’utilisation ou pour éviter des obstacles, elle est
pourvue d’un système de relevage hydraulique.
3.2 Estimation du coefficient de sécurité dans une barre (8)
L’objectif de cette étude est de vérifier le niveau des contraintes
dans une barre coté pointe (8) afin d’estimer la valeur du coefficient
de sécurité dont on dispose.
Les actions mécaniques agissant sur une des barres coté pointe (8)
peuvent être définies suivant le schéma ci-dessous
1 Identification des sollicitations
Au vu des actions agissant sur la barre (voir schéma page précédente) :
Q.1 Préciser la nature de la sollicitation existant dans la barre.
barre 8
13. - 13 -
La courbe ci-contre donne l’intensité des
actions agissant sur la barre en fonction de
l’angle d’ouverture du volet.
Q.2 Relever sur la courbe la valeur de l’effort
maximal supporté par la barre.
2 Détermination de la contrainte normale
Hypothèse : la barre (8), constituée de plusieurs
éléments soudés entre eux, sera considérée
comme une seule pièce vérifiant les hypothèses de
la résistance des matériaux.
La section la plus sollicitée est celle qui passe par le
point M, ses dimensions sont données sur la coupe
(A-A) ci-contre.
Q.3 Calculer, pour l’effort maxi, la contrainte normale Max
théorique existant dans la section A-A.
L’image ci-dessous (obtenue à l’aide d’un logiciel de simulation) indique les niveaux de contrainte
à l’extrémité de la barre.
Q.4 Relever sur cette image la valeur
maximale de la contrainte normale.
Q.5 Comparer cette valeur à la valeur
théorique calculée dans la question Q3.
Q.6 Justifier la différence entre ces deux
valeurs.
3 Estimation du coefficient de sécurité
La barre (8) est réalisée en acier S355 , dont la limite élastique est : Re min = 355 MPa
Q.7 Calculer le coefficient de sécurité s dont on dispose pour la barre si on souhaite rester dans le
domaine élastique.
M
14. - 14 -
4 LA SUSPENSION DE VTT
4.1 Mise en situation
Conçu pour s'exprimer en « Freeride » et dans les descentes
marathon, ce VTT est doté d'une suspension à triangle unifié
assurant un fonctionnement optimal de la transmission et une
grande robustesse.
Technique, stable et confortable, sa suspension arrière se veut
progressive et performante (les positions des points de pivots et de
l'amortisseur ont été calculées par ordinateur). Le bras oscillant et
les biellettes de suspension sont montés sur des roulements
étanches surdimensionnés.
4.2 Amélioration d’une solution constructive.
Sur le prototype, un problème de déboîtement des roulements de la liaison levier S3 – biellette S2
est apparu lors des premiers essais réels, menant à un dysfonctionnement majeur de la
suspension arrière.
L’objectif de cette étude est d'analyser et de re-concevoir la biellette S2, afin de remédier à ce
problème technique.
La première biellette prototype a été conçue de manière « ouverte » et usinée. Suite aux efforts
élevés supportés, sa déformation trop importante engendre la sortie des roulements de leurs
logements dans le levier.
Vue de détail du
mécanisme de suspension.
Biellette prototype Biellette prototype après
déformation
Forme prismatique
justifiée par le
procédé d'usinage
15. - 15 -
4.3 Vérification du critère de résistance de la nouvelle biellette prototype.
L’objectif de cette partie est de vérifier la résistance de la nouvelle biellette
prototype en calculant la contrainte subie par la section AA de la pièce.
Le matériau choisi est un alliage d'aluminium 7075 [Al Zn 5.5 Mg Cu] de
limite élastique 440 MPa.
Une étude dynamique complémentaire de l’étude statique précédente a
permis de calculer que l’effort de compression sur la biellette est très élevé
et peut atteindre une valeur de 10 000 N.
Q.1 En supposant a = 8 mm, calculer la valeur de la contrainte de compression
dans la section A-A.
Q.2 Conclure quant à la résistance de cette partie de la pièce.
78,1<<440MPa, donc la biellette résiste
4.4 Optimisation des formes de la biellette industrialisée.
L'entreprise a procédé à une simulation informatique du
comportement en charge du modèle prototype de la biellette à
l’aide d'un logiciel de calculs par éléments finis : le résultat de
cette simulation est fourni sur le schéma ci-contre.
Q.3 Sur ce schéma, identifier et entourer en rouge les zones
de plus fortes contraintes (concentrations de
contraintes).
Q.4 Indiquer la valeur de la contrainte maximum ( max)
subie par la pièce. Conclure quant à la résistance de la
pièce (rappel : Re = 440 MPa)
Q.5 A partir d’un croquis à main levée commenté, proposer
des modifications de forme permettant de limiter les
concentrations de contraintes dans la biellette
industrialisée.
a
a
Croquis de la
biellette
Contrainte en Pa
